Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lênPhân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 1 - 2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Công thức tính diện tích của tam giác


2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)
b

c

a

HÌ
NH
HỌ
C PH
Ẳ
NG

A
B C
b c
a
p
– nửa chu vi
r
– bán kính đường tròn nội tiếp

( )( )( )
,
2
ABC
a b c
S p p a p b p c p
∆
 
+ +


= − − − =




 
A
B C
b c
a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2

BC AB AC Pitago
= +

. .
AH BC AB AC
=



2 2
. , .
AB BH BC AC CH CB
= =


2
2 2 2
1 1 1
, .
AH HB HC
AH AB AC
= + =

2
BC
AM =
A
B C
N K
M
4/ Diện tích của đa giác a/ Diện tích tam giác vuông

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc
vuông.

b/ Diện tích tam giác đều
 Diện tích tam giác đều:

.
3
4
S
∆

2
=
.(đáy lớn
+
đáy bé)
x
chiều cao
e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại
trung điểm của mỗi đường.
Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau
đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác.

2
2
/ /
AMN
ABC

C

B

1
.
2
ABC
S AB AC
∆
⇒ =

A
B
C
a

h

2
3
4
3
2
ABC
a
S
a
h
∆


⇒


= =



A

B

H

C

D

(
)
.
2
AD BC AH
S
+
⇒ =

A
B
D

n làm b

n Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lênPhân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 3 -

1/ Chứng minh đường thẳng
//
( )
d mp
α
với
(
)
( )

α
cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng.
2/ Chứng minh
(
)
//
( )mp mp
α β

 Chứng minh
( )
mp
α
chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với
(
)
mp
β
.
 Chứng minh
( )
mp
α
và
(
)
mp
β
cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng.


α
α β
β




⇒ ∩ =


⊂



.
 Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
 Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song.
 Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
 Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …
4/ Chứng minh đường thẳng
(
)
d mp
α
⊥

 Chứng minh
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong
( )

( ) ( )
//
d mp
mp mp
β
β α


⊥


⇒





(
)
d mp
α
⊥

 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt
phẳng thứ 3:
(
)
(
)
( ) ( )

5/ Chứng minh đường thẳng
'
d d
⊥

 Chứng minh
(
)
d
α
⊥
và
(
)
'
d
α
⊃
.
 Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
 Chứng tỏ góc giữa
d
và
'
d
bằng
0
90
.
 Sử dụng hình học phẳng.




(chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia)
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lênMr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 4 -
 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng
0
90
.

Bi

n h

1/ Góc giữa hai đường thẳng

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương
với hai đường thẳng đó:



//
//
'
( , ) ( ', ')
'
a a
a b a b
b b
φ



⇒ = =





2/ Góc giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
(
)

)
mp
α
và
(
)
mp
β

 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến
u
,
2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên
2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
(
)

(
)

( ); ( , )
a b
α β φ
= =4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:  Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

và song song với
d
.
 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
(
)
(
)
,
α β

lần lượt chứa
d
và
'
d
.

GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
φ

a

b

'
a


M
M

∆

H

M
d

'
d

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lênMr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12


1/ Định nghĩa.

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm
của đa giác đáy.

Nhận xét:

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

2/ Hai hình chóp đều thường gặp

a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
. Khi đó:

 Đáy
ABC
là tam giác đều.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại
S
.
 Chiều cao:
SO
.
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:




 Chiều cao:
SO
.
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:




SAO SBO SCO SDO
= = =
.
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy:

SHO
.
1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:
Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông
góc với đáy.

Ví dụ: Hình chóp
.
S ABC
có cạnh bên
(

3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy:
Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt
bên cùng vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chóp
.
S ABCD
có hai mặt bên
(
)
SAB
và
(
)
SAD
cùng vuông góc với mặt
đáy
(
)
ABCD
thì chiều cao là
SA
.

4/ Hình chóp đều:
Chi
ều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và
tâm của đáy.
Ví dụ: Hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD


c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lênPhân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 7 -
là
SO
.

1
.
3
V B h
=:
B
Diện tích mặt đáy.

:
h
Chiều cao của khối chóp.

2/ Thể tích khối lăng trụ:
.
V B h
=:
B
Diện tích mặt đáy.

. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC
(
)
' '
3
h
V B B BB
= + +

Với
, ',
B B h
là diện tích hai đáy và chiều cao.
4 phương pháp thường dùng tính thể tích


a
b
c
a
a
a
S
A’
B’
C’
A
B
C

Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n Mây xanh không lBài giải tham khảo
Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
.
* Ta có:
( )

.
1
. . 1
3
S ABC ABC
V S SA
∆
=

* Trong đó:
(
)

2
SA a
=

* Tìm






= =
=




 
⇔
 
 
 
=
= =
 
 





( )

2
1 1 3 3
. . . 3

đến
(
)
mp SBC
.
* Ta có:
( ) ( ) ( )

.
.
3.
1
, . , 5
3
S ABC
S ABC SBC
SBC
V
V d A SBC S d A SBC
S
∆
∆
   
= ⇒ =
   
   

* Tìm
SBC
∆

 
 
 
⇒ = = − + = − +
 
 
 
 
 
 
   

( )

2
1 7 7
6
2 2 2 8
a a a
= ⋅ ⋅ =
.
CÁ
C
DẠ
NG
TOÁ
N TH
ƯỜ
NG G
Ặ

đến
(
)
mp SBC
.
S
A
C
B
30
0

a
Dạ
ng
1
.
Tí
nh th
ể tí
ch kh
ố
i đa di
ệ
n b
ằ
ng
cá
ch s
ử dụ


Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 10 -
* Th
ế
(
)
(
)
4 , 6
vào
(
)
5
( )
3
2
3 8 21
, 3
24 7
7
a a
d A SBC
a
 
⇒ = ⋅ ⋅ =
 
 
.

Hình chiếu của
SC
lên
(
)
mp ABCD
là
AC
.
(
)


0
, 60
SC ABCD SCA
 
⇒ = =
 
 
 
.
 Mà:
( )

.
1
. 1
3
S ABCD ACBD


2
. .2 2 3
ABCD
S AB BC a a a
= = =
.
 Thay
(
)
(
)
2 , 3
vào
( )
3
2
1 2 15
1 15 2
3 3
ABCD
a
V a a⇒ = ⋅ ⋅ =
(đvtt).



⊥



= ∩ ⇒ ⊥



⊥ ⊂



(đpcm)
b/ Tính thể tích khối chóp
.
S ABC Gọi
K
là trung điểm của đoạn
AC
.
SK
⇒
vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong
SAC SK AC
∆ ⇒ ⊥

60
. Tính thể tích khối
chóp
.
S ABCD
theo
a
.
S
A
D
B
C
60
0

Thí dụ 3. Hình chóp
.
S ABC
có
2
BC a
=
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
,
C SAB
là tam giác vuông cân
tại

C
I
K
60
0

2a

Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n Mây xanh không l

i
l

y chí c


KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI
SK AC mp SAC


⊥ =


 

⇒ ⊥ ⊂ ⇒ = =

 
  
 

⊥ ⊂



.
 Mà:
( )

.
1
. 1
3
S ABC ABC
V S SI
∆

( )
2
2 2 2
1 1 1
. . . . . . 2
2 2 2
ABC
S BC AC BC AB BC BC SI BC
∆
= = − = −

(
)
( ) ( )

2
2
2
1
.2 . 2 3 2 2 2 3
2
a a a a= − =
.
 Thế
(
)
(
)
2 , 3
vào

SO
là đường cao của hình chóp và gọi
M
là trung
điểm đoạn
CD
.
 Ta có:

0
( )
( ) 60
( ) ( )
CD SM SCD
CD OM ABCD SMO
CD SCD ABCD


⊥ ⊂



⊥ ⊂ ⇒ =



= ∩




SMO
OM
=


( )

0
.tan . tan 60 3 2
2
BC
SO OM SMO a
⇒ = = =
.
 Mặt khác:
(
)
(
)

2
2 2
2 4 3
ABCD
S BC a a= = =
.
 Thế
(
)
(

S
A
B
C
D
O
2a
M
60
0

Thí dụ 5. Cho hình
lăng
trụ
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
a
. Hình chiếu vuông góc của
'
A
xuống
(
)
mp ABC
là trung điểm của
AB
. Mặt bên

Bài giải tham khảo
 Gọi
, ,
H M I
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
, ,
AB AC AM
.

(
)

. ' ' '
. . ' 1
ABC A B C ABC
V B h S A H
∆
= =

 Do
ABC
∆
đều nên:
( )

2 2
. 3 3
2
4 4
ABC


và
( )
'
' '
AC A H
AC A HI AC A I
AC IH


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥



Mà:
( ) ( )


0
( ) ( ' ') { }
( ) ' ' ; ' 60
' ( ' ')
ABC ACC A AC
AC IH ABC ACC A ABC A IH
AC A I ACC A

tan45 ' .tan45 3
2 4
A H a
A H IH IH MB
HI
= ⇒ = = = =
.
 Thay
(
)
(
)
2 , 3
vào
( )
2 3
. ' ' '
3 3 3
1 .
4 4 16
ABC A B C
a a a
V
⇒ = =
.



′
⊥ ⊂ ⇒



= ∩



là góc giữa
( )
ABC
và
( )
ABC
.
 Ta có:
2
2.
1 2. 3
. 2 3
2
A BC
A BC
S
a
S A B BC A B a

a
V B h S AA AB BC AA a a a
′ ′
= = = = =
(đvtt).
A’
B’
C’
A
B
C
M
I
H
a
Thí dụ 6. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
,
B BC a
=
,
(
)
'
mp A BC



y chuyên c

n làm b

n Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lênPhân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 13 -
Bài giải tham khảo

BC
′
và
( )
ACC A
′ ′
là

0
30
BC A
′
=
.

 Trong tam giác vuông
ABC
:
0
. tan 60 3
AB AC a
= =
.

 Trong tam giác vuông
'
ABC
:
0
.cot 30 3. 3 3

Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
 Ta có:
( )
BC AB
BC SBA BC SB
BC SA


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥


.
(
)
(
)
( )
(
)
( ) ( )


0
; 30

nên
(
)
MN SBA
⊥
và lúc đó,
MN
là đường trung bình
SBC
∆
( )

1
2 2
BC a
MN⇒ = =

 Lúc đó:
( )

. .
1
. . 2
3
S ABM M SAB SAB
V V S MN
∆
= =
.
 Tìm:


 Thế
(
)
(
)
1 ; 3
vào
( )
2 3
. .
1 3 3
2 . .
3 6 2 36
S ABM M SAB
a a a
V V⇒ = = =
(đvtt).
Cách giải 2.
Thí dụ 7. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại

0
, , 60
A AC a ACB
= =


30
o

Thí dụ 8. (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)
Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
(
)
, ,
B AB a SA ABC
= ⊥
, góc giữa
(
)
mp SBC
và
(
)
mp ABC
bằng
0
30
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh


Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 14 -

3
.
1 1 1 3 3
. . . . .
3 3 2 3 18
S ABC ABC
a a
V S SA a a
∆
= = =
(đvtt).

3
. .
.
.
2 3
. . 2
2 36
S ABC S ABC
S ABM
S ABM
V V
SA SB SC SM a
V


⇒ ⊥


⊥ ⊂



.
 Thể tích khối chóp
.
S ABC
:
. .
1
. .
3
S ABC A SBC SBC
V V S AB
∆
= =
.

0 2
1 1
. . .sin .4 .2 3.sin 30 2 3
2 2
SBC
S BC BS SBC a a a
∆

 
 

( ) ( )

.
3.
; 2
S ABC
SAC
V
d B SAC
S
∆
 
⇒ =
 
 
.
 Ta có:
(
)
2 2 2 2 2 2
9 12 21
AB SBC AB SB SA AB SB a a a
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = + = + =
.
 Mặt khác, áp dụng định lí hàm số cosin trong
SBC
∆

vuông tại
S
.
 Do đó, diện tích tam giác
SAC
là:
( )

2
1 1
. . .2 . 21 21 3
2 2
SAC
S SC SA a a a
∆
= = =
.
 Thay
(
)
(
)
1 , 3
vào
( ) ( )
3
2
3.2 3 6 7
2 ;
7

ố
i A
–
2009)Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và

, 2 ,
D AB AD a CD a
= = =
, góc
giữa hai
(
)
mp SBC
và
(
)
mp ABCD
bằng
0
60
. Gọi
I

)
(
)
SBC ABC
⊥
.
Biết

0
2 3, 30
SB a SBC
= =
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
và khoảng cách từ
B
đến
(
)
mp SAC

S
C
B
A
3
a

4


d

ng lênPhân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 15 - Bài giải tham khảo

 Vì
(
)
mp SBI
và
(
)
mp SCI
cùng vuông góc với
(
)
mp ABCD
, nên giao tuyến
(
)
SI ABCD
⊥

S ABCD ABCD
V S SI
=
.
 Tìm

?
SI

Trong
SIH
∆
vuông tại
I
, ta có:
0
.tan 60 . 3
SI IH IH
= =
.
Gọi
,
M N
tương ứng là trung điểm của
,
AB BC
.
Vì
IN
là đường trung bình của hình thang

IH IN MCB IN
BC
⇒ = =2 2 2 2
3 2 3 5
. .
2 5
4
AD a a a
IN
MB MC a a
= = =
+ +
.
( )

3 5 3 15
. 3 . 3 2
5 5
a a
SI IH⇒ = = =
.
 Tìm
ABCD
S
?
(
)

V a⇒ = =
(đvtt).

Bài giải tham khảo

 Gọi
H
là trung điểm của
AD
thì
SH AD
⊥
.
 Do
(
)
(
)
SAD ABCD
⊥
nên
(
)
SH ABCD

A
M
B
C
N

H
I
60
0

Thí dụ 11. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)

Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy là hình vuông
ABCD
cạnh
a
, mặt bên
SAD
là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy
ABCD
. Gọi
, ,
M N P
lần lượt là trung điểm của
, ,

Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 16 -
 Vậy:
1
. .
3
CMNP CNP
V S MK
∆
=

2 3
1 3 . 3
. .
3 8 4 96
a a a
= =
(đvtt).
(
)
NO ABI
⇒ ⊥
hay
NO
là đường cao của hình tứ
diện
ANIB
.
Và
( )

1
2 2
SA a
NO = =

 Ta có:
( )

.
1
. . 2
3
ANIB N AIB AIB
V V S NO
∆
= =
.


= = = = = =



⇒


 





= = + = + =







 



Nhận thấy:
2 2
2 2 2 2
3 6

.
 Thay
(
)
(
)
1 , 3
vào
( )
2 3
.
1 2 2
2 . .
3 6 2 36
N AIB
a a a
V⇒ = =
(đvtt). Thí dụ
1
2
.

M N
lần lượt là trung điểm của
,
AD SC
và
I
là giao điểm của
BM
và
AC
. Tính thể tích khối tứ diện
ANIB
.
A
B
C D
M
I
S
A
D
C
B
M
N

I
O
Thí dụ 13. (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)
Cho lăng trụ tam giác

(
)
mp ABC
trùng với trọng tâm của
ABC
∆
. Tính thể tích của khối tứ diện
'
A ABC
theo
a
.

Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n Mây xanh không l


lên
(
)
mp ABC
là
G
nên
(
)
'
B G ABC
⊥

(
)


0
; ' 60
BB ABC B BG
 
⇒ = =
 
 
 
.
• Ta có:
( )

'

)

3
; ' 2
2 2
a
a
BG B G⇒ = =
.
 Tìm
,
AB BC
?
Đặt
2
AB x
=
. Trong
ABC
∆
vuông tại
C
có

0
60
BAC
=
nên nó cũng
là nữa tam giác đều với đường cao là

2 2 2
2 2
3
9 9 3
2 13
3 3
16 4 52
3 3
2 13
2 13
a
AC
a x a a
x x x
a
BC



=




⇔ = + ⇔ = ⇒ = ⇒



=


+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng.
 Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:
+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà các
khối này dễ tính hơn.
+ Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích.
 Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán:
Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó:
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
.
Chứng minh:

Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng.
A’
B’
C’
A
B
C
G
N

i
l

y chí c

d

ng lênMr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 18 -
Ta
có:
' '
. ' ' ' ' ' '
. .
1
. ' '
3
1
.
3
SB C
S A B C A SB C
S ABC A SBC
SBC
S A H
V V

.

Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm
', ', '
A A B B C C
≡ ≡ ≡
.
Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song, hình chiếu,…

Bi

n h

c vô b

l

y chuyên c

n làm b

n Mây xanh không l

i
l

y chí c

=
và
SA a
=
.
Mặc khác:
ABC
∆
vuông cân ở
B
và có:
2
AC a
=
nên
ABC
∆
là
nữa hình vuông có đường chéo
2
AC a
=
⇒
cạnh
AB BC a
= =
.
2
1
.

G
là trọng tâm của
SBC
∆
.
Ta có:
2
3
SI
SG
=
.
Do
( )
// //
2
3
SM SN SG
mp BC MN BC
SB SC SI
α
⇒ ⇒ = = =
.
( )

3 3
.
. .
.
4 4 4 2

ABC
∆
đều cạnh
a
và
2
SA a
=
nên:
( )

2 3
.
1 1 3 3
. . . .2 2
3 3 4 6
S ABC ABC
a a
V S SA a
∆
= = =
.
 Ta lại có:
.
2 2
.
. .
. . .
S AHK
S ABC

S ABC
có đáy là
ABC
∆
vuông cân ở
(
)
, 2, ,
B AC a SA mp ABC SA a
= ⊥ =
.
a/ Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
.
b/ Gọi
G
là trọng tâm của
SBC
∆
,
(
)
mp
α
đi qua
AG
và song song với
BC
cắt

họ
c kh
ố
i D
–
2006)

Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là
ABC
∆
đều cạnh
a
và
(
)
SA ABC
⊥
,
2
SA a
=
. Gọi
,
H K
lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm
A


Mr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 20 -
 Từ
( ) ( ) ( ) ( )

3
. . . .
16 9 3 3
1 , 2 , 3 . .
25 25 50
A BCKH S ABC S ABC S ABC
a
V V V V Ðvtt
⇒ = − = =
. Bài giải tham khảo

 Kẻ
(
)
//
MN CD N SD
∈

.
.
1 1 1
. .
2 2 4
S BMN
S BCD
V
SM SN
V SC SD
= = =
.
( )

. . .
1 1
2
4 8
S BMN S BCD S ABCD
V V V
⇒ = =
.
 Mà:
(
)

. . .
3
S ABMN S ABN S BMN
V V V

V
⇒ =
. Bài giải tham khảo

 Gọi
I SO AM
= ∩
. Ta có:
(
)
// //
AEMF BD EF BD
⇒
.
 Ta có:
.
1
. .
3
S ABCD ABCD
V S SO
=
với
2

2 2
S ABCD SACD SABC
V V V
= =

Xét khối
.
S AMF
và khối
.
S ACD
có:
1
2
SM
SC
=

Và trong
SAC
∆
có trọng tâm
I
,
Thí dụ 16. Cho khối chóp tứ giác đều
.
S ABCD
. Một mặt phẳng
(
)

0
. Gọi
M
là trung điểm
SC
. Mặt phẳng đi qua
AM
và song song với
BD
, cắt
SB
tại
E
và cắt
SD
tại
F
.
Tính thể tích khối chóp
.
S AEMF
. Bi

n h

c vô b


V
SI SF SM SF
EF BD
SO SD V SC SD
⇒ = = ⇒ = =
.
( )

3 3 3
. .
1 1 6 6 6
2.
3 6 36 36 18
SAMF SACD S ABCD S AEMF
a a a
V V V V Ðvtt
⇒ = = = ⇒ = =
.

Bài giải tham khảo

 Gọi
,
O H

1
. .
4
S MNP
S ABP
V
SM SN SP
V SA SB SP
= =
.
. .
1 1 1 1 1
. . . . . .
4 4 3 12 2
S MNP S ABP ABP
V V S SO AB HP SO
∆
⇒ = = =

( ) ( )

2 3
2
.
1 6
. . . 2
24 2 48
S MNP
a a
V a a a Ðvtt⇒ = − =


Dạng toán 3. Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách

Cá
c
bà
i
toá
n
tì
m
khoả
ng
cá
ch
: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai
đường thẳng, trong nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng
cách này dựa vào công thức hiển nhiên:
3
V
h

thì
(
)
(
)
, ,
d AB CD d AB P
 
=
 
 
.
o Nếu
(
)
(
)
//
mp P mp Q
trong đó
(
)
(
)
,
mp P mp Q
lần lượt chứa
AB
và
CD

ỉ
nh
S
.
Như th
ế
,
ta suy ra đ
ượ
c chi
ề
u cao
kẻ
t
ừ
S
c
ầ
n
tì
m.

Thí dụ
18
.
(
Trí
ch
đề
thi tuy


A

B

N

C

D

S

P

O

H

Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d




⊥


.
(
)
(
)
( )
(
)
( ) ( )


0
, 60
SCD ABCD DC
DC SD SCD SCD ABCD SDA
DC AD ABCD


∩ =


 


⊥ ⊂ ⇒ = =

= =
.
0 0
tan 60 .tan 60 3
SA
SA AD a
AD
= ⇒ = =
3
.
3
6
S ADC
a
V⇒ =
.
∗ Vì vậy
( ) ( )
.
. .
3
1
. , ,
3
S ADC
S ADC A SDC SDC
SDC
V
V V S d A SDC d A SDC
SBài giải tham khảo

∗ Ta có:
2 2 2 2 2 2
3 4 5
AB AC BC ABC
+ = + = = ⇒ ∆
vuông tại
A
.
(
)
2
1 1
. .3.4 6
2 2
ABC
S AB AC cm
∆
⇒ = = =
.
(
)
3
1 1
. .6.4 8

∆
= − − −

Thí dụ 19. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
(
)
SA ABCD
⊥
và mặt bên
(
)
SCD

hợp với mặt phẳng đáy
ABCD
một góc
0
60
. Tính khoảng cách từ điểm
A
đến
(
)

(
)
(
)
4 , 3
AC AD cm AB cm
= = =
,
(
)
5
BC cm
=
. Tính khoảng cách từ
A
đến
(
)
mp BCD
.
S
A
D
B
C
60
0

D
A

Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Hình học Mr. Vượng 0988863379

- 23 -
Với
5 5 4 2
5 2 2
2 2
BC DC DB
p
+ + + +
= = = +
nửa chu vi
DBC
∆

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
5 2 2 5 2 2 5 5 2 2 4 2 5 2 2 5 2 34
DBC
S cm
∆

Bài giải tham khảo

∗ Gọi
M
là trung điểm của cạnh
BC
. Ta có
ABC
∆
vuông cân tại
A
nên:
(
)

BC AM
BC SM do SAB SAC SBC cân


⊥




⊥ ∆ = ∆ ⇒ ∆




∗ Ta có:

Và
(
)
(
)
( )
(
)
( ) ( )


0
, 60
SBC ABC BC
BC AM ABC SBC ABC SMA
BC SM SBC


∩ =




⊥ ⊂ ⇒ = =




⊥ ⊂


V S SA Ðvtt
∆
⇒ = = =
.
∗ Mặt khác:
( ) ( )
.
. .
3
1
. . , ,
3
S ABC
S ABC A SBC SBC
SBC
V
V V S d A SBC d A SBC
S
∆
∆
   
= = ⇒ =
   
   
.
Mà:
2
2 2 2 2
1 1 1
. . . .
Bài giải tham khảo

∗ Do
M
là trung điểm của
SC
nên
(
)
// //
OM SA SA OMB
⇒
.
Thí dụ 21. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
. Hai mặt phẳng
(
)
SAB
và

.
Thí dụ
22
.
(
Trí
ch
đề
thi tuy
ể
n sinh Đ
ạ
i
họ
c kh
ố
i A
–
2004)Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thoi
ABCD
có
SO
vuông góc với đáy với
O

S
C
A
B
D
O
M

H
Bin hc vô b ly chuyên cn làm bn

Mây xanh không l

i
l

y chí c

d

ng lênMr. Vượng 0988863379 Phần Hình học Phân loại và phương pháp giải toán 12

- 24 -
(
)
(
)


∗ Mà
( )
. .
1 1
. . ,
3 3
C MOB M OBC OBC MOB
V V S MH S d C MOB
∆ ∆
 
= = =
 
 

( ) ( )

.
, 3
OBC
MOB
S MH
d C MOB
S
∆
∆
 
⇒ =
 
 

OC OC
∆


= − = ⇒ =



⇒ = =


= = ⇒ =




.
∗ Mặt khác:
OB OC
OB OM MOB
OB SO


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ∆


⊥


.

Bài giải tham khảo

∗ Ta có:
(
)
// //
'
MN BC MN A BC
⇒
.
(
)
(
)
(
)
(
)

, ' , ' , ' 1
d MN AC d MN A BC d M A BC
   

( ) ( )

'. . ' '
1
. , ' 3
3
A MBC M A BC A BC
V V S d M A BC
∆
 
= =
 
 
.
∗ Từ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2
2 , 3 . ' . . , ' . , ' , ' 4
12 3 2 6 4
A B BC d M A BC d M A BC d M A BC
     
⇒ = = ⇒ =
     
     
.
∗ Từ
( ) ( ) ( )
2
1 , 4 , '

AB
và
CD
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
'
A C
và
MN
.
B’

A’

C’

D’

A

B

C

D

M

N Bài giải tham khảo

∗ Kẻ
(
)

MH SN H SN
⊥ ∈
.
Do
( ) ( ) ( )
BC MN
BC MNS SBC MNS
BC SO


⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊥



Nên
(
)
(
)
(
)

⇒ = = =
   
   
.
∗ Trong tam giác vuông
MHN
, ta có:
2
sin sin
MH a
MN
α α
= =
.
∗ Và trong tam giác vuông
sin
: tan .
sin cos cos
a a
SON SO ON
α
α
α α α
= = =
.
( )

2
3
2

V
đạt giá trị nhỏ nhất thì hàm
(
)
2 3
sin .cos cos cos
f
α α α α α
= = −
đạt giá trị lớn nhất.
Dạng toán 4. Bài toán thể tích kết hợp với việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
 Đây có thể xem là bài toán rất cơ bản mặc dù nó chưa một lần xuất hiện trong các đề thi TNPT cũng như
Đại học – Cao đẳng (cho dù bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với hàm số hầu như năm nào cũng
có mặt trong các đề thi).

 Nội dung bài toán: Thể tích khối đa diện trong các dạng toán này phụ thuộc một tham số nào đó (tham
số có thể là góc, hoặc là độ dài cạnh). Bài toán đòi hỏi xác định giá trị của tham số để thể tích đạt giá trị
lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

 Phương pháp giải:

 Bước 1: Chọn tham số, thực chất là chọn ẩn. Ẩn này có thể là góc α thích hợp trong khối đa diện,
hoặc là một yếu tố nào đó.
 Bước 2: Với ẩn số được chọn ở bước 1, ta xem đó như là các yếu tố đã cho để tính thể tích V của
khối đa diện theo các phương pháp đã biết.
 Bước 3: Đến đây, nhiệm vụ của bài toán hình học coi như đã “kết thúc”. Ta có một hàm số

(
)
,

C

B

S

N

O

M

H