®Ò thi häc sinh giái -MÔN : TOÁN Lớp : 8
§Ò sè 1
Bài 1 : a) Phân tích đa thức x
3
– 5x
2
+ 8x – 4 thành nhân tử
b) Tìm giá trị nguyên của x để A
M
B biết
A = 10x
2
– 7x – 5 và B = 2x – 3 .
Bài 2 : Cho x + y = 1 và x y
≠
0 . Chứng minh rằng

( )
3 3 2 2
2
0
1 1 3
x y
x y
y x x y
−
− + =
− − +
Bài 3 : Cho a
2
– 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức P =

MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số
BD
DC
Hết
HƯỚNG DẪN

Bài 1 : a) x
3
- 5x
2
+ 8x - 4 = x
3
-4x
2
+ 4x – x
2
+4x – 4 = x( x
2
– 4x + 4) – ( x
2
– 4x + 4)
= ( x – 1 ) ( x – 2 )
2

b) Xét
2
10 7 5 7
5 4
2 3 2 3
A x x

1 1
x y
y x
−
− −
=
4 4
3 3
( 1)( 1)
x x y y
y x
− − +
− −

=
( )
4 4
2 2
( )
( 1)( 1)
x y x y
xy y y x x
− − −
+ + + +
( do x+y=1
⇒
y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ)
=
( ) ( )
( )

xy x y x y
− − + −
 
+ + +
 
=
( )
[ ]
2 2
( 1) ( 1)
( 3)
x y x x y y
xy x y
− − + −
+
(0,25đ)
=
( )
[ ]
2 2
( ) ( )
( 3)
x y x y y x
xy x y
− − + −
+
=
( )
2 2
( 2 )

4 2 2 2
2
1 1 1
.
a a a a a a
a a a
+ + − + + +
=
= 3 .
2
a 1a
a
+ +
(0,25đ)
Mà
2 2
a 1 1 2a a a a
a a a
+ + − +
= +
= 3+2 = 5
Suy ra P = 3 . 5 = 15 (0,25đ)
Bài 4 : ( 1 đ) M =
2
2
2008( 2 2008)
2008
a a
a
− +

⇔
a = 2008
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là
2007
2008
khi a = 2008 (0,25đ)
Bài 5 :(2,5đ)
Câu a ( 0,75đ): Lý luận được :
DF DC
AM MC
=
( Do AM//DF) (1)

DE BD
AM BM
=
( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
Từ (1) và (2)
⇒

2
DE DF BD DC BC
AM BM BM
+ +
= = =
( MB = MC) ( 0,25đ)

⇒
DE + DF = 2 AM ( 0,25đ)
Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành

=
 ÷
 

∆
FNA và
∆
FDC đồng dạng

⇒
2
FNA
FDC
S
NA
S FD
 
=
 ÷
 
( 0,25đ)
2

⇒

2
AMC
FDC
S
ND

 
.
2
DM
DC
 
 ÷
 

4
1
16
ND DM
FD DC
 
≤ +
 ÷
 
(0,25đ)

⇒
S
2
FDC

≥
16 S
AMC
.S
FNA

Ta có :
MI MH
DC HC
=
( Do MI // BC)
⇒

2
BD MH
DC HC
=
( 1)
( 0,25đ)
∆
MAH và
∆
ACH đồng dạng ( g-g)
⇒
1
2
MH MA
AH AC
= =
(
∆
ABC vuông cân tại A nên AB = AC )
⇒
AH = 2 MH ( 0,25đ)
∆
AMC vuông , ta có AH




+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3
2
xx
xx
x
:








+
−
+−

:








+
−
+−
2
10
2
2
x
x
x
=






+
+
−
−

x
=
2
1
⇔
x =
2
1
hoặc x = -
2
1

Với x =
2
1
ta có : M =
2
1
2
1
−
=
2
3
1
=
3
2
Với x = -
2

B
F
0=++
z
c
y
b
x
a
và
1=++
c
z
b
y
a
x
. Chứng minh rằng
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y

2
2
c
z
b
y
a
x
++
+
ab
xy2
+
bc
yz2
+
ac
xz2
= 1
⇒
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y

y
a
x
(đpcm)
Bài 3: Cho biểu thức: A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
a) Phân

tích biểu thức A thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
a. Ta có : A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2

1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
B =
1
)1(3
23
+++
+
xxx
x
=
1)1(
)1(3
2
+++
+
xxx
x
=
)1)(1(
)1(3
2
++
+
xx

, suy ra tứ giác AHJD
nội tiếp, từ đó góc AHJ =1v.Vậy tam giác AHJ vuông cân tại H.
Suy ra
2
2
=
AJ
AH
(1)
Xét tương tự ta có
2
2
=
AI
AK
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
JI~ AAHK ∆∆
. Do đó

J I
HK
=
2
2
=
AJ
AH
.
§Ò sè 3

HD*TXĐ x

1.
a/ Rút gọn T=
2 2
3 2 2
( 1) 4 ( 4) 5 1
:
2 ( 1). ( 2)
x x x x x x
x x x x x
+ +
+
=
2
3 2 2
( 1) 1
:
2 2 2 2 1
x x
x x x x x

+ +
=
2
2
( 1) 1
.
( 1)( 2 2) 1
x


0 ; yz

1 ; xz

1.
Thỡ : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
HD T GT

(x
2
-yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y
2
- xz)

x
2
y- x
3
yz-y
2
z+xy
2
z
2
= xy
2
-x
2
z - xy

2
- xz - x
2
)+z(x
2
- y
2
) = 0

xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0

(x -y)
[ ]
yzxzzyxxyzxy ++++ )(
= 0
Do x - y

0 nờn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (pcm)
Bi 3: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh sau: x
2
-4xy+5y
2
=16
HD
Ta cú: x
2
-4xy+5y
2
=16

2
=0 x=4; y=0
(x-2y)
2
=16

x=-4; y=0

Vy phng trỡnh cú 4 nghim nguyờn: (4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4)
5
Câu 4 (2 điểm): Một ngời đi xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách nhau 80km. Một
nửa giờ sau một ngời đi xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trớc ngời đi xe máy 10 phút.
Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe ô tô gấp 1,5 lần vận tốc xe máy.
HD Gọi vận tốc của ngời đi xe máy là x km/h (x > 0)
=> vận tốc của ngời đi xe ô tô là 1,5x km/h .
thời gian ngời đi xe máy là:
80
x
(h) , thời gian ngời đi xe ô tô là:
80
1,5x
( h)
theo bài ra ta có pt:
80
x
-
80
1,5x
=
2

AC nờn BH//CG
T giỏc BGCH cú cỏc cp cnh i song
song nờn nú l hỡnh bỡnh hnh.
Do ú hai ng chộo ct nhau ti trung
im ca mi ng.Vy GH i qua trung im
M ca BC.
b) Do BE v CF l cỏc ng cao ca tam giỏc ABC
nờn cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng.
Hai tam giỏc vuụng ABE v ACF cú chung gúc A nờn
chỳng ng dng
Suy ra
AF
AE
AC
AB
=



AF
AC
AE
AB
=
(1)
Hai tam giỏc ABC v AEF cú gúc A chung (2)
T (1) v (2) suy ra

ABC ~


BDF = 90
0
-

CDE

90
0
-

BDF = 90
0
-

CDE



ADB -

BDF =

ADC -

CDE



ADF =


2
n 4
A
n 5
+
=
+
(nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân
số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Lời giải
a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) M d hay 1 M d d = 1.
Vậy phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản.
b) Ta có
29
A n 5
n 5
= - +
+
. Để A cha tối giản thì phân số
29
n 5+
phải cha tối giản. Suy ra
n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 M 29
n + 5 =29k (k N) hay n=29k 5.

a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +

c(a b c) ab
(a b). 0
abc(a b c)
+ + +
+ =
+ +
(a + b)(b + c)(c + a) = 0
a b 0
b c 0
c a 0
ộ
+ =
ờ
ờ
+ =
ờ
ờ
+ =
ở

a b
b c
c a

Bài 3:Tỡm GTNN ca B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.
HD : B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 8.
MinB = 8 khi : .
Bài 4 : Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3).
Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm một khối lợng công việc. Nếu hai tổ làm chung thì
hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công
việc. Nếu công việc trên đợc giao riêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian để
hoàn thành
Bi 5: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn, cỏc ng cao AD, BE, CF ct nhau ti H. ng
thng vuụng gúc vi AB ti B v ng thng vuụng gúc vi AC ti C ct nhau ti G.
a) Chng minh rng GH i qua trung im ca BC.
b)

ABC ~

AEF
c)

BDF =

CDE
d) H cỏch u cỏc cnh ca tam giỏc DEF
Gii
a)BG

AB, CH

AB, nờn BG // CH
Tng t BH


ABC ~

AEF.
c) Chng minh tng t ta c:

BDF ~

BAC,

EDC ~

BAC, suy ra

BDF ~

EDC



BDF =

CDE
d) Ta cú

BDF =

CDE

90
0

ADF =

ADE
Suy ra: DH l tia phõn giỏc gúc EDF. Chng minh tng t ta cú FH l tia phõn giỏc gúc
EFD. Suy ra H l giao im ba ng phõn giỏc ca tam giỏc DEF. Vy H cỏch u ba cnh
ca tam giỏc DEF.
Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức :
3 3 3 4 2 2 5
1 1 1 3 1 1 6 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= + + + + +
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
+ + +
.
8

H

A

B


1 1 a b S
;
a b ab P
+
+ = =

2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 a b S 2P
;
a b a b P
+ -
+ = =3 3 3
3 3 3 3 3
1 1 a b S 3SP
.
a b a b P
+ -
+ = =
Ta có : A =
3 2
3 3 4 2 5
1 S 3SP 3 S 2P 6 S
. . .
S P S P S P
- -
+ +

= + +
- - - - - -
= Ax
2
Bx + C
với :
1 1 1
A
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
;

a b b c c a
B
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - - - -
;

ab bc ca
C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
Ta có :
b a c b a c
A 0
(a b)(b c)(c a)

(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - - -
= = =
- - - - - -
.
Vậy S(x) = 1x (đpcm).
Cách 2
Đặt P(x) = S(x) 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có
tối đa hai nghiệm.
9
Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x).
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x.
Suy ra S(x) = 1 x đpcm.
Ví dụ 9. Cho
1
x 3
x
+ =
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2
2
1
A x
x
= +
; b)
3
3
1

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
;
b)
3
3
3
1 1 1
B x x 3 x 27 9 18
x x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + = + - + = - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
;
c)
2
4 2
4 2
1 1
C x x 2 49 2 47
x x

+
= +
+ - + -
.
Lời giải
Ta có :
2 2
2 2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - + -
+ = =
+ - + - + -
Đồng nhất phân thức trên với phân thức
2
2
(x 1)(x 1)+ -
, ta đợc :

a c 0 a 1
b a 0 b 1
c b 2 c 1
ỡ ỡ
+ = =-
ù ù
ù ù
ù ù
ù ù
- = =-
ớ ớ

0 . Chng minh rng

( )
3 3 2 2
2
0
1 1 3
x y
x y
y x x y

+ =
+
10
Bài 3 : ( 2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng :
2
2
1 1
3
3 1
x x
x x
+ +
≤ ≤
− +
c) Cho a
2
– 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức

FNA
Bài 6 : ( 1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông
góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số
BD
DC
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1 : ( 1,5 điểm)
a) ( 0,75đ) x
3
- 5x
2
+ 8x - 4 = x
3
-4x
2
+ 4x – x
2
+4x – 4 ( 0,25 đ )
= x( x
2
– 4x + 4) – ( x
2
– 4x + 4) ( 0,25 đ)
= ( x – 1 ) ( x – 2 )
2
( 0,25 đ)
b) (0,75đ) Xét
2

M
B ( 0,25 đ)
Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi
3 3
1 1
x y
y x
−
− −
=
4 4
3 3
( 1)( 1)
x x y y
y x
− − +
− −

=
( )
4 4
2 2
( )
( 1)( 1)
x y x y
xy y y x x
− − −
+ + + +
( do x+y=1
⇒

( )
( ) 2
x y x x y y
xy x y x y
− − + −
 
+ + +
 
=
( )
[ ]
2 2
( 1) ( 1)
( 3)
x y x x y y
xy x y
− − + −
+
(0,25đ)
11
=
( )
[ ]
2 2
( ) ( )
( 3)
x y x y y x
xy x y
− − + −
+

3
+6n (0,25đ)
= 3n
3
-3n +9n = 3n(n
2
-1) +9n
= 3n (n-1) (n+1) +9n (0,25đ)
Vì
9 9
3 ( 1)( 1) 9
n
n n n


− +

M
M

⇒
3n (n-1) (n+1) + 9n
M
9 (0,25đ)
b) (1đ) Ta có (x+1)
2

≥
0
⇔

≥
0
⇔
3(x
2
-x+1)
≥
x
2
+x+1 (**) (0,25đ )
Vì x
2
-x+1 = ( x-
1
2
)
2
+
3
4
> 0 (0,25đ)
Chia 2 vế của bất đẳng thức (*) cho x
2
-x+1
ta có
2
2
1 1
3 1
x x

1a a
a
− +
=3 (0,25đ)
P =
4 2 2 2
2
1 1 1
.
a a a a a a
a a a
+ + − + + +
=
= 3 .
2
a 1a
a
+ +
(0,25đ)
Mà
2 2
a 1 1 2a a a a
a a a
+ + − +
= +
= 3+2 = 5
Suy ra P = 3 . 5 = 15 (0,25đ)
Bài 4 : ( 1 đ) M =
2
2

+ ≥
(0,25đ)
Dấu “=” xảy ra
⇔
a – 2008 = 0
⇔
a = 2008
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là
2007
2008
khi a = 2008 (0,25đ)
Bài 5 :(2,5đ)
Câu a ( 0,75đ): Lý luận được :
DF DC
AM MC
=
( Do AM//DF) (1)

DE BD
AM BM
=
( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
Từ (1) và (2)
⇒

2
DE DF BD DC BC
AM BM BM
+ +
= = =

AMC
FDC
S
AM
S FD
 
=
 ÷
 

∆
FNA và
∆
FDC đồng dạng

⇒
2
FNA
FDC
S
NA
S FD
 
=
 ÷
 
( 0,25đ)

⇒


2
ND
FD
 
 ÷
 
.
2
DM
DC
 
 ÷
 

4
1
16
ND DM
FD DC
 
≤ +
 ÷
 
(0,25đ)

⇒
S
2
FDC


AD)
⇒
MI =
2
BD
Ta có :
MI MH
DC HC
=
( Do MI // BC)
⇒

2
BD MH
DC HC
=
( 1)
( 0,25đ)
∆
MAH và
∆
ACH đồng dạng ( g-g)
⇒
1
2
MH MA
AH AC
= =
(
∆

13
N
E
D
M
C
A
B
F
I
M
D
H
C
B
A
§Ò sè 6
Bài 1 ( 2,0 điểm ) :
Cho biểu thức P =
2
)1(
:
1
1
1
1
2
2233
−
−

a) Tìm tập xác định của P rồi rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị là số nguyên.
Bài 2 ( 2,5 điểm ) :
a) Cho biểu thức M =
32
2
2
++ xx
.

Với giá trị nào của x thì M có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó ?
b) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có chiều dài hơn
chiều rộng 7m, đường chéo có độ dài 13m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó ?
Bài 3 ( 2,5 điểm ) :
a) Cho a ≥ 1 và b ≥ 1 . Chứng minh :
ab
ba
+
≥
+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
. Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?

a) 1,0 điểm
+ Tập xác định x ≠ 1; x ≠ - 1 và x ≠ ±
2
0,25đ
+ Rút gọn P =
x
x 2
2
−
0,75đ
b) 1,0 điểm
+ Viết P = x -
x
2
0,25đ
14
+ Để P có giá trị nguyên thì x là ước của 2 ⇔ x = ± 1 ( loại ) 0,25đ
x = ± 2 ( nhận ) 0,25đ
+ Từ đó các giá trị nguyên của P là 1 và - 1 0,25đ
Bài 2 ( 2,5 điểm )
a) 1,0 điểm
+ Viết M =
2)1(
2
2
++x
0,25đ
+ Vì ( x + 1 )
2
≥ 0 với mọi x ⇒ ( x + 1 )

0,5đ
Bài 3 ( 2,5 điểm )
a) 1,0 điểm
+ Chuyển vế và tách -
ab+1
2
= -
abab +
−
+ 1
1
1
1
0,25đ
+ Nhóm, quy đồng mẫu của từng nhóm và thực hiện đúng phép cộng 0,25đ
+ Đặt nhân tử chung trên tử thức để có :
)1)(1)(1(
)1()(
22
2
abba
abab
+++
−−
0,25đ
+ Vì a ≥ 1 và b ≥ 1 nên phân thức trên ≥ 0 ; từ đó suy ra điều cần c/m 0,25đ
b) 1,5 điểm
+ ĐKXĐ : x ≠ ± m 0,25đ
+ Quy đồng và khử mẫu 2 vế, đưa về PT ( m - 1 ).x = ( m - 1 )( 2m - 3 ) 0,25đ
+ Với m ≠ 1 ta có x = 2m -3 0,25đ




=






=
BK
BC
HK
CH
HK
AH
2
1
2
1
0,25 (2)
+ V KM BC ti M thỡ BMK BAC ( g-g )
BM
AB
BK
BC
=

BM

c) 0,5 im Do HI // CK nờn CHI = HCK = 20
0
( 2 gúc so le
trong ) 0,5
Đề 7
Câu 1 (1,5 điểm):
a/ Tính nhanh: 999.1001+99
2
.
b/ Phân tích đa thức thành nhân tử : +/ x
2
-7x+10.
+/ x
2
-2x-y
2
+1.
Câu 2 (2 điểm):
a/ Giải phơng trình:
1 3 4
3 2 4
x x x
=
b/ So sánh A và B biết: A= (1+
1
2
)(1+
2
1
2

a/ Rút gọn T.
b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (2 điểm): Một ngời đi xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách nhau 80km. Một nửa giờ
sau một ngời đi xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trớc ngời đi xe máy 10 phút. Tính vận tốc của
mỗi xe, biết vận tốc của xe ô tô gấp 1,5 lần vận tốc xe máy.
Câu 5: (2,5 điểm): Cho
ABC

vuông tại A; H nằm trên đoạn BC ( H không trùng B hoặc C).
Gọi E, F lần lợt là điểm đối xứng của H qua AB, AC và HE cắt AB tại P, HF cắt AC tại Q.
a/ Tứ giác HPAQ là hình gì? Tại sao?
b/ Chứng minh: AC.BP=AB.AQ.
c/ Chứng minh ba điểm: E, A, F thẳng hàng.
@
HD
Câu 1 (1,5 điểm):
a/ Tính nhanh: 999.1001+99
2
= (1000-1)(1000+1)+(100-1)
2
=1000
2
-1+100
2
-200+1=
1000000+10000-200=1009800 ( 0,5 điểm)
b/ Phân tích đa thức thành nhân tử:
+/ x
2
-7x+10 = (x


4x-4=18x-24-3x => x=
20
11
. ( 1 điểm)
b/ Ta có
1
1
2


ữ

A=
1
1
2


ữ

(1+
1
2
)(1+
2
1
2
)(1+
4

2
)(1+
16
1
2
)(1+
32
1
2
) = (1-
4
1
2
)(1+
4
1
2
)(1+
8
1
2
)(1+
16
1
2
)(1+
32
1
2
)

1
2
)(1+
32
1
2
) = (1-
64
1
2
)
=> A = 2(1-
64
1
2
) = 2 -
63
1
2
. Do
63
1
2
> 0 => 2 -
63
1
2
< 2 . Vậy A<B ( 1 điểm)
17
Câu 3 (2 điểm): Cho T=


+ +
=
2
2
( 1) 1
.
( 1)( 2 2) 1
x
x x x x

+ +
=
2
1
( 1) 1x + +
( 1 điểm)
b/ Để T đạt giá trị lớn nhất thì
2
( 1) 1x +
nhỏ nhất mà (x+1)
2
+1>1 .
Vậy x=-1 thì T=1 là lớn nhất. ( 1 điểm)
Câu 4 (2 điểm): Gọi vận tốc của ngời đi xe máy là x km/h (x > 0)
=> vận tốc của ngời đi xe ô tô là 1,5x km/h . (0,5 điểm )
thời gian ngời đi xe máy là:
80
x
(h) , thời gian ngời đi xe ô tô là:

;
ã
HQA
= 90
0
(0,75 điểm )
b/ Do HP// AC =>
PBH
:

ABC
=>
PB PH
AB AC
=

AC.BP=AB.PH=>AC.BP=AB.AQ (0,75 điểm )
c (0,75 điểm )
Đề 8
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.
2
7 6x x+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x+ + +
A
B
C

2. Tìm số d trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8 2008x x x x+ + + + +
cho đa thức
2
10 21x x+ +
.
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC). Trên tia HC lấy điểm D sao
cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
m AB=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng.
Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
19
Bài
1
Câu Nội dung Điểm
1.
2,0
1.1

1x
: (1)
( )
2
1 0 1x x = =
(thỏa mãn điều kiện
1x
).
+ Nếu
1x <
: (1)
( ) ( ) ( )
2 2
4 3 0 3 1 0 1 3 0x x x x x x x + = = =

1; 3x x = =
(cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là
1x
=
.
0,5
0,5
2.2
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1

2
1 1
8 8 4 4 16x x x x
x x

+ + = + + =
ữ ữ

0 8x hay x = =
và
0x
.
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm
8x
=
0,25
0,5
0,25
20
3
2.0
3.1 Ta có:
A=
111)
111
)(( ++++++++=++++
b
c
a
c

x
(BĐT Cô-Si)
Do đó A
.92223 =+++
Vậy A
9
0,5
0,5
3.2 Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
( ) 2 4 6 8 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
= + + + + +
= + + + + +
Đặt
2
10 21 ( 3; 7)t x x t t= + +
, biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) ( )
2
( ) 5 3 2008 2 1993P x t t t t= + + = +
Do đó khi chia
2
2 1993t t +
cho t ta có số d là 1993
0,5

2 2
BM BE AD
BC BC AC
= ì = ì
(do
BEC ADC :
)
mà
2AD AH=
(tam giác AHD vuông vân tại H)
nên
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB
= ì = ì = =
(do
ABH CBA :
)
Do đó
BHM BEC :
(c.g.c), suy ra:
ã
ã
ã
0 0
135 45BHM BEC AHM= = =
0,5

+++
+
xxx
xxx
a. Tìm điều kiện của x để A xác định và rút gọn A .
b. Tìm giá trị nguyên của x để A nguyên .
Câu 2 : ( 2 đ )Giải các phơng trình .
a.
1010
996 x
+
1035
971 x
=
1060
946x
-3 .
b. x
3
7x 6 = 0 .
Câu 3 : ( 3 đ ) Trên các cạnh AB , AC của tam giác ABC lần lợt lấy các điểm P và Q sao cho BP
= CQ . Gọi M , I lần lợt là trung điểm của PQ và BC . Dựng các hình bình hành BPMK và CQMH .
a. Chứng minh rằng K , I , H là 3 điểm thẳng hàng .
b. Chứng minh MI là phân giác của góc HMK .
c. Khi P , Q chạy trên AB và AC thì M chạy trên đờng nào ? Vì sao ?
Câu 4 : ( 1,5 đ ) Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác , biết :
a
3
+ b
3

x
(0,75)
b.Biến đổi đợc : A = 1 -
3
4
+
x
. (0,25 đ ) .
Lập luận ( x + 3 ) =
{ }
4;2;1

( 0,25 đ ) .
(0,5đ)
Kết luận đợc : với x

{ -4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 } thì A

Z . ( 0,25 đ ) .
Câu 2 : GPT :Mỗi bài a , b đúng đợc 1 điểm .
a.
1010
996 x
+
1035
971 x
=
1060
946x
- 3 .

+

1
1060
946 x
= 0 . ( 0,25 đ ) .
0
1060
2006
1035
2006
1010
2006
=

+

+


xxx
. ( 0,25 đ ) .
x+3 -4 -2 -1 1 2 4
x -7 -5 -4 -2 -1 1
22
( )
0
1060
1
1035


( )
1+x
( )
6
2
xx
= 0 ( 0,25 đ ) .
( )( )( )
0321 =++ xxx
( 0,25 đ ) .
3;2;1 === xxx
( 0,25 đ ) .
Câu 3 :
a. Chỉ ra đợc :
HC//= BK ( =
PQ
2
1
) ( 0,50 đ ) .
Suy ra tứ giác BKCH là hình bình hành ( 0,25 đ ) .
Suy ra KH là đờng chéo đi qua trung điểm I của BC ( 0,25 đ ) .
b. Chỉ ra đợc :
MI là trung tuyến của tam giác KMH . ( 0,25 đ ) .
Và tam giác KMH cân ( vì KM = MH = BP = CQ ) . ( 0,50đ ) .
Suy ra MI cũng là phân giác của góc KMH ( 0,25 đ ) .
c. Chỉ ra đợc :
Góc BAC = góc KMH ( góc có cạnh tơng ứng song song ) . ( 0,25 đ ) .
Suy ra Ax là phân giác của góc BAC cũng song song với MI . ( 0,25 đ ) .
Vì Ax không đổi ; khi PQ thay đổi . Suy ra điểm M chạy trên đờng thẳng d song song với Ax và d đi

Câu 5 : Ta có : E =2+ ( x-1 ) +
1
1
x
( 0,5 đ ) .
Theo Cauchy : ( x- 1 ) +
2
1
1

x
( 0,25 đ ) .
Suy ra E
4
E nhỏ nhất là 4 khi x-1 =
1
1
x
Vì x>1 x =2 . ( 0,25 đ ) .
23
24
Đề số 10- Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
- 7x - 6
b/ Giải phơng trình: x


(ax + by)
2
b/ Chứng minh rằng: x
3m+1
+ x
3n+2
+ 2 chia hết cho x
2
+ x + 1 với mọi số tự nhiên m,n.
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đờng cao AA, BB, CC.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
Câu 5 (1 điểm)
Cho 3 số dơng a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
9

2
+ 31x - 30 = 0 <=> (x
2
- x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*)
Vì x
2
- x + 1 = (x - 1/2)
2
+ 1/4 > 0 (1/2 điểm)
=> (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 <=>






=
=

=+
=
6
5
06
05
x
x
x
x
(1/2 điểm)