Nhân dịp luận văn được hoàn thành em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. TRAN
ĐÌNH KẾ đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, cùng toàn thể các thầy
giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ
và tạo điều kiện thuận lợi để em có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực
hiện đồ tài và ngliicn cứu khoa học.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý
kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên.
Hà Nội, ngày 19 tháng 06 năm 2013 Tác giả
Nguyễn Đức Nhật
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Kế, luận văn tốt nghiệp “Một
lớp phương trình vi tích phân với điều kiện ban đầu không cục bộ” được hoàn thành bởi sự
nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào khác.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với
sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 19 tháng 06 năm 2013 Tác giả
Nguyễn Đức Nhật
LỜI CẢM ƠN
Mục lục
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi tích phân dạng
x'(t) = A [x(t) + í F(t — s)a;(s)<ís] + g(t, x(t,)), t G J := [0, T],
J 0
(1)
là mô hình tổng quát của nhiều bài toán thực tế. Một trong số đó là bài toán
truyền nhiệt "có nhớ" được mô tả bởi phương trình
d
2
[

• Phạm vi nghiên cứu: tính giải được, cấu trúc hình học của tập hợp
nghiệm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các công cụ và các kết quả của lý thuyết nửa nhóm, giải thức
suy rộng và độ đo không compact, (MNC).
6. Dự kiến đóng góp mới
Sử dụng cách tiếp cận tương tự, luận văn có thổ tiếp tục phát triển để
giải quyết bài tọán với phương trình vi tích phân có trễ.
Chương 1
Tính giải được của bài toán
Xét bài toán
x'(t) = A [x(t) + í F(t — s)x(s)ds] + g(t, x(t,)), í E J := [0, T],
J()
(1.1)
x(0) + h(x) = X( ) . (1-2)
Trong đó x(t) lấy giá trị trong không gian Banach X; F(t), với t £ J, là một
toán tử tuyến tính trên X; hàm g J X X X vh h : C(J;X) —> X cho trước. Trong
mô hình trôn, A là phần tử sinhcủa một nửa
MỤC
4
nhóm liên tục mạnh S(') trên X.
Ta đã biết phương trình (1.1) với g = g(t) phát sinh từ ứngdụng
thực tế. Chăng hạn, phương trình truyền nhiệt có nhớ
d 2 Ị 1
= Q ~ ĩ [ x { t , y ) + J b { t - s ) x ( s , y ) d s \ + g ( t , y ) , x ( 0 , y ) = x 0 ,
(1.3)
ở đó t E M+ và y G [0,a] c M (xem [3]). Hơn nữa, nếu ta thay thế điều kiện
ban đầu x(0, y ) = X Q bởi điều kiện không cục bộ (1.2), ta có được một mô tả
tốt hơn về thông tin ban đầu của hệ. Một ví dụ của h là:
i=l

2. Với mỗi V € X, hàm t \-ì R(t)v liôn tục trcn J,
3. Nến Y là không gian Banach xác định bởi D(A) (miền xác định
của A), với chuẳn đồ thị, thì R(t) G L{Y), R{‘)y GC
l
( J \ X ) n
C Ụ \ Y ) với y e Yv ầ
CJ
~^R{t)y = A[R{t)y + j F(t — s)R(s)yds]
6
= R(t)Ay + Í R(t — s)AF(s)ds, t 6 J.
J 0
Sự tồn tại của họ giải thức này được đề cập trong công trình [15].
Chú ý rằng từ định nghĩa của giải thức và nguyên lýbị chặn đều,
ta có thể tìm được hằng số Cfí < +oo sao cho
sup ||fi(í)||i(A') <
C
R
.
(1.8)
teJ
Khi đó nghiệm của bài toán ban đầu được cho bỏi
x(t) = R(t)[x0 — h(x)] + í Rịt — s)g(s,x(s))ds, t
(1.9)
J 0
1.1 Tính giải được
Định nghĩa 1.1. Cho £ ỉà không gian Danach (A, là một tập sắp thứ tự từng
phần. Một hàm, ß : V ( 8 ) —> A đĩỉỢc gọi là một độ đo không co m pact
(MNC) trên 8 nếu n ó thỏa mẫn
ß(cö íì) = ß(Si) với mọi tập bị chặn Q G V ( £ ) ,
trong đócõũ, ỉ,à bao lồi đốnq của Q. Độ đo ß được qọi là

chuấn của toán tử tuyến tính (xem [17]) như sau:
lini/ĩ := inf{M : ị3(T£l) ^ A//?(Í2), Q c £ là tập bị chặn}. (1.12) Khi đó /3-
clmẩn của r xác định bởi
IITII, =
p{TSi)
= 0(TB,),
trong đó Si và Bi lần lượt là mặt cầu và hình cầu trong s. Có thể thấy rằng
IITIU <
\ \ T \ \
L { X )
.
(1.13)
Định nghĩa 1.2. Một hàm liên tục T : z c 8 —> £ được gọi là nén ứng với MNC
ị3 (73-nén) nếu với mọi tập bị chặn Q c z không là tập com,pacẦ tương đối,
ta có
ạựm ỉ P(ũ).
Giả sử Ị3 là một MNC đơn điệu và không kỳ dị. ứng dụng lý thuyết bậc
tô-pô cho ánh xạ nén (xem [17, 16]) ta có các định lý điểm bất động sau đây.
Định lý 1.1 ([16, Bổ đồ 3.3.1]). Giả sử Ai là một tập con lồi, đóng và bị chặn
của £ và T : M. —» M. là Ị3-nén. Khi đố VixT = {x = F { x ) } là tập khác
rỗng và compact.
8
Định lý 1.2. Cho V c £ là một lân cận của, /3 là một MNC đơn điệu, không kỳ
dị trong £, và T : V £ là /3-nén thỏa mẫn điều kiện biên
X ^ \ T(x)
với mọi X G dv và 0 < A ^ 1. Khi đó tập các điểm bất động Fix(T) = {x =
T ( x ) } c V là khác rỗng và compacẦ.
Quay lại bài toán (1.1) - (1.2), ta giả thiết các hàm gvà, h thỏa
mãn những điều kiện sau đây:
(Gl) hàm g : J X X —» X liên tục;

+
Ũ
2
{t,n)
trong đó gi là hàm, Lipschitz ứng với biến thứ hai:
llsi(í.í) -
9 ỉ ( t , v ) \ \ x <
fc(í)||Ệ - 7j||x
v ớ i h ầ u k h ắ p t
£
J v à Ị , r ì
G
X v ớ i k
6
L ' ị J ) v à

$2

l à á n h
x ạ com,pact theo nghĩa với mỗi t € J và c X bị chặn, tập Ọĩitì ỉà
corn,pact tương đối trong X.
3. Nếu ta giả thiết h hoàn toàn liên tục, nghĩa là, nó liên tục và
com,pact trên các tập bị chặn, thì (H2)-(H3) được thỏa mãn. Nếu h
trong (1.4) thỏa mẫn (H1)-(H2) và hàm, t I—y R ( t ) liên tục đều thì
(H3) cũng được thỏa mẫn. Chú ý rằng h trong ví dụ (1.5)-(1.6) thỏa
mãn (Hl)-(HS).
Ta sử dụng các giả thiết sau, như trong [3]:
(FI) F ( t ) G L ( X ) với t G J và x ( - ) liên tục với giá trị trong Y =
D ( A ) ~ A F ( - ) x { - ) e L ' l J i X ) ;
(F2) Với X G X, hàm t I—>• F ( t ) x khả vi liên tục trên J .

với 0 < tị < t
2
< T, t
2
— tị < ố, trong đó C
f l
= j‘Ị fi(s)ds. Hơn nữa ta có thể
giả thiết rằng với 0 < t
2
— tị < ỗ ta có
(1.1
Xét toán tử sau:
Với 0 < tị < t
2
< T, t
2
— tị < ố, lấy 0 < ( < tị đủ nhỏ sao cho
1. 1 . TÍNH GIẢI
1
ta có với mọi f e Q :
lM/)(*2) - $(/)(íi)IU = II / R(h - s)f( s )ds - ỉ R(tt -
s)f(s )ds\\
J 0 ./ó
< [ l|fi(<2 - s) - fí(íl- s)|Uu)ll/(s)l|xás
J 0
+ [ ịịRịh - s) - R{t'l -
s
)||i(X)||/(s)|Uds
J h - Q
+ [ \\R(t-2 - s ) \ \ L ( x ) \ \ f { s ) \ \ x d s

x({Ện(t)}) ^ ợ (í), với hầu khắp t E J.
Khi đó
x({$( Z ,n)(t) }) < 2CR í q(s) d s
Jo
với mọi í G J.
2
ỊJ.
Định nghĩa 1.4. Dãy hàm, {£„} c L
l
( J ; X ) được gọi ỉ,à nửa com/pữcẦ nếu nó bị
chặn tích phân và tập {£
?
i(£)} ỉà compact tương đối trong X với hầu khắp t e J.
Theo [16, Mệnh đề 4.2.1 và Định lý 5.1.1], ta có
Mệnh đề 1.4. Nếu {£„} c L
l
Ụ \ X ) là m.ộì dãy nửa com.ỹact thì {ỉn} ì,à compacẦ
yếu trong L
l
( J ; X ) và {$(£«)} ỉà compact tươnq đối trong C Ụ \ X ) . Hơn nữa,
nếu £„ —^ Ẹo thì 3>(£
7i
) $(£())■
Ký hiệu
® * ( x ) ( t ) = R ( t ) [ x 0 - h ( x ) ] (1.15)
với t € J và X G C ( J ; X ) . Ký hiộu N g là toán tử Ncmytskii
ứng với
hàm phi tuyến g , tức là,
N g ( x ) ( t ) = g ( t , x ( t ) ) với t 6 J, X £ C { J \ X ) . (1-16)
Ta nhận thấy X là nghiệm của (1.1 )-(l.2) nếu và chỉ nếu

mãn và
i:=CR{ Ch + 2 [ k(s ) ds) < 1 J 0
thì ty ỉ,à ư-nén.
Chứnq minh. Giả sử Q c C ( J ; X ) thỏa mãn điều kiện
7/(^(Q)) > jy( Q ). (1.19)
Ta sẽ chứng tỏ rằng Q là tập cornpact tương đối trong C ( J ; X ) . Theo định nghĩa
của độ đo
7/,
tồn tại một dãy {zn} c sao cho
ỉ/(Ý(n)) = (7({z„}),modc({z„})).
Theo cách xây dựng ta có thể chọn được một dãy{xn} c íl sao cho
= $•(*») + $($»), (1-20)
trong đó
9n(t) = g ( t , x
n
( t ) ) , t G J.
Sử dụng điều kiện (G3), ta có
x({ũ
,.(«)}) = x({ớ(s,£ («))})
< fr(s)x({zn(s)})
< fc(s)7({zn}), (1.21)
với mọi s 6 J. Khi đó sử dụng Mệnh đề 1.3, ta được
x ( { $ ( 9n ) ( t ) } ) f í 2 C R ị Ị k { s ) d s j - / { { x n } ) . (1.22)
Chú ý rằng
$*(z„)(í) = R(t)x0 - R(t)hịx
n
),
ta có
x({5>'(sn)(í)}) =
x ( { R ( t ) h ( x

modc ({<!
>(</„)}) = 0.
Do (H3) nôn
modc({$*0z
n)}) = 0-
Sử dụng
(1.20) lần
nữa, ta được
modc({zn})
= 0.
Từ (1.25)-
( 1.26) suy ra
rằng
u ( Q ) =
(0,0).
Do V là độ
đo chính quy,
ta kết luận Í2
là tập
(1.2
(1.2
(1.2
compact
tương đối. □
Nhận xét 1.2.
N ế u R ( t )
compact với
t > 0, ta có
thể loại bỏ
điều kiện

(
£
>
5
)
}
)

=

v
ớ
i

h
ầ
u

k
h
ắ
p

s

E

[
0
,


ị
.
2
.
5
]
,

t
a

đ
ư
ợ
c
Định lý 1.4. Với giả thiết của Định lý 1.3, nếu
c
/
fT \
lim inf —-( 0(r) + Y(r) / f i ( s ) d s ) <1 (1.27)
r^oo r VJ0 /
í/?i tậ,p nghiệm) của bài toán (1.1)-(1.2) là khác rỗng và compacẦ.
Chứng minh. Ta sử dụng Định lý 1.1. Áp dụng kết quả quả Định lý 1.3, ta chỉ
cần chứng minh rằng tồn tại r > 0 sao cho
V ( B
r
) c B
r ì
với B

\\x + 0(n)) + C
R
T ( n ) í n(s)ds.
J()
Hay
1
n
< — ^Cr(||£q||x + B(^)) + C R Y ( I Ĩ ) Ị fi(s)ds
S
j
Qua giới hạn bất đẳng thức cuối khi n —> +00, ta nhận được mâu thuẫn
do có điều kiện (1.27). Định lý được chứng minh. □
Ta xét một số trường hợp đặc biệt của các hàm T và 0.
Hệ quả 1.1. Trong Định lý 1.3, (G2) và ( H l ) thay thế bởi
(G2’) \\g(t,ri)\\
x
< 1 + \\n\\
p
),iJ- 6 LVKO < p < 1,
(í, r/) G J X I;
(Hr) /?, : C Ụ \ X ) —»> X liên tục và
\ \ h ( x ) \ \ x
<
/l
0
+ /ỉi|MlcA)A > 0,0 < ợ < 1,
vđz mọz £ G C ( J ; X ) ;
Khi đỏ tập nghiệm, của bài toán (1.1)-(1.2) khác rỗng và compacẦ.
Chứng minh. Do p < 1 và q < 1, điều kiện (1.27) trong Định lỷ 1.4 rõ ràng
được thỏa mãn. Do vậy ta có kết luận của định lý. □

và compact.
Chứng minh. Tasử dụng Dịnh lý 1.2. Chỉ cần kiểm tra điều kiện biên
trong Địnhlý 1.2. Ta sẽ chỉ ra rằng, nếu X = \ty(x) với Л G (о, 1], thì
X phải nằm trong một tập bị chặn. Thật vậy, giả sử
x ( t ) = X R ( t ) [ x o — h ( x ) ] + A í R ( t — s ) g ( s , x ( s ) ) d s .
J ( )
Ta suy ra
\x{t)\\x < C
R
(\\xO\\X + M
h
) + C
R
í /i(s)T(||x(s)||x)cís.
Л)
v ( t ) = C
R
{\\X
Q
\\X + Mh) + CR Ỉ /i(s)T(||:r(s)||x)ds,
J ( )
ta có ||x(í)||x < v(í), với t e J, và
v'{t) = CB/i(i)T(||x(i)|U)
< C
R
ị i ( t ) T ( v ( t ) ) ,
do T là hàm đơn điệu tăng. Khi đó sử dụng (1.29), ta có
r
m
d z „ r

trị.
Bổ đề 1.1 ([16]). Giả sử G : Y —> J C ( Z ) ỉà hàm, đa trị đóng và tựa compacẦ.
Khỉ đố G ỉ,à nửa liên tục trên.
Xét hàm đa trị
w
: X -o
CỤ\X)
W ( v ) = { x : X là nghiệm của (1.1)-(1.2) với điều kiện X ị ) = v}.
(1.30)
Như đã chứng minh trong mục trước, hàm w có giá trị compact. Ta sẽ xem xét
tính chất u.s.c của w.
Định lý 1.6. Vớ i gỉả thiết củ a Đ ịnh l ý 1 .Ậ, hàm đa trị w xác định bởi
(1.30) là u.s.c.
Chứng minh. Trước tiên ta chỉ ra rằng w là tựa compact. Giả sử Q c X là một tập
compact. Ta chứng minh w ( Q ) là tập compact tương đối trong C ( J ; X ) . Với
{ x
n
} c W ( Q ) , tồn tại dãy {v„} c Q sao cho
x
n
( t ) = R(t)vn - R ( t ) h ( x
n
) + (1.31)
ở đó g n ( t ) = g ( t , x n ( t ) ) .
Chú ý rằng {xn} là dãy bị chặn. Thật vậy, từ (1.31) ta có ước lượng
| | # n l l c ^
CR
( l h ; 7 7 , | | x + ® ( l l x n l ie ) ) +
CỵT
( l l ^ n l l c )

Từ đó 7({a;„}) = 0.
Bây giờ sử dụng (G2) ta suy ra { g
n
} là bị chặn tích phân trong
L
l
Ụ ] X ) . Do vậy {ф(дп)} là tập liên tục đồng bậc. Áp dụng (H3), ta
тос1с({а:п}) < тос1с({Ф*(ж„)}) + тос1с({Ф(^п)}) = ü.
Vậy ư ( { x
n
} ) = (о, 0) và {xn} là tập compact tương đối trong C ( J ; X ) .
Dể chứng minh w là U.S.C., theo Bổ đề 1.1, ta còn phải chứng minh w (có
đồ thị) đóng. Giả sử v
n
—> V trong X và x
n
£ W ( v
n
) , x
n
—> X trong C ( J ;
X ) . Ta sẽ chứng tỏ ж G W { v ) . Thật vậy
x
n
( t ) = ф*(я
п
)(£) + í R ( t - s ) g ( s , x
n
( s ) ) đ s . (1.34)
J o