BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM

PHẠM KIM KHÁNH

TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM MỘT
SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI, TÍCH PHÂN

Chuyên Ngành
Mã Số

:
:

Toán Giải Tích
60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ HOÀN HOÁ

Thành Phố Hồ Chí Minh – Năm 2007


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng kính gửi đến PGS-TS. Lê Hoàn Hoá, người thầy hết lòng vì học
trò của tôi, tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Thầy là người đã động viên, giúp đỡ, chỉ bảo
tận tình trong quá trình giảng dạy cũng như trong quá trình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành tốt luận
văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô của khoa Toán – Tin học Đại học Sư
phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy để tôi có được những kiến thức quý báu làm hành trang

x  t    f  s, x  s   ds   g  t , s, x  s   ds    t  ,

t  0,

Phương trình vi phân hàm cấp hai có đđối số chậm :
u   f  t , ut , u   t    0,

0  t 1

Luận văn được trình bày trong 3 chương. Chương 1 trình bày định lý điểm bất động dạng
Krassnosel’skii trong không gian lồi địa phương, và kiến thức chuẩn bị cho các chương sau. Chương 2
dành cho việc trình bày tính không rỗng, compact, liên thông của tập nghiệm phương trình tích phân,
và chương 3 là phương trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm.
Do điều kiện bị hạn chế nên việc khảo sát các tính chất tương tự đối với tập nghiệm yếu của một số
phương trình sóng, chưa được trình bày trong khoá luận này.


CHƯƠNG I: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG DẠNG KRASNOSEL’SKII TRONG
KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG

I.1 Định nghĩa
Giả sử X là không gian véc tơ tôpô lồi địa phương và P là một họ nửa chuẩn tách được trên X, D là
một tập con của X và U: D  X . Với bất kỳ a  X , ta định nghĩa :
U a : D  X bởi U a  x   U  x   a .

Toán tử U : D  X được gọi là thoả điều kiện ( A) trên tập con  của X nếu:
( A.1) Với bất kỳ a  , U a  D   D .
(A.2) Với bất kỳ a   và p  P , tồn tại ka  Z  với tính chất :   0, r  N và

  0 sao


tục trên  .
Chứng minh :


Ta chứng minh qua hai bước:
Bước 1: Với bất kỳ a   , toán tử U a có duy nhất 1 điểm bất động trên D gọi là   a  , và dãy lặp

U  x 
n
a

n

hội tụ về   a  , x  D . Hơn nữa ,ánh xạ a    a  là đơn ánh.

Chứng minh: Từ (A.2) ta suy ra với bất kỳ a   và p  P, k  Z  với tính chất:
  0, r  N và   0 sao cho x, y  D,  ap  x, y        ap U ar  x  , U ar  y    

Giả sử q : Z 2   0,   được định nghĩa bởi q  m, n    ap U am  x  ,U an  y   .
Khi đó q thoả (1.1), (1.2) nên theo mệnh đề trên lim q  m, n   0
m , n 

Suy ra

lim p U am  x   U an  y    0

m , n 

Vì vậy, x, y  D các dãy U an  x n , U an  y n là dãy Cauchy. Hơn nữa D đầy đủ theo dãy và U là liên


Tương tự , sử dụng tính liên tục đều của U, chúng ta có thể xây dựng một họ  i  . i=0,1,2…r-1, sao
cho với mọi i=0,1,2…r-1:
a.

1
0   i   i 1
2

b.

1
p U  x   U  y     i 1 với p  x  y    i
2

Nếu b   sao cho p  a  b    r 1 thì, vì lim U brn   a      b  ta có:
n 




p   a     b    lim p   a   U brn   a  
n 



Bằng phương pháp qui nạp ta suy ra :
   a  , U brn   a        với mọi n  N

(1.4)


Suy ra:
nên

1
1
P U ar  x   U br  x     0   0   0
2
2

(1.5)

Đặc biệt lấy x    a  , (1.5) trở thành:





p   a   U br   a     0

(1.6)

Bây giờ ta chứng minh (1.4) đúng khi n=1, nghĩa là :    a  ,U br   a        .
Từ (1.3) và (1.6) ta có :








(*) .








Thay x  U brn   a   , (1.5) trở thành: p U ar U brn   a     U br  n 1   a     0
Sử dụng (1.3), chúng ta thấy rằng:

 





p U ar i U brn   a    U ai U br  n 1   a  

Hay :



   ,

i  0,1, 2...k







p   a     b    lim p   a   U brn   a    2
n 

Chứng tỏ rằng    I  U  liên tục trên  .
1

I.4 Định lý
Giả sử X là một không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với một họ nửa chuẩn tách P và giả sử U
và C là toán tử trên X sao cho:
i. U thoả điều kiện A trên X
ii. Với bất kỳ p  P,  k  0 (phụ thuộc theo p) sao cho:
p U  x   U  y    k  x  y 

x, y  X .

iii. Tồn tại x0  X với tính chất : p  P, r  N và    0,1
(r và  phu thuộc theo p) sao cho:





p U xr0  x   U xr0  y    p  x  y 

iv. C hoàn toàn liên tục, p  C  A     với p  A   , A  X
v.


Từ (ii) và (iii) ta suy ra rằng

 



p U Crn x   z0   z0  p U Cr  x U C x 

r n 1

 z0   U xr U Cr nx 1  z0    p U xr U Cr nx 1  z0   U xr  z0  
0



 kp U Cr  1x U C x 

r n 1

0

 z0   U xr 1U Cr nx 1  z0    p  C  x   x0    p U Cr nx 1  z0   z0 
0

Tương tự ta nhận được





1   

Từ điều kiện (V ), ta có:
lim

p  x  z0  

p C  x 

p  x  z0 

0

Vì vậy tồn tại R1 p  0 sao cho
p C  x  

1
p  x  z0 
2

nếu p  x  z0   R1 p

Từ giả thiết (iv), tồn tại R2 p  0 sao cho với mọi x: p  x  z0   R1 p
Suy ra
Đặt

p  C  x    R2 p
R3 p  2  p  x0    R2 p

0

2

1
  p  x0   R3 p  R3 p
2

Điều này cho ta
Suy ra rằng:



Vì D đóng và dãy U Crn x   z0 



n

U Crn x   z0   D p
U Crn x   z0   D x  D

hội tụ về điểm bất động duy nhất   C  x   của U C  x  , nên

  C  x    D x  D , như thế ta có  I  U  C  D   D . Do tính hoàn toàn liên tục của C, tập
1

 I U 

1

C  D    I  U  C  D  là compact tương đối. Khi đó theo định lý điểm bất động của

Ta có :

deg  I  T , D, 0   deg  I  T , O1 , 0   deg  I  T , O2 , 0 

Ta sẽ chứng minh

deg  I  T , O1 , 0   deg  I  T , O2 , 0   0 và như vậy mâu thuẫn với giả thiết

deg  I  T , D, 0   0 .

Do O1  N   nên tồn tại x1  O1  N sao cho Tx1  x1
Đặt   x   x  T  x    x1  T  x1   trong đó 0   


2

với   min  x  Tx ,

compact trong điều kiện (i)
Xét đồng luân : H  t , x   t  x   1  t  I  T  x  ,

xD

;

t   0;1

H  t , x   x  T  x   t T  x   T  x    t  x1  T  x1  

Ta có



Với x  D đặt x   y  D


f  y   f  x    thì D   xD  x .
2

Gọi V ,    là một phủ mở của D, được gọi là phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn của phủ

x , x  D sao cho :
Với mọi x  D tồn tại lân cận V(x) thoả mãn : V  x   V   chỉ với một số hữu
hạn   
Với mỗi    tồn tại x  D để V  x .
Với    , xác định   : D   định bởi :
, x  V

0

  x   

   x, Vx  , x  V

Trong đó   x, A   inf  x  y , y  A .
1

Đặt




   x   1 ,



Khi đó :

  x   o nên f  x   co f  D  .

f là lipsit địa phương trên D.


Với mỗi x  D , tồn tại    để x  V và tồn tại x  D để V   x . Khi đó : x, a  V   x nên
f  x   f  a   

Vậy:

f  x   f  x      x  f  a   f  x    với mọi x  D


Định lý được chứng minh.
I.7 Định lý
Cho X là không gian metric, M là tập con khác rỗng của X, Y là không gian định chuẩn và f : M  Y
là toán tử liên tục. Khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục g : X  Y thoả điều kiện :
(i), g  x   co f  M  , co f  M  là bao lồi của f  M 
(ii), g  x   f  x  , với mọi x  M .

I.8 Định lý
Cho X là không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy với họ nửa chuẩn tách được P, D là tập con lồi,
đóng, bị chặn trên X. Cho C : D  X là ánh xạ hoàn toàn liên tục, U : D  X liên tục đều và thoả điều
kiện (A2) trên C  D  . Giả sử:


bất động Schauder –Tychonoff thì

 I U 

1

C có một điểm bất động trong D, nghĩa là tồn tại x0  D

sao cho:

 I U 

1

C  x0   x0

hay

Vậy U+C có một điểm bất động trong D.
I.9 Bổ đề:

x0  U  x0   C  x0 


Một tập S trong X 0  C  0;   , E  là tập compact tương đối nếu và chỉ nếu với mỗi n   , S là liên tục
đồng bậc trên  0; n  và tập  x  t 




Cho E là không gian Banach với chuẩn . và X là không gian các hàm liên tục trên  0;   vào tôpô E,

 pn n là họ nửa chuẩn định bởi: với mọi

x X





pn  x   sup x  s  : s   0; n 

Tôpô trên X tương thích với metric
2  n pn  x  y 
d  x, y   
n 1 1  pn  x  y 


và X là không gian Fréchet.
Xét phương trình tích phân
t

t

0

0

x  t    f  s, x  s   ds   g  t , s, x  s   ds    t  ,



Khi đó phương trình (II ) có một nghiệm trên  0;  
Chứng minh:
Cho U và C là các toán tử trên X được định nghĩa bởi:
t

U  x  t    f  s, x  s   ds
0

(2.1)

t

C  x  t    g  t , s, x  s   ds    t  ,
0

t0


Rõ ràng U  x  và C  x  liên tục trên  0;  . Để chứng minh định lý này chúng ta cần các kết quả hỗ trợ
của các bổ đề sau
Bổ đề 1: Cho f thoả (II.1) và U được định nghĩa bởi (2.1 ). Thế thì với mỗi a  0 và với bất kỳ z  X
pa U

n
z

 x   U  y 
n
z


pa  x  y  ,

Thật vậy, với n =1, vì
t

U z  x  t   U  x  t   z  t    f  s, x  s   ds  z  t 
0

nên
t

U z  x  t   U z  y  t    f  s, x  s    f  s, y  s   ds,

t   0, a 

0
t

 k  x  s   y  s  ds
0

  kt  pa  x  y  .

Giả sử (2.2 ) đúng với n. Thế thì ta có:
U

n 1
z


Như vậy (2.2) được chứng minh
Từ (2.2) suy ra
pa U

n
z

 x   U  y 
n
z

 ka 

n!

n

pa  x  y 

n

Bổ đề 2: Cho g thoả (II.2) và C được định nghĩa bởi
C  x  t  

pt 

 g  t , s, x  s  ds    t  ,

t   0, a  , a  0


i 

i

ta có
xni  ti   x0  t0   xni  ti   x0  ti   x0  ti   x0  t0 
 xni  x0  x0  ti   x0  t0 

Điều này chỉ ra rằng lim xn  ti   x0  t0  , do đó B là tập compact
i 

i

Với   0 tuỳ ý cho trước, vì g liên tục trên tập con compact  0, a   B nên   0 sao cho
2

x y ,
n  n0 ,



g  t , s, x   g  t , s, y  

a

s, t   0, a  . Vì lim xn  x0 trong X a , nên n0 sao cho với

,

n 

toàn liên tục, nên tập g  0, a   A là tập compact tương đối trong E .
2

Với bất kỳ t1 , t2   0, a  và x   , ta có:
C  x  t1   C  x  t2  

p  t1 

 g t

1

, s, x  s   ds 

0

 g  t , s, x  s   ds
2

0

p  t2 



p  t2 

p  t2 

 g  t , s, x  s    g  t , s, x  s   ds   g  t , s, x  s   ds




Vì g  t , s, x  s    K , s, t   0, a  và x   , ta suy ra
 pt 

C    t     g  t , s, x  s   ds    t  : x     p  t  K    t  , t   0, a 
 0


Theo kết quả của Ambrosetti, C    là tập compact tương đối trong X a .
Vậy C hoàn toàn liên tục trên X a
Bây giờ chúng ta trở lại chứng minh định lý II.1
Theo bổ đề 1, với z  X và m   ta có:
pm U

 km 
Vì lim
n 

n

n!

n
z

 x   U  y 
n
z

x0 trên  0, m  ,với m , nên theo bổ đề 2 ta có

lim pm  C  xn   C  x0    0, m  
n 

Điều này có nghĩa là C liên tục trên X .
Cho  là tập con bị chặn trong X , thì
pm      pm  x  : x   bị chặn với m .

Đặt

C 
Ơ đây x

0, m

m



 x

0, m ,



x  C 

là thu hẹp của x trên  0, m  . Theo bổ đề 2,  C    m là tập compact tương đối trong X m ,


 x m 1 , trên X m 1

Như vậy chúng ta đã chỉ ra tồn tại một họ các dãy con  xnm n với m   , sao cho với mỗi m
lim xnm

 x m , trên X m

0, m

n 

và
xm

0, m

 x m ,

m  m .

n   . Thì  yn n là một dãy con của  xn n và lim yn  x trong X thoả

Đặt yn  xnn ,

n 

x

 xm ,


g  t , s, x   M ,

Chọn  1 sao cho

M

1



C  x  t 
x


2m


m



. Với x  X m bất kỳ, x m   1 chúng ta có

1
xm
1
xm

m



Cx  t 
x



x s
 t 
Mm

g  t , s, x  s   x  s  ds 
x m I2 x m
xm



Mm  m   t 


x m 2m
xm

m



 

 t 
x




pn  x   sup x  s  : s   0; n 

Tôpô trên X tương thích với metric
2  n pn  x  y 
n 1 1  pn  x  y 


d  x, y   

Xét phương trình tích phân :

 II 

t

t

0

0

x  t    f  s, x  s   ds   g  t , s, x  s   ds,

t0

Ở đây f , g thoả các điều kiện sau:


khác rỗng, compact và liên thông.
Với mỗi n   , gọi X n  C  0, n  , E  là không gian Banach các hàm liên tục từ  0, n  vào E với chuẩn





x n  sup x  t  : 0  t  n .

Đặt U , C : X n  X n định bởi:
t

Ux  t    f  s, x  s   ds , t   0, n 

(2.3)

0

t

Cx  t    g  t , s, x  s   ds,

t   0, n 

(2.4)

o

Khi đó điểm bất động x* của U  C là nghiệm của  II 
Với z  X n , ta đặt

Suy ra

x, y  X n .

(2.5)


t

U z x  t   U z y  t    f  s, x  s    f  s, y  s   ds
0

t

 kn  x  s   y  s  ds
0

t   0, n 

  kn t  x  y ,

Giả sử bất đẳng thức (2.5) đúng đến m, ta có:
U zm 1 x  t   U zm 1 y  t   U z U zm x   t   U z U zm y   t 
t

  f  s,U zm x  s    f  s,U zm y  s   ds
0

t


U x t   U y t 
m
z

 k n
Do lim n
m 
m!

m
z

k t 
 n
m!

m

 0 nên tồn tại p  

m

t   0, n 

x y ,

k n
sao cho n
p!


z  X n

1
 I  U  được định nghĩa tốt và liên tục đều trên

X n (*)


t

Ta chứng minh với Cx  t    g  t , s, x  s   ds thì C là hoàn toàn liên tục trên X n , thoả
0

lim

x n 

C  x
x

n

0

n

Cx liên tục theo t
Thật vậy, cố định x  X n . Do g liên tục đều trên  0, n   A nên với   0 cho trước, tồn tại   0 sao
cho
t  t    thì g  t , s, x  s    g  t , s, x  s   

g  t , s, x   g  t , s, y  


n

s, t   0, n 

,

Do lim xm  x trong X n nên tồn tại m0 sao cho:
m 

s   0, n 

m  m0 , xm  s   x  s    ,

Dẫn đến
t

Cxm  t   Cx  t    g  t , s, xm  s    g  t , s, x  s   ds   , t   0; n 
0

Cxm  Cx   ,

Suy ra

m  m0 .

Vậy C liên tục.
Cho  là tập bị chặn trong X n . Ta chứng minh C    là tập compact

Suy ra với t  t    và x   thì
t

Cx  t   Cx  t     g  t , s, x  s    g  t , s, x  s   ds  
0

Vậy C    đồng liên tục.
Theo định lý Ascoli – Azela C    compact tương đối trong X n .
Vậy C là hoàn toàn liên tục trên X n
Với   0,

0    1  k do ( II2 ) , tồn tại N  0 sao cho:
g  t , s, x   N 


1 n

x,

s, t   0; n  và x  E

Dẫn đến
t

Cx  t    g  t , s, x  s   ds  Nn   x ,

t   0; n 

0


1


Mà D là tập bị chặn nên  I  U  C  D  là tập compact tương đối và  I  U  C  D   D
1

1

Ap dụng định lý Schauder  I  U  C có điểm bất động trong D (nhưng  D ).
1

Đặt:

S   I U  C
1

Do đó
I  S   I U 

1

 I U  C 

tập các điểm bất động của S trong D cũng là tập các điểm bất động của U  C và nó là nghiệm của
phương trình  II  trong D
vì C là toán tử compact trong X n , nên S là toán tử compact trong X n . Đồng thời S không có điểm bất
động trong D , hơn nữa S  D   D và D lồi do đó
deg  I  S , D, 0   1

(2.7)

2







g *  0; n   E  co g  0; n   K 
2

2



Theo định lý I.6 tồn tại g là ánh xạ lipschitz địa phương trên  0; n   E sao cho
2

s, t   0; n  ,

x  E ta có:

g  t , s, x   g *  t , s, x  


2n

,

(2.9)


(2.10)

S   I  U  C

(2.11)

0

Và đặt
1

Thì S hoàn toàn liên tục.
Từ (2.4), (2.9), (2.10) ta có: t   0; n  ,

x  D thì
t

C  x  t   C  x  t   
0


2n

ds 


2

 .


Giả sử x,y là các nghiệm của phương trình (2.13)
Ta cần chứng minh
x t   y t  ,

t   0, n 

(2.14)

x  0  y  0  h  0

Ta có

(2.15)

Đặt
b  sup    0; n  :

0  t   .

x t   y t  ,

(2.16)

Rõ ràng từ (2.14) có b  0 . Cần chỉ ra rằng b  n .
Giả sử 0  b  n , do g là lipschitz địa phương nên tồn tại r  0 sao cho g là lipschitz với hệ số
lipschitz m trong  0; n   Br , với Br   z  E :
2

z  x b  r