TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

CAO THỊ THOA

NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU KỲ DỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

CAO THỊ THOA

NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU KỲ DỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS. TRẦN VĂN BẰNG


trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm.

Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Cao Thị Thoa


Mục lục

1

2

Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4


2.3

Phương pháp Lighthill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.4

Thang thời gian đối với nghiệm chuỗi của phương trình autonom 36

2.5

Phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút . .

47

2.6

Kết hợp các xấp xỉ trên một đoạn . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.7

Kỹ thuật kết hợp nghiệm xấp xỉ cho phương trình vi phân . .

67

2

1


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

phương pháp sử dụng thang thời gian đối với nghiệm chuỗi của phương trình
autonom, phương pháp đa thang áp dụng cho điểm yên ngựa và nút, phương
pháp kết hợp xấp xỉ trên một đoạn và kỹ thuật kết hợp nghiệm xấp xỉ cho
phương trình vi phân.
Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thân
còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu
sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để đề
tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Phương trình vi phân cấp hai

Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng
F(x, y, y,
˙ y)
¨ = 0,



Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

trình (1.2) thỏa mãn các điều kiện
y|x=x0 = y0 , y|
˙ x=x0 = y˙0 .

(1.3)

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.3) được
gọi là bài toán Cauchy của phương trình (1.2).
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2) là hàm y = ϕ(x,C1 ,C2 ), trong đó
C1 ,C2 là các hằng số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau:
(i) Nó thỏa mãn phương trình (1.2) với mọi C1 ,C2 ,
(ii) Với mọi (x0 , y0 , yy˙0 ) ở đó các điều kiện của định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm được thỏa mãn, có thể tìm được các giá trị xác định C1 = C10 , C2 =
C20 sao cho hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 ) thỏa mãn
y|x=x0 = y0 , y|
˙ x=x0 = y˙0 .
Hệ thức Φ(x, y,C1 ,C2 ) = 0 xác định nghiệm tổng quát của phương trình (1.2)
dưới dạng ẩn được gọi là tích phân tổng quát của nó.
Nghiệm riêng của phương trình (1.2) là một hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 ) nhận
được bằng cách cho C1 ,C2 trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định C10 ,C20 .
Hệ thức Φ(x, y,C10 ,C20 ) = 0 được gọi là tích phân riêng.

1.2

Phương trình tuyến tính

trong đó t vắng mặt ở vế phải của phương trình. Để nhận được biểu diễn trong
mặt phẳng pha, ta đặt


x˙ = y

(1.6)


y˙ = f (x, y).
Đây là một hệ phương trình cấp một, tương đương với (1.5).
Trong mặt phẳng pha với các trục x và y, trạng thái tại một thời điểm t0
bao gồm cặp số (x(t0 ), y(t0 )), các giá trị x, y này tương ứng với một điểm P
nào đó trong mặt phẳng pha, cho ta một điều kiện ban đầu cho hệ phương
trình vi phân cấp một (1.6), và vì vậy xác định tất cả các trạng thái, qua đó
hệ thực hiện trong một chuyển động riêng. Các trạng thái tiếp theo cho bởi

5


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

phương trình tham số

x = x(t), y = y(t),

(1.7)


điểm t = tA . Điểm chuyển động P biểu diễn các trạng thái tại các thời điểm
t ≥ tA ; nó di chuyển dọc theo AB (từ trái qua phải trong nửa mặt phẳng y > 0
) khi t tăng dần, và gọi là một điểm biểu diễn trên cung AB.
6


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

Hình 1.1: (a) Điểm biểu diễn P trên một đoạn của đường cong pha.

(b) Một đường cong pha đóng:

P đi từ A và trở về A vô hạn lần.

Vận tốc của P dọc cung AB được cho dưới dạng từng thành phần
(x(t),
˙ y(t))
˙
= (y, f (x, y))
chỉ phụ thuộc vào vị trí P(x, y), mà không phụ thuộc vào cả t và tA (điều này
chỉ đúng đối với các phương trình autonom). Nếu tB là thời điểm P tới B, thì
TAB là khoảng thời gian P đi từ A tới B
TAB = tB − tA ,

(1.11)

không phụ thuộc vào thời điểm đầu tA . TAB gọi là thời gian chuyển từ A tới B
dọc theo đường cong pha.


dt =
tA

tA

dx −1 dx
)
dt =
dt
dt

dx
=
AB x˙

dx
.
AB y(x)

(1.12)

Ví dụ 1.1. Các đường cong pha của một hệ được cho bởi họ x + y2 = C, trong
đó C là một hằng số tùy ý. Trên đường cong pha ứng với C = 1 điểm biểu diễn
√
di chuyển từ A : (0, 1) tới B : (−1, − 2). Tính TAB ?
Lời giải
Đường cong pha được biểu thị trong Hình 1.2. Nó cắt trục x tại điểm C : (1, 0).
Trên cung AC, y = (1 − x)1/2 và trên cung CB, y = −(1 − x)1/2 , có
−1


y˙ = f (x, y).

8


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

Hình 1.2: Đường cong pha AB trên đó ta đã tính thời gian chuyển.

(i) Phương trình cho các đường cong pha:
f (x, y)
dy
=
.
dx
y

(1.14)

(ii) Hướng của đường cong pha: từ trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên, từ
phải sang trái ở nửa mặt phẳng dưới.
(iii) Điểm cân bằng: tại điểm (x, 0) với x là nghiệm của phương trình f (x, 0) =
0; đại diện cho các nghiệm hằng.
(iv) Giao điểm với trục x: các đường cong pha cắt trục x theo các góc vuông,
ngoại trừ tại các điểm cân bằng (xem (ii)).
(v) Thời gian chuyển: thời gian chuyển của điểm biểu diễn từ điểm A đến
điểm B dọc theo một đường cong pha cho bởi tích phân đường

(1.16)


y˙ = −ω 2 x,
có 1 điểm cân bằng, tại (0, 0). Các đường cong pha là các nghiệm của (1.14):
dy
x
= −ω 2 .
dx
y

Hình 1.3: (a)Tâm dao động điều hòa đơn giản.

(b) Nghiệm điển hình.

Đây là một phương trình tách biến, và ta dễ dàng có tích phân tổng quát:
y2 + ω 2 x2 = C,

10


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

trong đó C là tùy ý, điều kiện C ≥ 0 để nhận được nghiệm thực. Do đó, lược
đồ pha bao gồm họ các elip đồng tâm tại gốc (Hình 1.3 (a)). Hình 1.3(b) biểu
diễn một nghiệm tuần hoàn theo thời gian, ứng với một đường cong pha kín.
Ví dụ 1.3. Tìm điểm cân bằng và phương trình tổng quát cho các đường cong
pha của x¨ + sin x = 0. Tìm đường cong pha riêng thỏa mãn các điều kiện ban

chia ra như sau:

11


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

Hình 1.4: Đường cong pha của x¨ + sin x = 0.
Giá trị của C

Loại chuyển động

C = −1

Các điểm cân bằng tại điểm (nπ, 0)

−1 < C < 1

Các đường cong pha kín (chuyển động tuần hoàn)

C=1

Các đường cong pha kết nối các điểm cân bằng

C>1

Chuyển động quay tít


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

trong đó f là một hàm phi tuyến, và f có dạng
f (x, x)
˙ = −h(x, x)
˙ − g(x),
khi đó phương trình vi phân, trở thành
x¨ + h(x, x)
˙ + g(x) = 0

(1.18)

và hệ phương trình cấp một tương đương xác định các đường cong pha là


x˙ = y

(1.19)


y˙ = −h(x, y) − g(x).
Với mục đích giải thích hiện tượng, chúng ta sẽ giả sử rằng có một điểm cân
bằng duy nhất, và đó là gốc (đã được chuyển đến gốc, nếu cần thiết, bằng
cách đổi hệ tọa độ). Do đó
h(0, 0) + g(0) = 0
và nghiệm duy nhất của h(x, 0) + g(x) = 0 là x = 0. Chúng ta tiếp tục giả định
rằng
g(0) = 0,

Định nghĩa một hàm thế năng cho hệ thống lò xo bởi
V (x) =

g(x)dx,

(1.23a)

và động năng của hạt bởi
1
T = x˙2 .
2

(1.23b)

Năng lượng toàn phần ε cho hạt và lò xo khi không có ngoại lực là:
1
ε = T +V = x˙2 +
2

g(x)dx,

(1.24)

do đó có quy tắc biến đổi năng lượng
dε
= x˙x¨ + g(x)x.
˙
dt
Khi đó, từ (1.18) ta có
dε

(ngoại trừ trên y = 0, nơi mà nó rõ ràng là bằng không).
Nếu
dε
= −yh(x, y) > 0
dt

(1.27)

trong R (với y = 0 ) thì năng lượng tăng dọc theo mỗi đường cong như vậy,
biên độ của các đường cong pha tăng liên tục khi đường cong pha vẫn còn
trong miền R. Ở đây h có tác dụng như của giảm tốc âm, bổ sung năng lượng
vào hệ cho các trạng thái nằm trong R.
Ví dụ 1.4. Khảo sát sự ảnh hưởng của năng lượng bổ sung và giảm tốc qua
phương trình
x¨ + (x2 + x˙2 − 1)x˙ + x = 0.
Lời giải
Đặt x˙ = y, khi đó
h(x, y) = (x2 + x˙2 − 1)x,
˙
dε
= −yh(x, y) = −(x2 + y2 − 1)y2 .
dt
Do đó năng lượng trong hệ hạt - lò xo có tính chất:
và từ (1.25), có

dε
>0
dt
dε

nó luôn luôn là một trong những đặc điểm quan trọng nhất của hệ vật lý. Chu
trình giới hạn chỉ có thể xảy ra trong các hệ phi tuyến.

Hình 1.5: Hai đường cong pha tiếp cận chu trình giới hạn ổn định x2 + y2 = 1 sinh bởi hệ x¨ + (x2 +
x˙2 − 1)x˙ + x = 0.

Ngoài ra cũng tồn tại chu trình giới hạn không ổn định, khi mà các đường
cong pha lân cận ở một bên này hay bên kia đi ra xa chu trình giới hạn.
Phương trình có dạng
x¨ = f (x),
16


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

không thể dẫn tới một chu trình giới hạn.
Chúng ta kết thúc mục này bằng cách minh họa một số phương pháp tiếp
cận đối với phương trình có dạng:
x¨ + h(x, x)
˙ + g(x) = 0,

(1.28)

mà không liên quan đến bất kì mô hình cơ học hoặc năng lượng nào:
(i) Tọa độ cực
Chúng ta sẽ nhắc lại Ví dụ 1.4 bằng cách sử dụng tọa độ cực. Khi đó, lược đồ
pha được thể hiện rõ ràng hơn cùng với các phương trình liên quan. Gọi r, θ
là tọa độ cực, trong đó x = r cos θ , y = r sin θ , ta có:

(1.29)

Tiếp theo, chúng ta sẽ thay
x = r cos θ ,

x˙ = y = r sin θ

và y˙ (nhận được từ phương trình vi phân ban đầu) vào các biểu thức trên để
nhận được hệ phương trình vi phân cấp một trong hệ tọa độ cực.
Ví dụ 1.5. Biểu diễn phương trình (xem Ví dụ 1.4)
x¨ + (x2 + x˙2 − 1)x˙ + x = 0
17


Khóa luận tốt nghiệp

Cao Thị Thoa

trên mặt phẳng pha, trong tọa độ cực r, θ .
Lời giải
Chúng ta có x = r cos θ và x˙ = y = r sin θ , và
y˙ = −(x2 + x˙2 − 1)x˙ − x = −(r2 − 1)r sin θ − r cos θ .
Bằng cách thay các hàm này vào (1.29) chúng ta có được
r˙ = −r(r2 − 1)sin θ 2 ,
θ˙ = −1 − (r2 − 1) sin θ cos θ .
Một nghiệm riêng là
θ = −t

r = 1,


˙
x˙x¨ + x3 x˙ = − |x|
˙ x˙2 .
Theo các biến mặt phẳng pha x, y phương trình này trở thành
y

dx
dy
+ x3 = − |y| y2 .
dt
dt

Xét một đường cong pha đi qua một điểm tùy ý A vào thời điểm tA , và đến
một điểm B tại thời điểm tB > tA . Bằng cách tích phân phương trình trên từ tA
tới tB chúng ta có được
1 B
1
[ y2 + x4 ]tt=t
=−
A
2
4

tB

|y| y2 dt.

tA

Do vế bên phải là âm khắp mọi nơi nên

Hình 1.6: Lược đồ pha cho x˙ = y, y˙ = − |y| y − x3 : các đường nét đứt là các đường mức.

đặc biệt của đường cong trắc địa.
(iii) Phương trình chuyển động trong hệ tọa độ tổng quát
Giả sử ta có một hệ cơ học bảo toàn, có thể là trong một, hai, hoặc ba chiều,
và có thể có các yếu tố rắn như các hạt, nhưng cấu hình của chúng hoàn toàn
được xác định bởi giá trị của một biến x. Biến không nhất thiết là độ dịch
chuyển, có thể chẳng hạn là một góc, hoặc thậm chí một thành phần trong các
yếu tố hình thành nên một phần của hệ. Nó được gọi là tọa độ tổng quát.
Nói chung, động năng và thế năng T và V sẽ có dạng:
T = p(x)x˙2 + q(x),

V = V (x),

ở đó p(x) > 0. Phương trình chuyển động có thể được dẫn ra bằng cách sử
dụng phương trình Lagrange.
d ∂T
∂T
∂V
( )−
=− .
dt ∂ x˙
∂x
∂x
Thế T và V ở trên chúng ta có được phương trình của chuyển động theo x:
2p(x)x¨ + p (x)x˙2 + (V . (x) − q (x)) = 0.
20

(1.30)