SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi: 02/11/2012.

Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số
3 2
( 1) 2 1
y x m x x m
= − + + + +
, với m là tham số thực, có đồ thị là (C).
Tìm m để đường thẳng
: 1
d y x m
= + +
cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ
số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B, C bằng 12.

Câu 2 (2 điểm). Giải phương trình:
2
1 1 2 , ( )
4
x
x x x− + + = − ∈
ℝ

ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là
(
)
4; 2
D
−
. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC;
biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.

Câu 5 (2 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là trung điểm của SD, mặt
phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD.
Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).

Câu 6 (1 điểm). Cho các số thực
,
x y
thỏ
a mãn
1 2 4 1
x y x y
+ − = − + +
. Tìm giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và
giá tr

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

Môn:
TOÁNHƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 04 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của
học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai
đó không được điểm.
-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
-Trong lời giải câu 4 và câu 5 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Câu 1. (2 điểm)
Nội dung
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
(
)
3 2
1 2 1 1
x m x x m x m

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác
1
2
2
2
4 0
4 0
(*)
1
1 .1 0
2
m m
m m
m
m m

+ >

∆ = + >
 
⇔ ⇔
 
≠
− − ≠

 


Gọi
1 2

⇔ − + + − + + =
⇔ + − − + + = +

Theo định lí Viet ta có:
1 2 1 2
,
x x m x x m
+ = = −
, thay vào (3) ta được
2
2 8 0
m m
+ − =
.
Giải ra ta được
4
m
= −
(lo
ạ
i) ho
ặ
c
2
m
=
(th
ỏ
a mãn). V
ậ


4
2 2 2 2
2 2 1
4
t
t x x t
⇒ = + − ⇒ = −
, v
ớ
i
2
2 0.
t
− ≥2 Ph
ương trình đã cho trở thành
4
2 4 2
1
2 4 16 32 0
4 4
t
t t t t t
 

( th
ỏ
a
mãn). V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
x
= 0. Câu 3. (1,5 điểm)
Nội dung Điểm
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
4 1;x y
− ≤ ≤ ∈
ℝ
. Ta có
3
3

2
0
(1) ( ) ( 1 ) 1
1
y
f y f x y x
y x
≥

⇔ = − ⇔ = − ⇔

= −
Th
ế
vào (2) ta
đượ
c
3 2 1 4 4
x x x
− + − = + +
(3). Xét hàm s
ố

( ) 3 2 1 4,
g x x x x
= − + − − +
liên tục trên [-4;1], ta có

3
2.
x
y
= −


=
Câu 4. (1,5 điểm)

MK
H
D
C
B
A

Nội dung Điểm
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và AD,
E là giao điểm của BH và AC. Ta kí hiệu
,
d d
n u
 
lần lượt là vtpt, vtcp của đường thẳng d.

E


= −



AD vuông góc với BC nên
(
)
1;1
AD BC
n u
= =
 
, mà AD đi qua điểm D suy ra phương trình
của
(
)
(
)
:1 4 1 2 0 2 0
AD x y x y
− + + = ⇔ + − =
. Do A là giao điểm của AD và AM nên tọa
độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
(
)
3 5 8 0 1
1;1
2 0 1
x y x

BHK KCE
=
, mà


KCE BDA
=
(nội tiếp chắn cung

AB
) Suy
ra


BHK BDK
=
, vậy K là trung điểm của HD nên
(
)
2;4
H
.
(Nếu học sinh thừa nhận H đối xứng với D qua BC mà không chứng minh, trừ 0.25 điểm) Do B thuộc BC
(
)
; 4
B t t

(
)
(
)
3 2 2; 2 , 5;1
t t B C≤ ⇒ = ⇒ −
. Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
1; 3 , 4;0 3;1 , 0;1
AB AC
AB AC n n= − = ⇒ = =
   

Suy ra
:3 4 0; : 1 0.
AB x y AC y
+ − = − =Câu 5. (2 điểm)

I
K

(
)
, / / 1
SH ABCD ME SH ME BD⊥ ⇒ ⊥4

L
ại do
(
)
2
AM BD⊥
. Từ
(
)
(
)
(
)
1 & 2
BD AMN BD AN
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
. Trong tam giác AND ta
có
2
2 2 2
. 3 3 2
3

(
)
(
)
(
)
3 & 4
SN ABLM
⇒ ⊥

SN HK
⇒ ⊥
. Lại do
K
là trung điểm
SN
nên tam giác
SHN
vuông cân tại
H
suy ra
2
SH HN a
= =
.

Ta có
3
.
1 4

. 2 . 2
2 2 2
a
HB SH BC a a a= + = + =

M
ặ
t khác ta có
( )
( )
3
6
;
3
MSBC
SBC
V
a
d M SBC
S
= = . Câu 6. (1 điểm)
Nội dung
Điểm
Điều kiện:
2; 1;0 9;
x y x y
≥ ≥ − < + ≤

. Vậy S(t) đồng biến trên [1;4].

Suy ra
2
max
min
1 33 2 5
(4) 4 9 4 4; 0;
2
4
(1) 2 2 2 2; 1.
S S x y
S S x y
−
= = − − + = ⇔ = =
= = − ⇔ = = −
………. Hết……….