ĐỀ 30
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1. ( 2 điểm)
Cho hàm số f(x) =

Chứng minh rằng
xdxx sin1
4
4
2





= f’(0).
Bài 2. ( 2 điểm)
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền

khi quay quanh trục oy.
Bài 3. ( 2 điểm)
Tìm m để bất phương trình: mx
2
+ mx + m -2  0 có nghiệm x(1;2).
Bài 4. ( 2 điểm)

Tìm giới hạn:
x
x
x
2
sin
13
lim
2
0
2



Bài 8. ( 2 điểm)
Giải và biện luận theo m bất phương trình:
x
2
sin
2
1
x
khi x0
0 khi x=0y=x
2
-6x+5
y=0

2
2
 y
x
và hai đường thẳng (d
1
): x-ky=0, (d
2
): kx+y=0. (d
1
) cắt
elip (E) tại A và C, (d
2
) cắt elip (E) tại B và D.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.

ĐỀ 29
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

log 11 log ( x mx 10 4)log (x mx 12) 0
      
.
b) Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x.
1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1.
Câu 4: (2,5 điểm)
a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 0:
3 3
1 ax cos x víi x 0
f(x)
ln(1 2x) b 1 víix 0

  



   


.
b) Tính tích phân:
1 5
2
2
4 2 x
1 5
2
x 1
I dx
(x x 1)(1 2006 )

1
) và (P).
Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a (a> 0).
Cạnh SA vuông góc với đáy và SA =
a 3
. M là một điểm khác B trên SB sao cho AM 
MD. Tính tỉ số
SM
SB
.

1
ĐỀ 26
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1: (4 điểm)
1) (Đề 48 I
2
trong 150 đề tuyển sinh Đại học)
Tìm trên đồ thị hàm số y =
1
2

Bài 2: (5 điểm)
1) (Tự sáng tác)
Tìm tổng tất cả các nghiệm x  [1;100] của phương trình:
Sin
4
x + Sin
4
( x +
4

) + Sin
4
(x +
xSinx 4
2
3
)
4
3
(sin)
2
44




2) ( Toán học tuổi trẻ năm 2003)
Cho tam giác ABC không có góc tù thoả mãn hệ thức:
6
5

2
1
24
x
xx
x




Bài 4: (4 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
1) ( Đề thi tuyển sinh vào ĐHXD - Hà Nội năm học 2000-2001)
Cho điểm A(4;0) và đường thẳng : 4x - 9 = 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M
có tỷ số khoảng cách từ đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng  bằng
3
4
là một
Hypebol. Hãy viết phương trình của Hypebol đó.
2) ( Chuyên đề về hình học giải tích của Cam Duy Lễ - Trần Khắc Bảo)
Cho Parabol y
2
= 2px (p > 0) và đường thẳng d di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm F
của Parabol. Gọi M, N là các giao điểm của parabol với đường thẳng d. Chứng minh rằng
đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 5: (3 điểm) (500 Bài toán về bất đẳng thứccủa Phan Huy Khải -Tập II)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC.

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2, Chứng minh đường thẳng (d):
1
1
2



yx
có đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ đến
(C) hai tiếp tuyến vuông góc. Xác định toạ độ hai điểm đó.
Câu II. (4 điểm).
1, Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình





xyx
mmyx
22

Khi hệ có hai nghiệm (x
1
;y
1
), (x
2
;y
2

1
; x
2
giả sử x
1
<x
2
và AB=2. Tìm x
1
; x
2
để hình phẳng giới hạn bởi đường
thẳng (d) và Parabol có diện tích lớn nhất.
2, Tam giác ABC không có góc tù và
CBA sinsinsin
22

. Chứng minh tam giác ABC
là tam giác vuông.
Câu IV. (4 điểm)
1, Tính đạo hàm của hàm số:











tgtgtg
.
ĐỀ 25
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1: ( 4 điểm )
Cho hàm số :
1
1
1


x
xy
( C )
1/ Khảo sát hàm số .
2/ Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại
diểm
đó tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất .
Bài 2: (2 điểm )
Biện luận theo m số nghiệm dương của phương trình :




x
:









0342212364
23
 CosxmxCosxSinmSinxmxSinm

Bài 5: (2 điểm )
Tìm tam giác ABC có B = 2A và ba cạnh có số đo là ba số nguyên liên tiếp .
Bài 6: (2 điểm )
Tìm đa thức


xP
có bậc lớn hơn 1 thoả mãn hệ điều kiện sau :












8312
32
2
43log23
2
yyy
yxCos

Bài 8: (2 điểm )
Hai hình chóp tam giác đều có chung chiều cao , đỉnh của hình chóp này trùng
với tâm của đáy hình chóp kia. Mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một
cạnh
bên của hình chóp kia. Cạnh bên
l
của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao
một
góc

.Cạnh bên của hình chóp thứ 2 tạo với đường cao một góc

.
Tìm thể tích phần chung của hai hình chóp .
Bài 9: (2điểm )

o
<-2
Bài 2: ( 4điểm)
1. Tìm m để nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn


2;10
13
2
13
2
2



xx
xxm

2. Giải bất phương trình:

64264264
222
)1()1()2(


xxxxxx
mmm

Bài 5: ( 6 điểm)
1. Lập phương trình của Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) và đỉnh S(2;1).
2. Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vuông. Gọi H là hình chiếu của O lên đáy
ABC. Chứng minh rằng:

a)
2222
1111
OC
OB
OA
OH
b)
OABOACOBCABC
SSSS


2222

ĐỀ 24
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút



Câu 5: Cho dãy số I
n
=



n
n
dx
x
x
4
2
cos
, nN*

Tính
n
lim
I
n

Câu 6: Cho 1  a > 0, chứng minh rằng.
1
ln


y

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2, Chứng minh đường thẳng (d):
1
1
2



yx
có đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ đến
(C) hai tiếp tuyến vuông góc. Xác định toạ độ hai điểm đó.
Câu II. (4 điểm).
1, Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình





xyx
mmyx
22

Khi hệ có hai nghiệm (x
1
;y
1
), (x
2

tại hai điểm phân biệt A, B lần lượt
có hoành độ x
1
; x
2
giả sử x
1
<x
2
và AB=2. Tìm x
1
; x
2
để hình phẳng giới hạn bởi đường
thẳng (d) và Parabol có diện tích lớn nhất.
2, Tam giác ABC không có góc tù và
CBA sinsinsin
22

. Chứng minh tam giác ABC
là tam giác vuông.
Câu IV. (4 điểm)
1, Tính đạo hàm của hàm số:








222


tgtgtg
.
ĐỀ 20
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút Câu 1 (2.0đ) Tính tổng sau S
n
=
nn
x
tg
x
tg
x
tg
2
2
1

2
2



xyx
mmyx
22

1/ Biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo m
2/ Khi hệ có hai nghiệm (x
1
;y
1
);(x
2
;y
2
) tìm m để S = (x
2
-x
1
)
2
+(y
2
-y
1
)
2
đạt giá trị lớn
nhất
Câu 4 (2.0 đ) Giải phương trình



(với m ,n ,p là ba số nguyên dương cho trước )

Câu7 (2.0đ) Giải và biện luận theo tham số m hệ bất phương trình sau












m
x
x
x
2sin
sin1
2
2
3cos51
log
4
4
cos

sin
sin
2
sin
sin
222



Câu 9 (4.0đ ) Cho hình chóp tam giác SABC .Biết rằng tồn tại hình cầu tâm O, bán
kính R ( O nằm trên đường cao hình chóp) tiếp xúc với cả 6 cạnh hình chóp.
1/ Chứng minh rằng SABC là hình chóp đều.
2/ Cho SC =R
3
. Tính chiều cao hình chóp. ĐỀ 22
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1: (4 điểm)
Tìm trên đồ thị hàm số y =
1
2


Tìm tổng tất cả các nghiệm x  [1;100] của phương trình:
Sin
4
x + Sin
4
( x +
4

) + Sin
4
(x +
xSinx 4
2
3
)
4
3
(sin)
2
44




2)
Cho tam giác ABC không có góc tù thoả mãn hệ thức:
6
5
coscos)2cos2(cos
2




Bài 4: (4 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
Cho điểm A(4;0) và đường thẳng : 4x - 9 = 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M
có tỷ số khoảng cách từ đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng  bằng
3
4
là một
Hypebol. Hãy viết phương trình của Hypebol đó.

Cho Parabol y
2
= 2px (p > 0) và đường thẳng d di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm F
của Parabol. Gọi M, N là các giao điểm của parabol với đường thẳng d. Chứng minh rằng
đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 5: (3 điểm) (500 Bài toán về bất đẳng thứccủa Phan Huy Khải -Tập II)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC.
Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V
1
, V thứ tự là thể tích
của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
tỷ số
V
V
1






2
0
2
0

xSinxCos
dxxSin
xSinxCos
dxCos
nn
n
nn
n Và suy ra giá trị của chúng .
Câu 3 ( 2 đ )
Biện luận theo m số nghiệm ccủa phương trình

644
4 44
 mxxmxx

Câu 4: ( 2 đ )
Tìm m để phương trình: x


22
4
21
ca
ca
SinB
CosB




(1)
Chứng minh tam giác là tam giác cân
Câu 7: ( 2 đ )
Tìm giới hạn E =
)
1
1
(
1
nm
x
x
n
x
m
Lim



) : x
2
+ y
2
– x – 6y + 8 = 0
(C
2
): x
2
+ y
2
– 2mx – 1 = 0
Tìm m để (C
1
) và ( C
2
) tiếp xúc với nhau Nói rõ loại tiếp xúc.
Câu 10 (2đ)
Chứng minh rằng nếu n là số nguyên, n

1 thì

1
1
1
1




ĐỀ 19
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1 : (4điểm )
Cho đường cong ( C
m
) :
m
x
2
1mx
y
x
2



( m là tham số và |m | 2)
Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đường cong (C
m


-
xa 
=1
( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )
b) Giải bất phương trình
4
x
2

- 2
x
2


16
8x12
x9
2



( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )

Bài 3 ( 4điểm )
a)Giải Phương trình :2sin(3x+
4

) =
x2x2sin81



( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )

b) Giải hệ phương trình









loglog
loglog
)x3(
2
3y
2
)y3(
2
3x
2

(Đại số sơ cấp tác giả Trần Phương)
Bài 5 ( 4điểm) :
a) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang có cạnh AD =2 BC. Gọi M,N là hai
trung điểm của SA , SB tương ứng .Mặt phẳng (DMN ) cắt SC tại P. Tính tỉ số điểm P
chia đoạn thẳng CS .

ĐỀ 16
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút

Bài 1: Cho y = (-m + 1) x
3
+ 3( m + 1) x
2
- 4 mx - m .
a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .
b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng .
Bài 2: Tìm các giá trị của tham số a để bất phương trình :
1
3
4
1
2



a
x
ax
x

Được nghiệm đúng với mọi x .

, D
1
.
a) Chứng minh rằng :
1
1
1
1
1
1
1
1
DD
MD
CC
MC
BB
MB
AA
MA

Không đổi .
b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức
1111
MD
DM
MC
CM
MB
BM

1
8
2
m
C
x
mmxx



1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C
m
) khi m = 1
2) Tìm m để cực đại , cực tiểu của (C
m
) nằm về hai phía của đường thẳng 9x –7y
– 1 = 0
Bài 2( 4,0 điểm)
1)Tìm p và q để giá trị lớn nhất của hàm số y =
qpxx 
2
trên


1;1
là bé nhất
3) Gọi ( x ; y ) là nghiệm của bất phương trình
1)2(log
22
2

sin
dx
x
xx
I

2) Cho x
2
+y
2
=1 . Chứng minh :
2)(5)(20)(16
3355
 yxyxyx

Bài 5( 4,0 điểm)
1) Cho tứ diện ABCD . Các mặt của tứ diện có diện tích bằng nhau . Chứng minh
rằng tâm mặt cầu nội , ngoại tiếp tứ diện trùng nhau.
2) Cho tứ diện ABCD và một mặt phẳng (P) . Tìm trên mf (P) điểm M sao cho
MDMCMBMA 
nhỏ nhất

ĐỀ 18
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 12
Thời gian: 180 phút


1. Giải phương trình khi a = 4.
2. Tìm a để phương trình có nghiệm.
Bài 3: (4 điểm)
1. Giải phương trình: tgx – 3cotg3x = 2tg2x.
2. Chứng minh rằng
ABC

đều nếu thoả mãn:
tgA + tgB + tgC =
2
C
gcot
2
B
gcot
2
A
gcot 
.
Bài 4: (2 điểm)
Tìm giới hạn:
1x3
x
)
2
x
3x
(lim

