SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức:
3 16 7 1 7
2
2 3 3 1 1
x x x x x
A
x x x x x
   
+ − + +
= − − : −
 ÷  ÷
+ − + − −
   
a) Rút gọn biểu thức
A.
b) Tìm
x
để
6.A
= −
Câu 2 (1,5 điểm): Cho hệ phương trình:
2 2
2 5
mx y
x my
− =



+ + =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 2 3 2 3 2
9 3 9 3 9 3
a b c
P
a b c b c a c a b
= + +
+ + + + + +
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên
( ; )x y
thỏa mãn:
2
(1 ) 4 ( 1).x x x y y+ + = −
Câu 4 (3,0 điểm): Cho đoạn thẳng
AC
có độ dài bằng
.a
Trên đoạn
AC
lấy điểm
B
sao cho
4 .AC AB
=
Tia
Cx
vuông góc với
AC
tại điểm

c) Chứng minh rằng khi điểm
D
thay đổi trên tia
Cx
thì đường tròn đường kính
DE
luôn
có một dây cung cố định.
Câu 5 (1,0 điểm): Cho dãy gồm
2015
số:
1 1 1 1 1
; ; ; ; ; .
1 2 3 2014 2015
Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số
u,v
bất kỳ trong dãy và viết thêm
vào dãy một số có giá trị bằng
u v uv+ +
vào vị trí của
u
hoặc
v.
Cứ làm như thế đối với dãy
mới thu được và sau
2014
lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng giá trị
của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số
u,v
để xóa trong mỗi lần thực hiện

+ − + +
= − − −
 ÷  ÷
+ − + − −
   
a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức
A
.
Điều kiện:
0
2 3 0
3 0
1 0
2 0
1
x
x x
x
x
x
x


≥


+ − ≠


+ ≠


2 6 7
3 1
x x
x x
+ +
= −
+ −

( )
2 3
7 7 9
2
3 1 1 1
x
x x x
x x x x
+
+ + −
= − = − =
+ − − −
0,25
và
2
2
1 1
x x
x x
−
− =

Trang 2 / 5

7 21 9x x= ⇔ =
(thỏa mãn điều kiện). Vậy để
6A = −
thì
9x =
0,25
Câu 2
(1,5 đ)
Cho hệ phương trình:
2 2
2 5
mx y
x my
− =


+ =

(với
m
là tham số)
a) (0,5 điểm) Giải hệ phương trình trên khi
10m
=
.
Thay
10m
=

 
= =
 
 
⇔ ⇔
 
−
 
= =
 
 

Kết luận: với
10m
=
thì hệ có nghiệm duy nhất:
15
52
23
52
x
y

=




=



2
2
2
2
2
2 5
2 5
2
mx
mx
y
y
mx
x my
x m
−

−
=


=
 
⇔ ⇔
 
−
 
+ =
+ =

=
=
 
+
⇔ ⇔ ∀ ∈
 
−
 
+
=


+
Nên hệ luôn có nghiệm duy nhất:
2
2
2 10
4
5 4
4
m
x
m
, m R
m
y
m
+

=

− + − − + −
=
+ +
2 2
2014 7 8050 2015 14 8056m m m m
⇔ − + − = − + −
0,25

( ) ( )
2
7 6 0 1 6 0m m m m⇔ − + = ⇔ − − =
.
1
6
m
m
=

⇔

=

0,25
Trang 3 / 5
Kết luận: để hệ phương trình đã cho có nghiệm
( )
x; y
thỏa mãn hệ thức:
2
2

P
a b c b c a c a b
= + +
+ + + + + +
Chứng minh:

2 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( )a b c x y z ax by cz+ + + + ≥ + +
,
, , , , ,a b c x y z R∀ ∈
. (1)
Thật vậy:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(1) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0a y abxy b x a z acxz c z b y bcyz c z
⇔ − + + − + + − + ≥
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0ay bx az cx by cz⇔ − + − + − ≥
(đúng)
Dấu
" "
ay bx
az cx
by cz
=


= ⇔ =


=

1 1
( )
9 3 9 3
a
a c
a b c a
⇒ ≤ + +
+ +
0,25
Tương tự có:
3 2 3 2
1 1 1 1
( ); ( )
9 3 9 3 9 3 9 3
b c
b a c b
b c a b c a b c
≤ + + ≤ + +
+ + + +
1
3. ( )
9 3
a b c
P ab bc ca
+ +
⇒ ≤ + + + +
0,25
2
1 1 ( )
1


2 2
( 1)( 1) (2 1)x x y⇔ + + = −
(1)
0,25
Vì
( )
2
, 2 1 0x y y∈Ζ ⇒ − >
, nên từ
( )
1 0x⇒ ≥
và
x
chẵn. 0,25
Giả sử
2
( 1, 1)x x d d+ + = ⇒
lẻ và
2 2
1 ; 1x d x d− +M M

2 1d d⇒ ⇒ =M
0,25
Vì
2
( 1)( 1)x x+ +
là số chính phương,
2
( 1, 1) 1x x+ + =

.
Vậy có hai cặp số nguyên
( )
;x y
thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
(0;0),(0;1)
0,25
Câu 4
(3,0 đ)
Cho đoạn thẳng
AC
có độ dài bằng
a
. Trên đoạn
AC
lấy điểm
B
sao cho
4AAC B
=
. Tia
Cx
vuông góc với
AC
tại điểm
C
, gọi
D
là một điểm bất kỳ
thuộc tia

);
·
·
90
o
ACD ECB= =
0,25
ACD⇒ ∆
và
ECB∆
đồng dạng với nhau(g-g) 0,25
. .
DC AC
DC CE AC BC
BC EC
⇒ = ⇒ =
0,25
Do
3
;
4 4
a a
AB BC= = ⇒
2
3
. .
4
a
DC EC AC BC= =
0,25

0,5
Trang 5 / 5
( )BDE
S⇒
nhỏ nhất bằng
2
3 3
8
a
khi
D
thuộc tia
Cx
sao cho
3
2
a
CD =
. 0,25
c) (1,0 điểm) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia
Cx
thì đường tròn
đường kính
DE
luôn có một dây cung cố định.
Gọi giao điểm của đường tròn đường kính
DE
với đường thẳng AC là M, N ( M nằm giữa
A và B)
⇒

4
a
AM AN AC AB= =
2
2 2
( )( )
4
a
AC MC AC NC AC MC⇒ = − + = −
(Do
MC NC=
)
2
2
3 3
4 2
a a
MC MC NC⇒ = ⇒ = =
0,25
,M N⇒
là hai điểm cố định.
Vậy đường tròn đường kính
DE
luôn có dây cung
MN
cố định.
0,25
Câu 5
(1,0 đ)
Cho dãy gồm

Với dãy số thực bất kỳ
1 2 2015
a ;a ; ;a
, ta xét “Tích thêm
T
”:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 2015
1 1 1 1T a a a a= + + + +
Áp dụng cách biến đổi dãy như trong đề bài kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích
thêm
T
” không thay đổi với mọi dãy thu được.
0,25
Với dãy đã cho ban đầu của bài toán, “Tích thêm
T
”:
1 1 1 1 1 2 3 4 2015 2016
1 1 1 1 1 2016
1 2 3 4 2015 1 2 3 2014 2015
T . . .
      
= + + + + + = =
 ÷ ÷ ÷ ÷  ÷
      
0,25
Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy còn lại chỉ còn một số là
x
thì “Tích
thêm