BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM

TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM
TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Mã số: CS2004.23.56
Chủ nhiệm: Lê Hoàn Hóa.
Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004

TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM
TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Mã số: CS2004.23.56
Chủ nhiệm: LÊ HOÀN HÓA.
Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004
Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Nha Trang
Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004 3

BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ

Tên đề tài:
Tính compact, liên thông của tập nghiệm
trong phƣơng trình vi tích phân trong không gian Banach.
Mã số: CS2004.23.56
Các thành viên tham gia :
1 - PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA (chủ nhiệm đề tài)
2 - Nghiên cứu sinh : LÊ THỊ PHƢƠNG NGỌC

BÁO CÁO TỔNG QUAN
Đề tài về tính compact, liên thông của một số phƣơng trình phi tuyến đã đƣợc chúng
tôi nghiên cứu trong thời gian hai, ba năm. Một số kết quả đã đƣợc trình bày dƣới dạng : luận
văn tốt nghiệp Thạc sĩ, báo cáo khoa học, báo cáo tại Hội nghị toán học toàn quốc, báo cáo
tại Hội nghị Quốc tế về phƣơng trình vi phân. Trong khuôn khổ của bài báo này, chúng tôi sẽ
trình bày các kết quả về tính compact, liên thông của tập nghiệm cho các bài toán sau :

ở đây u
0
,U
1
,f đƣợc cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t) và giá trị biên chƣa biết p(t) thỏa phƣơng
tình phi tuyến sau :
P(t) = g(t) + H(u(0,t))-

không đổi a, b và α (0 < α< 1) sao cho | f(x) | < a + b | x |
α
, xH.
Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact và các tính chất của
toán tử tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe.
1. Lời giới thiệu :
Trong bài báo [1] mới đây, chúng tôi đã đƣa ra các điều kiện cho toán tử A và toán tử
f để có đƣợc tính khác rỗng, compact, liên thông của tập hợp nghiệm của hai bài toán (I), (II).
Trong bài báo này, chúng tôi đƣa ra một điều kiện mới, tốt hơn cho toán tử f để có đƣợc kết
quả tƣơng tự cho hai bài toán trên.
2. Các kết quả chính :
Cho H là không gian Hinbe và chuẩn đƣợc sinh ra bởi tích vô hƣớng trên H

đƣợc ký hiệu là |.| . Xét các phƣơng trình

và với giả thiết: (1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H.
(2). f : H→ H hoàn toàn liên tục, thoả điều kiện: Có các số dƣơng
không đổi a, b, α (0
< α <
1) sao cho |
f(x) |
< a + b |X |
α
, xH. Ta có :

([0,1],
H) với chuẩn ||u||= max {|u(t)| + |u'(t)|, t  [0, 1]}.
Bƣớc 1 : Xét χ = 0. Gọi X
1
*= {uX
1
/u(0) = 0 }.
Đ ặ t T : X
1
* → x sao cho T(u)(t) = u
t
(t) +A(u(t)), t[0, 1].
F : X → x
u→ F(u) sao cho F(u)(t) = f(u(t)), t  [0, 1].
- Bổ đề : Với giả thiết (1), (2), các tính chất sau là đúng :
i. T là toán tử tuyến tính liên tục và khả nghịch. T
-1
là toán tử tuyến tính liên
tục. ii. Toán tử F là toán tử compact. iii.Toán tử T
-1
F là toán tử compact.
Chứng minh ii. Rõ ràng F liên tục. Điều này có đƣợc do f, u liên tục. Khi đó nếu
u
→
u 0 thì
t
[0,l], u(t)
→
u
0

Do B bị chặn nên C' > 0 :||u||<c'

uB => |u(t)|<c

uB, t[0, l] , suy ra
u(t)  (0,C), t[0, 1], uB,
ở đây (0, C') là hình cầu đóng có tâm tại 0 và có bán kính C' trong không
gian Hinbe H. Nhƣ thế f(u(t))  f( (0,C')). Ta lại có f( (0,C')) là tập
compact tƣơng đối ƣơng H, do f hoàn toàn liên tục. Nên m>0 : |f(v)| < m,
v (0,C).
Do đó |F(u)(t)| < m, t [0,1], uB. Tóm lại F là toán tử compact.
6

- Ta chứng minn tập nghiệm của phƣơng trình :

bị chặn. Nghĩa là chứng minh có một số dƣơng không đổi M để mọi nghiệm
u(t) của phƣơng tình (3) đều thoả điều kiện : |u(t)| < M, T [0,1], Λ [0,1],
(4). Chứng minh nhƣ sau :
Nếu u(t), T[0,1] là nghiệm của (3) thì:
(u
t
, u) = - (Au, u) + (f(u), u) và u(0) = 0.
Từ đó, với các giả thiết (1),(2) và 0 ≤ λ ≤ 1, ta có :


0
)| > R, nên có s'
(0, t
0
) sao cho |u(s')| = R.
Suy ra tồn tại s  (0, t
0
) sao cho |u(t)| ≥ R, T [s, t
0
] và |u(s)| = R. Nhƣ thế,
V t [s, to], theo trên ta có :
7

Suy ra với mọi Ta nhận
đƣợc :

w(t
0
)< w(s) +4(1-β)b (t
0
- s) < w(s) +4(l-β)b.

Nên
Do đó (4) đúng.
Vậy (4) sẽ đúng ƣơng cả hai trƣờng hợp, nếu ta chọn
Do đó tồn tại tập mở và bị chặn D trong X sao cho u  D và u ∂D (ở đây ∂D là biên của D),
với mọi λ[0,1]. Suy ra mọi nghiệm của phƣơng trình (3) (nếu có), với mọi λ[0,1] đều chứa


Nhƣ thế u*(t) là nghiệm của phƣơng trình (I)'

trong đó f
*
: H→ H
X→ f
*
(x) = f(x+χ ) -A(χ ).

Ngƣợc lại, nếu u
*
(t) là nghiệm của (I)' thì u(t) = u*(t)+ χ sẽ là nghiệm của (I).
Rõ ràng, tập nghiệm của (I) khác rỗng, compact, liên thông khi và chỉ khi tập nghiệm của (I)
khác rỗng, compact, liên thông.
Ta có f* hoàn toàn liên tục vì f hoàn toàn liên tục. Mặt khác : x H,
|

f*(x)| ≤ |f(x+χ)||A(x)|≤

a +|A(χ)|+b|x+χ|
α
≤;
≤a +|A(χ)| + b ( | x | + |χ|)
α
< a *+bC| x |
α
,
với a* = >a+|


Trƣờng hợp 2. Với mọi λ [0,l], nếu có t
0
 [0,1] sao cho |u(t
0
)| > R thì (6) đúng. Thật vậy,
Vì |u(t)| liên tục trên [0,1], có một lân cận của t
0
sao cho |u(t)| ≥ R với mọi t thuộc vào lân
cận đó. Ta lại có |u(1)| = 0 và |u(t
0
)| > R nên có s'  (t
0
,l) sao cho |u(s')| = R. Nhƣng ta không
sử dụng đƣợc s' trong chứng minh ở đây, ta cần thêm giả thiết |u(0)|< E .
Nếu có s [0, t
0
) sao cho |u(s)| ≤ R thì nhƣ ở (4), ta có (6) đúng.
Nếu không nhƣ vậy thì t [0, to], ta có |u (t)| > R. Suy ra :

9

W(t
0
)< W(0)+4(1- β)b < 

+ 4(1- β)b

Nên

Do đó (6) đúng.

< 1) such that |f(x)| a+b

xH.
The main tools are the topological degree theory of compact vector field and
properties of the non-negative, self-adjoint operator.

10

TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM YẾU CỦA
MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG NỬA TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI
MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

Lê Hoàn Hóa
1
- Lê Thị Phƣơng Ngọc
2
1. Trƣờng ĐHSP Tp.HCM
2.Trƣờng CĐSP Nha Trang

Tóm tắt : Bài báo này chứng tỏ tập hợp các nghiệm yếu của phƣơng trình sóng thỏa điều
kiện đầu và điều kiện biên sau đây là khác rỗng, liên thông và compact trong đó U
0
, U
1

Bài toán này đã đƣợc Nguyễn Thành Long và Trần Minh Thuyết ([4]) nghiên cứu. Một trong
những kết quả mà hai tác giả nghiên cứu đƣợc là chứng minh sự tồn tại và sự tồn tại duy nhất
nghiệm yếu của bài toán trên với các điều kiện tƣơng ứng. Sử dụng kết quả này và lý thuyết
bậc tôpô của trƣờng vectơ compact kết hợp với việc vận dụng định lý Krassnosel'skii-Perov
(xem [2], [3]) và sự xấp xỉ Lipschitz

11

địa phƣơng của hàm f (xem [1], [2], [3]), trong mục 3 chúng tôi chứng minh tập hợp các
nghiệm yếu tìm đƣợc theo phƣơng pháp xấp xỉ Galerkin ([4]) của bài toán nói trên khác rỗng,
compact và liên thông.
2. Các định lý :
Chúng tôi nhắc lại các định lý quan trọng ở đây để sử dụng cho chứng minh ở mục 3.
Định lý 1 : (Định lý Krassnoserskii-Perov)
Cho (E,|.|) là không gian Banach, D là tập con mở và bị chặn của E và T:
là toán tử compact. Giả sử 0 (I-T) δD
và deg (I-T,D,0) ≠ 0

Giả sử T thoả
thêm điều kiện:
Với mọi ε >0có toán tử compact T
ε
sao cho | T
ε
(x)-T(x)|< ε ( * ) x  

và với mỗi h
(*) mà|h|< ε phƣơng trình x= T
ε
(x)+h có nhiều nhất

và trên V, và là hai chuẩn tƣơng đƣơng.

-Các giả thiết :(A
1
) u
0
H
1
, u
1
 L
2
;
(A
2
) g  H 1 ( 0 , T ) , T > 0 ;
(A
3
) k  H
1
(0, T), T>0 và k(0) = 0;

12

(A4) Hàm H  C
1
(R) thoa H(0) = 0 và có một số không đổi h
0
> 0
sao cho

∞
(0, T; L
2
), u
t
(0,t)  L
2
(0,T), P(t)H
1
(o, T).
Hơn nữa, nếu β = 1 trong (F
3
) và hàm H, B
2
thỏa thêm điều kiện
(A
5
) H  C
2
(R), H'(s) > - 1, sR;
(F
4
) B
2
(|v|)  L2(Q
t
), với mọi   L
2
(Q
T

,(Uc)
2
, (Uc)
m
), (chỉ số m đƣợc lƣợc bỏ trong thành phần
thứ j, 1 ≤ j ≤m )

(2.5) (Uc)
j
(t)= G
j
(t) +










13 ||G||
1*
=||G||
0 *
+||G’||

(Q
t
)
u’
m
→u’ trong L
∞
(0,T;L
2
) yếu *,
u
m
(0,t) → u (0,t) trong L
∞
(0,T) yếu* , u
m
(0,t) → u (0,t) mạnh trong C
0
([0,T]),
u’
m
(0,t) → u’ (0,t) trong L
2
(0,T) yếu,
P
m
→P^ trong H
1
(0,T) yếu , P ≡ P^h.k.n trong Q
t

hợp các nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1.1)-(1.5) sao cho :
u  L
∞
(0, T; V), u
t
 L
∞
(0, T; L ), u
t
(0, t)  L
2
(0,T), P(t) H
1
(0, T), tìm đƣợc theo
phƣơng pháp trên khác rỗng, compact và liên thông (với cách chọn phù hợp).
Chứng minh : Ta chứng minh lần lƣợt theo các bƣớc sau :
Bƣớc 1 : Tập các điểm bất động c của toán tử U : s →Y là tập khác rỗng,
compact, liên thông.

Ở đây

là bao đóng của tập con lồi, mở và bị chặn : với M > 0 sẽ đƣợc chọn thích hợp dƣới đây.
Chứng minh : Ta có f:(u, .)  R
2
→ f(u, .)  R liên tục nên ε > 0, có ánh xạ
f
ε


( xác định nhƣ ở (2
15

Đặt, (giá trị này

hoàn toàn xác định do f
ε
liên tục trên R
2
), -Xét họ toán tử
viết gọn là xác định nhƣ sau :
xác định nhƣ ở
(2.6), (2.7)
Đặt
Chọn và SAO cho :
kết hợp (3.1), ta có

Suy ra : và nếu μ đủ lớn. Nhƣ thế

- Bây giờ ta chứng minh với mỗi h mà||h||
1
< ε , phƣơng trình (3.9) : c = U
ε
c + h có nhiều
nhất một nghiệm trên Thật vậy :
. Giả sử c = (c
1
, c
2
, ,c
m
), d = (d
1

.
Đặt b = max {a € [0, T] : u
1
(t) = u
2
(t), t [0, a]}. Ta chứng minh b = T.
Giả sử 0 < b < T.
Ta có ánh xạ f
ε
(u, .): R
2
→R có tính chất Lipschitz địa phƣơng nên với u
1
(b) =
u
2
(b)
 R, tồn tại một lân cận B của u
1
(b) có bán kính r > 0 và số L> 0 sao cho : Ta lại có u
1
(t) , u
2
(t) liên tục trên [0, T] nên liên tục tại b. Do đó, với số r >0 ở trên, tồn tại số
δ > 0 sao cho u
1
(t), u

Suy ra u
1
=u
2
trên [0,T]
• Giả sử là hai nghiệm của (3.9) với Khi
đó
là

hai nghiệm của hệ phƣơng trình (2.1')-(2.3
f
) :

 (hội tụ mạnh) trong H
1

(hội tụ mạnh) ƣơng

Ớ đây có tính chất

Do h thuộc s nên hàm có các tính chất

nhƣ g(t). Từ đó cũng có các tính chất TƢƠNG tự
Vì vậy, tƣơng tự trên ta có : , Suy ra đpcm.
- Cuối cùng ta chỉ ra deg (I-U, D, 0) 0, (3.10).
Ta có họ toán tử compact : [0,1] X thỏa điều kiện (3.7) : 0
, nên theo tính bất biến đồng luân, ta có: deg(I - s, 0) không phụ thuộc

Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng mỗi nghiệm (u
m
, p
m
) với nghiệm
yếu (u, P) là ánh xạ liên tục .
Định lý hoàn toàn đƣợc chứng minh.

Tài liệu tham khảo :
[1] L. H. Hóa - V. T. T. Nhiều - N. T. Phƣơng, The connectivity and
compactness of solution sets. Hội nghị Toán học toàn quốc, Huế, 7 -
10/09/2002. Chƣơng trình và tóm tắt các báo cáo, 82 - 83.
[2] L. H. Hóa - L. T. P. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập
hợp nghiệm. Hội nghị Khoa học Toán-Tin học, ĐHSP Tp. HCM, tháng
12/2002.
[3] L. H. Hóa - L. T. p. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập
hợp nghiệm của bài toán tiến hóa.(Đang chuẩn bị gởi đăng ở Tạp chí khoa
học của Trƣờng ĐHSP Tp HCM.)
[4] Nguyen Thanh Long - Tran Minh Thuyet, A semilinear wave
equation associated vith a nonlinear integral equation, Demonstratio
Mathematica, Vol.XXXVI, No 4, 2003.

Abstract : The paper proves that for the following semilinear wave
equation with the initial-boundary, the set of weak solutions is nonempty,
compact and connected :
where U
0

Le Hoan Hoa
a
, Le Thi Phuong Ngoc
b,(1)
° Department of Mathematics, Ho Chi Minh City University of Education,
280 An Duong Vuong Sir Dist. 5. Ho Chi Minh City, Viet Nam
h
Nhatrang Educational College, 01 Nguyen Chanh Str., Nha Trang City, Viet Nam

Abstract : The paper shows that the solution sets of the following equations (in three forms:
integral equation, differential equation, partial differential equation) are nonempty, connected
and compact. The main tool is the topological degree theory of compact vector fields with
applying the theorem of Krasnosel'skii-Perov and locally Lipschitz approximation of a
continuous mapping.

1. Introduction.
Besides the existence problem for solution, the number of solutions or the structure of
the solution set for many equations such as differential equations, integral equations, partial
differential equations, have been considered by many mathematicians. The matter is of
particular importance in many nonlinear problems, for example the theory of waves, auto -
oscillations, or forms of loss of stability in elastic sy stems. Many authors have considered
the connectivity property of the solution set. A paradigmatic application is the following
theorem : if a mixed boundary value problem for a quasilinear parabolic equation has two
different solutions, then there must be a continuum of solutions.
According to [7], the first theorem stating that the solution funnel has connected
sections was stated by A. Kneser (*). Connectedness of the solution set was first established
by M. Fukuhara(*). These theorems have been extended by various authors to more general
classes of differential equations. There are three generalizations which are particularly
important. E.E. Viktorovskii(*) treated the case of equations with mutivalued right hand side,
V.A. Cecik(*) dealt with the singular Cauchy problem, and A.D. Myskis (*) with equation
where u
0
, u
1
. f are given functions. the unknovvn function u (x,t) and the unknown
boundary value P(t) satisfy the follovving nonlinear integral equation

are given functions.

The solution existence of the equations (I)-(VI) was established in ([5], [6], [8]. [9].
[10]). On the basis of the results of these papers and the topological degree theory of
compact vector field with applying Krasnosel'skii-Perov"s theorem and locally
Lipschitz approximation of a continuous mapping, we prove that the solution sets of
the above equations are nonempty.compact and connected.
The paper consists of six sections. In section 2, we recall the fixed point
theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space, the theorem of Krasnosel'skii-Perov
on the connectiviry and compactness of fixed points set of a completely continuous
operator T:
w
here D is a bounded open subset of the real Banach space E, and the
theorem on the locally Lipschitz approximation. In section 3. we present the content of the
main theorems on the connectiviry and compactness of the solution seis (or weak solution
set) of the equations (I)-(VI). These theorems will be proved in sections 4. 5 and 6.
2. The theorems.
The fixed point theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space.
Condition (A). ([5], [6]).
Let X be a locally convex topological vector space and let P be a
separating family of seminorms on X. Let D be a subset of X and let U :

ε , where Α
3
P
(x,y) = max {p(U
a
i
(x) - U
a
j
(y)), i, j = 0, 1,2, k
a
}, N={ 1, 2, 3, } and

Remark 1. ([5]) Let X be a locally convex space with a separating family of seminorms P.
Let D be 2 sequentially complete subset of X. Let U be a unifonmly continuous operator on
D and U satisfies condition (A) on a subset Ω of X. Then the operator (I-U)
-1
is well defined
and continuous on Ω . Furthermore, if δ in condition (A) can be chosen independent of a
Ω then the operator (I-U)
-1
is uniformly continuous in Ω .

Theorem 2.1. (The fixed point theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space, [5])
Let X be a sequentially complete locally convex space with a separating family of
seminorms p. Let U and C be operators on X such that (i) U satisfies condition (A) on X.
(ii) For any p P , there exists k > 0 (dependins on p) such that
y X,
(iii)There exists X
0

3p
- 2βp(x
0
) > R'
3p
> R
3p
> 2βp(x
0
)
+ βR
2p
,
then D is a bound open convex subset of X,



p={x X /p(x-x
0
) ≤R'
3p
} and 

= ∩
p

p


p

t
: D→ F that is locally Lipschitz such that for
all
x D and f
c
(D) c cof(D), where cof(D) is the convex hull off(D).

3, The main results.

Let E be a real Banach space with norm |.| and let r > 0 be given. Let C = C([-r, 0], E)
be the Banach space of all continuous functions on [-r, 0] to E with the usual norm. For each
continuous function x: R→ E and for t > 0, we let x
1
 C be defined by x
t
() =x(t+),[-
r,0]
Let E) be the Frechet space of all continuous functions on [0, oo) to E with the
family of seminomas for each n e N and the metric

Consider the integral equation :

Where f, g satisfy the conditions as follows :
(1.1) f: (0, ∞) ∞ E → E is continuous with the prorerty : for each n  N, 3 k
n
> 0 such that
|f(t,x) – f(t,y)|  k










(III)





 



 
















 uniformly

with respect to t in each bounded set of [0, ).
We have the following theorems.
5

Theorem 3.1. Suppose that f and g satisfy (1.1), (1.2), (1.3) respectively. Then the solution
set of equation (I) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected.
Theorem 3.2. Suppose that f and g satisfy (I1.4),(III.6) respectively. Then the solution set of
equation (II) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected.
Theorem 3.3. Suppose that f and g satisfy (III.5), (III.6) respectively. Then the solution set of
equation (III) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected.

Remark 4. Here, the equations (I), (II), and (III) are only considered on the domains which
are chosen as follows (see the following proofs of these theorems).

Let H be Hilbert space with |.| denotes the norm in H . We consider the following equations :
(IV)



 




Theorem 3.5. Suppose that A and f satisfy (IV.1), (IV.2), respectively. Suppose in addition
that if u(t) is a solution of the equation (IV)



 













 then
|u(0)|< E,
where E is some known positive constant.
Then the solution set of the equation (V) is nonempty, compact and connected.
Remark 5. It is known that, the restriction |u(0)|< E is acceptable because of a physical
reasonning, (see [8], [11]).
Let Ω= (0, I), Q
T
= Ω x (0, T), T > 0, L
p
= L

(0,T;X)=(













, if 1 p  ∞

and ||u||L
∞
(0,T;X) =ess


||u(t)||
x

,
if p= ∞