Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
Chương 3:
DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC – DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương pháp chứng minh quy nạp
1.1. Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến
( )
A n
là một mệnh đề đúng với mọi giá trị ngun dương
n
, ta thực hiện như sau:
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với
1n
=
.
• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số ngun dương
n k
=
tuỳ ý
( )
1k ≥
, chứng minh rằng mệnh đề
đúng với
1n k= +
.
1.2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề
( )
A n
là đúng với với mọi số ngun dương
n p≥

u u n
+
⇔ > ∀ ∈¥

( )
*
1
*
1
0,
1 , 0 ,
n n
n
n
n
u u n
u
u n
u
+
+
⇔ − > ∀ ∈
⇔ > > ∀ ∈
¥
¥
•
( )
n
u
là dãy số giảm

•
( )
n
u
là dãy số bị chặn trên
*
: ,
n
M u M n⇔ ∃ ∈ ≤ ∀ ∈¥¡
.
•
( )
n
u
là dãy số bị chặn dưới
*
: ,
n
m u m n⇔ ∃ ∈ > ∀ ∈¥¡
.
•
( )
n
u
là dãy số bị chặn
*
, : ,
n
m M m u M n⇔ ∃ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈¥¡
.

n n
n
+
+ + + + =LL
(1) ; b)
2 2 2
( 1)(2 1)
1 2
6
n n n
n
+ +
+ + + =LL
(2) .
TTLT - 1A – Tan Hai
35
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
Ví dụ 2. Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi
*
n ∈¥
:
a)
( 1)( 2)
1.2 2.3 ( 1)
3
n n n
n n
+ +
+ + + + =
(1) ; b)

u n n n= + +
chia hết cho 3 ,
*
n∀ ∈¥
b)
2 1 2
3 2
n n
n
v
+ +
= +
chia hết cho 7 ,
*
n∀ ∈¥

2. Tìm các số hạng của dãy số và tìm số hạng tổng qt của dãy số khi cho bằng hệ thức truy hồi .

2.1. Phương pháp :
• Dựa theo cách cho của dãy số để tìm ra các số hạng cần tìm , nếu dãy số cho dưới dạng tổng qt thì
muốn tìm số hạng thứ
k
ta chỉ việc thay
n k
=
vào cơng thức tổng qt . Nếu dãy số cho dưới dạng
truy hồi thì ta phải tính các số hạng truy hồi dần lên đến số hạng cần tìm .
• Để tìm số hạng tổng qt của một dãy số khi nó được cho dưới dạng truy hồi ta có rất nhiều cách nhưng
thơng thường ta nên viết một số só hạng đầu , rồi dự đốn cơng thức và chứng minh lại bằng quy nạp .
2.2. Các ví dụ minh họa :


= −

.
Ví dụ 6. Tìm số hạng tổng qt của dãy số
( )
n
u
biết :
a)
( )
1
1
1
:
2 3
n
n n
u
u
u u
+
=


= +

; b)
( )
1

,
n n
u u n
+
⇔ > ∀ ∈¥

( )
*
1
*
1
0,
1 , 0 ,
n n
n
n
n
u u n
u
u n
u
+
+
⇔ − > ∀ ∈
⇔ > > ∀ ∈
¥
¥
o
( )
n

¥
o
( )
n
u
là dãy số bị chặn
*
, : ,
n
m M m u M n⇔ ∃ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈¥¡
.
3.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 7. Xét tính tăng , giảm của các dãy số
( )
n
u
biết :
a)
2 1
3 2
n
n
u
n
+
=
−
; b)
2
n

+
=
+ +
; b)
2
2
n
n
u
n n n
=
+ +
; c)
( 1) cos
2
n
n
u
n
π
= −
.
TTLT - 1A – Tan Hai
36
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau đúng
*
n∀ ∈¥
:

( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 1 2 1
2 4 6 2
3
n n n
n
+ +
+ + + + =LL
;
e)
( ) ( )
( )
( ) ( )
3
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 . 1 . 2 4 1 2
n n
n n n n n
+
+ + + + =
+ + + +
L
;
f)
2
1 1 1 1
1 1 1

n
n
π
+
+ + + + =LL
1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3
dấu căn
.
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)
2 *
2 2 5 ,
n
n n
+
> + ∀ ∈¥
;
b)
2 2
1 1 1
1 2 , 2
2
n
n n
+ + + < − ∀ ≥L
;
c)
1 3 5 2 1 1
2 4 6 2
3 1

1 1 1 1
1
1 2 3 3 1n n n n
+ + +…+ >
+ + + +
,
*
n∀ ∈¥
.
Bài 3. Chứng minh các mệnh đề sau đúng
*
n∀ ∈¥
:
a)
3
2n n+
chia hết cho 3 ; b)
2 2 2 1
7.2 3
n n− −
+
chia hết cho 5 ;
c)
3
11n n+
chia hết cho 6 ; d)
13 1
n
−
chia hết cho 6 ;

≥
 ÷
 
c) Cho
n
số thực
( )
1 2 3
, , , , 0 ;1
n
x x x x ∈L
. Chứng minh rằng :

( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 1 1 1 , 2
n n
x x x x x x n− × − × × − > − − − − ∀ ≥L L
.
Bài 5. (*) Tìm số hạng tổng qt của dãy số
( )
n
u
biết :
a)
( )
1
1
1
:

=



+

=


;
TTLT - 1A – Tan Hai
37
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
c)
( )
1
1
1
:
5
n
n n
u
u
u u
+
=


= +

n
n
u = + + + +L
1 4 4 44 2 4 4 4 43
dấu căn
; f)
( )
1
1
1
:
5
n
n n
u
u
u u
+
=


=

.
Bài 6. Xét tính tăng , giảm của dãy số
( )
n
u
biết :
a)

u
n
+
=
;
e)
( )
1
1
3
:
2
3
n
n
n
n
u
u
u
u
u
+
=



=

+

n
u
n n
=
+
; b)
2
4
n
u n= +
;
c)
1 1
cos
n
u
n n
= +
; d)
2
2
3 2 1
2
n
n n
u
n
+ +
=
+

( )
1
1
2
:
2
n
n n
u
u
u u
+

=


= +


; b)
1 1 1
1 2 2
n
u
n n n
= + + +
+ +
LL
.
Bài 10. Cho dãy số :

Bài 11.(*) Cho dãy số
( )
n
u
biết
2
2
2 1
3
n
b n
u
n
× +
=
+
và
b
∈
¡
. Hãy xác định
b
để
a)
( )
n
u
là dãy số giảm ;
b)
( )

là cấp số cộng
*
1
,
n n
u u d n
+
⇔ = + ∀ ∈¥
d
là số khơng đổi , gọi là cơng sai của cấp số cộng .
1.2. Số hạng tổng qt :
( )
*
1
( 1) , 2 ,
n
u u n d n n= + − ∀ ≥ ∈¥
.
1.3. Tính chất :
( )
*
1 1
, 2 ,
2
k k
k
u u
u k k
− +
+

n n
u u q n
+
⇔ = × ∀ ∈¥
q
là số khơng đổi , gọi là cơng bội của cấp số nhân .
2.2. Số hạng tổng qt :
( )
1 *
1
. , 2 ,
n
n
u u q n n
−
= ∀ ≥ ∈¥
.
2.3. Tính chất :
( )
2 *
1 1
. , 2 ,
k k k
u u u k k
− +
= ∀ ≥ ∈¥
.
2.4. Tổng n số hạng đầu tiên :

1 2 1

*
1 1
,
n n n n n
u u u d u u d n
+ +
⇔ = + ⇔ − = ∀ ∈÷ ¥
, (
:d
khơng đổi) .
•
*
1
1
,
n
n n
n
u
u u q q n
u
+
+
⇔ = × ⇔ = ∀ ∈¥
&&
&&
−
, (
:q
khơng đổi) .

u
u u n
+
=



= − ≥


Ví dụ 2. Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số nhân , nếu phải hãy tìm cơng bội của cấp số nhân đó :
a)
5
2
n
n
u =
; b)
3 1
( 1) .3
n n
n
u
+
= −
;
c)
3
n
u n= +

Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
2.1.1. Nếu
( )
n
u
là cấp số cộng thì :
•
*
1
( 1) , 2 ,
n
u u n d n n= + − ∀ ≥ ∈¥
•
[ ]
1
1
1 2
2 ( 1)
( )

2 2
n
n n
n u n d
n u u
S u u u
+ −
+
= + + + = =
.

= + + + = =


−

= + + + = ≠

−

khi
2.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 3.Tìm
1 15 20
, , ,u d u S
của các cấp số cộng sau :
a)
( )
: 2,5,8,11,
n
u LL
; b)
( )
n
u
biết
9 2
13 6
5
2 5
u u

− =


=

;
c)
3 5
12
14
129
u u
S
+ =


=

; d)
16
21 10
152 2
3
3
S
S S

=



1 3 5
1 7
65
325
u u u
u u
− + =


+ =

.
Ví dụ 7.Tìm
1
,u q
biết
( )
1
0u >
của các cấp số nhân biết :
a)
1 5
2 3 4
. 25
31
u u
u u u
=



• Nếu
( )
n
u
là cấp số cộng thì :
( )
*
1 1
, 2 ,
2
k k
k
u u
u k k
− +
+
= ∀ ≥ ∈¥
• Nếu
( )
n
u
là cấp số nhân thì :
( )
2 *
1 1
. , 2 ,
k k k
u u u k k
− +
= ∀ ≥ ∈¥

2 2 2
, ,a b c
lập thành một cấp số cộng có cơng sai
0d ≠
. Chứng minh rằng ba số
1 1 1
, ,
b c c a a b+ + +
cũng lập thành một cấp số cộng.
Ví dụ 11. Cho ba số
, ,a b c
lập thành cấp số nhân .Chứng minh các hệ thức sau:
a)
2 2 2 2 2
( ).( ) ( )a b b c ab bc+ + = +
; b)
2 2 2
4 4 8 ( 2 2 )a c ab bc a b c+ − + = − −
.
Ví dụ 12. Chứng minh rằng nếu 3 số
2 1 2
, ,
y x y y z− −
lập thành một cấp số cộng thì 3 số
, ,x y z
lập thành một
cấp số nhân .
Ví dụ 13. Tìm các số dương
a
và

2 2
n
n n
n u n d
n u u
S u u u
+ −
+
= + + + = =
.
•
( )
n
u
lập thành cấp số nhân thì :

1 2 1
1
1 2
khi 1
(1 )
1
1
n n
n
n n
S u u u nu q
u q
S u u u q
q

.
Ví dụ 16. Tính các tổng sau :
a)
2 99
1 2.2 3.2 100.2A = + + + +
;
b)
2 2 2
2
2
1 1 1
3 3 3
3 3 3
n
n
B
     
= + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
L
.
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Trong các dãy số
( )
n
u
dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và cơng sai của nó:
a)
5 3

1
1
2
:
3
n
n n
u
u
u u
+
=


= −

.
Bài 2. Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:
TTLT - 1A – Tan Hai
41
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
a)
1 5 3
2 5
10
7
u u u
u u
+ − =


Bài 4. a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của
chúng là 293.
b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 28 và tổng các bình phương của
chúng bằng 1176 .
Bài 5. a) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có cơng sai
0
3d =
. Tìm số đo
của các góc đó.
b) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm
số đo các góc đó.
Bài 6. Chứng minh rằng nếu 3 số
, ,a b c
lập thành một cấp số cộng thì :

( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
3 6a b c a b a b c+ + − − = + +
.
Bài 7. Chứng minh rằng nếu 3 số
, ,a b c
lập thành một cấp số cộng thì các số
, ,x y z
cũng lập thành một cấp
số cộng , biết :
a)
2 2 2 2 2 2
; ;x b bc c y c ca a z a ab b= + + = + + = + +

( )
( )
( )
1
1
,
:
3 2 , 1
n
n n
u a a
u
u u n
+
= ∈


= − ≥


¡
.
Tìm các giá trị của
a
để dãy số
( )
n
u
là cấp số cộng .
Bài 12.Cho cấp số cộng

n
u
, biết tổng
n
số hạng đầu tiên :
( )
1 2
2
n
n n
S
−
=
a) Hãy xác định số hạng tổng qt của
( )
n
u
.
b) Chứng minh
( )
n
u
là một cấp số cộng , tìm cơng sai của nó .
Bài 14.Cho cấp số cộng
( )
n
u
. Chứng minh :
a)
1 2 2 3 1 1

:
3 2 , 1
n
n n
u
u
u u n n
+
=



= + − ∀ ≥



Xét dãy số
( )
n
v
biết :
( )
1
, 1
n n n
v u u n
+
= − ∀ ≥

TTLT - 1A – Tan Hai

1
2
1
2
n n
u
u u
+
=


=

; d)
1
1
1
2
5
n n n
u
u u u
+
=



= +




>

+ + =


;
c)
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
30
340
u u u u
u u u u
+ + + =



+ + + =


; d)
1 2 3
1 2 3
. . 64
14
u u u
u u u
=

Bài 24. Chứng minh :
a) Nếu
, ,a b c
lập thành một cấp số nhân thì
2
, ,ab b cb
cũng lập thành một cấp số nhân .
b) Nếu bốn số dương
, , ,a b c d
lập thành cấp số nhân thì ba số :
, ,ab bc cd
cũng lập thành cấp số
nhân .
Bài 25.Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là
148
9
, đồng thời, theo thứ tự, chúng
là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
Bài 26.Cho dãy số
( )
n
u
, biết tổng
n
số hạng đầu tiên :
1
5 3
5
n
n

.
b) Chứng minh :
k m
k m
u u q
−
= ×
.
b) Tính tổng
k
số hạng đầu tiên của
( )
n
u
, biết
, 0
k m k m
u u a q
− +
× = >
.
Bài 28. Cho dãy số
( )
( )
1 2
1 1
1 , 2
:
3 2 , 2
n

( )
n
v
là cấp số nhân.
b) Tìm số hạng tổng qt của dãy số
( )
n
u
.
Bài 29.Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo thành một
cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp số nhân.
Bài 30.Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là ba số hạng kế tiếp
của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa bằng 24.
Bài 31.Tìm các số
,x y
sao cho
3 , 5 2 , 3x y x y x y+ − +
lập thành một cấp số cộng và
( ) ( )
2 2
1 , 3 , 2x xy y− − +
lập thành một cấp số nhân .
Bài 32.Chứng minh các dãy
( )
n
u
sau vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân
a)
( )
( )

:
12 , 1
n
n n
u
u
u u n
+
=



= + ∀ ≥


.
Bài 33.Tính các tổng sau :
a)
( )
7
7 77 777 777 7
n
A = + + + +
1 2 3
số
;
b)
( )
5
15 155 1555 1555 5

f)
2 3
1 3 5 2 1
2 2 2 2
n
n
F
−
= + + + +L
.
g)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 1 2 2 2 3 2 1G n n n n= − − + − − − + + −L
.
TTLT - 1A – Tan Hai
44
Đại số lớp 11 Chương 3: Dãy số – Cấp số Năm: 2010 - 2011
Đề 3:
1) Chứng minh
( )
sin 3 1
lim 0
2 1
n
n
+
=
−

lim 5 7
n n
−
f)
2
2011 5 1
lim
2010 2
n n
n
+ +
+
.
3) Tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn là 10 , tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là
155
16
. Tìm
1
,u q
của cấp số nhân
( )
n
u
đó .
4) Cho
( )
2
2
sin 3 1
2011 5

G
là trọng tâm tam giác
ABC
. Hãy biểu thị véc tơ
'A G
uuuur
qua các véc tơ
, ,a b c
uur uur ur
.
2) Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh là
a
.
a) Tính
.AB DC
uuur uuur
.
b) Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
,AD BC
.
+ Chứng minh
( )
1
2
MN AB DC= +
uuuur uuur uuur

và
MN
khơng phụ thuộc vào vị
trí của
,M N
.
TTLT - 1A – Tan Hai
45