1
Một số bài toán về dãy số

Nguyễn Thành Giáp

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Khoa Toán - Cơ - Tin học
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số: 60 46 40
Người hướng dẫn : TS. Phạm Văn Quốc
Năm bảo vệ: 2011

Abstract. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được
dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau. Trình bày một số vấn đề về tính chất
số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương…và nêu ra các phương
pháp giải toán, phân tích các bài toán cụ thể. Đề cập đến một số bài toán về giới hạn dãy số
như: giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương trình
cùng với phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán

Keywords. Toán học; Toán sơ cấp; Dãy số; Số học

Content.
MỞ ĐẦU
Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc
tế cũng thường xuất hiện các bài toán về dãy số. Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi
người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số, giải tích. Các vấn đề liên quan
đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này
cũng thường viết khá rộng về các vấn đề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là
các tính chất số hoc và tính chất giải tích của dãy số.
Tính chất số học của dãy số thể hiện như tính chia hết, tính nguyên, tính chính
phương… , tính chất giải tích có nhiều dạng nhưng quan trọng là các bài toán tìm giới hạn
dãy số. Các bài toán về dãy số thường là các bài toán hay và khó, tác giả luận văn đã sưu

, u
2
, u
3
,…, u
n
, …
Trong đó u
n
= u(n) và gọi u
1
là số hạng đầu, u
n
là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của
dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với m

N* được gọi là một dãy số
hữu hạn
Dạng khai triển của nó là u
1
, u
2
, u
3
,…,u
m
trong đó u
1
là số hạng đầu, u

, u
3
, … được gọi là một cấp số nhân với công bội q (q

0, q

1)
nếu u
n
= u
n – 1
q với mọi n = 2, 3, …
c)Dãy Fibonacci.
Định nghĩa. Dãy u
1
, u
2
,… được xác định như sau:

12
12
1, 1
3,4
n n n
uu
u u u n





có thể phụ thuộc vào

và vào dãy
số (u
n
) đang xét), sao cho với mọi chỉ số n

N, n

n
0
ta luôn có
n
ua


.Khi đó kí hiệu
lim
n
n
ua


hoặc limu
n
= a và còn nói rằng dãy số (u
n
) hội tụ về a. Dãy số không hội tụ gọi là
dãy phân kì
Định lý 1. Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất



x
n


v
n
và limu
n
= limv
n
= a thì limx
n
= a
Định lý 5 (Định lý Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm
trong khoảng (a; b) thì tồn tại c

(a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)
Định lý 6 (Định lý trung bình Cesaro)

4
Nếu dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng
12

n
u u u
n


N*) được
gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f(x)
Hiệu số
2
1
: ( )
k k k k
y y y

       
(k

N*) được gọi là sai phân cấp 2 của hàm
số f(x). Tổng quát
1 1 1
1
: ( )
i i i i
k k k k
y y y
  

       
(k

N*) được gọi là sai phân cấp i của
hàm số f(x) (i = 1, 2, …, n, …)
Mệnh đề. Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số: y
0

y
k
= f(n) (2)
trong đó a
0
, a
1
, …., a
k
, f(n) là các giá trị đã biết, còn y
n
, y
n+1
, …, y
n+k
là các giá trị chưa biết.
Hàm số y
n
biến n thỏa mãn (2) gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính
(2)
1.3.2. Một số định lý cơ bản của số học.
a) Định lý Euler
Định lý Euler. Cho m là một số tự nhiên khác 0 và a là một số nguyên tố với m.
Khi ấy ta có:

1
µ(m)
a
(mod m)
b).Định lý Fermat

nhất.
Bài 1.
Dãy số (u
n
) được xác định như sau:
1 2 3
22
1 3 1 2
23
1, 2, 40
10 . 24 .
4,5,
.
n n n n
n
nn
u u u
u u u u
un
uu
   

  









thì dãy (v
n
) được xác
định như sau:

6
23
12
2, 20
10 24 4,5
n n n
vv
v v v n




  


Phương trình đặc trưng x
2
– 10x + 24 = 0 có 2 nghiệm x
1
= 6, x
2
= 4 nên
v
n


= (6
n-1
– 4
n – 1
).(6
n – 2
– 4
n – 2
)…(6 – 4)
= 2
n-1
.2
n-2
…2.(3
n-1
– 2
n-1
).(3
n-2
– 2
n-2
)…(3 – 2)

( 1)
2
2
nn

.(3

22
nn

do đó
( 1)
11
2
nn

suy ra n

6 vậy n = 6 là giá trị cần tìm
Bài 2.(HSG QG 2011)
Cho dãy số nguyên (a
n
) xác định bởi
a
0
=1, a
1
= -1
a
n
= 6a
n-1
+ 5a
n-2
với mọi n

2

Phương trình đặc trưng của dãy (b
n
): x
2
– 6x – 2016 = 0 hay (x – 48)(x + 42) = 0
Suy ra số hạng tổng quát của dãy (b
n
) có dạng: b
n
= C
1
.(- 42)
n
+ C
2
. 48
n

Từ các điều kiện ban đầu của dãy (b
n
), ta được
12
12
1
42 48 1
CC
CC




48
2010


1 (mod 2011)
Do đó 90b
2012


49.( - 42)
2012
+ 41.48
2012


49.( - 42)
2
+ 41.48
2


90b
2
( mod 2011)
Suy ra b
2012


b
2

   
     
   
   
(1)
+ Đặt p= 2011, ta có

   
11
1
1 2 1 2
3 14 3 14
22
14 14
pp
p
a


   
     
   
   

Do
 
1
3 14
p


ii
pp
i
AC







(2)
và
1
1
2
2 1 2 1
2
11
1
.3 .14
p
p
i
ii
pp
i
BC




Suy ra
1
0
k
p
C


(mod p)
2, 1kp  

Vì vậy từ (2) và (3) ta được

1
1
2
1
14 3
p
p
p
A









  


(mod p)
Mặt khác ta có 45
2


14 (mod p) và (45, 14) = 1, theo định lý Fermat nhỏ ta có:

8
3
p


3 (mod p) v
1
2
14
p

45
p-1


1 (mod p)
Do ú t (5) ta c a
2012
= a

n n n
u
u au bu c n









Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số trên đều là số nguyên
Lời giải
T giả thiết ta có
22
1
cbuauu
nnn


n = 0, 1, 2
Suy ra
2222
1
2
1
2 cbuuauauu
nnnnn


2
12
22
1

nnn
auucbu

Nên (2) suy ra

2
12
2
1

nnnn
auuauu
(3)
Do u
n+2
au
n+1


0 nên (3)


112

nnnn

Nhn xột: Ta cng cú th gii bi toỏn ny bng cỏch khỏc nh sau:
Ta cú:

2 2 2 2
11
2 ( ) 0
n n n n
u au u u a b c



Hay
2 2 2
11
20
n n n n
u au u u c


(5)
Trong (5) thay n bi n +1 ta cú
2 2 2
2 1 2 1
20
n n n n
u au u u c


(6)
Tr tng v ca (6) cho (5) c

1

Z nờn u
n

Z vi mi n = 1, 2,

T bi toỏn ny cú th cho nhiu bi toỏn vi cỏc giỏ tr a, b, c c th. Chng hn,
chng minh rng mi s hng ca cỏc dóy s sau u l s nguyờn.
1)
0
2
1
0
5 24 9
n n n
u
u u u








2)
0
2
1



4)
0
2
1
2
3 8 9
nnn
u
uuu









2.3.TNH CHNH PHNG

Vi tớnh cht ny ta thng tỡm s hng tng quỏt ca dóy s, a biu thc cn
chng minh v bỡnh phng ca mt s nguyờn. Vi mt s bi toỏn tng quỏt ta cú th
c bit húa cú bi toỏn mi, ngc li vi mt bi toỏn c th ta cú th tng quỏt húa
c mt dng toỏn .
Bài 1.
Cho dãy số (a
n
):

sao cho g(n+1) 2g(n) + g(n-1) = 1 với mọi n

N*

10
Giải ra ta có
2
)(
2
n
ng
hay
2
2
*
n
a
n

là một nghiệm riêng của ph-ơng trình (2)
Do đó (2) có nghiệm tổng quát
2
2
21
n
nCCa
n


a

Do đó 4a
n+2
a
n
+ 1 =
1
2
)1(
.
2
)3)(2(
4
nnnn
= n(n+1)(n+2)(n+3) + 1=
= (n
2
+ 3n)(n
2
+ 3n + 2) + 1 = (n
2
+ 3n + 1)
2
(đpcm)
Cỏch 2. T cụng thc truy hi ca dóy ta thay n + 1 bi n ta c
a
n
= 2a
n-1
a
n-2

1
0,
2





( 1)
2
n
nn
a



Do đó 4a
n+2
a
n
+ 1 =
1
2
)1(
.
2
)3)(2(
4
nnnn
= n(n+1)(n+2)(n+3) + 1=

+ 1
T ú tỡm c b
n
= 1 + n (do (b
n
) l cp s cng vi cụng sai bng 1, b
0
= 1
Ta cú

1 1 1
10
0 0 0
( 1) ( 1)
22
n n n
n k k k
k k k
n n n n
a a a a b n k n








1
1
2
n
n
i
i
y
x




(n = 1, 2, ….). Tìm
lim
n
n
y


Lời giải
Ta có x
2
= 5 và x
n
> 0 với mọi n = 1, 2, …
  
2 2 2
1
( 1)( 2)( 3) 1 3 3 2 1 3 1

1 1 1
2 1 1
n n n
x x x

  
  

Do đó
1
1
2
n
n
i
i
y
x




=
1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 1
n
i
i i n n

n
n
y


(vì do (2) x
n+1
> 3
n
)
. Ta có thể chứng minh limx
n
=

với cách khác:
Dễ thấy (x
n
) là dãy tăng, giả sử limx
n
= a (a

1)
Nên ta có
( 1)( 2)( 3) 1a a a a a    

Suy ra a
2
= a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 hay a
4
+ 6a


2 nếu limx
mn+i
= a
i
= 0, 1, 2, …, m – 1 thì limx
n
= a
Bài 1.
Dãy số (x
n
) được xác đinh bởi công thức:

01
21
1
52
n n n
xx
x x x







Chứng minh rằng dãy (x
n
) hội tụ

n
) là dãy giảm nên
5x
2n+2
= x
2n
+ 2x
2n+1


3a
n


x
2n+2


a
n+1

Và 5x
2n+3
= x
2n+1
+ 2x
2n+2


a

Việc đưa vào dãy phụ (a
n
) có tác dụng chặn cả hai dãy con (x
2n
) và (x
2n+1
) và làm
chúng cùng hội tụ về một điểm
Có thể sử dụng phương pháp sai phân tìm được số hạng tổng quát

12
1 6 1 6
55
nn
n
x C C
   


   
   
   13
Thay các giá trị của x
0
, x
1
để tìm C

được xác định duy nhất vì hàm số
nxxx
xf
n




1

1
11
)(
liên tục và đơn
điệu trên (0, 1). Tuy nhiên, ta không thể xác định được giá trị cụ thể của x
n
. Rất may mắn,
để chứng minh tính hội tụ của x
n
, ta không cần đến điều đó. Chỉ cần chứng minh tính đơn
điệu và bị chặn là đủ. Với tính bị chặn là hiển nhiên vì 0< x
n
< 1. Với tính đơn điệu, ta chú ý
một chút đến mối liên hệ giữa fn(x) và f
n+1
(x): f
n+1
(x) = f
n
(x) +

) bị chặn và đơn điệu, hiển nhiên
dãy bị chặn vì 0 < x
n
< 1. Bây giờ ta chứng minh dãy (x
n
) đơn điệu
Ta thấy 0 < x
n
< 1 nên
1
11
( ) ( ) 0
11
n n n n
nn
f x f x
x n x n

   
   14
Trong khi đó f
n+1
(0
+
) > 0. Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng (0; x
n
) có ít nhất một

Thật vậy, giả sử
lim 0
n
n
xa


. Khi đó do dãy (x
n
) giảm nên ta có x
n
an

Do
1 1 1
1
23 n
     
khi
n  
, nên tồn tại N sao cho với mọi n

N ta có

1 1 1 1
1
23 na
    

Khi đó với mọi n

hạn.

15
Luận văn đã chọn lọc được các bài toán điển hình cho mỗi dạng toán, đặc biệt có
nhiều bài toán là đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế những năm gần đây qua đó thấy vai
trò quan trọng của bài toán về dãy số trong các đề thi này.
Tuy nhiên, do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên bản luận văn này chắc
không tránh được thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thày cô giáo, các bạn
đồng nghiệp, các em học sinh để cuốn tài liệu về dãy số này được hoàn thiện hơn.

References.
1. Nguyễn Đễ, Nguyễn Khánh Nguyên (dịch) (1996). Các đề thi vô địch toán 19 nước –
trong đó có Việt Nam, NXB Giáo dục.
2. Phan Huy Khải (2007). Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán thpt các bài toán về
dãy số, NXB Giáo dục.
3. Phan Vũ Khải (1997). 10.000 bài toán sơ cấp dãy số và giới hạn, NXB Hà Nội.
4. Nguyễn Vũ Lương (chủ biên) (2006), Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm
Văn Hùng. Các bài giảng về số học, NXB ĐHQGHN.
5. Nguyễn Văn Mậu, Kỷ yếu trại hè Hùng Vương năm 2010.
6. Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Nguyễn Văn Tiến (2009), Một số chuyên đề giải tích
bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXB Giáo dục.
7. Nguyễn Sinh Tiến, Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò (2003). Tuyển tập các bài dự
tuyển Olympic Toán học quốc tế 1991 - 2001, NXB Giáo dục.
8. Lê Đình Thịnh (chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001).
Phương trình sai phân và một số ứng dụng, NXB Giáo dục.
9. Các bài toán chọn lọc 45 năm tạp chí toán học tuổi trẻ (2009), NXB Giáo dục.
10. Tủ sách toán học và tuổi trẻ. Các bài thi Olympic toán Trung học phổ thông Việt
Nam (1990 - 2006) (2007), NXB Giáo dục.