BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Trọng

TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH
PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN
LOẠI HYPERBOLIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Trọng

TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI
HYPERBOLIC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Lê Hoàn Hóa

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


1.1.Giới thiệu bài toán. .....................................................................................................13
T
1

T
1

1.2. Một số khái niệm và mệnh đề quan trọng. ..............................................................16
T
1

T
1

1.3. Tính khác rỗng của tập nghiệm................................................................................33
T
1

T
1

CHƯƠNG 2. TÍNH
T
1

T
1

Rδ



T
1

2.2.2.Giới hạn ngược ......................................................................................................36
T
1

T
1

2.3. Tính Rδ của tập nghiệm .............................................................................................36
T
1

T
1

T
1

T
1

CHƯƠNG 3. TÍNH CONTINUUM CỦA TẬP NGHIỆM .................................... 56
T
1

T
1


TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 71
T
1

T
1


BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG


Tập hợp các số tự nhiên {1, 2,...}

+

Tập hợp   {0}

σ

Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn σ



Tập hợp các số thực



Tập hợp các số thực không âm


( E, • )

Không gian Banach E với chuẩn •

•

Chuẩn trên không gian Banach X

α∈I

X

{ • n }n

X*

Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X

C ( Ω, E )

Không gian các hàm liên tục u : Ω → E

C1 ( Ω, E )

Không gian các hàm khả vi liên tục u : Ω → E

Cr

Không gian các hàm liên tục u : [ − r ,0] → E



f g

Hợp thành của hai ánh xạ f và g

D ⊂ E, i : D → E

Ánh xạ nhúng định bởi i ( u ) = u

I : X → X ,IX : X → X

Ánh xạ đồng nhất trên X

B ( x, r )

Quả cầu mở tâm x bán kính r

B ( x, r )

Quả cầu đóng tâm x bán kính r

deg ( f , D, p )

Bậc tôpô của trường compact f trên tập D tại p .

■

Kết thúc chứng minh



T
0

S

trong trường hợp
T3
0

T3
0

T3
0

T
0

T
0

T
0

T
0

của bài toán Cauchy. Một điểm đáng lưu ý là chính Peano đã chỉ ra rằng,
T3
0


T3
0

là continuum ngay cả khi thay



n

bằng không gian Banach

thực tùy ý. Do đó tính chất continuum còn được gọi là tính chất Hukuhara-Kneser.
Một tính chất đặc biệt hơn của
T
0

S

được tìm thấy năm 1942 bởi Aronszajn. Trong [1]

Aronszajn đã cải thiện kết quả của Kneser bằng cách chứng minh tập nghiệm
T
0

T
0

T
0

nghĩa nó có cùng các nhóm đồng điều giống như không gian một điểm. Do đó, một số tác
giả gọi tính chất Rδ là tính chất Aronszajn.


Cũng theo hướng nghiên cứu về cấu trúc tập nghiệm, năm 1986 trong bài báo [2]
T
0

F.S.De Blasi và J.Myjak chứng minh được tính Rδ của tập nghiệm bài toán Darboux

 z xy = f ( x, y, z )

=
( x ) ; z ( 0, y ) ψ ( y )

 z ( x,0 ) φ=

với I = [ 0,1] ; φ ,ψ : I →  d là các hàm liên tục tuyệt đối cho trước thỏa φ ( 0 ) = ψ ( 0 ) và ánh
T
0

d
xạ f : Q × 
→ d (trong đó

( i ) f (.,., z )

Q= I × I )

đo được với mọi

Gần đây, năm 2005 trong [10] A.Dutkiewicz và S.Szufla xem xét phương trình tích

phân
t

x ( t ) = ∫ K ( t , s ) f ( s, x ( s ) )ds

( *)

0

với các giả thiết sau:
T
0

Giả sử D = [ 0, a ] là một đoạn compact của
T
0



, ( E, •

) là không gian Banach đầy đủ

yếu theo dãy và B =
{ x ∈ E : x ≤ b} .
Ta xét họ B
T
0

0

(i )

f : D× B → E

( ii ) K ( t , s ) =

liên tục yếu và thỏa f ( t , x ) ≤ M với mọi ( t , x ) ∈ D × B ;

H (t, s )

( t − s )r

, trong đó

0 < r
β ( f ( J × X ) ) ≤ g ( β ( X ) ) với mọi

(δ

>0

cho

trước)

sao

cho

X ⊂ B.

Hai tác giả gọi nghiệm yếu của phương trình tích phân (*) là hàm liên tục yếu
T
0

t

x:J → B

thỏa x ( t ) = ∫ K ( t , s ) f ( s, x ( s ) )ds . Khi đó, A.Dutkiewicz và S.Szufla chứng minh
0

được tập nghiệm yếu của phương trình tích phân (*) là continuum trên không gian các hàm
liên tục yếu Cw ( J , E ) .
Một số kết quả về tính chất tập nghiệm có thể tìm thấy trong các tài liệu [1]-[7], [10],

0

T
0

T
0

T
0

T
0

sẽ dẫn đến những kết quả tương ứng cho tập nghiệm của một phương trình. Lý do cho nhận
T
0

xét này là việc tìm nghiệm của một phương trình trên một không gian vectơ luôn có thể quy
về việc tìm điểm bất động của một toán tử thích hợp. Chẳng hạn nếu

X

vectơ, f là một toán tử trên

thì x0 là nghiệm của

X

và

0

có dạng tổng của một ánh xạ co

U

và một ánh xạ hoàn toàn liên tục C . Kết quả này đã thúc

đẩy quá trình nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các loại phương trình vi tích phân mà
nghiệm của phương trình đó là điểm bất động của một toán tử thỏa các điều kiện của Định
lý Krasnosel’skii.
Nhiều tác giả tìm cách mở rộng Định lý này bằng cách thay đổi “kiểu co” của toán
T
0

tử co

U

sao cho

U

vẫn có điểm bất động duy nhất. Mỗi lần như vậy, các tác giả trên lại kết

hợp với toán tử hoàn toàn liên tục

C

để từ đó mở rộng Định lý điểm bất động Krasnosel’skii

F

thật sự có ý nghĩa.

Lý do ở đây là vì thông thường các kết quả về tính continuum và tính Rδ của tập điểm bất
động toán tử

F

đòi hỏi

F

phải là ánh xạ compact. Nhưng bằng cách hạn chế

thì ta chỉ cần tính hoàn toàn liên tục của

F

F

trên tập

M

để thu được tính continuum và tính Rδ của tập

điểm bất động.
Xuất phát từ ý tưởng chính đó, trong luận văn chúng tôi tiến hành nghiên cứu cấu
T


để lần lượt thu được


t

) A ( t ) u ( t ) + L ( t )  t u + V ( t , u ( t ) ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  su ) ds + k ( t ), t ≥ 0.
u′ ( t =

0

 0u= ϕ ∈ Cr .

Trong luận văn này chúng tôi mở rộng kết quả của [20]. Bằng cách thay tính hoàn
T
0

toàn liên tục bằng một tính chất nhẹ hơn - tính chất L1 − Caratheodory , chúng tôi không chỉ
thu được tính khác rỗng mà còn thu được cả tính continuum của tập nghiệm.
Kết cấu luận văn bao gồm phần mở đầu và bốn chương.
T
0

Chương 1. Tính khác rỗng của tập nghiệm.
T
0

Chương 2. Tính Rδ của tập nghiệm.
T
0

0

tập Rδ , hệ ngược, giới hạn ngược và một số tính chất liên quan.
Chúng tôi cũng đưa ra một nhận xét được trích dẫn trong [28] về việc một tập Rδ thì
T
0

acyclic và continuum nhưng một tập continuum có thể không là Rδ . Điều đó cho thấy tính
Rδ phân biệt và thật sự mạnh hơn tính continuum.

Sử dụng một kết quả của Gabor chúng tôi đưa ra một hệ quả về tính Rδ của tập điểm
T
0

bất động – Hệ quả 2.3.2. Hệ quả này giúp ta khẳng định nếu một toán tử

T

tục xác định trên tập con bị chặn khác rỗng của một không gian Banach và
thiết của hệ quả thì tập điểm bất động của

T

hoàn toàn liên
T

thỏa các giả

là Rδ .



M

đẳng cự với giới hạn ngược lim← M n .

Mặt khác, trong [12] Gabor đã chứng minh tính Rδ của lim← M n khi tất cả M n là Rδ .
Do đó để chứng minh lim← M n là Rδ chúng tôi tìm cách chứng minh M n là Rδ . Kết hợp với
sự kiện tính Rδ là một bất biến tôpô ta thấy

M

cũng là Rδ .

Trong Định lý 2.3.13, chúng tôi đã áp dụng kỹ thuật này vào việc chứng minh tính Rδ
T
0

của tập nghiệm phương trình (T ) . Đây là định lý quan trọng của luận văn và đã được công
bố trong [21].
Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu tính chất yếu hơn – tính continuum của tập
nghiệm. Để thu được tính continuum chúng tôi đã giảm được đòi hỏi hoàn toàn liên tục trên
f

mà chỉ cần

f

là L1 − Caratheodory .

Để đạt mục đích, từ Định lý Krasnosel’ski-Perov chúng tôi đưa ra một định lý về tính

các tác giả có tài liệu được chúng tôi trích dẫn trong luận văn.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Lê Hoàn Hóa.
T
0

Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy phản biện đã đọc kỹ luận văn và giúp tác giả
T
0

nhiều ý kiến quý báu.
Tác giả cũng xin cảm ơn các Thầy Cô ở Khoa Toán Trường Đại Học Sư phạm TP Hồ
T
0

Chí Minh, Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã động viên
giúp đỡ, tạo mọi thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân đến gia đình và bạn bè - những người đã luôn ở
T
0

bên quan tâm và động viên tác giả. Sự giúp đỡ của họ đã góp phần không nhỏ vào việc hoàn
T
0

thành luận văn này.

TP.Hồ Chí Minh – Mùa hè 2011

Nguyễn Ngọc Trọng

t0


u ( t0 ) = u0

Các loại phương trình trên phát sinh một cách tự nhiên trong việc nghiên cứu sự đàn
T
0

hồi của các vật rắn. Trong luận văn này chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình vi
tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có cả sự xuất hiện đối số lệch.

1.1.Giới thiệu bài toán.
Cho

r > 0.

Đặt  =
+

Ta ký hiệu • là chuẩn của không gian Banach E .

∆ {( t , s ) ∈ 
[0, ∞ ) và=
+ × + : s ≤ t } , ∆ n =∆  [ 0, n ]

2

với




Đặt X = C (  + , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ 
Đặt F= E × Cr với chuẩn

( x, y )=

x + y 0 và

Η=

 ×F

+

vào E .

( t , x ) Η=

với chuẩn

t+ x.

Ta ký hiệu • L( E , E ) ; • L( C , E ) lần lượt là chuẩn trên không gian các ánh xạ tuyến tính
r
liên tục L ( E , E ) và L ( Cr , E ) .
Ta thấy

là tập đóng nên ∆ n =∆  [ 0, n ] là tập đóng chứa trong tập compact [ 0,n ] .
2

gọi là hoàn toàn liên tục nếu với mọi tập con bị chặn

ta có T ( A) là tập

A

của

Y

ta đều có T −1 ( M ) là tập

D

compact tương đối.
T
0

T

gọi là compact nếu T ( D ) là tập compact tương đối.

T
0

T

gọi là ánh xạ riêng nếu với mọi tập con compact

con compact của

là tập con bị chặn của

X

định bởi i ( x ) = x . Khi đó

và

i −T

T

compact.

T :D→ X

hoàn toàn liên tục. Xét ánh xạ

là ánh xạ riêng.

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu phương trình vi tích phân Volterra đối số
lệch phi tuyến loại Hyperbolic
t

) A ( t ) u ( t ) + L ( t )  t u + V ( t , u ( t ) ,  t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  su ) ds + k ( t ), t ≥ 0. trong
u′ ( t =
(T )

0


V ( t , x ) − V ( t , y ) ≤ ω ( t ) x − y với mọi x, y ∈ F và t ∈  + .

(T .3)

f :∆× F → E

là hàm

(T .3.1) Với mọi

(

hC ∈ L1 [ 0, n ]

2

L1 − Caratheodory,

nghĩa là

hàm τ  f (τ , x ) Borel đo được;

x∈F

(T .3.2 ) Với hầu hết τ ∈ ∆

hàm x  f (τ , x ) liên tục;

(T .3.3) Với



(T .4 )

lim

f ( t , s, x )

x →∞

x

hoàn toàn liên tục.
= 0 đều theo ( t , s ) trên mỗi tập con bị chặn bất kỳ của ∆ .

Định nghĩa 1.1.3
T
0

u : [ − r , ∞ ) → E là nghiệm của phương trình (T ) nếu u 0,∞ ) ∈ C1 ([ 0, ∞ ) , E ) và u
[

thỏa phương trình (T ) , ở đây C1 ([ 0, ∞ ) , E ) là không gian các hàm khả vi liên tục
u : [ 0, ∞ ) → E .

Chú ý 1.1.4

( i ) Ta thấy rằng nếu
Thật vậy, do

f


KC =

) và

(

)

là tập compact (ở đây

(

)

và

f ∆ n × BF ( 0, C )
f ∆ n × BF ( 0, C )

hC ( t , s ) = 1 với mọi

f ( t , s, x ) ∈ hC ( t , s ) K C với mọi ( t , s ) ∈ ∆ n và

x∈F


( ii ) Bây
(T .3) , (T .4 ) và
Xét

thỏa mãn. Ta thấy (T .3.2 ) và (T .4 ) cũng thỏa.

Hơn nữa f ( t , s, x ) ∈ h ( t , s ) .{1} với mọi ( t , s, x ) ∈ ∆ × F nên (T .3.3) cũng thỏa.
Vì

f

không liên tục nên cũng không hoàn toàn liên tục. Do đó

f

( )

không thỏa T.3 .

■

1.2. Một số khái niệm và mệnh đề quan trọng.
Đặt g :  + × Cr → E định bởi
g ( t , u=
) A(t ) u ( 0) + L (t ) u + V (t, u ( 0) , u ) + k (t ) .

Ta chú ý rằng  t u ( 0 ) = u ( t ) nên với mọi u ∈ C ([ − r , ∞ ) , E ) ta có
A(t ) u (t ) + L (t ) tu + V (t, u (t ) , tu ) + k (t ) =
g (t,  tu ) .

Với σ

≥0


{ • n }n∈ σ .
C ([ −r ,σ ] , E ) là không gian Banach các hàm liên tục u : [ −r ,σ ] → E với
Đặt C=
σ
chuẩn
=
u σ sup { u ( t ) : t ∈ [ − r , σ ]} .


Với mỗi n ∈  σ ta đặt Yn = C ([σ , n ] , E ) là không gian Banach các hàm liên tục

{

}

u n sup u ( t ) : t ∈ [σ , n ] .
=
u : [σ , n ] → E với chuẩn

Đặt Y = C (  σ , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ  σ vào
chuẩn đếm được

bởi: u n
{ • n }n∈ σ định=

Ta thấy=
metric d ( x, y )

∑


, C0 C=
, Yn X n .
+=
r ,Y
0

Lấy ϕ ∈ Cσ . Ta xét phương trình (Tσ )
t

′
g ( t ,  t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) ,  s u ) ds
u ( t ) =

0

u ( t ) ϕ ( t )

, t ≥ σ.

(Tσ )

Ta

, t ∈ [ − r , σ ].

thấy phương trình (T ) chính là phương trình (T0 ) .
Với

u ∈Y



t
t s


=
+
,
u
t
g
s
u
ds


 ∫ f ( s,τ , u (τ ) , τ u ) dτ  ds + ϕ (σ )
(
)
(
)
s

∫
∫



σ
σ0


là tập điểm bất động của

Đặt

Σ

Khi

u ∈Σ

và

S

t ≥σ

.

là tập nghiệm phương trình (Tσ ) .

u ( t )
thì u (σ ) = ϕ (σ ) nên u ( t ) = 
ϕ ( t )

Định lý 1.2.2
T
0

V +G


( iii )  t ( x ) −  t ( y ) 0 ≤ 2
( iv )  t ( x ) 0 ≤ 2

x

n

n

với mọi t ∈ [ − r , n ].

x − y n với mọi t ∈ [ 0, n ]

+ ϕ σ với mọi t ∈ [ 0, n ]

Chứng minh
 x ( s ) + ϕ (σ ) − x (σ ) , s ≥ σ

( i ) Ta có x ( s ) = 


ϕ ( s )

, s ∈ [ −r ,σ ]

Nếu s ∈ [ − r , σ ] thì x ( s ) ≤ ϕ ( s ) ≤ ϕ σ ≤ 2 x n + ϕ σ .
Nếu s ∈ [σ , n ] thì x ( s ) ≤ x ( s ) + x (σ ) + ϕ (σ ) ≤ 2 x n + ϕ σ .
Vậy x ≤ 2 x n + ϕ σ .
n

Do đó  t ( x ) −  t ( y ) ≤ 2 x − y
0

( iv )

n

n

với mọi θ ∈ [ −r ,0] , t ∈ [ 0, n ] .

với mọi t ∈ [ 0, n ] .


 x ( s ) + ϕ (σ ) − x (σ ) , s ≥ σ
Ta có x ( s ) = 
, s ∈ [ −r ,σ ]

ϕ ( s )

Nếu t + θ ∈ [ − r , σ ] thì x ( t + θ ) = ϕ ( t + θ ) ≤ ϕ σ ≤ 2 x n + ϕ σ .
Nếu t + θ ∈ [σ , n ] thì x ( t + θ ) ≤ x ( t + θ ) + x (σ ) + ϕ (σ ) ≤ 2 x n + ϕ σ .
Vậy  t ( x ) (θ ) ≤ 2 x n + ϕ σ với mọi θ ∈ [ − r , 0] và t ∈ [ 0, n ] .
Do đó  t ( x ) ≤ 2 x n + ϕ σ với mọi t ∈ [ 0, n ] .

■

0

Định lý 1.2.3


 ε
nên tồn tại δ ∈  0,  sao cho
 8

ε với mọi t , t ∈ − r , m thỏa mãn t − t < δ .
]
1 2 [
1
2
8


Vì lim tn = t , lim u ( tn ) = u ( t ) và lim un = u nên tồn tại n0 ∈  sao cho với mọi
n→∞

n→∞

n→∞

n ≥ n0 ta có

ε
( i ) tn − t < δ < .
8

( ii ) u ( tn ) − u ( t )

0

8

Khi đó ta có

( )

( )0

ζ ( t n , u n ) − ζ ( t , u ) Η = t n − t + u n ( t n ) − u ( t ) +  tn u n −  t u
≤ tn − t + un ( tn ) − u ( tn ) + u ( tn ) − u ( t )

( )

( ) 0 + t (u ) − t (u ) 0

+  tn u n −  tn u
≤ tn − t + 2 un − u
+ 2 un − u

m

m

n

+ u ( tn ) − u ( t )

()


( ) 0 ≤ t + u n + t (u ) 0 ≤ t + 4 u n + 2 ϕ σ .

= t + u (t ) + t u

Định lý 1.2.4
Khi

Σ≠∅

ta đặt φ : Σ → S định bởi φ ( u ) = u . Khi đó φ là phép đẳng cự.

Chứng minh

■


Lấy

u ∈Σ .

Khi đó V ( u )( t ) + G ( u )( t ) =
u ( t ) với t ≥ σ , nghĩa là

s

+


τ

Do

u ∈Σ

(

( ))

(

t

nên u ( t ) = u ( t ) với mọi

t ≥σ

( ))

. Vậy với

t ≥σ

ta có

s

+


u (t ) =


t

( ))

t

(

( ))

Ta luôn có u ( t ) = ϕ ( t ) với mọi t ∈ [ − r , σ ] nên điều trên tương đương với u ∈ S . Vậy
φ là ánh xạ.

Lấy

y∈S .

Khi đó

t
t s


=
+
,
y
t
g

.

Ta lại có u=
( t ) ϕ=
( t ) y ( t ) với mọi t ∈ [ −r ,σ ] nên u = y .
Do vậy với mọi

t ≥σ

ta có

t
ts

+
,
u (t ) =
g
s
u
ds

s
∫
∫  ∫ f s,τ , u (τ ) , τ u dτ  ds + ϕ (σ ) .
σ
σ0


(


t ≥σ

. Do đó

x = y.

t ≥σ

t ≥σ

.

.

Ta suy ra φ là đơn ánh.

ta có x=
(σ ) y=
(σ ) ϕ (σ ) . Do đó ta có

x ( s) − y ( s) , s ≥ σ
x(s) − y (s) =

, s ∈ [ −r ,σ ]

0


Với s ∈ [σ , n ] ta có x ( s ) − y ( s =

với mọi n ∈  σ .

n

ta có

( ) ∑
n∈

ρ (φ ( x ) ,=
φ ( y ) ) ρ=
x, y

{

2− n.min 1, x − y

σ

∑

=

n∈ σ

{

n

}


Vì t  A ( t ) , t  L ( t ) liên tục nên lim A ( tn ) = A ( t ) và lim L ( tn ) = L ( t ) .
n→∞

n∈

Do vậy tồn tại

M >0

lim xn = x

nên

sao cho

A ( tn )

n→∞

L( E , E )

≤ M và

L ( tn )

Do

và




g ( tn , xn ) − g ( t ,=
x)

A ( tn ) xn ( 0 ) − A ( t ) x ( 0 ) + L ( tn ) xn − L ( t ) x
+V ( tn , xn ( 0 ) , xn ) − V ( t , x ( 0 ) , x ) + k ( tn ) − k ( t )

≤ A ( tn )

L( E , E )

+ L ( tn )

. xn ( 0 ) − x ( 0 ) + A ( tn ) − A ( t )

L ( Cr , E )

. xn − x 0 + L ( tn ) − L ( t )

L( E , E )

L ( Cr , E )

. x (0)

. x0

+ V ( tn , xn ( 0 ) , xn ) − V ( t , x ( 0 ) , x ) + k ( tn ) − k ( t )
≤ M xn ( 0 ) − x ( 0 ) + A ( tn ) − A ( t )

t∈[ 0,n ]

Với mọi x, y ∈ Cr và t ∈ [ 0, n ] ta có
A ( t ) ( x ( 0 ) − y ( 0 ) ) + L ( t )( x − y ) + V ( t , x ( 0 ) , x ) − V ( t , y ( 0 ) , y )

g ( t , x ) − g=
(t, y )

≤ A(t )

L( E , E )

. x ( 0) − y ( 0) + L (t )

(

L ( Cr , E )

. x− y0

)

■

là họ nửa chuẩn tách trên

+ ω ( t ) x ( 0 ) − y ( 0 ) + x − y 0 ≤ cn x − y 0 .

Định nghĩa 1.2.6 ([17])
Cho

Toán tử

U :D→ X

gọi là co theo điều kiện ( A ) trên tập con

Ω

của

X

nếu

( A.1) Với bất kỳ a ∈ Ω ta có U a ( D ) ⊂ D ;
( A.2 ) Với bất kỳ
ε > 0,

(

tồn tại

r ∈

a∈Ω

và

và δ



là không gian lồi địa phương với họ nửa chuẩn tách F

X

đầy đủ theo dãy của
Cho

X

.

là toán tử liên tục đều trên

U

, D là tập con

D

(tức là với p ∈ F

và ε

> 0,

tồn tại δ

>0


( x=) ( I − U ) ( a )
( I − U )−1 ( a ) và
với mọi x ∈ D .
( ii ) Nếu trong điều kiện ( A) , δ được chọn độc lập với a ∈ Ω thì với các giả thiết của Mệnh đề

điểm bất động trên

1.2.7 ta có ( I − U )

lim U an
n→∞

D

là

−1

liên tục đều trên

Ω.

Mệnh đề 1.2.9 ([17])
Cho
tách trên

X

X


( B.3) Tồn

tại x0 ∈ X thỏa tính chất: Với bất kỳ

(

p ∈F

, tồn tại

r ∈

và

)

λ ∈ [ 0,1) ( r và λ phụ thuộc p ) sao cho p U xr0 ( x ) − U xr0 ( y ) ≤ λ p ( x − y ) với mọi x, y ∈ X ;

( B.4 ) C

hoàn toàn liên tục và

p ( C ( A ) ) < ∞ với

đó p ( A ) sup { p ( x ) : x ∈ A} ;
=

( B.5) p lim
x →∞



 2 ( n − σ ) cn 
≤
j!

j

x− y

n

với mọi j ∈  .

Từ đó V thỏa các điều kiện ( B.1) − ( B.3) của Mệnh đề 1.2.9.
Chứng minh
Đầu tiên ta chứng minh

 2 ( t − σ ) cn 
Vz ( x )( t ) − Vz ( y )( t ) ≤ 
j!
j

j

x− y

j

n


( ))

t

()

( ) 0ds

Vz ( x )( t ) − Vz ( y )( t ) ≤ ∫ g s,  s x − g s,  s y ds ≤ cn ∫  s x −  s y
σ

σ

t

2 ( t − σ ) cn x − y n .
≤ 2cn ∫ x − y n ds =
σ

Vậy (1) đúng với

j = 1.

Giả sử (1) đúng với

(

j=

p ≥ 1.


 2 ( t − σ ) cn 
( y )( t ) ≤ 
p!

p

x− y

n

với mọi t ∈ [σ , n ] .

( 2)

Với mỗi s ∈ [σ , n ] và θ ∈ [ − r , 0] ta có
Vzp ( x )( s + θ ) − Vzp ( y )( s + θ )


p
p
 s Vz ( x ) (θ ) −  s Vz ( y ) (θ ) = − Vzp ( x )(σ ) − Vzp ( y )(σ ) 
; s + θ ∈ [σ , n ]

; s + θ ∈ [ −r ,σ ]
0

(

)