Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Tóm tắt kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Tính bão hòa nguyên tố 8
1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Tính bo hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . . 8
1.3 Chiều Noether và tính bo hòa nguyên tố . . . . . . . . . 9
1.4 Tính bo hòa nguyên tố của H
d
m
(M) . . . . . . . . . . 10
2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 11
2.1 Đặc trng tính bo hoà nguyên tố của H
i
m
(M) . . . . . . 11
2.2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn . . . . . . 13
3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 15
3.1 Một số tính chất của giả giá . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá . . . 16
3.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre . . . 18
1
2
Tóm tắt kết quả nghiên cứu
1. Thông tin chung
- Tên đề tài: Một số bi toán về điều kiện dy nguyên tố trên vành
Noether, địa phơng
- M số: B2009-TN07-06 Thời gian thực hiên: 2009-2010
- Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn
Điện thoại: 0915643746
E-mail: [email protected]

- Đa ra một số điều kiện đủ cho vành là tựa không trộn lẫn.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay của một môđun hữu hạn sinh.
- Đa ra mối liên hệ giữa tính đóng của quỹ tích không Cohen-
Macaulay và tính đóng của tập giả giá.
4. Kết quả chính đạt đợc
- Các kết quả của đề tài đợc viết thành 02 bài báo đăng trên tạp chí
quốc tế uy tín ISI.
- Đang hớng dẫn 04 luận án tiến sĩ, đ hớng dẫn 04 luận văn thạc
sĩ, đ hớng dẫn 03 đề tài sinh viên NCKH và luận văn tốt nghiệp đại
học.
4
Summary
1. General information
- Project title: Some problems on the conditions of prime ideal chains
for Noetherian local rings
- Code number: B2009-TN07-06 Duration: From 2009 to 2010
- Project manager: Associate Professor Le Thi Thanh Nhan
Tel.: 02803856215 E-mail: [email protected]
- Implementing institution: College of Sciences - TNU.
- Cooperating institution: Department of Mathematics, College of Ed-
ucation, Thai Nguyen University.
2. Objectives. The purpose of this project is to study some problems on
the conditions of prime ideal chains such as:
- The catenaricity on the Noetherian local rings.
- The universal catenaricity on the Noetherian local rings.
- The unmixedness on the Noetherian local rings.
- The closedness of the non Coehen-Macaulay locus and the pseudo
supports of a finitely generated module.
3. Main contends
- In this project, we present some new results on the problems of the

của W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D. Ferand và M. Raynaud, L. J.
Ratliff, R. Heitmann, M. Brodmann về tính catenary đ làm giàu đẹp
lí thuyết này, nó cho thấy sự liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác
của Đại số Giao hoán nh vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối
đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết, các phơng pháp đồng điều, các
mở rộng vành siêu việt Phát triển lí thuyết vành catenary là lí thuyết
vành catenary phổ dụng, vành tựa không trộn lẫn và vành không trộn
lẫn. Các lí thuyết này đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong Đại số giao
hoán, nhất là trong lí thuyết vành giao hoán. Cho đến nay, việc nghiên
cứu tính catenary, tính catenary phổ dụng, tính tựa không trộn lẫn, tính
không trộn lẫn và những bài toán liên quan cho các vành vẫn rất đợc
quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới. Đặc biệt, Nguyễn Tự
Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn 2007 đ thông qua nghiên
cứu môđun Artin đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất với giá cực đại
để đặc trng tính catenary cho các vành Noether và giá không trộn lẫn
của các môđun hữu hạn sinh.
Mục đích của đề tài này là phát triển các kết quả trên của Nguyễn Tự
Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn 2007 cho những bài toán
về điều kiện dy nguyên tố khác nh xét tính catenary phổ dụng, tính tựa
7
không trộn lẫn, tính không trộn lẫn của các vành Noether địa phơng,
đồng thời xét một số bài toán liên quan nh công thức bội liên kết cho
môđun đối đồng điều địa phơng, tính đóng của các tập giả giá và tính
đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Công cụ nghiên cứu của đề
tài là dùng những tính chất đặc thù của tất cả các môđun đối đồng điều
địa phơng với giá cực đại.
Đề tài gồm 3 chơng. Chơng I nói về tính chất bo hòa nguyên tố
của môđun Artin, đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phơng với giá
cực đại nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả cho 2 chơng sau.
Chơng 2 đặc trng tính bo hòa nguyên tố cho các môđun đối đồng

Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho các môđun Artin A (xem Ví
dụ 1.2.3). Vì thế ta có định nghĩa sau đây.
8
9
1.2.1. Định nghĩa. Môđun A đợc gọi là có tính chất bo hòa nguyên
tố nếu nó thỏa mn tính chất (*).
Các kết quả sau đây đợc trích từ một bài báo của NT Cờng và LT
Nhàn 2002 và một bài báo của NT Cờng, NT Dung và LT Nhàn 2007.
1.2.2. Chú ý. Mọi môđun Artin trên vành địa phơng đầy đủ đều bo
hoà nguyên tố.
1.2.3. Ví dụ. Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether địa phơng
không bo hoà nguyên tố.
1.2.4. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) A bo hoà nguyên tố.
(ii) V (Ann
R
A) = {

p R :

p V (Ann

R
A)}.
1.3 Chiều Noether và tính bão hòa nguyên tố
Trong tiết này chúng ta trình bày lại một số kết quả về chiều Noether
đ biết trong các bài báo của RN Roberts 1975, D. Kirby 1990 và NT
Cờng-LT Nhàn 2002.
1.3.1. Mệnh đề. Kí hiệu N-dim A là chiều Noether của A. Nếu q là
iđêan sao cho (0 :

)R) < }.
Kí hiệu dim
R
A = dim(R/ Ann
R
A). Ta chỉ có N-dim
R
A dim
R
A.
Hơn nữa, với môđun Artin A = H
1
m
(R) nh trong Ví dụ 1.2.3 ta có
dim
R
A = 2 > 1 = N-dim
R
A. Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng tính chất
bo hòa nguyên tố là đủ để đẳng thức về chiều ở trên xảy ra.
10
1.3.2. Mệnh đề. [CN].
(i) N-dim
R
A dim(R/ Ann A).
(ii) Nếu A bo hòa nguyên tố thì N-dim
R
A = dim
R
A.

1.4.1. Định lý. Các phát biểu sau là tơng đơng:
(i) H
d
m
(M) bo hoà nguyên tố.
(ii) Usupp M = {

p R :

p Usupp

R

M}.
(iii) Usupp M là catenary.
Chơng 2
Tính catenary phổ dụng và tính không
trộn lẫn
2.1 Đặc trng tính bão hoà nguyên tố của H
i
m
(M)
Theo Brodmann và Sharp 2002, tập
{p Spec(R) : H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
) = 0}


(q, H
i
m
(M)) =

pPsupp
i
R
(M)
dim(R/p)=psd
i
(M)

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).
2.1.1. Định lý. Cho số nguyên i 0. Các điều kiện sau là tơng đơng:
11
12
(i) H

M : dim(R/p) = psd
i
M}
chính là tập {

p R :

p Psupp
i

R

M, dim(

R/

p) = psd
i

M}.
2.1.2. Hệ quả. Nếu R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình
thức của nó là Cohen-Macaulay thì H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi
i d.
2.1.3. Hệ quả. Cho i 0 là một số nguyên. Cho N-dim
R

M là đóng.
(ii) Nếu p Psupp
i
R
M với dim(R/p) = s thì tập T (p) = , độ dài

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

khác 0 và hữu hạn, hơn nữa với mọi

p T (p) ta
có

R

p

H
idim(

R/


p
(

R

p
/p

R

p
).
(iii) Cho q là m-nguyên sơ. Giả sử H
i
m
(M) = 0. Khi đó số bội
e

(q, H
i
m
(M)) của H
i
m
(M) ứng với q thoả mn công thức liên kết sau
e

(q, H
i

R
(H
d
m
(M)) là catenary.
(iii) H
d
m
(M) bo hoà nguyên tố.
(iv) Var

Ann(H
d
m
(M))

= Psupp
d
R
M.
13
Nếu các điều kiện trên thoả mn thì Usupp M = Psupp
d
M và
e

(q, H
d
m
(M)) =

M, và M là tựa không
trộn lẫn nếu

M là đẳng chiều.
Trong tiết này, chúng ta xem xét tính bo hoà nguyên tố của tất cả các
môđun đối đồng điều địa phơng H
i
m
(M) với bậc i < d, từ đó chúng ta
nhạn đợc một số kết quả về tính catenary phổ dụng và tính không trộn
lẫn của các vành địa phơng.
2.2.1. Định lý. Giả sử H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi i < d. Khi đó
R/p là không trộn lẫn với mọi p Ass M và vành thơng R/ Ann
R
M
là catenary phổ dụng.
2.2.2. Hệ quả. Giả sử H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi i < d. Khi
đó H
d
m
(M) cũng bo hoà nguyên tố.
M. Nagata 1980 hỏi rằng nếu (R, m) là miền Noether địa phơng
không trộn lẫn và p Spec R thì liệu R/p có là miền không trộn lẫn?
Brodmann và Rotthaus 1983 đ xây dựng một miền Noether địa phơng


. Kí hiệu K
i
M
là R-môđun Ext
d

i
R

(M, R

). Khi đó K
i
M
là R-môđun hữu
hạn sinh và đối ngẫu địa phơng cho ta H
i
m
(M)

=
Hom
R
(K
i
M
, E(R/m)),
trong đó E(R/m) là bao nội xạ của R/m. Đẳng cấu này đợc dùng để
chứng minh tín đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(M) của

(M). Trong
trờng hợp R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là
Cohen-Macaulay, công thức bội liên kết cho H
i
m
(M) vẫn còn đúng và
Psupp
i
R
(M) = Var(Ann
R
(H
i
m
(M))), đó là một tập đóng của Spec(R).
Mục đích của chơng này là nghiên cứu quỹ tích không Cohen-
Macaulay của M trong mối quan hệ với các tập giả giá của M, tính
catenary của vành R/ Ann
R
M, điều kiện Serre trên M và tính không
15
16
trộn lẫn của một số miền nguyên R/p với p Supp
R
(M). Các kết quả
thu đợc chỉ ra rằng thậm chí vàn cơ sở có thể xấu, thậm chí các tập giả
giá có thể không đóng, nhng việc nghiên cứu các tập giả giá vẫn cho ta
nhiều thông tin hữu ích về M và vành cơ sở R.
3.1 Một số tính chất của giả giá
Với mỗi tập con T của Spec(R), đặt (T )

m
(M)).
3.1.2. Bổ đề. Psupp
i
R
(M) Var(Ann
R
H
i
m
(M)) với mọi i 0.
Theo M. Brodmann và R. Y. Sharp 2002, giả chiều thứ i của M, kí
hiệu bởi psd
i
M, cho bởi
psd
i
(M) = max{dim(R/p) | p Psupp
i
R
(M)}.
3.1.3. Mệnh đề. Cho i 0 là một số nguyên. Ta có
psd
i
(M) psd
i
(

M)
= dim(

p
) = t dim(R/p),
trong đó k = min
id
{i | p Psupp
i
R
(M)} và t = max
id
{i | p Psupp
i
R
(M)}.
(ii) nCM(M) =

0i<jd

Psupp
i
R
(M) Psupp
j
R
(M)

.
(iii) Nếu s d là một số nguyên thì

is
Psupp

(M).
Kết quả sau đây là một hệ quả trực tiếp của Định lí 3.2.1(ii), cho ta
điều kiện đủ để quỹ tích không Cohen-Macaulay của M là đóng.
3.2.3. Hệ quả. Nếu Psupp
i
R
(M) là đóng với mọi i d thì nCM(M) là
đóng.
Rất tự nhiên, chúng ta muốn hỏi chiều ngợc lại của hệ quả trên là
đúng hay không. Dới đây là cấu trả lời khẳng định cho trờng hợp vành
catenary chiều 3.
3.2.4. Hệ quả. Giả sử M là đẳng chiều và dim M = 3. Nếu R/ Ann
R
M
là catenary thì Psupp
i
R
(M) là đóng với mọi i = 2 và nCM(M) =
2

i=0
Psupp
i
R
(M). Trơng trờng hợp này, nCM(M) là đóng nếu và chỉ nếu
Psupp
2
R
(M) là đóng.
18

cho quỹ tích không Cohen-Macaulay của R là đóng nhng Psupp
2
(R)
và Psupp
3
(R) không đóng.
3.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre
Từ nay đến hết luận văn, với mỗi i ta đặt a
i
(M) = Ann
R
H
i
m
(M) và
a(M) = a
0
(M)a
1
(M) . . . a
d1
(M).
3.3.1. Hệ quả. Cho i 0 là một số nguyên. Giả sử R/ Ann
R
M là
catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen-Macaulay. Khi
đó
(i) dim(R/p) i với mọi p Var(a
i
(M)).

0i<jd
Var(a
i
(M) + a
j
(M)). Các phát
biểu sau là đúng.
(i) Nếu R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là
Cohen-Macaulay thì nCM(M) = T (M).
(ii) Nếu nCM(M) = T(M) thì R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng và
R/p không trộn lẫn với mọi p min Ass
R
M.
Cho r > 0 là một số nguyên. M đợc gọi là thoả mn điều kiện Serre
(S
r
) nếu
depth(M
p
) min{r, dim(M
p
)} for all p Supp
R
(M).
3.3.3. Bổ đề. Giả sử M là đẳng chiều và R/ Ann
R