Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498
1
(DÙNG CHO ÔN THI TN – C – H 2011)

Gi tng: www.Mathvn.com


a bi

, trong đó a, b là các s thc và s i tho mãn
2
1
i
 
.
Ký hiu s phc đó là z và vit
z a bi
 
(dng đi s)
i đc gi là đn v o
a đc gi là phn thc. Ký hiu


Re
z a


b đc gi là phn o ca s phc
z a bi
 
, ký hiu


Im
z b




3. Biu din hình hc ca s phc.
Mi s phc đc biu din bi mt đim M(a;b) trên mt phng to đ Oxy.
Ngc li, mi đim M(a;b) biu din mt s phc là
z a bi
 
.
4. Phép cng và phép tr các s phc.
Cho hai s phc
z a bi
 
và
’ ’ ’
z a b i
 
. Ta đnh ngha:

' ( ') ( ')
' ( ') ( ')
z z a a b b i
z z a a b b i
    


    


5. Phép nhân s phc.
Cho hai s phc
z a bi

gi là hai s phc liên hp vi nhau.
2) z.
z
= a
2
+ b
2
- Tính cht ca s phc liên hp:
(1):
z z


(2):
' '
z z z z
  

(3):
. ' . '
z z z z


(4): z.
z
=
2 2
a b

(
z a bi

.
z z z a b
  

8. Phép chia s phc khác 0.
Cho s phc
0
z a bi
  
(tc là
2 2
0
a b
 
)
Ta đnh ngha s nghch đo
1
z

ca s phc z ≠ 0 là s

1
2 2 2
1 1
z z z
a b
z

 


   

Gi r là môđun ca z và  là mt acgumen ca z.
Ta có: a = rcos , b = rsin



cos sin
z r i
 
  trong đó
0
r

, đc gi là dng lng giác ca s phc z  0.
z = a + bi (a, b  R) gi là dng đi s ca z.

2 2
r a b
 
là môđun ca z.


là mt acgumen ca z tha
cos
sin
a
r
b
r

 

thì:




. ' . ' cos ' sin '
z z r r i
   
 
   
 
và
   
cos ' sin '
' '
z r
i
z r
   
 
   
 

4. Công thc Moivre.
Vi
*
n N


 
 
và
cos sin os isin
2 2 2 2
r i r c
   
 
 
     
     
     
 
     
 A. BÀI TP V S PHC VÀ CÁC THUC TÍNH

Dng 1: Các phép tính v S phc

Phng pháp:
- S dng các công thc cng , tr, nhân, chia và lu tha s phc.
Chú ý:
Trong khi tính toán v s phc ta cng có th s dng các hng đng thc đáng nh nh trong s thc. Chng
hn bình phng ca tng hoc hiu, lp phng ca tng hoc hiu 2 s phc…

Bài 1: Cho s phc
3 1
2 2

z i i i i
 
      
 
 
 

 
2
2
2
3 1 3 1 3 1 3
2 2 4 4 2 2 2
z i i i i
 
       
 
 
 

   
3 2
1 3 3 1 3 1 3 3
2 2 2 2 4 2 4 4
z z z i i i i i
  
        
  
  
  

4 4 2
z i
   . Do đó:
2
1 3 1 3
1 1 0
2 2 2 2
z z i i
   
         
   
   
   

Bài 2:
a. Tính tng sau:
2 3 2009
1
i i i i
   
b. Cho hai s phc
1 2
,
z z
tho mãn
1 2 1 2
1; 3
z z z z    . Tính
1 2
z z

    

  

b. t
1 1 1 2 2 2
;
z a b i z a b i
   
.
T gi thit ta có
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
( ) ( ) 3
a b a b
a a b b

   


   



Suy ra
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

 
Gii:
a. Ta có
 


1003
2
5 7 9 2009 5 2 4 2004
2
1
1 .
1
i
i i i i i i i i i i
i

          






4 5 6 2010 2 3 4 5 6 2010 2 3
2011
1 1
1 1 1
(1 1 ) 1
1 1 2 2

     
  

c.
 
 
50
100
2
50 50 50 50
1
( 2 ) ( 2) ( ) 2
1 i i iN i 
     
 
  
 

Bài 4:
a. Cho s phc
1
1
i
z
i



. Tính giá tr ca
2010

             

2
4 4
i
  
 (đpcm).
Bài 5: Tính s phc sau:
a.
16 8
1 1
1 1
i i
z
i i
 
   
 
   
 
   
b.
 
15
1
z i
 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]

   

b. Ta có:
     
2 14 7
7
1 1 2 –1 2 1 2 128. 128.
i i i i i i i
         
         
15 14
1 1 1 128 1 128 1 128 –128 .
z i i i i i i i
            

Bài 6: Tính:
105 23 20 34
–
i i i i
 
Gii:
 tính toán bài này, ta chú ý đn đnh ngha đn v o đ t đó suy ra lu tha ca đn v o nh sau:
Ta có:
2 3 4 3 5 6
1; ; . 1; ; 1
i i i i i i i i i
         

Bng quy np d dàng chng minh đc:
4 4 1 4 2 4 3 *

 
 
.
Nh vy theo kt qu trên, ta d dàng tính đc:
105 23 20 34 4.26 1 4.5 3 4.5 4.8 2
– – – 1 1 2
i i i i i i i i i i
  
        Bài 7:
a. Tính :
1
1 3
2 2
i


b. (TN – 2008) Tìm giá tr ca biu thc:
2 2
(1 3 ) (1 3 )
P i i
   
Gii:
a. Ta có:
1 3 1 3
1 3
2 2 2 2
1 2 2

 
, suy ra phn thc là a, phn o là b

Bài 1: Tìm phn thc, phn o ca các s phc sau
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498
7

a.




2 4 3 2
z i i i
     b.
3 3
( 1 ) (2 )
z i i
    c.
2010
(1 )
1
i
z
i






2 – 4 – 3 – 2
i i i

b. (TN – 2010) Cho hai s phc:
1 2
1 2 , 2 3
z i z i
   
. Xác đnh phn thc và phn o ca s phc
1 2
2
z z
 .
c. (TN – 2010) Cho hai s phc:
1 2
2 5 , 3 4
z i z i
   
. Xác đnh phn thc và phn o ca s phc
1 2
.
z z
.
d. Cho s phc z tha mãn
1
2
z

b. Phn thc – 3 ; Phn o 8
c. Phn thc 26 ; Phn o 7
d. Theo gi thit
 
 
2 2
2
2
2 2
2 2
1
1
2
2 1 41
1
a b
ab
a b ab
a b


 

 

 
   
 

 

1 1 1 1 1
z i i i i
        
c.
 
2009
1 i
Gii:
a. Ta có:
       
 
3 3 2
2 3
3
3 3
1 1 3 1 3 1 2 2
2 2 8
i i i i i
i i i
          
   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498
8

   
3 3

  
    

Vy: phn thc
10
2

, phn o:
10
2 1


c. Ta có
   


1004
2009 2
1004 1004 1004 1004
1 1 (1 ) ( 2 ) (1 ) 2 (1 ) 2 2
i i i i i i i
          
Vy phn thc ca s phc trên là
1004
2
và o là
1004
2





Bài 5: (CD – 2010) Cho s phc z tha mãn điu kin
     
2
2 3 4 1 3
i z i z i
      . Tìm phn thc và phn
o ca z.
Gii:
Gi
z a bi
 


,
a R b R
 
z a bi
  

ng thc đã cho tr thành
       
2
2 3 4 1 1 3 6 4 2( ) 8 6
i a bi a bi i a b a b i i
             
(coi đây là mt phn trình bc nht
theo i)
ng nht theo i h s hai v ta đc

2
1 2 1 2 8 2 2 1 2 8
z i i i i z i i i i
 
            
 
 
 





8 1 2
8 8 15 2 10 15
2 3
2 1 5 5 5
i i
i i i
z i
i
 
   
      


Vy s phc z đã cho có phn thc là 2, phn o là -3
Bài 8:
Tìm phn thc ca s phc
 


Phng trình








4 4 4
log – 3 log 9 3 log – 3 9 3
n n n n
     

 (n – 3)(n + 9) = 4
3
 n
2
+ 6n – 91 = 0
7
13
n
n




 


” khi đó ta có
z a bi
 

… đang cp nht

Loi 3: Tính modun ca s phc
Phng pháp:
Bin đi s phc v dng
z a bi
 
, suy ra modun là
2 2
z a b
 

Bài 1:
a. Tìm môđun ca s phc
3
1 4 (1 )
z i i
   

b. (H – A 2010) Cho s phc z tha mãn
2
(1 3 )
1
i
z
i

  

Gii:
a. Vì
3 3 2 3
(1 ) 1 3 3 1 3 3 2 2
i i i i i i i
           
.
Suy ra :
3 2 2
1 4 (1 ) 1 2 ( 1) 2 5
z i i i z           
b.
3
(1 3i)
z
1 i



.
Cách 1: (dành cho ban c bn)
Ta có








4 4 4 4 8 8
z iz i i i i
          

Vy
8 2.
z iz 

Cách 2: (Dành cho ban nâng cao)
Biu din di dng lng giác
Ta có
 
3
(1 3 ) 2 cos sin (1 3 ) 8 cos( ) sin( ) 8
3 3
i i i i
 
 
 
   
            
   
 
   
 

8 8(1 )
4 4
1 2

 
 
   
 
   
 
 
 

   
11 8
1 16 1 16 1 16
iz i i i z i z i
             
Do đó


1 16 1 16 17 17
w z iz i i i i
          
Vy
2 2
17 17 17 2
w   
d.
 
3
2 3
1 4 1 – 1 4 1 3 3 1 2
Z i i i i i i i

5 5
z
 
  
 
 Loi 4: Tìm s đi ca s phc z
Phng pháp:
Bin đi s phc v dng
z a bi
 
, suy ra s đi
z a bi
  

…đang cp nht

Loi 5: Tìm s phc liên hp ca s phc z
Phng pháp:
Bin đi s phc v dng
z a bi
 
, suy ra s phc liên hp là
z a bi
 Bài 1: Tìm nghim ca phng trình

2 2
2
a b a
ab b

 

 


Gii h trên ta đc các nghim (0;0) , (1;0) ,
1 3
;
2 2
 

 
 
 
,
1 3
;
2 2
 
 
 
 
 
.
Bài 2: Tìm s phc liên hp ca:

1 1
z
z
z

…đang cp nht

Loi 7: ng dng s bng nhau ca hai s phc đ tìm các s thc
Phng pháp:
Cho
z a bi
 
và
’ ’ ’
z a b i
 
.

'
’
'
a a
z z
b b


 





.
Gii phng trình bng cách đt
( 0)
y tx x
 
ta đc
1
3, 1.
3
t x y
   

Vy
3
z i
 
.
Bài 2: Tìm các s nguyên
,
x y
sao cho s phc
z x yi
 
tha mãn




1 3 2 1

2 3 1
10
6 1 2
5
x
x y
y x
y

 

 


  
 
 






Bài 3: Tìm hai s thc
,
x y
tho mãn:
3
(3 5 ) (1 2 ) 9 14
x i y i i

Bài 9: Gii phng trình nghim phc:
2
z z


Gii:
t
( , )
z a bi a b R
  
, ta có:
2 2
2 2
( )
2
a b a
z z a bi a bi
ab b

 
     

 


Gii h trên ta tìm đc
1 3
( ; ) (0;0);(1;0); ;
2 2
a b

 Gii:
a. Ta có:
1 3 1 1 3
(1 3 ) 1
1 3 10 10 10
i
z i z i
i
 
        


b.
2
2
2 2 2 2
2 . 8 4( ) 8 ( ) 2 (1)
z z z z x y x y        

2 2 2 1 (2)
z z x x     
T (1) và (2) tìm đc x = 1 ; y =
1


Vy các s phc cn tìm là
1 1


































 z
i
z
iz

TH 2:
0001
2
22




















i
iz
iz
i
iz
iz
i
iz
iz
iz
iz
1



z

Vy có 3 s phc tha mãn
Bài 3: Tìm s phc z tha mãn h
 
 
1
1 1
3
1 2
z
z i
z i
z i
 

1 1 .
x y x y x y
       

Ta li có:
   
2 2
2 2
3
1 3 3 – 3 1
z i
z i z i x yi i x yi i x y x y
z i

               


1 1
y x
   
. Vy s phc phi tìm là
1
z i
 

Cách 2: (Phng pháp hình hc)
Nhn xét:
Vi hai s phc



y x


Tng t


' '
2 3
z i z i MA MB
      hay M nm trên trung trc ca
' '
A B
tc là M nm trên đng
thng
1
y


T (1) và (2) ta có M nm trên giao ca hai đng thng trên tc là


1;;1 1
M z i
  

Bài 4: (H – D 2010) Tìm s phc z tha mãn:
2
z  và
2
z

  
 
  
 

 

Vy các s phc cn tìm là:
1 ; 1– ; 1 ; 1 – .
i i i i
   

Bài 5: (H –B 2009) Tìm s phc z tha mãn


2 10
z i   và
. 25
z z

.
Gii:
Gi z = a + bi


,
a R b R
  ,
www.MATHVN.com
www.mathvn.com

2 2
25 2
a b  
Gii h (1) và (2) ta đc
3 5
4 0
a a
b b
 
 

 
 
 

Vy các s phc cn tìm là:
3 4
z i
 
hoc
5
z


Bài 6: Tìm s phc z tha mãn:
2
0
z z
 


0
2 0
0
0
x
x y x y
x y x y
x y x y
x
y
xy
y
x y x y
 





   
   


 
   
 
  

 






  











 



 
 
0
1 0
0
1 0
x
y y
y
x x

x
x
 



 



 











 




 









  




0, 0
0, 1
0, 1
0, 0
x y
x y
x y
x y
  



 





  

b a


   
   
 

 
 
 




2 2
1 2
2 2
1 2
a
b
a
b


 




  

 


1 2
z z i
 
là s thc và
1 5
z   .
Gii:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498
15

t
z a bi
 
(a,b là s thc)
Ta có
 


 
2 2
1 2 2 2 2
z z i a b a b a b i
        
là s thc

z z z z i
   
.
b. (H – D 2009) Trong mt phng ta đ Oxy, tìm tp hp đim biu din các s phc z tha mãn điu kin


– 3 – 4 2
z i


Gii:
Gi s phc
z x yi
 
),( Ryx


Ta có



      
. 3 4 3
3 4 3
z z z z i
x yi x yi x yi x yi i
   
        
 
 




Vy:
15 1 15 1
;
2 2 2 2
z i z i
    

b. Gi s


;
M a b
biu th s phc
z x yi
 
),( Ryx


Theo gi thit ta có




– 3 – 4 – 3 4
z i x y i
  
Vy 

z x yi
 
),( Ryx


H
   
2 ( 1) (2 2) 2 1 2 1
4 4
4 4
x y i y i x y i y i
xyi
xyi

        
 
 
 







www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498
16


 

   
  

  

  



  





 





Vy s phc cn tìm là :
3
3
1
4
4



1 1 –
i z i a bi a b a b i
      
Theo gi thit
     
2 2 2 2
(1 ) 1 ( 1) ( ) ( )
z i i z a b i a b a b i a b a b a b
                




 
2
2 2 2 2 2 2 2
– 2 1 2 2 –1 0 1 2
a b b a b a b b a b
            

Vy tp hp các đim M biu din các s phc z là đng tròn


0; 1
I

và bán kính
2



C
tâm


2; 3
I

và bán kính
3
2
R


Môđun ca z (
z
) đt giá tr nh nht khi và ch khi M thuc đng tròn


C
và gn O nht
 M trùng vi M
1
là giao ca đng thng
OI
vi đng tròn


C

M H
 
 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498
17

Li có:
3
13
26 3 13
2
2 13
13
OH
OH


  
Vy s phc cn tìm là:
26 3 13 78 9 13
13 26
z
 
 
Bài 13: Trong các s phc z tha mãn điu kin
221  iz , tìm s phc z có modun nh nht.
Gii:

2
1
2
5
2
1 2 4
1
5
x
y x
x y
x

 








   


 



Vi



421
22
 yx có tâm


1;2
I và
2
R


Chuyn đng tròn v dng tham s đt
 
1 2sin
1 2sin ;2 2cos
2 2cos
x t
M t t
y t
 

  

 


Modun ca s phc z chính là đ dài ca
OM

2 4 2 4
1 , 2 1 2
5 5 5 5
x y z i
   
         
   
   

Chú ý:
Nu yêu cu tìm
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498
18

max
1 2
9 4 5 sin 2cos 5 sin ,cos
5 5
z t t t t       

2 4 2 4
1 , 2 1 2
5 5 5 5
x y z i
   
         
   

a b i
z i a bi i
a bi i a b i
z i
  
    
 
     
 

Theo gi thit
   
   
2 2
2 2
1 5
1 5
2
3
3 1
a b
z i
z i
a b
  
 
 
 
  


là tâm ca đng tròn
Gi I là tâm ca mt cu (S).
 
2
1 3 ; 1 ; , 11 2 1
I d I t t t R IA t t
        

5
:
7
a t
IO
b t
 



 

Phng trình
2
34 2 370
37
37 74 3 0
37 2 370
37
t
t t
t

z i z i
   
. Tìm s phc z có modun nh nht
Gii:
Gi s s phc
z x yi
 
),( Ryx


Theo gi thit ta có






     
2 2 2
2
2 4 2 2 4 2
2 4 2 4 0 4
z i z i x y i x y
x y x y x y y x
          
              

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]

 
 

a. Tìm m đ
1
.
2
z z


b. Tìm m đ
1
4
z i
 

c. Tìm s phc z có modun ln nht
HD:
a.
1
m
 
b.
1 1
15 15
m  

c. Ta có
 
2


b.  z là s thc âm điu kin là
0
0
a
b






c.  z là s thc dng điu kin là
0
0
a
b






d.  z là s o điu kin là
0
a
Bài 1: Tìm tp hp các đim biu din trong mt phng phc các s phc z tho mãn:

6 8 25
x y
 
.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498
20

b. t
( , )
z x yi x y R
  
, ta có
1 ( 1) ( 1)
z i
z i z i x y i x y i
z i

          


2 2 2 2
( 1) ( 1) 0
x y x y y
       
.
Vy tp hp các đim cn tìm là trc thc Ox
Bài 2: Tìm tp hp các đim biu din trong mt phng phc s phc

3 3 3( 1)
x a b x a b
i z x yi i a bi
y a b y a b

 
      
 
          
 
     
 
 

T đó
2 2 2 2
( 3) ( 3) 4 ( 1) 16
x y a b
 
      
 
(do (1)).
Vy tp hp các đim cn tìm là hình tròn
2 2
( 3) ( 3) 16
x y
   
, tâm
(3; 3)
I , bán kính

 
.
Theo gi thit ta có:
2
MI

.
Vy tp hp nhng đim M chính là đng tròn tâm


1; 1
I

bán kính là
2
R

.
Cách 2:
t
z x yi
 
suy ra




1 1 1 .
z i x y i
     

z
 
,


B 2;0
là đim biu din s phc z = 2.
Da vào gii thit ta có:
MA MB


 M (nm bên phi) đng trung trc


0
x

ca A và B. Hay
x 0.


c. Ta có:
1 ( 1 )
z i z i
     

Ta có M là đim trên mt phng ta đ biu din s phc z và


1;1

2
4
z z
 

Gii:
t:
z a bi
 

a. Ta có:
1
2
4 2 3 3 2 3 4
7
2
a
z z a z z a
a



         


 



Vy M có th nm trên đng thng


  


Bài 5: Xác đnh tp hp các đim biu din các s phc z tha điu kin sau:
3
z
z i



Gii:
Gi
z a bi
 
ta có:


2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3 ( 1) 9 2 1 8 8 18 9 0
9 81 9 9 9 9 3
8 8 0 8 8
4 64 8 8 8 8 8
a bi a b i a b a b b a b b
a b b a b a b
              
       
             

2 2
2 2 2 2
0
(1 ) 2
( 1) (1 )
0
( 1)
0
(1 ) 0
(1 )
( 1) ( 1)
( ; ) (0;1)
a
a b abi
a b i a b i
ab
a b i
R
b
a b i
a b i
a b a b
a b
 

 
  
   



          
4x 2y 3 0.
   

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email: [email protected]
D: 01694 013 498
22

Vy tp hp các đim M(z) là đng thng 4x + 2y + 3 = 0.
Cách 2:
Gi




2;0 , 0;1 .
A B Khi đó 2 ( 2)
z i z z z i
       
hay là




M z A M z B
 .
Vy tp hp các đim M(z) là đng trung trc ca đon thng AB
Bài 8: (H – D 2009) Trong mt phng to đ Oxy, tìm tp hp đim biu din các s phc z tho mãn điu

Tp hp các đim biu din các s phc z là đng tròn tâm


3; 4
I

, bán kính R = 2.
Bài 9 : (H – B 2010) Trong mt phng ta đ Oxy, tìm tp hp đim biu din các s phc z
tha mãn:


1
z i i z
  
Gii:
Gi
z x yi
 


,
x R y R
  , ta có:


1
z i i z
  



z i z i
   

Gii:
Gi s:
z x yi
 
(x, y R)
Suy ra M(x; y) biu din s phc z.
Ta có:
2 2 2 2
4 ( 1) ( 1) 4 ( 1) ( 1) 4
z i z i x y i x y i x y x y
                 
(*)
t:




1 2
0; 1 , 0;1
F F
Thì (*) 
2 1 1 2
4 2
MF MF F F
   

Suy ra Tp hp đim M là elip (E) có 2 tiêu đim là F

  



    
 
  



Vy
 
2 2
: 1
4 3
x y
E
 
.
Bài 11: Xác đnh tp hp các đim trong mt phng phc biu din các s phc z tha mãn h thc
2 1 2
z z z
   

Gii:
t


,z x yi x y  


1
z

2.
2
z

3.
1 2 3.
z z i
   

Gii:
t


,z x yi x y  

và đim M(x;y) biu din s phc z trên mt phng phc.
Ta có:
2 2 2 2
1 1 1
z x y x y
      
.
Vy: Tp hp các đim M là đng tròn tâm O(0;0) bán kính R = 1.
2. t


,z x yi x y  

z i
 

Gii:
t


,z x yi x y  

và đim M(x;y) biu din s phc z trên mt phng phc.
Ta có:
     
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
z x yi x yi x y x y
                 
.
Vy: Tp hp các đim M là đng tròn tâm I(1;0) bán kính R = 1.
t


,z x yi x y  

và đim M(x;y) biu din s phc z trên mt phng phc.
Ta có:
     
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1

2
z x yi x y xyi
    
Do
2
z
là s o
  
2 2
0
0 0
0
x y y x
x y x y x y
x y y x
   

       

    


Vy: Tp hp đim là hai đng phân giác:
, .
y x y x
  

2. t




và đim M(x;y) biu din s phc z trên mt phng phc.



           
   
2 2
2
2
2 2
2
2 2 2 1 2 2
1 2 1 1 1 1 1
1 1
4
z i z z i x yi i x yi x yi i x y i yi i
x y i y i x y i y i x y y
x
x y y y
                  
               
      

Vy: Tp hp các đim M là parabol
2
4
x
y  .
Dng 5: S phc vi các bài toán chng minh

  


Ta có:
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1
(1 )
2( ) 4 1 0 (1)
2
( ) 2( ) 0 (2)
(1 ) 4 1
a b
a b a
a b a b
a b a b


  
   
 

 
   



   

,
z z
ta có
1 2 1 2
z z z z
  
T
3
3
3
1 1 1
3z z z
z z
z
   
    
   
   
, suy ra
3
3
3
1 1 1 1
3 2 3z z z z
z z z
z
       

t
1

Do
2 2
1 3
2 2
1 3 1 3
1 ( ) ( ) 1 0
2 2 2 2
z i z z i i   
         
;
Li có
1 3
1 1 1 3
2 2
1 2 2
1 3
2 2
i
i
z
i
 
    
 
.
Suy ra
2
1
z z
z

Ta có
E
=
1 2 1 2 1 2 1 2
.
z z z z z z z z
   = E  E  R
Bài 5: Chng minh rng:
1. E
1
=




7 7
2 5 2 5
i i    R
2. E
2
=
19 7 20 5
9 7 6
n n
i i
i i
 
   

   

n n
i i i i
i i
E
i i
i i
i i
   
   
 
   
   
   
   
 
   
   
 
   
     
   
   


2 2
E E

 E
2
 R

1
t
có đim biu din là A(3 ;3)
s phc
2
t
có đim biu din là B(3 ;-3)
OAB

có
3 2
OA OB 
nên
OAB

cân ti O

(3; 3)
O A

,
(3; 3) . 0
O B O A O B O A O B
    
  

www.MATHVN.com
www.mathvn.com