Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 1 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
42
2y x x
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
.
b) Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
ym
cắt đồ thị
C
tại 4 điểm phân biệt
, , ,E F M N
. Tính tổng
các hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị
C
tại các điểm
, , ,E F M N
.
z
thỏa mãn đẳng thức
3 2 3zi
. Hãy tìm tập hợp điểm
M
biểu diễn cho số phức
w
, biết
w 1 3zi
.
b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau. Tính số phần tử của S. từ tập hợp S chọn
ngẫu nhiên một số, tính xác suất để trong 5 chữ số của nó có đúng 2 chữ số lẻ.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
4
33
:
3 1 1
y
xz
d
và mặt
phẳng
( ) :2 2 9 0x y z
. Viết phương trình đường thẳng
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng
SBC
và đáy bằng
0
60
. Biết
2;SA a BC a
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA
và
BC
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
B
. Đường
chéo
AC
,xy
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực
,,a b c
thỏa mãn
0; 1 0; 1 0;2 1 0a b c a b c
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
1 1 2 1
a b c
P
a b c
.
HẾT
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 1
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 2
1;
.
' 0, ; 1 0;1yx
, suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng
;1
và
0;1
.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0, 0
CD
xy
. Hàm số đạt cực tiểu tại
1, 1
CT
xy
.
+ Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
.
+ Bảng biến thiên
x10
1
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại điểm
2;0 , 0;0 , 2;0
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
0;0
.
1 4 2 3
;x x x x
. Ta có
3
' 4 4y x x
.
Suy ra tổng hệ số góc của 4 tiếp tuyến tại 4 giao điểm với đồ thị
C
là:
3 3 3 3
1 2 3 4 1 1 1 2 1 3 1 4
4 4 4 4 4 4 4 4k k k k x x x x x x x x
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 3
3 3 3 3
1 4 2 3 1 4 2 3
4 4 4 4 0x x x x x x x x
.
Nhận xét: Đây là dạng toán biện luận số giao điểm của một đường thẳng
d
với một hàm số
tại
Q
là
'
Q Q Q
y f x x x y
, hệ số góc tiếp tuyến là
'
Q
k f x
.
+ Tìm
m
để đường thẳng
ym
cắt
C
tại 4 điểm
, , ,E F M N
: Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng
ym
song song với trục
Ox
nên sẽ cắt
C
tại 4 điểm phân biệt khi
0tx
, ta tìm
m
để phương trình
2
20t t m
có 2 nghiệm
21
'0
00
0
t t S
P
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
32
1 3 1y x m x x m
. Tìm tất cả các giá trị của
m
22
sin cos 2cos sin cos sin cos 2cos 1 0x x x x x x x x
sin cos 0
sin cos cos2 0
cos2 0
xx
x x x
x
.
+ Với
sin cos 0 tan 1
4
x x x x k
.
+ Với
cos2 0 2
-Công thức hạ bậc:
2
1 cos2 2coscc
,
2
1 cos2 2sincc
-Công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác:
.
2
sin sin ;
2
xk
x k Z
xk
.
cos cos 2 ;x x k k Z
xx
xx
. Đáp số:
2
xk
.
Câu 3.
22
00
2 sin 3 2 cos
3 cos
2
sin cos sin cos
x x x x
xx
I dx dx
x x x x x x
.
Nhận xét: Bản chất của bài toán là tách tử của biểu thức dưới dấu tích phân theo mẫu và đạo hàm của
mẫu. Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta khó có thể sử dụng một trong hai phương pháp đổi biến số
hoặc tích phân từng phần.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Ta có
. g' 'f x g x x g x
dx f x dx dx
g x g x
.
Tổng quát :
' . 'f x g x h x g x h x g x
dx f x dx dx
g x g x
. Đáp số:
1
2
I
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 5
b. Tính tích phân
1
1
ln
e
x
x
xe
I dx
x e x
. Đáp số:
1
ln
22
: 2 5 9C x y
.
Vậy tập hợp điểm
M
là đường
22
: 2 5 9C x y
.
Nhận xét: Đây là dạng toán toán tìm biếu diễn của số phức
w
theo số phức
z
thỏa mãn điều kiện nào
đó.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Mọi số phức có dạng
;,z a bi a b R
.
-Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của 2 số đó bằng nhau.
- Từ số phức
z
: Thay
z a bi
vào phương trình
3 2 3zi
. Tìm được mối quan hệ giữa phần thực
x
ab
.
Bài toan kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho số phức
z
thỏa mãn
13
1
i
z
i
. Tìm modul của số phức
w z iz
. Đáp số:
w2
.
b. Tìm số phức
z
thỏa mãn
13iz
là số thực và
2 5 1zi
. Đáp số:
54
.CC
cách;
Xếp 5 số được chọn vào các vị trí
, , , ,m n p q r
có 5! cách.
Suy ra trường hợp 2 có
23
54
.5! 4800CC
.
Vậy
5760 4800 10560A
. Do đó
10560 220
27216 567
PA
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 6
Nhận xét: Bài toán xác suất cơ bản , ta chỉ cần áp dụng công thức tính xác suất với biến cố theo dữ kiện
trong giả thiết.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính xác suất của một biến cố
A
:
a. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thế lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có
mặt chữ số 2. Đáp số: 204.
b. Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất
có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn
5
6
.(Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D
2012-2013). Đáp số: Rút ít nhất 6 thẻ.
Câu 5. Gọi
A
là giao điểm của
d
và
, suy ra
–3;2;1A
. Gọi
;;u a b c
là một vectơ chỉ phương của
.
Ta có một vectơ pháp tuyến của
là
2; –2;1n
.
+ Với
ab
, chọn
3
1 0 : 2
1
xt
a b c y t
z
.
+ Với
5
3
b
a
, chọn
2
31
- Viết phương trình đường thẳng
: Tham số hóa
;;u a b c
là một vector chỉ phương của
. Do
.0un
(Với
n
là một vector pháp tuyến của
). Ta tìn được mối quan hệ giữa
,,a b c
.
Chọn vector chỉ phương viết được
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 7
1; 2; 1A
, đường thẳng
22
:
1 3 2
y
xz
d
và mặt phẳng
: 2 1 0x y z
. Viết phương trình đường thẳng đi qua
A
cắt
d
và song song với mặt
phẳng
.
Đáp số:
2
11
2 9 5
y
xz
đều.
Đáp số:
6 3 8 2 3 6 3 8 2 3
; ;3 , ; ;3
5 5 5 5
6 3 8 2 3 6 3 8 2 3
; ;3 , ; ;3
5 5 5 5
BC
BC
.
Câu 6. Gọi
H
1 1 5 3
. . .
3 2 16
a
V AB BC SH
(đvtt).
Kẻ
Ax
song song với
BC
,
HI
cắt
Ax
tại
K
. Kẻ
IM
vuông góc với
SK
.
Ta có
AK SIK AK IM IM SAK
.
Tam giác
SIK
đều, suy ra
35
4
0
, 60SBC ABC SIH
.
- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp
.
1 1 1
. . . .
3 3 2
S ABC
V B h V AB BC SH
.
- Tính khoảng cách
,d SA BC
: Lí thuyết tính bằng cách khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng
này tới một mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại.
Kẻ
//Ax BC
, kẻ
IM SK AK SIK IM SAK
. Suy ra
,d SA BC IM SH
.
Lưu ý: Có thể sử dụng tỉ lệ khoảng cách.
Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
b. Cho hình chóp
.S ABC
có
3SA a
,
SA
tạo với đáy
ABC
một góc bằng
0
60
. Tam giác
ABC
vuông tại
B
,
0
30ACB
.
G
là trọng tâm tam giác
ABC
, hai mặt phẳng
,SGB SGC
cùng
vuông góc với mặt phẳng
93
4 7( 5) 28 4.2 7.5 28
11 63 30
2 11 63 30
11
11 63 30
4 7 4 7
3
bb
b
b
b
b
b
.
3;
7
a
BA a
.
Do đó
2
0 0;4
4 7 4 42
. 0 2 3 0 65 385 0
77
49
l
13
aA
aa
DA BA a a a a
a
4;0 , 3;–2AB
và
7;0C
là điểm cần tìm.
Nhận xét: Để giải bài toán ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử
dụng khoảng cách-tỉ lệ khoảng cách tìm tọa độ các đỉnh
,,A B C
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 9
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Phương pháp tham số hóa điểm theo đường thẳng cho trước: Điểm
: 0 ;
mx p
P d mx ny p P
n
.
-Khoảng cách từ điểm
;
MM
.
Áp dụng cho bài toán:
- Tham số hóa tọa độ điểm
B
. Do
;
2
;
d B AC
BE BC
DE AD
d D AC
(
E AC BD
), ta có điểm
B
.
-Để loại nghiệm sử dụng tính chất:
4 7 28 4 7 28 0
B B D D
x y x y
B
.
: 3 3 0d x y
, điểm
2;3F
thuộc đường thẳng
DE
và
2HD
. Tìm tọa độ đỉnh
A
.
Đáp số:
3;0A
.
b. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho tam giác
ABC
có
1; 3 , 5;1AB
. Điểm
M
thuộc đường thẳng
BC
sao cho
2MC BB
. Tìm tọa độ đỉnh
C
, ta được
33
uv
uv
.
Xét
3
t
f t t
; ta có
' 3 ln3 1 0;
t
f t t
, suy ra
ft
đồng biến trên .
Nhận thấy
f u f v u v
là nghiệm duy nhất cua phương trình.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 10
.
Phương trình trở thành
22
3
2 3 7
2
ba
b a ab
ab
.
+ Với
22
4 6 23 8 6
3 1 9 1 8 10 0
4 6 23 8 6
xy
b a x x x x x
xy
có nhiều nhất 1 nghiệm.
-Hàm số
fx
đồng biến trên
D
,
gx
nghịch biến trên
D f x g x
có nghiệm duy nhất.
Ý tưởng: Từ phương trình thứ nhất tách hoặc bình phương sẽ ra phương trình khó bậc cao, khó tìm mối
quan hệ giữa
,xy
.
- Nhận thấy phương trình thứ 2 của hệ có sự tương đồng
2
23
2
3 , 2 3
xy
xy
với
.
- Xét hàm số
3
t
f t t
đồng biến trên
R f u f v u v
. Thay lại phương trình thứ nhất , sử
dụng hai ẩn phụ
2
1
,0
1
ax
ab
b x x
thu được phương trình đẳng cấp bậc 2.
Lần lượt giải 2 phương trình vô tỉ cơ bản ứng với 2 trường hợp kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm
của hệ.
2
x
.
b. Giải phương trình
6
2
3
7 2 1 2x x x
. Đáp số:
7, 1xx
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 11
Câu 9.
1 1 1 1 5 1 1 1
11
1 1 2 1 1 1 2 4 2 2 1 1 4 2
a b c
P
a b c a b c a b c
2
2 2 2 2
4 15 20
44
' ; ' 0 0
2 4 2 2 4 2
cc
f c f c c
c c c c
.
c
1
2
0 2
'fc
0 +
fc
- Tách biểu thức
P
, ta được
5 1 1 1
2 1 1 4 2
P
a b c
. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản
2
2
2
xy
y
x
m n m n
suy ra
5 4 1
2 2 4 2
P
cc
thu được
minf c
.
Bài tập tương tự:
a. Cho
,,a b c
là 3 số dương thỏa mãn điều kiện
1abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
1 1 1 1 1 1
a b c
P
b c c a a b
. Đáp số:
3
4
MinP
.
b. Cho
, , : 1a b c ab bc ca
. Chứng minh rằng
của đường thẳng d đi qua điểm
1; 2M
, sao cho
d
cắt
C
tại hai điểm phân biệt
,AB
. Gọi
,
AB
kk
là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị
C
tại
A
và
B
. Tìm các giá trị của
k
để
1
A
B
k
k
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm tất cả các số phức
z
thỏa mãn
2 3 1z z i
và
12z i z i
là số thực.
b) Trong một hộp gồm có 8 viên bi xanh và 6 viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Tính xác suất để 5
viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ) : 2 2 7 0x y z
và đường
thẳng
1
22
:
1 2 2
y
xz
d
. Viết phương trình mặt phẳng
, tam giác
SAB
cân tại
S
thuộc mặt phẳng vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
nhọn nội tiếp đường tròn
C
có
phương trình
22
25xy
,
AC
đi qua
2;1K
, hai đường cao
BM
2
3
34
27 10
98
y
x
P
yx
.
HẾT
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 2
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.a.
- Tập xác định:
/1DR
.
- Sự biến thiên:
11
lim ; lim
xx
yy
đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
1x
.
+ Bảng biến thiên
x
1
'y
y
.
+ Đồ thị hàm số giao điểm
1; 2I
của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm
3 1 3
2; 3 , ;4 , ;0 , 1;
2 2 2
.
- Vẽ đồ thị:
Câu 1.b. Phương trình đường thẳng
d
là
12y k x
.
Để
d
cắt
C
tại 2 điểm phân biệt khi phương trình
21
.
Ta có
2
1
'
1
y
x
. Suy ra
22
11
;
11
AB
AB
kk
xx
trong đó
,
.
Suy ra
1 1 1
22
AB
k k k k k
k k k
, đẳng thức xảy ra khi
1k
.
Vậy
1
A
B
k
k
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi
1k
.
n
Nhận xét:
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm nào đó và cắt đồ
. Dấu bằng xảy ra
ab
.
Áp dụng cho bài toán:
- Phương trình đường thẳng đi qua M hệ số góc
k
là
12y k x
.
- Lập phương trình hoành độ giao điểm.
d
cắt
C
tại hai điểm phân biệt
2
, 2 1 0A B f x kx kx k
có hai nghiệm phân biệt
1x
.
- Hệ số góc tiếp tuyến tại
,AB
lần lượt là
,
AB
kk
(
x
y
x
. Lập phương trình tiếp tuyến của độ thị biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ
,Ox Oy
lần lượt tại A,B thỏa mãn
4
OA
OB
. Đáp số:
1 5 1 13
;
4 4 4 4
y x y x
.
b. Cho hàm số
2
2
x
y
x
. Viết phương trìn tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo hai trục tọa độ một
tam giác có diện tích bằng
1
18
1
2cos 1
sin
2
x
x x x
x x x x
x
x
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 4
2
2
2
6
5
2
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Sử dụng công thức góc nhân đôi
sin2 =2sin cos
.
-Nhóm nhân tử chung , thu được phương trình bậc 2 cơ bản.
-Giải phương trình bậc 2 ẩn duy nhất
sinx
tìm đươc
x
với công thức nghiệm:
+
2
sin ;
2
xk
x k Z
xk
.
+
cos cos 2 ;x x k k Z
.
-Kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của phương trình.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
.
Câu 3.
11
00
ln 1
4 ln 1
1
x
I x x dx dx
x
.
1
0
4 ln 1A x x dx
.
Đặt
2
ln 1
1
1
1
0
0
0
1 1 1
4 ln 1 1 4 1
2 2 2 2
xx
A x x dx x
.
1
2
a
a
I u v u vdu
.
-Công thức tính
1
1
b
b
n
n
a
a
x
x dx
n
.
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 5
-Nhận thấy
2
2 1 4 1 1
B
:
1
0
ln 1
1
x
B dx
x
. Nhận thấy
1
ln 1 '
1
x
x
nên ngầm đặt ẩn phụ
ln 1tx
chuyển về công
thức
'.
e
x x x x
I dx
xx
. Đáp số:
32
3ln2 4 2I e e
.
Câu 4.a. Giả sử số phức
z
có dạng:
;,z a bi a b
1 2 1 1 2 1 1 2z i z i a a b b a b a b i
1 1 2 0 1a b a b a b
z
là số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0.
- Thay vào đẳng thức
2 3 1 1zz
. Sử dụng tính chất modul của số phức.
- Mặt khác ,
12z i z i
là số thực nên phần ảo bằng 0.
- Giải hệ cơ bản
2 2 2
2
2 3 4 1 1
1
a b a b
ab
tìm được
,ab
thu được số phức
z
cần tìm.
là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.
Ta có
1 4 2 3 3 2 4 1
8 6 8 6 8 6 8 6
1940
A
C C C C C C C C
.
Vậy
194 0 9 70
200 2 1 00 1
A
PA
.
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 6
Nhận xét: Bài toán tính xác suất ta chỉ cần sử dụng công thức tính xác suất cho biến cố
A
bất kì.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính xác suất của biến cố A bất kì:
A
Câu 5.
có vectơ pháp tuyến là
1; 2; 2n
;
có vectơ pháp tuyến là
;;n A B C
.
d
đi qua
2; –1; 2A
và có vectơ chỉ phương là
1; 2;2
d
a
.
+
2 2 0 2 2
BC
B C B C B C B BC C
CB
.
+ Với
2BC
; chọn
1; 2 2C B A
: 2 – 2 2 1 1 – 2 0 2 2 – 4 0x y z x y z
.
+ Với
2CB
; chọn
1; 2 –2B C A
: –2 – 2 1 1 2 – 2 0 –2 2 1 0x y z x y z
.
Nhận xét: Bài toán cơ bản viết phương trình mặt phẳng
: Ta tìm một điểm thuộc
.
nn
nn
với
,nn
lần lượt là vector
pháp tuyến của
,
.
Áp dụng cho bài toán:
- Tham số vector pháp tuyến của
: ; ;n A B C
,
d
đi qua điểm
A
và có vector chỉ phương là
d
a
,
.0
a. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1;0;1 , 2;1; 2AB
và mặ phẳng
: 2 3 3 0Q x y z
. Lập
phương trình mặt phẳng
P
đi qua
,AB
và vuông góc với
Q
.
Đáp số:
: 2 2 0P x y z
.
b. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1
:1
2
y
d x z
1
2
r AC
. Gọi
H
là trung điểm của
AB SH ABC
.
Kẻ
00
60 .tan60HM AC SM AC SMH SH HM
.
Ta có
.2
2
BC AH a
ABC AMH HM
AC
.
Kẻ đường thẳng
d
đi qua
K
và song song với
SH
. Khi đó tâm
O
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
//AB SCD
, suy ra khoảng
cách giữa
AB
và
SC
bằng khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
SCD
.
Gọi giao điểm của
HK
với
CD
là
E
, ta có
CD SHE
.
Kẻ
HF SE
thì
HF
là khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
3
VR
.
-Dựng góc giữa hai mặt phẳng
,SAC ABC
.
- Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp:
K
là trung điểm của
AC
thì
K
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
ABC
.
Kẻ đường thẳng
d
đi qua điểm
K
và song song
SH
, suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp
.S ABC
là
O
giao của
đường trung trực
SH
d
đi qua
A
và vuông góc
với mặt phẳng
ABC
lấy điểm
S
sao cho mặt phẳng
SBC
tạo với
ABC
một góc bằng
0
60
. Tính
diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.S ABC
. Đáp số:
2
10Sa
.
b. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
. Đáp số:
3
.
3
,
12
S ABCD
a
V
Diện tích mặt cầu
2
.
4
3
S ABC
Sa
.
Câu 7. Chứng minh được
MN OA
, suy ra
OA
có vectơ pháp tuyến là
: 4 03;4 3OAn xy
.
Tọa độ
A
thỏa hệ
(do
0
A
x
). Vậy
4;3A
.
AC
nhận
6; 2AK
làm vecto chỉ phương
1
2
: 3 5 0
31
y
x
AC x y
.
Tọa độ
C
thỏa hệ
2; 2
4 3 10 0 2
x y x
M
x y y
.
BM
qua
M
và vuông góc
: 3 1 1 2 0 3 5 0AC BM x y x y
.
Tọa độ
B
thỏa
2 2 2
3 5 3 5
03
54
25 10 30 0
y x y x
xx
yy
–1;7BA
và
.4 20 08;BC BA BC
, suy ra góc
B
nhọn.
Vậy
–4;3 , –3;–4AB
và
5;0C
.
Nhận xét: Hướng giải cho bài toán : Viết phương trình các cạnh tam giác , lấy giao phương trình các cạnh
viết được với đường tròn
C
suy ra tọa độ
,,A B C
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Một đường thẳng có vô số vector pháp tuyến. Để viết được đường thẳng
d
ta cần tìm điểm
;M a b
, một
(
0
A
x
).
- Đường thẳng
AC
nhận
AK
làm một vecto chỉ phương nên viết được phương trình
AC
. Hoàn toàn tương
tự
C
là nghiệm của hệ
C AC
CC
.
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 9
, nếu
.0BA BC B
tù và
.0BA BC B
nhọn.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
Trong hệ trục tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có hình chiếu vuông góc của
C
lên đường thẳng
AB
là điểm
1; 1H
. Phân
Nhận xét: Bài toán giải phương trình với phương pháp sử dụng hai ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa các ẩn
phụ giải được nghiệm của phương trình.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Nhận thấy biểu thức trong căn về phải có thể viết lại được như sau
22
11
1
2 1 2 2.
8 2 16
xx
x
v
, ta có phương trình
22
2u v u v
uv
.
-Giải phương trình vô tỉ cơ bản dạng
2
,0f x g x
f x g x
f x g x
28
xx
.
Câu 9. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi
24
;,
33
xy
. Áp dụng bất đẳng thức
–AM GM
ta có
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 10
2
3
35
3 2 3 9 1 10 21 9 2
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
P x y
x y x y x y
.
Vậy
13
4
MinP
.
Nhận xét: Bài toán tím giá trị nhỏ nhất của hai biến
,xy
với điều kiện cho trước
2xy
. Ta cố gắng đánh
giá biểu thức
P
theo
xy
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Tách biểu thức
2
3
35
3 2 3 9 1 10 21 9 2
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
P x y
y x x y
Ta có:
3 5 13
8 2 4
P x y
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng trong
AM GM
xảy ra.
Bài tập tương tự:
a. Cho các số thực không âm
,xy
thỏa mãn
1xy
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
22
4 3 4 3 25S x y y x xy
(Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2009).
Đáp số:
25 1 1
,;
2 2 2
MaxS x y
.
32
3 2 3y x x m x m
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
khi
2m
.
b) Tìm
m
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số
C
đã cho vuông góc với
đường thẳng
: – 2 0d x y
.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2
2
1 cos2
sin 2cos2
2sin2
x
xx
x
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
3
41
:
3 1 2
y
xz
d
;
2
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2 0x y z
và
: 3 12 0xy
. Mặt phẳng
Oyz
cắt
hai đường thẳng
1
d
SAC
và
SDM
cùng vuông
góc với mặt phẳng
ABCD
và mặt bên
SAB
tạo với mặt đáy một góc
0
60
. Tính thể tích của khối
chóp
.S ABCD
theo
a
và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng
OM
và
SA
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường
tròn
22
,xyR
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương
,,xyz
bất kỳ. Chứng minh rằng
1
11
1 1 1
yy
x z x z
y z x y z x
.
HẾT
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 3
hoctoancapba.com
2
HƯỚNG DẪN GIẢI
;0
và
2;
.
' 0, 0;2yx
, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
0; 2
.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0; 6
CD
xy
. Hàm số đạt cực tiểu tại
2; 2
CT
xy
.
+ Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
.
+ Bảng biến thiên
x
2
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
0;6
.
+ Đồ thị hàm số nhận điểm uốn
1; 4I
làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm
1; 2 , 3;6
.
- Vẽ đồ thị:
Câu 1.b. Ta có
2
' 3 6 2y x x m
.
Tiếp tuyến
3
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
,
AA
A x y
thuộc đồ thị hàm số
y f x
là
'
A
k f x
. Hai đường
thẳng có hệ số góc lần lượt là
12
,kk
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
12
.1kk
.
-Biểu thức
2
P a b b
. Dấu bằng xảy ra
0a
. Tìm
m
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất vuông
góc với đường thẳng
: 2 1d y x
. Đáp số:
11
6
m
.
b. Cho hàm số
1
21
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến vuông góc
đường thẳng
: 9 1 0xy
. Đáp số:
9 1; 9 7y x y x
.
Câu 2. Điều kiện
;
2
x k k
2 2 3
1
cot 5 3 1 tan 0 3tan 2 0 3tan 2tan 1 0
tan
x x x x x
x
2
tan 1 3tan 3tan 1 0 tan 1 ,
4
x x x x x k k
.
Phương trình có nghiệm:
;
4
x k k
.
Nhận xét: Để giải phương trình lượng giác ta sử dụng công thức hạ bậc , mối quan hệ
sin x
với
cosx
,
x
x
x
.
-Thay
2
2
1 cos 1
1 tan ,
sin
cos
x
x
x tanx
x
có phương trình theo ẩn
tanx
.
- Giải phương trình theo
tanx
thu được
x
, kiểm tra điều kiện ta có đáp án.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình:
2
1 1 1 1
2
0 0 0 0
27 27 1 27 1
39
3 3 3
x x x
I dx x x dx dx dx
x x x
1
1
11
32
00
0
0
1 3 1 47 4 1
9 27 ln 3 27 ln
3 2 3 6 3 3
xx
x x x x dx dx
xx
.
Suy ra
2 2 2
0 1 1 1 1
2 2 2
1 0 0 0 0
44
2 2 2 2 8
22
4 4 4
t t t dt
A dt dt dt dt
tt
t t t
1
1
0
0
1 1 2
2 2 2 2ln 2 2ln3
2 2 2
t
2
0
39xx
sử dụng công thức
1
1
n
n
x
x dx C
n
.
- Tính
1
0
27
3
dx
x
bằng sử dụng công thức
'
ln
u
du u C
. Sử dụng khai triển dạng ln tính được
1
1
0
0
2
8 2ln
2
22
dt t
t
tt
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Tính tích phân
4
3
2
1
x x x x
I dx
x
Copyright: Tài liệu đại học ©