Đề thi HSG toán 8 năm học 2010-2011
Câu1(4điểm).
1/Chứng minh rằng n
4
+ 2n
3
n
2
- 2n chia hết cho 24 với mọi giá trị nguyên của n .
2/Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức sau : A = x
2
+ x + 1
Câu2((2điểm).
Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của đa thức 3n
2
+ 10n
2
- 5 chia hết cho giá trị của đa
thức 3n + 1.
Câu 3(4điểm).
Cho biểu thức :
2 2
4
. 4 2
2
x x
A
x x

+
= +

BDC đồnh dạng.
b) Tính độ dài BC và DC.
2/Cho AD là đờng phân giác trong của tam giác ABC. Biết AB =c, BC = a, AC = b. Tính
độ dài BD theo a, b, c .
Hớng dẫn chấm đề toán 8
Câu1(4điểm).
1/Ta có : n
4
+ 2n
3
n
2
- 2n =n(n
3
+2n
2
-n-2) = n[n
2
(n + 2) n(n +2)] =n(n+2)(n
2
-1)
=n(n+2)(n+1)(n-1) =(n-1)n(n+1)(n+2) (1điểm)
Do (n-1)n(n+1)(n+2) là tích của bốn số nguyên liên tiếp, nên tích này chia hết cho 8
và 3. Mà (8;3) = 1 => n
4
+ 2n
3
n
2
- 2n chia hết cho 24 (24 là tích của 8 và 3)

Câu2((2điểm). Ta thực hiện phép chia :
(0,5điểm)

Để giá trị của đa thức bị chia chia hết cho giá trị của đa thức chia thì 3n+1 là ớc của
4.Suy ra :
3n+1 = 1 => n= 0 (nhận)
3n +1 = -1 => n = -2/3 (loại)
3n+1 = 2 => n = 1/3 (loại)
3n+1 = -2 => n = -1(nhận)
3n + 1 = 4 => n = 1 (nhận)
3n+1= -4 => n = -5/3 (loại) (1,5điểm)
Vậy. n =-1, 0, hoặc 1
Câu 3(4điểm).
a)
2 2
4
.( 4) 2
2
x x
A
x x
+
= +


2 2 2 2
2
4 4 ( 2)
. 2 . 2
2 2

-3n - 1
-3n - 5
3n + 1
n
2
+3n -1
9
n
2
+ 3n
9
n
2
-5
3
n
3
+
n
2
3
n
3
+ 10
n
2
-5
Năng xuất khi thực hiện :
24
18

t 12 =0 (t 4)( t +3) = 0 t =4 hoặc t=-3
(0,5điểm)
a) t=4 thì x
2
+x -2 = 4 x
2
+x -6 = 0 (x +3)(x-2) =0 x=-3hoặc x= 2.
b) t=-3 thì x
2
+x -2 =-3 x
2
+x +1 =0 (vô nghiệm) (1,0điểm)
Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm S = { -3; 2 } ( 0,5điểm)
Câu5(2điểm).
Cho a, b, k là các số dơng và a<b. Ta có :
a <b
ak < bk (vì k > 0 ) ( 0,5điểm)
ak +ab < bk +ab ( 0,5điểm)
a ( b+k) < b(a+k)

a a k
b b k
+

+
(điều cần chứng minh ) ( 1,0điểm)
Câu 6( 4điểm)
1/ a)Xét

ABD và

5.3,5
2,5
=7(cm)
và DC =
5.5
2,5
=10(cm) ( 1,0điểm)
2/ Do AD là đờng phân giác trong của

ABC, ta có:

DB DC DB DB DC BC DB a ac
hay DB
AB AC AB AB AC AB AC c c b b c
+
= = = = =
+ + + +
( 2,0điểm)
D
C
B
A
c
b
a
D
C
B
A