SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
—————————

Câu 1 (3,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
 
1
5 , ,
z2
xy x y
yz y z x y z
x z x
  


   


  


b) Giải phương trình:
 
22
3 2 1 6 3 1 2 2 2 1 ,x x x x x x x           

a b b c c a
  
     

Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC,

AB AC
. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ
A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần
lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh:
a) Tứ giác BQCR nội tiếp.
b)
PB DB
PC DC

và D là trung điểm của QS.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.

Câu 5 (1,0 điểm). Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ
số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:……………………………………………; SBD:……………………………….

xy x y
yz y z x y z
x z x
  


   


  


1,5
  
  
  
1 1 2
1
5 1 1 6
z2
1 1 3
xy
xy x y
yz y z y z
x z x
zx
  

  



0,50
+) Nếu
   
1 1 1 6x y z   
, kết hợp với hệ trên ta được
1 1 2
1 2 3
z 1 3 z 4
xx
yy
  


   


  


0,25
+) Nếu
   
1 1 1 6x y z    
, kết hợp với hệ trên ta được
1 1 0
1 2 1
z 1 3 z 2
xx
yy


0,50
     
1 2 1 1 3 1 2 1 2 2 6x x x x x x x            

   
1 2 1 3 2 1 2 3x x x x x          

0,50
  
1 2 x 2 1 3 0xx       

*)
  
2
2 1 3 0 2 1 2 2 1 9 2 4x x x x x x x x x                 

22
4
2
2 8 16
x
x
x x x x


  

    


a b a b
.
0,25
Khi đó ta có
   
 
 
 
 
2013
2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013
2 1 2 1 2 1 1 1n n n n n           
(1)
0,25
Mặt khác
 
 
 
 
 
 
 
 
2013 2013 2013
2013 2013 2013
2013 2013 2013 2013
2 1 2
1 1 2 2 1 1 2. 2
n
n n n n n

vô lý. Do đó trong hai số
,pq

phải có một số bằng 3.
0,50
+) Nếu
22
3 9 2 1 4 2p q q q       
. Do đó
   
, 3,2pq 
.
0,25
+) Nếu
22
3 18 1 19q p p     
vô lí. Vậy
   
, 3,2pq 
.
0,25
3

Cho
,,abc
là các số thực dương thỏa mãn
1abc 
. Chứng minh:
        
3

33ab bc ca abc   
;
2
33a b c abc   
cộng từng vế hai bất đẳng thức
này ta được (1). Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1abc  
.
0,25
4
a
Tứ giác BQCR nội tiếp.
1,0
Do
AB AC
nên Q nằm trên tia đối của tia BA và R nằm trong đoạn CA, từ đó Q, C
nằm về cùng một phía của đường thẳng BR.
0,25
Do tứ giác BFEC nội tiếp nên
AFE BCA
,
0,25
Do QR song song với EF nên

0,25
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được:
 
. . 1 . 2
PB EC FA PB AE FB
PC EA FB PC AF EC
  

0,25
Từ (1) và (2) ta được
 
3
PB DB
PC DC


0,25
Do QR song song với EF nên theo định lí Thales:
,
DQ BD DS CD
PF BP PF CP

.
Kết hợp với (3) ta được
DQ DS
hay D là trung điểm của QS.
0,25
c
Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.
1,0

Từ (4) và (5) ta được
DP DM DQ DR
suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường
tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.

0,25
D
M
P
Q
R
S
E
F
H
A
B
C

5

Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a,
b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
1,0
Trả lời: Không tồn tại 16 số như vậy. Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số thỏa
mãn. Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ.
Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ
là c.
0.25

, , ,x x x
luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho 8, mâu thuẫn.
Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn cũng không xảy ra
0.25
Hết