SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2011-2012

Môn thi: TOÁN
Lớp 12 THPT
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.

Câu I (4,0 điểm)
Cho hàm số
32
1
231
3
yxxx=− + − +
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Gọi
32
() 6 9 3
f
xx x x=− +−, tìm số nghiệm của phương trình:
[] []
32
() 6 () 9 () 3 0fx fx fx−+−=.
Câu II (4,0 điểm)

22
2
(sin cos )d
3sin 4cos
x
xx
I
x
x
π
π
−
+
=
+
∫
.
Câu IV (6,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy cho đường tròn
22
(): 9Cx y+=, đường thẳng
:33yxΔ=−+ và điểm (3; 0)A . Gọi
M
là một điểm thay đổi trên ()C và B là
điểm sao cho tứ giác
A
BMO là hình bình hành. Tính diện tích tam giác
A
BM , biết

11
,,1
32
x
yz>>> và
321
2
3221xyz
+
+≥
++
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(3 1)(2 1)( 1)Ax y z
=
−−−.
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
Số báo danh
… ……
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
1
- 1 -
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA


0,5
Hàm số nghịch biến trong khoảng: ( ; 1)
−
∞ và (3; )
+
∞ ; đồng biến trên khoảng: (1; 3) .
+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại
1
x
=
;
CT
1
3
y
=
− , đạt cực đại tại
3x
=
; y
CĐ
1= .
+ Giới hạn: lim
x
y
→−∞
=+∞; lim
x
y
→+∞


+ Nhận xét: Đồ thị (
C) đối xứng qua điểm
1
2;
3
I
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
0,5
2) 1,0 điểm

4,0
điểm
[
]
[
]
32
() 6 () 9 () 3 0fx fx fx−+−= (1)
(1)
[][]

1
1
3
4
x

O
1
3
−WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
2
- 2 -
Đặt
32
1
() 2 3 1
3
gx x x x=− + − + , ta có: (1) ( ( )) 0gfx
⇔
=
() 0
()
gm
mfx
=
⎧

C), ta có:
+ Nếu
01m<<
hay
1
0
33
m
−<− < thì (3) có 3 nghiệm phân biệt.
+ Nếu 1 3m<< hay
1
1
33
m
−<− <−
thì (3) có đúng 1 nghiệm.
+ Nếu 3 4m<< hay
4
1
33
m
−<− <− thì (3) có đúng 1 nghiệm.
Rõ ràng, các nghiệm của (3) trong 3 trường hợp trên là đôi một khác nhau.
Do đó (1) có đúng 5 nghiệm.
0,5
II 1) 2,0 điểm

(1 sin )(1 2 sin ) 2(1 2 sin ) cos 0xx xx+−++ = (1).
(1)
2

2
2
x
k
π
π
⇔=−+
.
1,0
● (3)
3cos sin 2sin cos 6sin sin 0
22 2 2
xx x x
xx⇔−+ − =

22
3cos sin 4sin cos 12sin cos 0
22 22 22
xx xx xx
⇔−+ − =
33
3sin 4sin 12cos 9cos 0
22 22
xx xx
⇔− + −=
33
sin 3cos 0
22
xx
⇔+ =

− (với ,kl∈ ).
1,0
2) 2,0 điểm

2
3
3
22() (2)2(1)
2( 1) 1 0 (2).
xy xy
xyxy xy xy
yx
−+
⎧
−=+ +−− −
⎪
⎨
−−+=
⎪
⎩

+ Điều kiện:
0, 2 0xy xy+≥ −≥ (*).
+ Khi đó:
2
(1) 2 (2 ) 2 2 ( )
xy xy
x
yxy xyxy
−+

1,0
4,0
điểm
+ Thế vào (2), ta được:
3
3
12(2 1)yy+= − (3).
Đặt
3
21yt=−, phương trình (3) trở thành hệ:
3
3
(2 1)
(2 1)
ty
yt
⎧
=
−
⎪
⎨
=
−
⎪
⎩

1,0
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
3

3
4
24A
=
cách. Dạng này có 24 số.
+ Chọn
0d ≠ có 2 cách, chọn
{
}
\0,aE d∈ có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập
{
}
\,
E
da
có
2
3
6A =
cách. Dạng này có 2.3.6 36
=
số. Lập được 24 36 60
+
= số.
1,0
● Tính số các số chẵn lập được không lớn hơn 2012, có dạng 1bcd :
Chọn
d chẵn có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập
{
}

x
xx x xx
I
x
xxx
π
π
−
++
=+
++
∫∫

Đặt
x
t=− , ta có:
00
22
2 2 22 22 2 2
00
22
(sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d
3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos
x
xx t tt t tt x xx
x
xttttxx
ππ
ππ
−

xx
π
⎛⎞
=−
⎜⎟
+−
⎝⎠
∫

2
0
1sin2
ln
2sin2
x
x
π
⎛+⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
1
ln 3
2
= .
1,0
IV 1) 3,0 điểm

(C) có tâm O(0; 0), bán kính

điểm
//GK AM
⇒ GK OB
⊥
.
Suy ra
G thuộc đường tròn đường kính OK .
Toạ độ
(; ), 0Gx y y> thoả mãn:
22
33
(2) 4
yx
xy
⎧
=−+
⎪
⎨
−+=
⎪
⎩

()
2
2
33
13 4
xy
yy
⎧

A
G
K
I
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
4
- 4 -
Diện tích:
()( ) () ()
9
22
16
AMB OAM OAI OKG
SS S S
ΔΔ Δ Δ
== =
9.d(,)
.
82
OK G Ox
=
9.4. 3
16
=
93
4
= .
1,0
2) 3,0 điểm

DSAE⇒
d( , ) d( ,( )) d( ,( ))
SA BD B SAE H SAE⇒= =
(do
A
là trung điểm
HB
)
2
d( ,( ))
6
a
HSAE
⇒=.
1,0
Nhận xét rằng , ,HA HE HS đôi một vuông góc, suy ra:
2222
1 111
d( ,( ))
H SAE HA HE HS
=++
22 2 2
311 1
24
aa aHS
⇔=++
2SH a
⇔
=
.

1
cos( , ) cos
2. . 5
SA AE SE
SA BD SAE
SA AE
+−
=
==.
1,0
V

Đặt 31 ,21, 1
x
ay bz c−= −= −=; ta có: ,,abc là các số dương và A abc
=
.
Khi đó:
321
2
3221
xyz
++≥
++

321
2
321
abc
⇔++≥

bc bc
abc
bc
≥+≥
+++
+
+
(1).
0,5
Tương tự:
22
2
(1)( 3)
ca
b
ca
≥
+
++
(2) và
12
1
(3)(2)
ab
c
ab
≥
+
+
+

===
.
Vậy, max
3
4
A = .
0,5
……………………………….……… HẾT……………………………………………….

S
A
B
C
D
E
t
H
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
5
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN – THPT chuyên.
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.


+ + = − −


ℝCâu 2 (1,5 điểm). Cho
, , ,
a b c d
là các số thực dương. Chứng minh rằng
( )( )
( ) ( )
3
3
4
3
3 2 25
2. 3. 4.
6
81
a bc b d
a b c a b a b c d
a b a b c d
+ + ≤
+ + + + + +
+ + + +Câu 3 (2,0 điểm). Giả sử

đ
i
ể
m sao cho trung tr
ự
c c
ủ
a
đ
o
ạ
n
th
ẳ
ng
CP
chia
đ
ôi
đ
o
ạ
n
AD
và trung tr
ự
c c
ủ
a
đ

.
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng
BP
vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
AC
.
b) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
4.
BP OE
=
, trong
đ

ố
nguyên d
ươ
ng và A là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p con có
đ
úng
n
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p h
ợ
p
{
}
1,2,3, ,
S m
=
. Ch

t
1 2
, , ,
n
x x x S
∈
sao cho các t
ậ
p h
ợ
p
{
}
, , 1,
i i
A x y x x A y A i n
= + + ∈ ∈ =
th
ỏ
a mãn
j k
A A
= ∅
∩
v
ớ
i m
ọ
i
j k


Môn: TOÁN – THPT chuyên

HƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 04 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm
của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai
đó không được điểm.
-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
-Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Câu
1. (2,5 điểm)
Nội dung
Điều kiện:
1
, ,
5
x y z
≥
. Xét các hàm s
ố

( ) ( )
2
8

c trên
1
;
5
 
+ ∞


 
suy ra
(
)
f t
đồng biến trên
1
;
5
 
+ ∞


 

và
(
)
g t
nghịch biến trên
1
;

x y g x g y f z f x z x g z g x f y f z
< ⇒ > ⇒ > ⇒ > ⇒ < ⇒ < suy
ra
(
)
(
)
(
)
(
)
y z g y g z f x f y x y
< ⇒ > ⇒ > ⇒ >
, vô lí vì
x y
<
.
Do vậy
x y
=
, tương tự lí luận như trên ta được
x z
=
suy ra
x y z
= =
. Thay trở lại hệ ta
được
2
8

Nộ
i
dung
1
;
5
 
+ ∞


 
và
(
)
1 0 1
h x
= ⇒ =
là nghiệm duy nhất của phương trình (1). Vậy nghiệm của
hệ phương trình đã cho là
1.
x y z
= = =Câu 2. (1,5 điểm)
Nội dung Điểm
Đặt
( )( )
( ) ( )
3

( )( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
3
3
2
3
3 3 . .
2 3
2
3
2 3
a b c
bc b c
a b a b c d a b a b c a b c d
a b c
b c
a b a b c a b c d
+ +
=
+ + + + + + + + + +
+ +
≤ + +

≤ +
+ + + +C
ộ
ng t
ừ
ng v
ế
các b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c trên ta
đượ
c:
(
)
(
)
( )
(
)
( )
2 3 2
25
2 3 6

Do đó để
( ) ( ) ( )
3 2 0 mod7 1 .3 2 0 mod7 2 1, 0
q
n n r r
q k r
+ ≡ ⇔ − + ≡ ⇔ = + =
.

Suy ra
n
có dạng
6 3
n k
= +
, chú ý nếu
(
)
(
)
6
,7 1 1 mod7
a a
= ⇒ ≡
. Do đó ta có:

+)
(
)
( )

+
+
= = ≡ ≡
≡ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta được

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
8
4

Nộ
i
dung Điểm
(
)
2 11 2012 1 1 6 1 mod7
n n n
+ + ≡ + + ≡ . Vậy số dư cần tìm là
1
.

Câu 4. (3,0 điểm)
E
O
Q
J
I
M

ứ
giác CNIQ là hình bình hành.

Suy ra
CQ NI
. T
ừ

đ
ó, do
NI AP
⊥
nên
CQ AP
⊥
(1)

Ch
ứ
ng minh t
ươ
ng t
ự
, c
ũ
ng
đượ
c
AQ CP
⊥

OA OC OQ OP
+ + =
   

(
)
(
)
1
2
2
OA OC OP OB OP OA OC OB OP
⇔ + + + = ⇔ + + =
        4 4 4.
OE OP OB OE BP BP OE
⇔ = − ⇔ = ⇒ =
    
.
V
ậ
y
4.
BP OE
=
.
, , ,
x y z t
đều bằng nhau thì số các số dạng
x y z t
+ − −
bằng 1.
+) Nếu trong 4 số
, , ,
x y z t
có đúng 3 số bằng nhau, giả sử
x y z t
= = ≠
. Khi đó
x y z t x t
+ − − = −
suy ra có tối đa
2
n
C
số
x y z t
+ − −
.
+) Nếu 4 số
, , ,
x y z t
có đúng 2 số bằng nhau. Khi đó nếu
x y
=
thì có tối đa

C C C
+ + +
số dạng
x y z t
+ − −
. Từ đó suy ra bất đẳng thức
(1).
Gọi
1
1
x S
= ∈
. Đặt
{
}
1 1
\
C S x x x B
= + ∈ suy ra

(
)
1 2 1 2 1
2 0 min
C S B n B x C x x
≥ − > − > ⇒ ∃ = ⇒ >
.

. Cứ tiếp tục như vậy đến bước thứ
n
, ta đặt
{
}
1 2 2
\
n n n
C C x x x B
− − −
= + ∈ thì
(
)
1 2 1 1
0
n n n n n n
C C B n n B x C x x
− − − −
≥ − > − = ⇒ ∃ ∈ ⇒ >
Khi đó ta kiểm tra được
i j
A A
= ∅
∩
với mọi
i j
≠
. Vậy luôn tồn tại các phần tử
1 2
, , ,













Bài 3: (3,0 điểm)
Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s:











Bài 4: (4,0 điểm)
Tìm s các nghia :

Trong s các nghim này có bao nhiêu nghim 


WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
11
HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12
AN GIANG  2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN VÒNG 1
A.ĐÁP ÁN Bài 1



 
 



 




  hàm s m cc tr thì  và ta có bng bin
thiên sau

 










































 Nhn xét: Nu vit i là
















































 










 Vi 











 vy  là nghim ca








































Bài 3











 




 t 


























Vy 






 Xét hàm s 



























 3,0
điểm
ebooktoan.com
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
13
Vy 


  sp xp các s c hin
* Sp xp 2012 ch s 1 có 1 cách sp xp
* Sp xp s u tiên vào gia 2012 s1 có 2011 cách sp xp (tr  trí
u và cui).
* Sp xp s 0 th hai vào gia 2013 s trên có 2010 cách sp xp ( không
su và cui và không sp bên trái, bên phi s 0 va sp)
* Vì hai s 0 có th i ch cho nhau nên có


các b s cn tìm.
Ta có nhn xét 2012 không chia h
nghim bng nhau.
 m các nghim












.
 có nghim loi này ta thy mi cp 






.
* Vì vai trò 





i ch cho nhau nên có 3.1005 các nghim có hai s
ging nhau
Vy có


 các b nghim








trong














* Ta li có







 Vy 


























 
* 
Ta li có













Vy t B là







* t 























* Tam giác SHM vuông tc




































4,0
điểm
M
H
A
B
C
D
S
ebooktoan.com
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
15
Xét hàm s :
























Bng bin thiên

  

+ -
 





Vy



2 2
3
13 4  x x
= 3
Bài 2 (3,0 điểm).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = 3sinxcosx - sin
3
x - cos
3
x
Bài 3 (3,0 điểm).
Tìm tất cả các số tự nhiên A có 3 chữ số sao cho
A
2
là một số chính
phương và
A
3
là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 4 (5,0 điểm).
Trên đường tròn tâm O, bán kính R cho hai điểm B, C cố định (BC không
phải là đường kính) và điểm A di động. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC,
trên cung không chứa điểm A lấy điểm M bất kỳ. Gọi D và E lần lượt là
các điểm đối xứng của M qua AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm D, H, E thẳng hàng.
b) Khi M đối xứng với A qua O, hãy xác định vị trí của điểm A sao cho
tam giác MDE có diện tích lớn nhất.
Bài 5 (3,0 điểm).
Cho a

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
17
Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số


3 2
1 1
y x x   .
1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số


1
biết tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng
d
có phương trình
5 1 0
x y
  
.
2. Tìm m để đường thẳng

có phương trình


1 1
y m x
  
cắt đồ thị hàm số

x x
   
  
 
.
Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình:




2
2 sin cos 1 2sin 2
1 tan
sin 3 sin5
x x x
x
x x
 
 

.
2. Giải hệ phương trình:


 
 
2 2
2
2 2 2

cho ba điểm


1;1
A ,


3;2
B ,


7;10
C . Lập phương trình
đường thẳng

đi qua
A
sao cho tổng khoảng cách từ
B
và
C
đến đường thẳng

lớn nhất.
2. Trong không gian tọa độ
Oxyz
cho hai mặt cầu




là hai điểm thay đổi
lần lượt thuộc các cạnh
,
AB CD
sao cho mặt phẳng


SMN
luôn vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
. Đặt
,
AM x AN y
 
. Chứng minh rằng
3
x y xy
 
, từ đó tìm
,
x y
để tam giác
SMN
có diện tích bé nhất, lớn nhất.
Câu 6. (1,0 điểm)
Cho ba số dương
, ,
a b c
thỏa mãn

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
18
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
==============

Lời giải sơ lược
Thang
điểm
Câu
1.1
Cho hàm số


3 2
1 1
y x x   .
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số


1
biết tiếp tuyến này vuông góc
với đường thẳng
d

là tiếp điểm
Khi đó


0 0
2
0 0
0 0
1 3
3 2 5
5 23
3 27
x y
x x
x y

 

  
 

   
 

 


1.0

Từ đó tìm được phương trình hai tiếp tuyến:

,
B C
có hoành độ lần lượt là
1 2
;
x x

thỏa mãn:




 
1
3 3
1 1 2 2
2 2
2
2 2
1 2
1 1
x m x x m x
x x
   
  
 
.
2.0
Phương trình hoành độ giao điểm:
   


phương trình (*) có
hai nghiệm phân biệt khác 0
5
4 5 0
(**)
4
1 0
1
m
m
m
m

   
 


 
 
 


 


0.5
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
19




3 2
2 2 2 2 2
2 1 1 1 1
x m x x x x m m m
 
           
 

Khi đó
 




2 2
2 1
1 1
2 1
1 1
m m
x x
 
  
 

0.5
 


Kết hợp với hệ thức Viet ta biến đổi (3) trở thành




   
2
2
2 1 3 1
1
1 2 1 2
m m
m m
  

   
. Từ đó tìm được
0
3
m
m



 


Kết hợp điều kiện (**) ta có
0

x
 

 




0.5
Biến đổi được








2
1 sin cos 1 2sin 2 2 sin 4 cos sin
x x x x x x
    


    
sin cos 0 2
cos sin 1 2sin 2 2 sin 4 3
x x
x x x x
  

x x k
k
x



 

 

 
    

 
 

 




0.5

Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là
 
3 2
7 3, ,
28 7
k
x k m k m




     


2.5
ĐK:
0; 1
x y
  

Phương trình






2 2 2 2
1 log log 2 1 log log 1 1
x
x x y x x x y x y
 
           
 




3 8
x
 

0.5

Giải (4), xét
     
2
2
2log 0 ' 1
ln 2
f x x x x f x
x
     

 
2
' 0
ln 2
f x x   . Lập BBT, từ đó suy ra phương trình (4) có nhiều nhất hai
nghiệm. Mà







  
     .
2.0
Xét








2013 2 2013
0 1 2 2013
2013 2013 2013 2013
1 2 . 2 . 2 . 2x C C x C x C x      0.5
     


2014
2 2
2014 2014
2013 2013
1 1
2
1 2
1 5 3
1 2 1 2 1 2
1
2 4028 4028

 
 


2 3 2014
0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
2 1 2 1 2 1
.2. .2 . .2 .
2 3 2014
C C C C
  
   
0.5

Vậy
S
2014 2014
5 3
4028

 0.5
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
21
Câu
4.1

cắt đoạn thẳng
BC
tại
M





; ;
d B d C BM CM BC
      

0.5
TH2:

không cắt đoạn thẳng
BC
, gọi


5;6
I là trung điểm
BC





vuông góc với
AI

0.5  
đi qua


1;1
A và nhận


4;5
AI 

là véc tơ pháp tuyến
Vậy phương trình đường thẳng




: 4 1 5 1 0 : 4 5 9 0
x y x y
         

0.5
4.2



1
S
có tâm
1
(0;0;1)
I , bán kính
1
2
R




2
S
có tâm
2
(3;1; 1)
I

, bán kính
2
5
R


0. 5
1 2 2 1 1 2 2 1

     
 
2
2 2
2
2 2
2 2 2
1 4
1 4
6 2 4 11 0
3 1 1 25
x y z
x y z
x y z
x y z

   
   
 

 
   
      




Do đó hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn
đó là giao tuyến của măt cầu


5
Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng 1. Gọi
,
M N
là hai điểm
thay đổi lần lượt thuộc cạnh
,
AB CD
sao cho mặt phẳng


SMN
luôn vuông góc
với mặt phẳng
( )
ABC
. Đặt
,
AM x AN y
 
. Chứng minh rằng
3
x y xy
 
, từ
đó tìm
,
0. 5
Ta có
0 0 0
1 1 1
.sin 60 . .sin30 . .sin30
2 2 2
AMN AMO ANO
S S S xy x AO y AO
  
    
1 3 1 1 1 1 1 1
. . . . .
2 2 2 2 2 2
3 3
xy x y  



3 1
x y xy
  

0.5
1
.

xy x y xy xy
     

  
1
1 1 0 1 1 3
2
x y xy x y xy xy xy
           

0.5
S

A

C

B

N

M

O

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
23
Đặt
4 1

nhỏ nhất khi
4
9
t

, khi đó
2
3
x y
 

MN
lớn nhất khi
1
2
t

, khi đó
1
1
2
x
y








  
.
1.0
Ta có
3 3 2 3 3 2 3 3 2
1 3 ; 1 3 ; 1 3
a a a b b b c c c
        


2 2 2 2 2 2
3 3 3
a b c a b c a b c
          

Đặt
3 3 3
; ; 3
a b c
x a y b z c x y z
a b c a b c a b c
         
     

Ta có
 
1 1 1 1 1 1
2
8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1
a b c x y z

x y z
  
  

Biến đổi được


3 4 4 4 12
x y z
   
( Bất đẳng thức này luôn đúng bằng cách
sử dụng bất đẳng thức Côsi, với chú ý
3
x y z
  
)

đpcm.
0.5
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi
tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.
2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết
nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh
trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống
nhất của cả tổ.
3. Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
24