BỘ GIÁO DỤC
ĐỀ THI MINH HỌA THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )C
, biết tiếp điểm có hoành độ
1x =
.

Câu 2 (1,0 điểm).
a) Cho góc
a
thỏa mãn
2
x
p
< <p

thỏa mãn hệ thức
( ) ( )
1 3 2 6i z i z i+ + - = -
. Tính môđun của
z
.
b) Hai thí sinh
A
và
B
tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi
gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng một
câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành
cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi
A
chọn và 3 câu hỏi
B
chọn là giống nhau.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
·
0
2 , 30AC a ACB= =
. Hình
chiếu vuông góc

của đoạn thẳng
AB
và phương trình mặt cầu tâm
O
, tiếp xúc với
( )
P
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
OAB
có các đỉnh
A
và
B
thuộc đường thẳng
: 4 3 12 0x yD + - =
và điểm
( )
6;6K
là tâm đường tròn bàng tiếp góc
O
. Gọi
C
là điểm nằm trên
D
sao cho
AC AO=
và các điểm

= + +
+ - + + + +
x x
P
x x x x
.
HẾT
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1
(2,0 điểm)
a.(1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
+
.
♥ Tập xác định:
{ }
\ 1D = −¡
♥ Sự biến thiên:
ￚ Chiều biến thiên:
( )
2


( ) ( )
1 1
lim ; lim
x x
y y
- +
® - ® -
=+¥ =- ¥

Þ
tiệm cận đứng:
1x =-
0.25
ￚ Bảng biến thiên:
x

- ¥

1-

+¥
'y+

+

y

< <p
và
3
sin
5
a =
. Tính
2
tan
1 tan
A
a
=
+ a
.
0.25
0.25
b.(0,5 điểm). Giải phương trình
( )
3 3
log 2 1 logx x+ = −
.
0.25
0.25
3
(1,0 điểm)
Tính tích phân
( )
2
3

chọn và 3 câu hỏi
B
chọn là giống nhau.
0.25
0.25
5
(1,0 điểm)
Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
·
0
2 , 30AC a ACB= =
. Hình chiếu
vuông góc
H
của
S
trên mặt đáy là trung điểm của cạnh
AC
và
2SH a=
. Tính theo
a
thể
tích khối chóp

( )
P
.
0.25
0.25
0.25
0.25
7
(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
OAB
có các đỉnh
A
và
B
thuộc đường thẳng
: 4 3 12 0x yD + - =
và điểm
( )
6;6K
là tâm đường tròn bàng tiếp góc
O
. Gọi
C
là điểm nằm
trên
D
sao cho

. Suy ra
24 12
;
5 5
C
æ ö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

Gọi
( )
T
là đường tròn bàng tiếp góc
O
, bán kính của
( )
T
là:

( )
2 2
4.6 3.6 12

;n a b=
r
với
2 2
0a b+ ¹
là VTPT thì
phương trình
( )
D
có dạng:
0ax by+ =

0.25

( )
D
l tip tuyn vi
( )
T



( )
, 6d K AB =2 2
2 2
6 6
6

. Phng trỡnh tip tuyn l
0y =ã
Vi
0b =
thỡ
0a ạ
, ta chn
1; 0a b= =
. Phng trỡnh tip tuyn l
0x =

0.25
Ta
,A B
l nghim ca cỏc h phng trỡnh:

0
4
4 3 12 0 4 3 12 0
0 0
3
0
x
y
x y x y
x y
x

ờ
ớ
ù
ờ =
ù
ợ
ở

Gi s ta chn
( ) ( )
3;0 , 0;4A B
thỡ
3
5
AC AB=-
uuur uur
nờn
,C B
nm khỏc phớa so vi
A

Vy
( ) ( )
3;0 , 0;4A B
.
0.25
CCH KHC
Vỡ
: 4 3 12 0C x yẻ D + - =
v

3 ;4 4A t t- +
, ta cú

2 2
AC OA AC OA= =( ) ( )
2 2
2 2
24 12
3 4 4 3 4 4
5 5
t t t t
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
- - + + + = - + +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ1t =-

Suy ra:

nờn chia hai v ca (2) cho
1x +
ta c: 0.25

( )
2 2
2 2
2 2
1 1
x x x x
x x
- -
Û ³ -
+ +
(3)
Đặt
2
2
1
x x
t
x
-
=
+
với
0t ³
, bất phương trình (3) trở thành

2

(1,0 điểm)
Xét số thực
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

( )
( ) ( )
2
2 2
3 2 2 1
1 1
3
2 3 3 3 2 3 3 3
+ +
= + +
+ - + + + +
x x
P
x x x x
.
0.25
0.25
0.25
0.25
CÁCH KHÁC
♥ Sử dụng hai bất đẳng thức cơ bản trong SGK ĐS10 NC
♦ Với
, 0a b >
ta có
1 1 4

x x
P
x x x x

( )
( ) ( )
2
2 2
3 2 2 1
4
3
2 3 3 3 2 3 3 3
x x
x x x x
+ +
³ +
+ - + + + + +
[do (1)]
0.25
Mặt khác

( ) ( )
( )
2 2 2
2 3 3 3 2 3 3 3 2 4 6 6x x x x x x+ - + + + + + £ + +
[do (2)]
Suy ra:

( )
( )

( ) ( )
2 2
2 4 6 6 2.3 2 2 1 6x x x x+ + £ + + +
) [chú ý bảo đảm điểm rơi
0x =
]
0.25
♥ Đặt
( )
2
2
1 3
3 2 2 1 6
2 2
t x x x
æ ö
÷
ç
÷
= + + = + +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
với
6
2
t ³

( )
3 3 2
2 2
' 0 2 6 24 2 6 24f t t t t t= Û + = Û + =( ) ( )
2 4 2
8 3 12 9 0t t tÛ - + - =2
2
3
3
6 3 5
t
t
t
é
=
ê
Û Û =
ê
=- ±
ê
ë

0.25
♥ Bảng biến thiên

3P ³
khi
0x =
. Vậy
min 3P =

0.25
BI VIT Cể LIấN QUA N CU BPT Vễ T
GII THIU MT DNG PHNG TRèNH & BT PHNG TRèNH
CHA CN THC
thi th i hc Vinh ln 1 nm 2015 cú bi toỏn sau
Bi toỏn: Gii bt phng trỡnh
( )
2 3 2
5 4 1 2 4+ < + + -x x x x x
(1)
Bi gii
iu kin:
3 2
1 5 0
2 4 0
1 5
x
x x x
x
ộ
- - Ê Ê
ờ
+ -
ờ

2 4x x
t
x
+ -
=

( )
0t
thỡ (3) tr thnh:

2
4 3 0 1 3t t t- + < < <
Suy ra:

2
2 4
1 3
x x
x
+ -
< <
2
2
4 0
7 4 0
x x
x x
ỡ
ù
+ - >

ữ
ỗ
= - - ẩ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ữ
ở ỷ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

GIỚI THIỆU MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CÓ LIÊN QUAN
( ) ( ) ( ) ( )
. . . 0P x Q x P x Q xa +b +g =

( )
. . 0a ba ¹
(*)
 Phương trình (*) gọi là phương trình đẳng cấp đối với
( )
P x
và
( )
Q x
CÁCH GIẢI
1) Xét
( ) ( )
0 0Q x P x= Þ =

t
. Từ đó sẽ suy ra được nghiệm của phương trình (*).
Chú ý:
Hoàn toàn bình đẳng ta có thể chia hai vế của phương trình cho
( )
P x
hoặc
( ) ( )
.P x Q x
.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Giải phương trình
( )
2 3
2 3 2 3 8x x x- + = +
(1)
Bài giải
♥ Điều kiện:
3
8 0 2x x+ ³ Û ³ -

♥ Biến đổi tương đương phương trình (1) về dạng (*)
Ta có: (1)
Û

( )
( )
( )
2 2
2 3 2 3 2 2 4x x x x x- + = + - +

2
2 4
x
t
x x
+
=
- +
với
0t ³
, phương trình (3) trở thành

2 2
1
2 2 3 2 3 2 0
2
2
t
t t t t
t
é
ê
=
ê
- = Û + - = Û
ê
ê
=-
ë


Đặt
( )
( )
( )
2 2
2 3 2 2 2 4x x x x x- + = + -b+ +a
và biến đổi để cân bằng hệ số đồng bậc tìm
,a b
.
LƯU Ý
Từ VD 1 ta có thể tạo ra bài toán giải bất phương trình sau
Bài toán: Giải bất phương trình
( )
2 3
2 3 2 3 8x x x- + > +
(1)
Cách giải: (Sử dụng cách giải tương tự VD 1 với vài thay đổi nhỏ)
♥ Điều kiện:
3
8 0 2x x+ ³ Û ³ -
(*)
♥ Biến đổi tương đương bất phương trình (1) về dạng

( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 4 2 2 3 2 2 4x x x x x x- + - + > + - +
(2)
♥ Với

x x
+
=
- +
với
0t ³
, bất phương trình (3) trở thành

2 2
1
2 2 3 2 3 2 0 0
2
t t t t t- > Û + - < Û £ <

♥ Với
1
0
2
t£ <
ta được bất phương trình:

2
2
2 1
6 4 0 3 13 3 13
2 4 2
x
x x x x
x x
+

ï ï
±
ï ï
ï ï
= -
í ý
ï ï
ï ï
ï ï
î þ

2)
2 3
2 5 1 7 1x x x+ - = -

Đáp số:
{ }
4 6S = ±
3)
2 3
8 3 6 3x x x x+ + = +

Đáp số:
{ }
8 61S = ±
4)
2 4 2
3
3 1 1
3

2 3 2 3 8x x x- + = +
(1)
Cỏch gii
iu kin:
3
8 0 2x x+ -

Bin i tng ng phng trỡnh (1) v dng (*)
Ta cú: (1)


( )
( )
( )
2 2
2 3 2 3 2 2 4x x x x x- + = + - +

( )
( ) ( )
( )
2 2
22 2 32 4 2 42x xx x x x- =- -+ ++ +
(2)
t hai n ph
2
2 4x x a- + =
v

ữ
ộ
=
ờ
ờ
=
ờ
=-
ỗ
ố
ở
ữ
ỗ
ứ
ờ
(phõn tớch tam thc ra tha s)
Vi
2a b=
ta c phng trỡnh:
2 2
2 4 2 2 6 4 0 3 13x x x x x x- + = + - - = =

Vy
{ }
3 13S =



P DNG CCH GII TRấN CHO CC BI SAU
Gii cỏc phng trỡnh

8
S
ỡ ỹ
ù ù

ù ù
ù ù
=
ớ ý
ù ù
ù ù
ù ù
ợ ỵ

Ht