TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

CAO THỊ THOA

NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYEN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIẼU KỲ DỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

CAO THỊ THOA

NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYEN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIẼU KỲ DỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS. TRẦN VĂN BẰNG


trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm.

Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Cao Thị Thoa


Mục lục

1

2

Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Phương trình vi phân cấp hai

3

1.2

Phương trình tuyến tính

4


Phương pháp L ig h th ilĩỊ ...............................................................

33

2.4

Thang thòi gian đối vói nghiệm chuỗi của phương trình autonom 36

2.5

Phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút

47

2.6

Kết hơp các xấp xỉ trên môt đoan

61

2.7

Kỹ thuật kết hợp nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân

67

2





Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

phương pháp sử dụng thang thời gian đối với nghiệm chuỗi của phương trình
autonom, phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút, phương
pháp kết hợp xấp xỉ trên một đoạn và kỹ thuật kết hợp nghiệm xấp xỉ cho
phương trình vi phân.
Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thân
còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu
sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để đề
tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Phương trình vi phân cấp hai

Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng

F(x, y, ỷ, ỹ)

= 0,


Cao Thị Thoa

trình (1 1 .21) thỏa mãn các điều kiện

— Vo 7 ỳ |x = x 0 — ỷO'

(1.3)

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (Ị1.2Ị) thỏa mãn điều kiện (Ị1.3Ị) được
gọi là bài toán Cauchy của phương trình (Ị1.2Ị).
Nghiệm tổng quát của phương trình (|l.2Ị) là hàm y = ẹ>(x,Ci,C 2 ), trong đó
C\ ,C 2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau:
(i) Nó thỏa mãn phương trình (Ị1.2Ị) vối mọi C\ ,C 2 ,

(ii) Với

mọi ( x o - j o , > 7 o ) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất

nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C\ = C p C2 =
sao cho hàm số y = ọ(x,Cị

thỏa mãn

3'L'=A'() — Vo, )’|x=x0 — JQ.

Hệ thức <ĩ>(x1y,C \,C 2 ) — 0 xác định nghiệm tổng quát của phương trình (|l.2Ị)
dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó.
Nghiệm riêng của phương trình (Ị1.2Ị) là một hàm số y = (p(x,CpC?) nhận
được bằng cách cho C \ , C2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định C p c®.
Hệ thức <ĩ>(jc,y,CpC2 ) = 0 được gọi là tích phân riêng.

x = f(x,x),

(1.5)

trong đó t vắng mặt ở vế phải của phương trình. Để nhận được biểu diễn trong
mặt phẳng pha, ta đặt
\x = y

\

( 1.6)

( ỳ = f(x,y).
Đây là một hệ phương trình cấp một, tương đương với (Ị1.5Ị).
Trong mặt phẳng pha với các trục X và y, trạng thái tại một thời điểm
bao gồm cặp số (x(to),ỵ(to)), các giá trị

X,

to

y này tương ứng với một điểm p

nào đó trong mặt phẳng pha, cho ta một điều kiện ban đầu cho hệ phương
trình vi phân cấp một (Ịl.ổỊ), và vì vậy xác định tất cả các trạng thái, qua đó
hệ thực hiện trong một chuyển động riêng. Các trạng thái tiếp theo cho bởi

5



thời X, ỷ bằng 0; do đ ó là điểm thỏa mãn:

y = 0, và / ( x , 0 ) =

0

.

(1 .1 0 )

Trong biểu diễn mặt phẳng pha, thời gian t không được chỉ rõ về định
lượng nhưng ta có thể đặc trưng bởi các yếu tố sau đây. Hình 1.1 (a) cho thấy
một cung AB của đường cong pha. Giả sử rằng hệ đang ở trạng thái A tại thời
điểm t = tA. Điểm chuyển động p biểu diễn các trạng thái tại các thời điểm
t > t ẩ4 ; nó di chuyển dọc theo AB (từ trái qua phải trong nửa mặt phẳng y > 0
) khi t tăng dần, và gọi là một điểm biểu diễn trên cung AB.
6


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

(a)

(b)
y

y
p

pha và cùng một điểm biểu diễn. Đồ thị của các hàm x(t), x(t — 11 ), và của
y(í) = x(t),y(t — tị) sẽ có hình dáng giống nhau, nhưng được dịch theo trục
thời gian một khoảng t \ , giống như cùng một hệ nhưng được mở vào hai thời
điểm khác nhau trong ngày.

7


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

Trường hợp khi một đường cong pha là một đưòng cong kín, như trong
Hình 1.1 (b). Một đường cong pha kín biểu diễn một chuyển động tuần hoàn
theo thời gian.
Ngược lại nói chung là không đúng, 1 đường cong pha không kín cũng có
thể biểu diễn một chuyển động tuần hoàn.
Thời gian chuyển TAB = ÍB — ÍA của điểm biểu diễn p từ trạng thái A tới
trạng thái B dọc theo 1 đường cong pha có thể được tính theo nhiều cách:
ftB

Ta b =

■JtA

ftB d x. _ -i d x

dt=

Q )-'ĩ£ d t=

í
AB

dx

í

dx

Ịx

dx

Ị~x

dx

Jac y
Jcb y
Jq (1 —x )1/ 2 J\
[—( ì —x y / 2]
[ - 2 ( 1 - x ) 1/2]? + [2 ( 1 - x ) ]/2]ỉ_ ỉ = 2 + 2 ^ 2 .

Sau đây chúng ta tóm tắt các tính chất chính của phương trình autonom
X = f ( x , x ) , được biểu diễn trong mặt phẳng pha bởi hệ phương trình

x= y
(1.13)
[ỳ = f ( x , y ị


(y) Thời gian chuyển: thời gian chuyển của điểm biểu diễn từ điểm A đến
điểm B dọc theo một đường cong pha cho bởi tích phân đường

Ta r =

f

cỉx

/

—

J ab y

(1.15)

(vi) Đường cong pha kín: các đường cong pha kín biểu diễn các nghiệm tuần
hoàn theo thời gian.
9


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

(vii) Họ các nghiệm tuần hoàn theo thời gian : giả sử X\ (t) là một nghiệm
riêng của X = f ( x . x ) khi đó, các nghiệm X\ (t — 1\), với t\ bất kỳ, cho
cùng một đường cong pha và cùng điểm biểu diễn.
Ví dụ 1.2. Xây dựng lược đồ pha cho phương trình dao động điều hòa đơn

10

c,


Khóa luận tốt nghiệp

trong đó

Cao Thị Thoa

c là tùy ý, điều kiện c > 0 để nhận được nghiệm thực. Do đó, lược

đồ pha bao gồm họ các elip đồng tâm tại gốc (Hình 1.3 (a)). Hình 1.3(b) biểu
diễn một nghiệm tuần hoàn theo thời gian, ứng với một đường cong pha kín.
Ví dụ 1.3. Tìm điểm cân bằng và phương trình tổng quát cho các đường cong
pha của Jc+ sinx = 0. Tìm đường cong pha riêng thỏa mãn các điều kiện ban
đầu (a) xựo) =

0

= x(tn) =

1

;

(b) x(t„) = 0,y(t„) = 2 .

Lời giải


chia ra như sau:

11

1.5, ở đó phạm vi của

c được


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

H ình 1.4: Đường cong pha của X + sinx = 0.
G iá trị củ a c

L oại chuyến động

c = -1

Các điểm cân b ằng tại điểm ( n 7T,0)

-1 < c < 1

Các đường cong pha kín (chuyển đ ộn g tuần hoàn)

c=

1


Chu trình giới hạn

Xét hệ autonom
x = f(x,x).
12


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

trong đó / là một hàm phi tuyến, và / có dạng
f ( x , x ) = - h ( x , x ) - g{x),
khi đó phương trình vi phân, trở thành

(1.18)

và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha là

x=y
(1.19)
[ý = - h { x , y ) - g ( x ) .
Với mục đích giải thích hiện tượng, chúng ta sẽ giả sử rằng có một điểm cân
bằng duy nhất, và đó là gốc (đã được chuyển đến gốc, nếu cần thiết, bằng
cách đổi hệ tọa độ). Do đó
/j( 0 , 0 ) + g( 0 ) =

0


động tự do được điều khiển bởi phương trình x + g(x) =

0

(một hệ bảo toàn),

nhưng bị tác động bởi một ngoại lực —/ỉ(x,i) đóng vai trò là nguồn cung cấp
hoặc hấp thụ năng lượng. Nếu g(x) là một lực phục hồi, thì chúng ta mong
đợi một xu hướng dao động điều khiển bởi ngoại lực —h(x,x). Trong cả hai
trường hợp tự do và cưỡng bức, trạng thái cân bằng xảy ra khi X = X = 0.
Định nghĩa một hàm thế năng cho hệ thống lò xo bởi

v(x) = Jg(x)dx,

(1 .2 3 a )

và động năng của hạt bởi
1

2

T = - x 2.

(1.23b)

Năng lượng toàn phần £ cho hạt và lò xo khi không có ngoại lực là:

£= T+

v=

(1.26)

(1.27)
trong R (với y Ỷ 0 ) thì năng lượng tăng dọc theo mỗi đường cong như vậy,
biên độ của các đường cong pha tăng liên tục khi đường cong pha vẫn còn
trong miền R. Ớ đây h có tác dụng như của giảm tốc âm, bổ sung năng lượng
vào hệ cho các trạng thái nằm trong R.
Ví dụ 1.4. Khảo sát sự ảnh hưởng của năng lượng bố sung và giảm tốc qua
phương trình
X+

(x2 + X2 — 1 ) i + X = 0.
Lời giải

Đặt X

= y,

khi đó
h(x,ỵ) = (x2 + x 2 — l)x,

và từ (Ị1.25Ị), có — = —yh(x,y) = —(x2 + y 2 — ĩ ) y 2.
Do đó năng lượng trong hệ hạt - lò xo có tính chất:
0

dọc theo các đường trong miền X2 + y 2 < 1 ;

—- < 0
dt


Một đường cong cô lập kín được gọi là một chu trình giới hạn, khi tồn tại,
nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của hệ vật lý. Chu
trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến.

H ình 1.5: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định X2 + V2 = 1 sinh bởi hệ X + (X2 +
X2 - l ) i + jc = 0.

Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các đường
cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình giới hạn.
Phương trình có dạng
x = f(x),
16


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

không thể dẫn tới một chu trình giới hạn.
Chúng ta kết thúc mục này bằng cách minh họa một số phương pháp tiếp
cận đối với phương trình có dạng:

x + h(x,x) + g (x )

=

0

,



=

^

ỉ

.

(1.29)

Tiếp theo, chúng ta sẽ thay
X=rcos0.

X = y = rsin6

và ỷ (nhận được từ phương trình vi phân ban đầu) vào các biểu thức trên để
nhận được hệ phương trình vi phân cấp một trong hệ tọa độ cực.
Ví dụ 1.5. Biểu diễn phương trình (xem Ví dụ 1.4)
X + (x

+ X

— 1) i + X = 0

17


Khóa luận tốt nghiệp



khi

0

< r


1

1

,

,

nên các đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn r —

1

từ cả hai phía.

Phương trình xác định ỏ cũng cho thấy một chuyển động xoắn ốc theo chiều
kim đồng hồ ổn định cho các điểm biểu diễn, xung quanh chu trình giới hạn.
(ii) Đường cong trắc địa
Ví dụ 1.6. Nghiên cứu xu hướng của các đường cong pha đối vối phương
trình vi phân
Jc+ 1x 1x + x 3 =

0

năng lượng không đổi, hoặc các đường mức năng lượng, là một trường hợp


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

X

H ình 1.6:

Lược đồ pha c h o i = y,ỷ = — |yIV —JC3: các đường nét đứt là các đường mức.

đặc biệt của đường cong trắc địa.
(iii) Phương trình chuyên động trong hệ tọa độ tổng quát
Giả sử ta có một hệ cơ học bảo toàn, có thể là trong một, hai, hoặc ba chiều,
và có thể có các yếu tố rắn như các hạt, nhưng cấu hình của chúng hoàn toàn
được xác định bởi giá trị của một biến

X.

Biến không nhất thiết là độ dịch

chuyển, có thể chẳng hạn là một góc, hoặc thậm chí một thành phần trong các
yếu tố hình thành nên một phần của hệ. Nó được gọi là tọa độ tổng quát.
Nói chung, động năng và thế năng T và V sẽ có dạng:
T = p(x)x2 + q(x),

V = V(x),