Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn Toán học Thời gian làm bài 180 phút
Đề thi bảng A
Bài 1: Cho y = (-m + 1) x
3
+ 3( m + 1) x
2
- 4 mx - m .
a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .
b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định
thẳng hàng .
Bài 2: Tìm các giá trị của tham số a để bất phơng trình :
1
34
1
2
<
+
+
axax
x
Đợc nghiệm đúng với mọi x .
Bài 3: Giải phơng trình

2
)1(
22
3
=
+
+

1
1
DD
MD
CC
MC
BB
MB
AA
MA
+++
Không đổi .
b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức
1111
MD
DM
MC
CM
MB
BM
MA
AM
P
+++=
Đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 6:Chứng minh với mỗi số nguyên dơng n thì phơng trình x
2n+ 1
= x + 1 .
chỉ có 1 nghiệm số thực x
n





+++=
>+
0)1(12)1(9
01
2'
mmm
m

1
0)37)(1(
01
<



++
>+
m
mm
m
hoặc m


7
3


3
00
2
0
3
0
=++ yxxxx
(*)
Để phơng trình (*) không phụ thuộc m cần





=+
=+
03
0143
0
2
0
3
0
0
2
0
3
0
yxx
xxx




=+
=+
03
0143
23
23
yxx
xxx
Trừ hai phơng trình cho nhau đợc : y - 4x - 1 = 0 hay các điểm cố định thuộc
đờng thẳng y = 4x - 1 .
Bài 2 (3 điểm )
Trớc hết cần ax
2
- 4x + a - 3

0 với mọi x



<=


0)3(4
0
'
aa
a

2
- 16a - 25 > 0
2
414
< a
(do a < - 1)
+ Nếu a > 4 thì ax
2
- 4x + a - 3 > 0 với
x
.
Bất phơng trình đã cho thỏa mãn với
x
.

x + 1 < ax
2
- 4x + a - 3 thỏa mãn với
x
.

ax
2
- 5x + a - 4 > 0 thỏa mãn với
x

(1,0
điểm)



;
2
414
2
414
;a
(0.5
điểm)
Bài 3: ( 3 điểm )
Tập xác định D =
x


R (0,25
điểm)
Do x = 0 không là nghiệm của phơng trình đã cho nên phơng trình đã cho
(0,25
điểm)
2
1
1
1
1
22
2
2
3
=



x
x
1
1
1
2
2
+=






+
(0,5
điểm)
Đặt
.
1
t
x
x =+
Điều kiện
2t

(vì
2
11
+=+=

1
2
=+
=+
xx
x
(0,5
điểm)
1= x
Kết luận: Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25
điểm)
Bài 4: (3 điểm )
Điều kiện : xy - x
2
y
2

0

hay
10 xy
(0,25
điểm)
Ta có :
xy - x
2
y
2
= -
4


2
1

(0,25
điểm)
Kết hợp với giả thiết
2
1
4)2(12
3322
++++ yxyyxx
(0,25
điểm)
Cộng hai vế hai bất đẳng thức ta có :
14)2(14
3226
++++
xyyxxy
(0,25
điểm)
1
2
)2(1 yx +
23
)2( xy
Do
1
2
)2(1 yx +

(0,25
điểm)
Giải hệ này ta đợc





=
=



=
=



=
=
2
1
1
;
1
1
;
0
0
3

2
, V
3
, V
4
và V khi đó :
V
V
AA
MA
1
1
1
=
;
V
V
BB
MB
2
1
1
=
;
V
V
CC
MC
3
1

4
= d
2
.
Khi đó :
2
2222
11
1
a
dcba
V
V
MA
AA
+++
==
=>
=
1
MA
AM
2
222
a
dcb ++

Tơng tự:
=
1

+ c
2
+ d
2
)
=>






++

++
=
a
dcb
a
dcb
AM
BM
3
1
222
1
(0,5
điểm)
Tơng tự :
b

= d
2
(0,5
điểm)
=>T
3412.
3
1
3
1
=






++
+
++
+
++
+
++

d
cba
c
dba
b

=
n
xx
(*)
(0,5 điểm )
+ Nếu x
11
2

n
x
: vế trái
0
(0,25
điểm)
Vậy phơng trình vô nghiệm .
+Nếu 0 < x <1 => vế trái (*) âm = > phơng trình vô nghiệm (0,25
điểm)
+Nếu 1<x
1 (*) trái vế0
phơng trình vô nghiệm (0,25
điểm)
+Nếu x > 1 xét f(x) = x
1
12

+
x
n
là hàm số liên tục trên (1 ; +

12
+

+
++
+
+
(theo bất đẳng thức côisi ) (0,5
điểm )
Và lim
1
2
12
lim =
+

n
n
x
n
Vậy lim x
n
= 1 (0,25
điểm)
n