PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SÓNG CƠ VÀ GIAO
THOA SÓNG
Tác giả: Nguyễn Văn Lịch
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn tổ Vật lí-KTCN
Đơn vị công tác : THPT Phạm Công Bình
Đối tượng bồi dưỡng : Học sinh lớp 12
Số tiết dự kiến: 4 tiết
Trang 1
A
C
B
I
D
G
H
F
E
J
Phương truyn sng
λ
2λ
2
λ
2
3
λ
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ:
I. SÓNG CƠ VÀ SỰ TRUYỀN SÓNG CƠ :
1.Sóng cơ- Định nghĩa- phân loại
+ Sng cơ là những dao động lan truyn trong môi trường .
+ Khi sng cơ truyn đi chỉ c pha dao động của các phần tử vật chất lan truyn còn các

+Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên phương
truyn sng mà dao động cùng pha là: kλ.
+Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên phương
truyn sng mà dao động ngược pha là: (2k+1)
λ
2
.
+Lưu ý: Giữa n đỉnh (ngọn) sng c (n - 1)
bước sng.
3. Phương trình sóng:
a.Tại nguồn O: u
O
=A
o
cos(ωt)
b.Tại M trên phương truyền sóng: u
M
=A
M
cosω(t-
∆t)
Nếu bỏ qua mất mát năng lượng trong quá trình
truyn sng thì biên độ sng tại O và tại M bằng nhau: A
o
= A
M
= A.
Thì : u
M
=Acosω(t -

2
M
* Sng truyn theo chiu dương của trục Ox thì:
u
M
= A
M
cos(ωt + ϕ -
x
v
ω
) = A
M
cos(ωt + ϕ -
2
x
π
λ
)
* Sng truyn theo chiu âm của trục Ox thì:
u
M
= A
M
cos(ωt + ϕ +
x
v
ω
) = A
M

- Vậy 2 điểm M và N trên phương truyn sng sẽ:
+ dao động cùng pha khi:d = kλ
+ dao động ngược pha khi: d = (2k + 1)
+ dao động vuông pha khi: d = (2k + 1)
với k = 0, ±1, ±2
Lưu ý: Đơn vị của x, x
1
, x
2
,d,
λ
và v phải tương ứng với nhau.
f. Trong hiện tượng truyền sóng trên sợi dây, dây được kích thích dao động bởi nam châm
điện với tần số dòng điện là f thì tần số dao động của dây là 2f.
II. GIAO THOA SÓNG
1. Điều kiện để có giao thoa: Hai sng là hai sng kết hợp tức là hai sng cùng tần số và c
độ lệch pha không đổi theo thời gian (hoặc hai sng cùng pha).
2.Lý thuyết giao thoa:
Giao thoa của hai sng phát ra từ hai nguồn sng kết hợp S
1
, S
2
cách nhau một khoảng l:
+Phương trình sng tại 2 nguồn :(Điểm M cách hai nguồn lần lượt d
1
, d
2
)

1 1

M
= u
1M
+ u
2M

1 2 1 2 1 2
2 os os 2
2 2
M
d d d d
u Ac c ft
ϕ ϕϕ
π π π
λ λ
− + +∆
   
= + − +
   
   
+Biên độ dao động tại M:
1 2
2 os
2
M
d d
A A c
ϕ
π
λ

Cách 2 :
Ta lấy: S
1
S
2
/λ = m,p (m nguyên dương, p phần phân sau dấu phảy)
Số cực đại luôn là: 2m +1( chỉ đối với hai nguồn cùng pha)
Số cực tiểu là:+Trường hợp 1: Nếu p<5 thì số cực tiểu là 2m.
Trang 3
M
S
1
S
2
d
1
d
2

M
d
1
d
2
S
1
S
2
k =
0

cos dd −⋅
λ
π
 A
max
= 2.A khi:+ Hai sng thành phần tại M cùng pha ↔ ∆ϕ=2.k.π (k∈Z)
+ Hiệu đường đi d = d
2
– d
1
= k.λ
 A
min
= 0 khi:+ Hai sng thành phần tại M ngược pha nhau ↔ ∆ϕ=(2.k+1)π (k∈Z)
+ Hiệu đường đi d=d
2
– d
1
=(k +
2
1
).λ
+ Để xác định điểm M dao động với A
max
hay A
min
ta xét tỉ số
λ
12
dd −

(không tính hai nguồn):
λλ
AB
k
AB
≤≤−
và k∈Z.
Vị trí của các điểm cực đại giao thoa xác định bởi:
22
.
1
AB
kd +=
λ
(thay các giá trị tìm được của k vào)
 Số đường dao động với A
min
(luôn là số chẵn) là số giá trị của k thỏa mãn điu kiện
(không tính hai nguồn):
2
1
2
1
−≤≤−−
λλ
AB
k
AB
và k∈Z.
Vị trí của các điểm cực tiểu giao thoa xác định bởi:

λ λ
− − < < −
* Điểm dao động cực tiểu (không dao động):d
1
– d
2
= kλ (k∈Z)
Số đường hoặc số điểm dao động cực tiểu (không tính hai nguồn):
Trang 4
A B
k=1
k=2
k= -1
k= - 2
k=0
k=0
k=1
k= -1
k= - 2

l l
k
λ λ
− < <
c. Trường hợp hai nguồn dao động vuông pha nhau:(
1 2
2
π
ϕ ϕ ϕ
∆ = − =

( )
2 1
2
2
d d
π π
φ
λ
∆ = − −
+ Biên độ sóng tổng hợp: A
M
=
( )
π π
λ
 
= − −
 
 
2 1
2. . cos
4
u A d d
+Tìm số điểm dao động cực đại, số điểm dao động cực tiểu:
* Số cực đại:
(k Z)
2 2
l l
k
ϕ ϕ

∆
∆
=
với ∆s là quãng đường sng truyn trong thời gian ∆t.
+ Quan sát hình ảnh sng c n ngọn sóng liên tiếp thì c n-1 bước sng. Hoặc quan sát thấy
từ ngọn sng thứ n đến ngọn sng thứ m (m > n) c chiu dài l thì bước sng

nm
l
λ
−
=
;
+ Số lần nhô lên trên mặt nước là N trong khoảng thời gian t giây thì
1−
=
N
t
T
-Độ lệch pha giữa 2 điểm nằm trên một phương truyn sng cách nhau khoảng d là

λ
π
ϕ
d2
=∆
- Nếu 2 dao động cùng pha thì
πϕ
k2=∆
- Nếu 2 dao động ngược pha thì

3
π
=
2 .xπ
λ
=> λ = 6 m => v = λ.f = 60 m/s (chú ý: x đo bằng mét)
Đáp án C
Câu 2: Một sng cơ truyn dọc theo trục Ox c phương trình là
5cos(6 )u t x
π π
= −
(cm), với
t đo bằng s, x đo bằng m. Tốc độ truyn sng này là
A. 3 m/s. B. 60 m/s. C. 6 m/s. D. 30 m/s.
Giải : Phương trình c dạng
)
2
cos( xtau
λ
π
ω
−=
.Suy ra:
)(3
2
6
)/(6 Hzfsrad ==⇒=
π
π
πω

0,25
4
f Hz
T
= = =
Xác định vận tốc truyn sng:
( )
10
=vT v= 2,5 m / s
T 4
λ
λ ⇒ = =
Đáp án A
Câu 4: Tại một điểm trên mặt chất lỏng c một nguồn dao động với tần số 120Hz, tạo ra
sng ổn định trên mặt chất lỏng. Xét 5 gợn lồi liên tiếp trên một phương truyn sng, ở v
một phía so với nguồn, gợn thứ nhất cách gợn thứ năm 0,5m. Tốc độ truyn sng là
A. 30 m/s B. 15 m/s C. 12 m/s D. 25 m/s
Giải : 4λ = 0,5 m ⇒ λ = 0,125m ⇒ v = 15 m/s Đáp án B.
- Bài tập vận dụng
Câu 1: Một sng truyn trên sợi dây đàn hồi rất dài với tần số 500Hz, người ta thấy
khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất dao động cùng pha là 80cm. Tốc độ truyn sng
trên dây là
A. v = 400cm/s. B. v = 16m/s. C. v = 6,25m/s. D. v = 400m/s
Câu 2. Một người quan sát một chiếc phao trên mặt biển thấy n nhô lên cao 10 lần trong
18 s, khoảng cách giữa hai ngọn sng k nhau là 2 m. Tốc độ truyn sng trên mặt biển là :
A. 2 m/s. B . 1 m/s. C. 4 m/s. D. 4.5 m/s.
Câu 3. Một sng lan truyn với vận tốc 200m/s c bước sng 4m. Tần số và chu kì của
sng là
A .f = 50Hz ;T = 0,02s. B.f = 0,05Hz ;T= 200s.
C.f = 800Hz ;T = 1,25s. D.f = 5Hz;T = 0,2s.

2
,
λ
và v phải tương ứng với nhau.
- Bài tập ví dụ :
Câu 1: Một sợi dây đàn hồi nằm ngang c điểm đầu O dao động theo phương đứng với
biên độ A=5cm, T=0,5s. Vận tốc truyn sng là 40cm/s. Viết phương trình sng tại M cách
O d=50 cm.
A.
5cos(4 5 )( )
M
u t cm
π π
= −
B
5cos(4 2,5 )( )
M
u t cm
π π
= −
C.
5cos(4 )( )
M
u t cm
π π
= −
D
5cos(4 25 )( )
M
u t cm

λ
= −

Trong đ:
( )
vT 40.0,5 20 cmλ = = =
;d= 50cm .
5cos(4 5 )( )
M
u t cm
π π
= −
. Chọn A.
Câu 2: Một sng cơ học truyn theo phương Ox với biên độ coi như không đổi. Tại O,
dao động c dạng u = acosωt (cm). Tại thời điểm M cách xa tâm dao động O là
1
3
bước sng
ở thời điểm bằng 0,5 chu kì thì ly độ sng c giá trị là 5 cm. Phương trình dao động ở M thỏa
mãn hệ thức nào sau đây:
A.
2
cos( )
3
M
u a t cm
λ
ω
= −
B.

3v
λ

Phương trình dao động ở M c dạng:
1.
cos ( )
.3
M
u a t
v
λ
ω
= −
.Với v =λ/T .Suy ra :
Ta c:
2 2
.
v
T
T
ω π π
λ
λ
= =
Vậy
2 .
cos( )
.3
M
u a t

t+13,5π) (mm)
C . u
M
= 5cos(
ω
t – 13,5π ) (mm). D. u
M
= 5cos(
ω
t+12,5π) (mm)
Câu 2.(ĐH_2008) Một sng cơ lan truyn trờn một đường thẳng từ điểm O đến điểm M
cách O một đoạn d. biên độ a của sng không đổi trong quá trình sng truyn. Nếu phương
trình dao động của phần tử vật chất tại điểm M c dạng u
M
(t) = acos2πft thì phương trình
dao động của phần tử vật chất tại O là:
A.
d
u (t) a cos (ft )
π
λ
= −
0
2
B.
d
u (t) acos (ft )
π
λ
= +

1
0 N
N
d
d
2
M
A.
cmtu
M
)
5
cos(10
π
π
−=
B.
cmtu
M
)
5
cos(10
π
π
+=
C .
cmtu
M
)
15

=
B.
cmtu
M
)
2
5cos(6
π
π
+=
C.
cmtu
M
)
2
5cos(6
π
π
−=
D.
6cos(5 )
M
u t cmp p= +
Câu 5: Nguồn sng ở O dao động với tần số 10Hz, dao động truyn đi với vận tốc 0,4m/s
theo phương Oy; trên phương này c hai điểm P và Q với PQ = 15cm. Biên độ sng bằng a =
1cm và không thay đổi khi lan truyn . Nếu tại thời điểm t nào đ P c li độ 1cm thì li độ tại
Q là
A. 1cm B. -1cm C. 0 D. 2cm
Giải :Cách 1:
v 40

, x
2
(

có khi người ta dùng d
1
,d
2
)

1 2 1 2
2
x x x x
v
ϕ ω π
λ
− −
∆ = =

+Nếu 2 điểm đ nằm trên một phương truyn sng và cách nhau một khoảng x thì:

2
x x
v
ϕ ω π
λ
∆ = =
(Nếu 2 điểm M và N trên phương truyn sng và cách nhau một khoảng d thì :
∆ϕ = )
- Vậy 2 điểm M và N trên phương truyn sng sẽ:

x x
v
ϕ ω π
λ
∆ = =
-Vận dụng các công thức:Δφ =
2 d
π
λ

- Lưu ý: Đơn vị của d, x, x
1
, x
2
,
λ
và v phải tương ứng với nhau.
Trang 8
P
1
Q
- Bài tập ví dụ:
Câu 1: Tại hai điểm A và B trên mặt nước c hai nguồn kết hợp cùng dao động với
phương trình
u = acos100πt
. Tốc độ truyn sng trên mặt nước là 40 cm/s. Xét điểm M trên
mặt nước c AM = 9 cm và BM = 7 cm. Hai dao động tại M do hai sng từ A và B truyn
đến là hai dao động :
A. cùng pha. B. ngược pha. C. lệch pha 90º. D. lệch pha 120º.
Giải :Chọn B. Ta c: f =50Hz; λ = v/f = 40/50 =0,8cm.

rad ?
A. 0,117m. B. 0,467m. C. 0,233m. D. 4,285m.
Câu 4: Một sng cơ truyn trong môi trường với tốc độ 120m/s. Ở cùng một thời điểm, hai
điểm gần nhau nhất trên một phương truyn sng dao động ngược pha cách nhau 1,2m. Tần
số của sng là :
A. 220Hz. B. 150Hz. C. 100Hz. D. 50Hz.
Câu 5: Một sng cơ c chu kì 2 s truyn với tốc độ 1 m/s. Khoảng cách giữa hai điểm gần
nhau nhất trên một phương truyn mà tại đ các phần tử môi trường dao động cùng pha nhau
là:
A. 0,5m. B. 1,0m. C. 2,0 m. D. 2,5 m.
Trang 9
II. Giao thoa sóng
1.Tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu giữa hai nguồn Avà B ( hay S
1
và S
2
) :
- Phương pháp:
a .Tìm số điểm dao động cực đại và cục tiểu giữa hai nguồn cùng pha:
+Các công thức: (
= =
1 2
S S AB l
)
* Số Cực đại giữa hai nguồn:
l l
k
λ λ
− < <
và k∈Z.

l l
k
λ λ
− − < < −
Hay
0,5 (k Z)
− < + <+ ∈
l l
k
λ λ
* Điểm dao động cực tiểu (không dao động):d
1
– d
2
= kλ (k∈Z)
Số đường hoặc số điểm dao động cực tiểu (không tính hai nguồn):
Số Cực tiểu:
(k Z)
− < <+ ∈
l l
k
λ λ
c.Tìm số điểm dao động cực đại và cục tiểu giữa hai nguồn vuông pha:
∆ϕ
=(2k+1)
π
/2 ( Số Cực đại= Số Cực tiểu)
+ Phương trình hai nguồn kết hợp:
tAu
A

d d
π π
φ
λ
∆ = − −
+ Biên độ sóng tổng hợp: A
M
=
( )
π π
λ
 
= − −
 
 
2 1
2. . cos
4
u A d d
* Số Cực đại:
1 1
(k Z)
4 4
− + < < + + ∈
l l
k
λ λ

* Số Cực tiểu:
1 1

Giải: Vì các nguồn dao động cùng pha,
a.Ta c số đường hoặc số điểm dao động cực đại:
l l
k
λ λ
− < <

=>
10 10
2 2
k− < <
=>-5< k < 5 . Suy ra: k = 0; ± 1;±2 ;±3; ±4 .
Trang 10
A B
k=1
k=2
k=
-1
k= -
2
k=0
k=0
k=1
k=
-1
k= -
2
- Vậy có 9 số điểm (đường) dao động cực đại
-Ta c số đường hoặc số điểm dao động cực tiểu:
1 1

= S
1
S
2
(2)
-Suy ra: d
1
=
1 2
2 2
S S
k
λ
+
=
10 2
2 2
k
+
= 5+ k với k = 0; ± 1;±2 ;±3; ±4
-Vậy Có 9 điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn S
1
S
2
.
-Khỏang cách giữa 2 điểm dao động cực đại liên tiếp bằng λ/2 = 1cm.
Ví dụ 2: Hai nguồn sng cùng biên độ cùng tần số và ngược pha. Nếu khoảng cách giữa
hai nguồn là:
16,2AB
λ

π π
= +
và :
1
0,2. (50 )
2
u cos t cm
π
π
= +
. Biết vận tốc truyn sng
trên mặt nước là 0,5(m/s). Tính số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn A,B.
A.8 và 8 B.9 và 10 C.10 và 10 D.11 và 12
Giải : Nhìn vào phương trình ta thấy A, B là hai nguồn dao động vuông pha nên số điểm
dao động cực đại và cực tiểu là bằng nhau và thoã mãn :
-AB 1 AB 1
- < K < -
λ 4 λ 4
. Với
2 2
50 ( / ) 0,04( )
50
rad s T s
π π
ω π
ω π
= ⇒ = = =

Vậy :
. 0,5.0,04 0,02( ) 2v T m cm

.
a. Tính khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp c biên độ cực đại .
b. Trên S
1
S
2
c bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại .
2/ Xét điểm M cách S
1
khoảng 12cm và cách S
2
khoảng 16 cm. Xác định số đường cực đại
đi qua đoạn S
2
M.
Trang 11
Bài 3 : (ĐH 2004). Tại hai điểm A,B trên mặt chất lỏng cách nhau 10(cm) c hai nguồn
phát sng theo phương thẳng đứng với các phương trình :
1
0,2. (50 )u cos t cm
π
=
và
1
0,2. (50 )u cos t cm
π π
= +
. Vận tốc truyn sng là 0,5(m/s). Coi biên độ sng không đổi. Xác
định số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn thẳng AB ?
A.8 B.9 C.10 D.11

khoảng cách giữa hai cực đại liên tiếp bằng
2
λ
- Bài tập ví dụ:
Câu 1: Hai nguồn sng cơ S
1
và S
2
trên mặt chất lỏng cách nhau 20cm dao động theo
phương trình
tu
π
40cos4
1
=
(cm,s) và
)40cos(4
2
ππ
+= tu
, lan truyn trong môi trường với
tốc độ v = 1,2m/s .
1/ Xét các điểm trên đoạn thẳng nối S
1
với S
2
.
a. Tính khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp c biên độ cực đại .
b. Trên S
1





+−=
λ
)
2
1
(
2
1
1
kld
; Do các điểm dao động cực đại trên S
1
S
2
luôn c :
ld <<
1
0
→
lkl <







2202
2
== ld
cm.
Giả thiết tại M là một vân cực đại , ta có
λ
)
2
1
(
12
+=− kdd
Trang 12
→k = 0,88 . Như vậy tại M không phải là cực đại , mà M nằm trong khoảng từ cực đại
ứng với k = 0 đến cực đại ứng với k = 1 → trên đoạn S
2
M c 4 cực đại .
Câu 2: Trong thí nghiệm giao thoa sng trên mặt nước , Hai
nguồn kết hợp A và B cùng pha . Tại điểm M trên mặt nước cách
A và B lần lượt là d
1
= 40 cm và d
2
= 36 cm dao động c biên độ cực đại . Cho biết vận
tốc truyn sng là v = 40 cm/s , giữa M và đường trung trực của AB c một cực đại khác .
1/ Tính tần số sng .
2/ Tại điểm N trên mặt nước cách A và B lần lượt là d
1
= 35 cm và d
2


→
λ
)
2
1
(
12
+=− kdd
với k = 2 . Như vậy tại N c biên
độ dao động cực tiểu (đường cực tiểu thứ 3)
- từ N đến H c 3 cực đại , ứng với k = 0 , 1, 2
.( Quan sát hình vẽ sẽ thấy rõ số cực đại từ N đến H)
3.Xác Định Số Điểm Cực Đại, Cực Tiểu Trên Đoạn Thẳng CD Tạo Với AB Một Hình
Vuông Hoặc Hình Chữ Nhật.
- Phương pháp:
a.TH1: Hai nguồn A, B dao động cùng pha:
Cách 1: Ta tìm số điểm cực đại trên đoạn DI.
do DC =2DI, kể cả đường trung trực của CD.
=> Số điểm cực đại trên đoạn DC là: k’=2.k+1
Đặt :
1
DA d=
,
2
DB d=
Bước 1: Số điểm cực đại trên đoạn DI thoã mãn :
2 1
2 1
d d BD AD

Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn :
2 1
2 1
(2 1)
2
d d k
AD BD d d AC BC
λ

− = +



− < − < −

Trang 13
A
B
D
C
O
I
k: 2 1 0
N H
A B
Suy ra :
(2 1)
2
AD BD k AC BC
λ


− < − < −

Suy ra :
(2 1)
2
AD BD k AC BC
λ
− < + < −
Hay :
2( ) 2( )
2 1
AD BD AC BC
k
λ λ
− −
< + <
Giải suy ra k.
Tìm Số Điểm Cực Tiểu Trên Đoạn CD:
Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn :
2 1
2 1
d d k
AD BD d d AC BC
λ
− =


− < − < −


− − −
− = ⇒ = = = =
Với k thuộc Z lấy k=3
Vậy số điểm cực đại trên đoạn CD là : k’=2.k+1=3.2+1=7
Bước 2 : Số điểm cực tiểu trên đoạn DI thoã mãn :
2 1
2 1
2( ) 2( ) 2(50 30)
(2 1) 2 1 6,67
2 6
d d BD AD
d d k k
λ
λ λ
− − −
− = + ⇒ + = = = =
. Giải suy ra k=2,83
(Với k thuộc Z) nên lấy k=3 ( vì
2,83 2,5k = >
ta lấy cận trên là 3)
Vậy số điểm cực tiểu trên đoạn CD là : k’=2.k =2.3=6 Chọn B.
Cách 2 :
Do hai nguồn dao động cùng pha nên số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn CD
thoã mãn :
Số điểm cực đại trên đoạn CD thoã mãn :
2 1
2 1
d d k
AD BD d d AC BC
λ


− = +



− < − < −

Suy ra :
(2 1)
2
AD BD k AC BC
λ
− < + < −
Hay :
2( ) 2( )
2 1
AD BD AC BC
k
λ λ
− −
< + <
. Thay số :
Trang 14
A
B
D
C
O
I
2(30 50) 2(50 30)

2
= (AB + kλ)/2
+ số điểm cực đại trên AC là:
2
2
0 0
2
AB k AB AC AB
d AC AC k
λ
λ λ
+ −
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔− ≤ ≤

10,8 5,8k⇔ − ≤ ≤
=> c 16 điểm cực đại
+ số cực đại trên AD:
2
0 2 0
2
AB k AB AD AB
d AD AD k
λ
λ λ
+ −
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔− ≤ ≤
10,8 7,6k⇔ − ≤ ≤
=> c 18 điểm cực đại
Vậy trên CD c 18 – 16 = 2 cực đại, suy ra có 2 đường hyperbol cực đại cắt MN.
Chọn C

=
⇒
Số điểm dao động cực đại.
b. Bài tập ví dụ:
Bài 1: (ĐH-2010) ở mặt thoáng của một chất lỏng c hai nguồn kết hợp A và B cách nhau
20(cm) dao động theo phương thẳng đứng với phương trình
2. (40 )( )
A
U cos t mm
π
=
và
2. (40 )( )
B
U cos t mm
π π
= +
. Biết tốc độ truyn sng trên mặt chất lỏng là 30(cm/s). Xét hình
Trang 15
B
M
C
D
A
N
d
1
d
2
A

2
d d k
AD BD d d AB O
λ

− = +



− < − < −


(vì điểm
D B≡
nên vế phải AC thành AB còn BC thành B. B = O)
Suy ra :
(2 1)
2
AD BD k AB
λ
− < + < −
Hay :
2( ) 2
2 1
AD BD AB
k
λ λ
−
< + <
. Thay số :

Giải: Ta c:
60
0,6
100
v
cm
f
λ
= = =

Gọi số điểm cực đại trong khoảng S
1
S
2
là k ta c:
1 2 1 2
2 2
3,33 3,33 0, 1, 2, 3
0,6 0,6
S S S S
k k k k
λ λ
− < < → − < < → − < < → = ± ± ±
.
Như vậy trong khoảng S
1
S
2
c 7 điểm dao động cực đại.Tại M ta c d
1

B
D
C
O
I
d
2
N
C
d
1
M
S
2
S
1
Câu 3: Hai nguồn kết hợp A, B cách nhau 16 cm dao động cùng pha. C là điểm nằm trên
đường dao động cực tiểu, giữa đường cực tiểu qua C và trung trực của AB còn c một
đường dao động cực đại. Biết rằng AC = 17,2 cm; BC = 13,6 cm. Số đường dao động cực
đại trên AC là
A. 16 B. 6 C. 5 D. 8
Câu 4: Trong một thí nghiệm v giao thoa sng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp A và B
dao động với cùng tần số, cùng biên độ dao động, cùng pha ban đầu. Tại một điểm M cách
hai nguồn sng đ những khoảng lần lượt là d
1
= 41cm, d
2
= 52cm, sng tại đ c biên độ
triệt tiêu. Biết tốc độ truyn sng trên mặt nước là 1m/s. Số đường cực đại giao thoa nằm
trong khoảng giữa M và đường trung trực của hai nguồn là 5 đường. Tần số dao động của

=
còn
4,8AB
λ
=
nên đoạn AB chắc chắn
thuộc đường tròn. Vì hai nguồn A, B giống hệt nhau nên dao động cùng pha.
Số điểm dao động với biên độ cực đại trên AB là :
AB AB
K
l l
-
< <
Thay số :
4,8 4,8
K
l l
l l
-
< <
Hay : -4,8<k<4,8 .
Kết luận trên đoạn AB c 9 điểm dao động với biên độ cực đại
hay trên đường tròn tâm O c 2.9 =18 điểm.
Bài 3 : Trên b mặt chất lỏng hai nguồn dao động với phương trình tương ứng là:
cmtucmtu
AA
)
3
10cos(.5;)10cos(.3
π

làm tiêu điểm là:
A. 16 điểm. B. 30 điểm. C. 28 điểm. D. 14 điểm.
7. Xác định vị trí, khoảng cách của một điểm M dao động cực đại, cực tiểu trên đoạn
thẳng là đường trung trực của AB , hoặc trên đoạn thẳng vuông góc với hai nguồn AB.
a.Xác định khoảng cách ngắn nhất hoặc lớn nhất từ một điểm M đến hai nguồn .
- Phương pháp: Xét 2 nguồn cùng pha ( Xem hình vẽ bên)
Giả sử tại M c dao đông với biên độ cực đại.
-Khi / k/ = 1 thì :
Khoảng cách lớn nhất từ một điểm M đến hai nguồn là :
d
1
=MA
Từ công thức :
AB AB
k
λ λ
−
< <
với k=1, Suy ra được AM
-Khi / k/ = /K
max
/ thì :
Khoảng cách ngắn nhất từ một điểm M’ đến hai nguồn là:
d
1
= M’A
Từ công thức :
AB AB
k
λ λ

(1). ( do lấy k= +1)
Mặt khác, do tam giác AMB là tam giác vuông tại A nên ta c :

2 2 2 2
2 1
( ) ( ) 40 (2)BM d AB AM d= = + = +
Thay (2) vào (1)
ta được :
2 2
1 1 1
40 20 30( )d d d cm+ − = ⇒ =
Đáp án B
Bài 2 : Trên b mặt chất lỏng c hai nguồn phát sng kết hợp S
1
, S
2

dao động cùng pha,
cách nhau một khoảng S
1
S
2
= 40 cm. Biết sng do mỗi nguồn phát ra c tần số f = 10 Hz,
vận tốc truyn sng v = 2 m/s. Xét điểm M nằm trên đường thẳng vuông gc với S
1
S
2

tại
Trang 18

. Đoạn S
1
M c giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu để tại M c dao động với biên độ cực
đại?
A. 50 cm. B. 40 cm. C. 30 cm. D. 20 cm.
GIẢI : d
1
max khi M thuộc vân cực đại thứ k =1
2 1
1
2 2 2
2 1
20
30
40
d d
d
d d
− =

⇒ =

− =

b. Xác Định Biên Độ tại một điểm Nằm Trong Miền Giao Thoa của Sóng Cơ.
- Lý thuyết giao thoa tìm biên độ:
+Phương trình sng tại 2 nguồn:(Điểm M cách hai nguồn lần lượt d
1
, d
2

λ
= − +
* Nếu 2 nguồn cùng pha thì:

1
1 2
2A cos(2 2 )
M
d
u ft
π π
λ
= −
và
2
2 2
A cos(2 2 )
M
d
u ft
π π
λ
= −
-Phương trình giao tổng hợp sng tại M: u
M
= u
1M
+ u
2M:
Thế các số liệu từ đ cho để tính kết quả( giống như tổng hợp dao động nhờ số phức)

Acos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ
λ
= − +
+Phương trình giao thoa sng tại M: u
M
= u
1M
+ u
2M

1 2 1 2 1 2
2 os os 2
2 2
M
d d d d
u Ac c ft
ϕ ϕϕ
π π π
λ λ
− + +∆
   
= + − +
   
   
+Biên độ dao động tại M:
1 2

   
= −
   
   
Ta nhận thấy biên độ giao động tổng hợp là:
2 1
( )
2 . cos(
M
d d
A A
π
λ
−
=
Biên độ đạt giá trị cực đại
2 1
2 1
( )
2 1
M
d d
A A cos d d k
π
λ
λ
−
= ⇔ = ± ⇔ − =
Biên độ đạt giá trị cực tiểu
2 1

λ
−
= ±
Chú ý: Nếu O là trung điểm của đoạn AB thì tại 0 hoặc các điểm nằm trên đường trung
trực của đoạn A,B sẽ dao động với biên độ cực tiểu và bằng:
0
M
A =
(vì lúc này
1 2
d d=
)
Trang 19
M
A B
d
1
d
2
TH3: Hai nguồn A, B dao động vuông pha
Ta nhận thấy biên độ giao động tổng hợp là:
2 1
( )
2 . cos(
4
M
d d
A A
π π
λ

O
2
M
1
=3,5cm Và O
1
M
2
=4cm O
2
M
2
= 3,5cm
Giải:
a.Tính vận tốc truyn sng trên mặt nước
Theo đ mỗi bên 7 gợn ta c 14.λ/2 = 2,8
Suy ra λ= 0,4cm. Vận tốc v= λ.f =0,4.100=40cm/s
b.Xác định trạng thái dao động của hai điểm M
1
và M
2
-Dùng công thức hiệu đường đi của sng từ hai nguồn đến M
1
là:

1 2 1
( ) ( )
2
− =∆ −∆
M

-Tương tự tại M
2
:
1 2 2 2 1 2
2
( ) ( ) ( )
2
− = ∆ => ∆ = −
M M
d d d d
λ π
ϕ ϕ
π λ
Thế số :
2 2
(4 3,5) 0,5. 2,5 (2 1)
0,4 0,4 2
∆ = − = = = +
M
k
π π π
ϕ π
=> hai dao động thành phần vuông pha
nên tại M
2
c biên độ dao động A sao cho
2 2 2
1 2
= +
A A A

1
d
1
d
2
O
1
O
2
k = 0
-1
-2
1
Hình ảnh giao thoa
sóng
2
Giải: Theo giả thiết nhìn vào phương trình sng ta thấy hai nguồn dao động ngược pha
nên tại O là trung điểm của AB sẽ dao động với biên độ cực tiểu
0
M
A =
.
Chọn C
- Bài tập vận dung
Câu 1: Tại hai điểm A và B trên mặt nước c 2 nguồn sng giống nhau với biên độ a,
bước sng là 10cm. Điểm M cách A 25cm, cách B 5cm sẽ dao động với biên độ là
A. 2a B. a C. -2a D. 0
Câu 2: Thực hiện giao thoa cơ với 2 nguồn S
1
S

≤ 3a.
Câu 4: Trên mặt nước c hai nguồn phát sng kết hợp A, B c cùng biên độ a =2cm, cùng
tần số f=20Hz, ngược pha nhau. Coi biênđộ sng không đổi, vận tốc sng v = 80 cm/s.
Biên độ dao động tổng hợp tại điểm M c AM =12cm, BM =10 cm là
A. 4 cm B. 2 cm. C.
2 2
cm. D. 0.
Câu 5: Tại hai điểm A và B trong một môi trường truyn sng c hai nguồn sng kết hợp,
dao động cùng phương với phương trình lần lượt là u
A
= acos50πt và u
B
= acos(50πt - π).
Biết tốc độ truyn sng là 2 m/s. Một điểm M nằm trong min giao thoa do hai nguồn trên
gây ra, c khoảng cách đến hai nguồn lần lượt là MA = 32 cm, MB = 16 cm sẽ dao động
với biên độ bằng
A. a/2 B. 0 C. a D. 2a
8.Xác định phương trình sóng cơ tại một điểm trong trường giao thoa
- Phương pháp
+Phương trình sng tại 2 nguồn :(Điểm M cách hai nguồn lần lượt d
1
, d
2
)

1 1
Acos(2 )u ft
π ϕ
= +
và

2M

1 2 1 2 1 2
2 os os 2
2 2
M
d d d d
u Ac c ft
ϕ ϕϕ
π π π
λ λ
− + +∆
   
= + − +
   
   
+Biên độ dao động tại M:
1 2
2 os
2
M
d d
A A c
ϕ
π
λ
−
∆
 
= +

= 2√2acos(200πt - 8π)
C. u
M
= √2acos(200πt - 8π) D . u
M
= 2acos(200πt - 8π)
Giải: Phương trình sng tổng quát tổng hợp tại M là:
u
M
= 2acos(π
2 1
d d
λ
−
)cos(20πt - π
2 1
d d
λ
+
)
Trang 21
M
S
1
S
2
d
1
d
2

k
dd
==⇒=
+
⇒=
+
21
2121
22

+ Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d
1
= d
2
=
2
2
2
AB
x
 
+
 ÷
 
=
k
λ
( )
964,0
2

dd
λ
Phương trình sóng tại M là: u
M
= 2acos(200πt - 8π)
Bài 2: Hai mũi nhọn S
1
, S
2
cách nhau 9cm, gắn ở đầu một cầu rung c tần số f = 100Hz
được đặt cho chạm nhẹ vào mặt một chất lỏng. Vận tốc truyn sng trên mặt chất lỏng là v
= 0,8 m/s. Gõ nhẹ cho cần rung thì 2 điểm S
1
,

S
2
dao động theo phương thẳng đứng với
phương trình dạng: u = acos2πft. Điểm M trên mặt chất lỏng cách đu và dao động cùng
pha S
1
, S
2
gần S
1
S
2
nhất c phương trình dao động là:
Giải: Phương trình sng tổng quát tổng hợp tại M là:
u

Để M dao động cùng pha với S
1
, S
2
thì: π
2 1
d d
λ
+
= 2kπ
suy ra:
2 1
2d d k
λ
+ =

1 2
2
d d
k
λ
+
⇔ =
và d
1
= d
2
= kλ
Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d
1

; (λ = v/f = 0,8 cm)
Biểu thức trong căn c nghĩa khi
2
0,64 9k −
≥ 0 ⇔ k ≥ 3,75
Với x ≠ 0 và khoảng cách là nhỏ nhất nên ta chọn k = 4. Khi đ
1 2
2 8
d d
k
λ
+
= =
Vậy phương trình sng tại M là: u
M
= 2acos(200πt - 8π) = u
M
= 2acos(200πt)
9.Xác định tại vị trí điểm M dao động cùng pha hoặc ngược pha với nguồn.
- Phương pháp
Xét hai nguồn cùng pha:
Cách 1: Dùng phương trình sóng. Gọi M là điểm dao động ngược pha với nguồn
Phương trình sng tổng hợp tại M là: u
M
= 2acos(π
2 1
d d
λ
−
)cos(20πt - π

Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d
1
= d
2
=
2
2
1 2
2
S S
x
 
+
 ÷
 
=
k
λ
. Rồi suy ra x
Trang 22
S
1
O S
2
x
d
1
S
1
O S

d d k
λ
= = +
Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d
1
= d
2
=
2
2
1 2
2
S S
x
 
+
 ÷
 
=
( )
2 1
2
k
λ
+
.Rồi suy ra x
Cách 2: Giải nhanh: Ta c: k =
1 2
2
S S

=
(mm).Tốc độ truyn sng trên mặt nước là 0,4 m/s và biên độ sng
không đổi trong quá trình truyn. Điểm gần nhất ngược pha với các nguồn nằm trên đường
trung trực của S
1
S
2
cách S
1
S
2
một đoạn: A. 6 cm. B. 2 cm. C. 3
2
cm
D. 18 cm.
Cách 1: Gọi M là điểm dao động ngược pha với nguồn
Phương trình sng tổng hợp tại M là: u
M
= 2acos(π
2 1
d d
λ
−
)cos(20πt - π
2 1
d d
λ
+
)
Để M dao động ngược pha với S

= d
2
=
2
2
1 2
2
S S
x
 
+
 ÷
 
=
( )
2 1
2
k
λ
+
Suy ra
2 2
1 2
(2 1)
2 2
S S
x k
λ
   
= + −

O nhất, cách O đoạn:
A. 6,6cm. B. 8,2cm. C. 12cm. D. 16cm.
Giải: λ =2cm Ta c: k =
1 2
2
S S
λ
= 5 ⇒ O cùng pha nguồn.Vậy M cần tìm cùng pha
nguồn; chọn k = 5 .Cùng pha gần nhất: chọn k = k + 1 =6. Ta tính: d = kλ = 12
Khoảng cách cần tìm: OM =
2
2
1 2
2
S S
d
 
−
 ÷
 
= 2 cm = 6,6cm. Chọn A
Trang 23
d
1
d
2
M
•
•
B

và
2
2 2
Acos(2 2 )
M
d
u ft
π π ϕ
λ
= − +
+Phương trình giao thoa sng tại M: u
M
= u
1M
+ u
2M

1 2 1 2 1 2
2 os os 2
2 2
M
d d d d
u Ac c ft
ϕ ϕϕ
π π π
λ λ
− + +∆
   
= + − +
   

1 2
1 1S M
d d
ϕ ϕ ϕ ϕ π
λ
+
∆ = − = +1 2
2 2S M
d d
ϕ ϕ ϕ ϕ π
λ
+
∆ = − = +
Để điểm M dao động cùng pha với nguồn 1:
1 2
1
2
d d
k
ϕ π ϕ π
λ
+
∆ = = +
.suy ra:
1
1 2
2d d k

và S
2
làm
2 tiêu điểm xen kẻ với họ đường Ellip trên
- Phương pháp nhanh :
Xác định số điểm cùng pha, ngược pha với nguồn S
1
S
2
giữa 2 điểm MN trên đường
trung trực
Ta c: k =
1 2
2
S S
λ
⇒ k = …… d =
2
2
1 2
2
S S
OM
 
+
 ÷
 
; d =
2
2

λ
+ =
;
0,5
N
N
d
k
λ
+ =

Từ k và k ⇒ số điểm trên OM
Từ k và k ⇒ số điểm trên OM
⇒ số điểm trên MN ( cùng trừ, khác cộng)
- Bài tập ví dụ:
Ví dụ 1: Trên mặt nước c 2 nguồn sng giống hệt nhau A và B cách nhau một khoảng
AB = 24cm.B ước sng
λ
= 2,5 cm. Hai điểm M và N trên mặt nước cùng cách đu trung
điểm của đoạn AB một đoạn 16 cm và cùng cách đu 2 nguồn sng và A và B. Số điểm
trên đoạn MN dao động cùng pha với 2 nguồn là:
A. 7. B. 8. C. 6. D. 9.
Cách 1: Gọi M là điểm dao động cùng pha với nguồn
Trang 24
A
B
.
.
M.
Phương trình sng tổng hợp tại M là: u


2 1
d d k
λ
= =
; Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d
1
= d
2
=
2
2
2
AB
x
 
+
 ÷
 
=
k
λ
Suy ra
( )
2
2
2
AB
x k
λ

d
k
λ
=
= 8 chọn 5,6,7,8
d =
2
2
1 2
2
S S
ON
 
+
 ÷
 
=20cm ⇒
N
N
d
k
λ
=
= 8
chọn 5,6,7,8 M,N ở 2 phía vậy c 4+4 = 8 điểm
ví dụ 2 : Hai nguồn sng kết hợp trên mặt nước cách nhau một đoạn S
1
S
2
= 9λ phát ra dao

2 d
); u
2M
= Acos(ωt -
λ
π
2
2 d
).
u
M
= u
1M
+ u
2M
= 2Acos(
λ
π
)(
12
dd −
cos(ωt -
λ
π
)(
21
dd +
) = 2Acos
λ
π

1
= (4 - k)λ < 9λ => - 5 < k < 4 => - 4 ≤ k ≤ 3 . Do đ c 8 giá trị của k
Chọn C
Giải 2: Số điểm dao động cực đại giữa hai nguồn
99
2121
≤≤−↔≤≤− k
SS
k
SS
λλ
C 19 đường dao động cực đại, hai nguồn là hai đường cực đại, những điểm cực đại và
cùng pha với hai nguồn ứng với k=-7; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 7 (c 8 điểm không tính hai
nguồn)
- Bài tập vận dụng
Câu 1: Hai mũi nhọn A, B cách nhau 8 cm gắn vào đầu một cần rung c tần số f = 100 Hz,
đặt chạm nhẹ vào mặt một chất lỏng. Tốc độ truyn sng trên mặt chất lỏng v = 0,8 m/s.
Hai nguồn A, B dao động theo phương thẳng đứng với cùng phương trình u
A
= u
B
=
acos(ωt) cm. Một điểm M
1
trên mặt chất lỏng cách đu A, B một khoảng d = 8 cm. Tìm
trên đường trung trực của AB một điểm M
2
gần M
1
nhất và dao động cùng pha với M