CÁC BÀI HÌNH TỔNG HỢP RẤT HAY DÙNG ÔN THI LỚP 10
Bài 1:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm
O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông
góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’.
1. C/m AEDB nội tiếp.
2. C/m DB.A’A=AD.A’C
3. C/m:DE

AC.
4. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF.
I
N
M
F
E
A'
D
O
A
B
C
4)
Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là
trung điểm BC và AB MN//AC(Tính chất đường trung bình)
Do DEAC MNDE (Đường kính đi qua trung điểm một dây…)MN là đường trung trực của
DE ME=MD.
 Gọi I là trung điểm ACMI//AB(tính chất đường trung bình)




.
Q
P
F
E
O
B
A
C
M
I
E
F
D
O
C
B
A
4/C/m góc:PQM=90
o
.
Do góc AMP=FMQ PMQ=AMF PQM∽AFM góc MQP=AFM Mà góc
AFM=1vMQP=1v(đcm).
Bài 3:
Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao
cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B
cắt đường thẳng DE tại G.
1. C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn này.
2. C/m


4. Chứng tỏ I là trung điểm FE.
3) Ta có: sđgóc BAC=
2
1
sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)
Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);
OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chung
BOD=CODGóc BOD=COD
2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc DOC=
2
1
sđcungBC (2)
Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC.
Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vị) Góc DOC=DIC Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu
đoạn thẳng Dc những góc bằng nhau…đpcm
H
I
N
M
D
B
O
A
C
4/Chứng tỏ I là trung điểm EF:
Do DOIC nội tiếp  góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)
Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vuông
góc với dây cung EFI là trung điểmEF.
Bài 5:
Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một

Từ trung điểm H của MN dựng đường vuông góc với MN.
Hai đường này cắt nhau ở I.
Do H là trung điểm MNAH là trung tuyến của vuông AMN
ANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD.
Gọi K là giao điểm AH và DO do ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v
hay AKD vuông ở KAHCD mà OICDOI//AH vậy AHIO là hình bình hành.
4/Quỹ tích điểm I:
Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R không đổi
CD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R
N
M
K
I
A
B
C
Bài 7:
Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ
IK

BC(K nằm trên AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA=AK.
1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O.
2. C/m góc BMC=2ACB
3. Chứng tỏ BC
2
=2AC.KC
4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN
5. C/m: NMIC nội tiếp.
4/C/m AC=BN
Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài IAC) và IAC Cân ở I

5. Gọi giao điểm của AF với MN là I.Cmr:DF đi qua trung điểm của NI.
I
D
M
N
F
C
O
A
B
E
4. Chứng minh cặp góc so le trong bằng nhau(
 
ACM CMN
)
5. Sử dụng hệ quả talet
Bài 10:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường
tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F.Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài
cắt tiếp tuyến Cy tại E.
1. C/m BD là phân giác của góc ABC và OD//AB.
2. C/m ADEF nội tiếp.
3. Gọi I là giao điểm BD và AC.Chứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB.
I
E
D
F
C
O
B

E
Bài 12:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB
lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. Đường
thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và vuông góc
với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm của CQ với
BM.
1/cm: ACMP nội tiếp.
2/Chứng tỏ AB//DE
3/C/m: M; P; Q thẳng hàng.
E
D
Q
P
B
O
A
M
C
3/C/m M;P;Q thẳng hàng:
Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn của tam giác vuông PMC) và PCM+MCQ=1v
MPC=MCQ.
Ta lại có PCQ vuông ở CMPC+PQC=1vMCQ+CQP=1v hay
CMQ=1vPMC+CMQ=2vP;M;Q thẳng hàng.
Bài 13:
Cho

ABC có A=1v;Kẻ AH

BC.Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở

N
x
K
I
D
F
E
M
O
B
A
C
Bài 14:
Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường
tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO.
Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C.
1. C/m AMN=BMC.
2. C/m

ANM=

BMC.
3. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F.C/m FE

Ax.
4. Chứng tỏ M cũng là trung điểm DC.
Bài 15:
Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên
cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CD


  
. Vì AB không đổi nên AC
2
+BC
2
nhỏ nhất khi CN nhỏ nhất nên C là
điểm chính giữa cung AB
Bài 16:
Cho tam giác ABC (

0
45BAC 
) nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O đường
kính AB. Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ A đến tiếp tuyến đó. AH cắt đường tròn (O) tại M ( M

A) . Đường vuông
góc với AC kẻ từ M cắt AC tại K và AB tại P.
a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp .
b) Chứng minh

MAP cân .
c) Tìm điều kiện của

ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng.
O
P
K
M
H

.
Đảo lại:

0
30CAB 
ta chứng minh P

O :
Khi

0
30CAB 


0
60MAB 
(do AC là phân giác của

MAB
)
Tam giác MAO cân tại O có

0
60MAO 
nên

MAO đều.
Do đó: AO = AM. Mà AM = AP(do

MAP cân ở A) nên AO = AP.


M trùng H
+ Khi đó IK = 2.
AM 3
4
=
a 3. 3 3a
2.
4.2 4

(Vì AH =
AB 3
2
)
Bài 18:
Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp
tuyến chung DE của hai đường tròn với D

(O) và E

(O’) sao cho điểm B gần tiếp
tuyến đó hơn so với điểm A.
a) Chứng minh rằng


DAB BDE
.
b) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh
2
.MD MAMB

H
N
E
K
B
O
C
D
M
Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Gọi D là điểm cố định thuộc đoạn
thẳng OC (D khác O và C). Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại điểm D, cắt
nửa đường tròn (O) tại điểm A. Trên cung AC lấy điểm M bất kỳ (M khác A và C), tia
BM cắt đường thẳng d tại điểm K, tia CM cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường
thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm N (N khác B).
a. Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp.
b.Chứng minh ba điểm C, K và N thẳng hàng.
c. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKE.
Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định
khi điểm M thay đổi.
c) Lấy H đối xứng với C qua D, Do C,D cố định nên H cố định.
tam giác HKC cân tại K nên


KHC KCH
Mà


BED KCH
(cùng phụ góc EBC)
Vậy

(Tính chất
phân giác ngoài tại F) do đó
AH BH
AH.BD BH.AD
AD BD
  
Câu 21:
M
I
F
E
D
C
B
A
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm trên đường tròn (M khác A,
B), kẻ MH vuông góc với AB tại H. Đường tròn tâm M bán kính MH cắt (O) tại C và
D. Đoạn thẳng CD cắt MH tại I. Vẽ đường kính MN của (O), MN cắt CD tại K.
1) Chứng minh tứ giác OKIH nội tiếp
2) Chứng minh: MC
2
= MK.AB
3) Chứng minh: I là trung điểm của MH.
K
N
I
D
C
H
B


ED
)


DAI DCB
(AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông)


DBC EBD
t/c tiếp tuyến cắt nhau)




EAD DAI DBC DCB   
Hay



EAI DBC DCB 
(4)
Từ (3) và (4)


EAI AEI 
nên tam giác AIE cân tại I
Câu 23:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường
tròn sao cho CA > CB. Gọi I là trung điểm của OA. Vẽ đường thẳng d vuông góc với