đặt vấn đề
Trong chơng trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số
là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thờng phải
đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn
trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở
một số lớp bài toán khi đã xác định đợc công thức tổng quát của dãy số thì
nội dung của bài toán gần nh đợc giải quyết
Để đáp ứng đợc một phần đề tài Xác định công thức tổng quát
của dãy số và kết hợp với sự tiếp cận Lý thuyết phơng trình sai phân
qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã đợc học
Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phơng pháp cơ bản xác
định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán
. Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt
là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham
khảo
Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống
của Lý thuyết phơng trình sai phân . Tuy nhiên những vấn đề áp
dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trờng hợp đặc biệt và
giới hạn trong trờng số thực .
Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát
của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó,
ngời đọc có thể trang bị thêm cho mình phơng pháp xác định công thức tổng
quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây
dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số đợc trình bày trong đề tài
MT S PHNG PHP XC NH CễNG THC
TNG QUT CA DY S V XY DNG BI
TON V DY S
A. Ph ơng trình sai phân tuyến tính cấp một
1
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp một là phơng trình sai phân dạng
*

cho trớc
*
n N
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng
. 0a b

+ =
để tìm

Khi đó
n
n
u q

=
(q là
hằng số ) , trong đó q đợc xác định khi biết
1
u

=
Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu
tiên bằng 1 và công bội bằng 2
Bài giải Ta có
1 1
2 , 1
n n
u u u
+

thoả mãn điều kiện
*
1 1
, ,
n n n
u au bu f n N

+
= + =
(2 .1)
trong đó
n
f
là đa thức theo n
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng
. 0a b

+ =
ta tìm đợc

Ta có
0 *
n n n
u u u= +

Trong đó
0
n
u

2
2) Nếu
1

=
thì
*
.
n n
u n g=
với
n
g
là đa thức cùng bậc với
n
f
Thay
*
n
u
vào phơng trình, đồng nhất các hệ số ta tính đợc các hệ số của
*
n
u
Bài toán 2: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
*
1 1

( ) ( ) ( )
1 1 2n a n b n an b n+ + + = + + (2.3)
thay n=1và n=2 vào (2.3) ta đợc hệ phơng trình sau
3 2 1
5 4 1
a b a
a b b
+ = =



+ = =

Do đó
( )
1
n
u n n=
Ta có
( )
0 *
1
n n n
u u u c n n= + = +
Vì
1
2u =


+ =
ta tìm đợc

Ta có
0 *
n n n
u u u= +

Trong đó
0
.
n
n
u c

=
, c là hằng số cha đợc xác định ,
*
n
u
đợc xác định nh sau :
1) Nếu
#
à
thì
*
.
n
n

, tính đợc c
Bài toán 3: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
*
1 1
1; 3. 2 ,
n
n n
u u u n N
+
= = +
(3.2)
3
Bài giải Phơng trình đặc trng
3 0

=
có nghiệm
3

=
Ta có
0 *
n n n
u u u= +
trong đó
0 *
.3 , .2

3 2
n n
n
u =
Dạng 4
Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
*
1 1 1 2
, . ,
n n n n
u a u bu f f n N

+
= + = +
(4.1)
Trong đó
1n
f
là đa thức theo n và
2
.
n
n
f v
à
=
Phơng pháp giải

2n
u
là nghiệm riêng bất kỳ của phơng
trình không thuần nhất
1 2
. .
n n n
a u b u f
+
+ =
Bài toán 4: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
2 *
1 1
1; 2 3.2 ,
n
n n
u u u n n N
+
= = + +
(4.2)
Bài giải Phơng trình đặc trng
2 0

=
có nghiệm
2


2 1 1
4 2
2 2 9 3
a c a
a b c b
a b c c
= = = = + + = =

Vậy
* 2
1
2 3
n
u n n=
thay
*
2n
u
vào phơng trình
1
2. 3.2
n
n n
u u

u c n n n

= + +
. Ta có
1
1u =
nên
1 2 2 3 0c c= + =
Vậy
1 2
3 .2 2 3
n
n
u n n n

=
B. Ph ơng trình sai phân tuyến tính cấp hai
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp một là phơng trình sai phân dạng
*
1 2 1 1
, , . . ,
n n n n
u u a u bu c u f n N

+
= = + + =
trong đó a,b,c,

,


1) Nếu
1 2
,

là hai nghiệm thực khác nhau thì
1 2
. .
n n
n
u A B

= +
, trong
đó A và B đợc xác định khi biết
1 2
,u u

2) Nếu
1 2
,

là hai nghiệm kép
1 2

= =
thì
( )
.
n
n

( )
. .4
n
n
u A B n= +
(5.2)
Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu đợc hệ phơng trình
5
( )
0
1
1
1
3
1 .4 16
u A
A
B
u B
= =

=




=
= + =



để tìm

. Khi đó ta có
0 *
,
n n n
u u u= +
trong đó
0
n
u
là nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất
1 1
. . . 0
n n n
a u b u c u
+
+ + =
và
*
n
u
là một nghiệm tuỳ ý của phơng trình
1 1
. . .
n n n n
a u b u c u f
+
+ + =
Theo dạng 1 ta tìm đợc

f
3) Nếu
1

=
là nghiệm kép thì
* 2
. ,
n n n
u n g g=
là đa thức cùng bậc với
n
f
,
Thay
*
n
u
vào phơng trình , đồng nhất các hệ số, tính đợc các hệ số của
*
n
u
.
Biết
1 2
,u u
từ hệ thức
0 *
n n n
u u u= +

n n
u A B n A Bn u n a n b= + = + = +
Thay
*
n
u
vào phơng trình (6,2) , ta đợc
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
1 1 2 . 1 1 1n a n b n a n b n a n b n+ + + + + + = +


6
Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
4 2 2 2
6
1
9 3 8 2 3
2
a
a b a b
a b a b a b
b

=



= + = + + +
ữ

Mt khác
1 1
1
4
6 2
11
1 1
2 4 0
3
3 2
A B
A
B
A B

+ + + =
=






=

+ + + =

(7.1)
Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng
2
. . 0a b c

+ + =
để tìm

Khi đó ta có
0 *
,
n n n
u u u= +
trong đó
0
n
u
đợc xác định nh dạng 1 và hệ số A và B cha đợc
xác định,
*
n
u
đợc xác định nh sau
1) Nếu
#
à
thì
*
.

n
u
vào phơng trình , dùng phơng pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính
đợc hệ số k . Biết
1 2
,u u
từ hệ thức
0 *
n n n
u u u= +
tính đợc A,B
Bài toán 7: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
1 2 1 1
0; 0, 2 3.2 , 2
n
n n n
u u u u u n
+
= = + =
Bài giải Phơng trình đặc trng
2
2 1 0

+ =
có nghiệm kép
1


+
= =
. Do đó
0 * 1
3.2
n
n n n
u u u A bn
+
= + = + +
. (1) Thay
1 2
1, 0u u= =
vào phơng trình ta thu đợc
1 12 2
0 2 24 13
A B A
A B B
= + + =



= + + =

Vậy
1
2 13 3.2
n
n
u n

trong đó
0
n
u
là nghiệm tổng quát của phơng
trình thuần nhất
1 1
. 0
n n n
au bu c u
+
+ + =
,
*
1n
u
là nghiệm riêng tùy ý của ph-
ơng trình không thuần nhất
1 1
.
n n n n
au bu c u f
+
+ + =

*
2n
u
là nghiệm riêng
tùy ý của phơng trình không thuần nhất


Ta có
0 * *
1 2n n n n
u u u u= + +

trong đó
( )
0 * *
1 2
1 .3 , , .2
n
n n
n n n
u A B u a bn u k= + = + =
Thay
*
1n
u
vào phơng trình
1 1
2 3
n n n
u u u n
+
=
, ta đợc
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 1 4 1 4 0a n b an b a n b n a n a b+ + + + = + =


.2 2. .2 3. .2 2
3
n n n n
k k k k
+
= = =
Do đó
* 1
2
2 1
.2 .2
3 3
n n
n
u
+
= =
Vậy
( ) ( )
0 * * 1
1 2
1 1
1 .3 1 .2
4 3
n
n n
n n n n
u u u u A B n
+
= + + = + +

n n
n
u n
+
= + +
9
C. Ph ơng trình sai phân tuyến tính cấp ba
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba là phơng trình sai phân dạng
1 2 3 2 1 1
, , , . . . , 2
n n n n n
u u u a u bu c u d u f n

+ +
= = = + + + =
(a.1)
trong đó a,b,c, d,

,

,

là các hằng số , a # 0 và
n
f
là biểu thức của n
cho trớc
(NX: Phơng trình đặc trng của phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn
có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại
trong trờng số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )

1 1 2 2 3 3
. . .
n n n
n
u a a a

= + +
b) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn
1 2 3
( # )

=
thì
0
1 2 1 3 3
( ) .
n n
n
u a a n a

= + +
c) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3
1 2 3
( )

= =
thì
0 2
1 2 3 1
( )

*
.
n n
u n g=

n
g
là đa thức cùng bậc
với
n
f
c) Nếu
1

=
(bội 2 ) thì
* 2
.
n n
u n g=

n
g
là đa thức cùng bậc với
n
f
d) Nếu
1

=

b) Nếu
à
=
(nghiệm đơn ) thì
*
.
n
n
u k
à
=
c) Nếu
à
=
(nghiệm bội s ) thì
*
. .
s n
n
u k n
à
=
Bài toán 9: Tìm dãy số
n
a
biết rằng
1 2 3 1 2 3
0, 1, 3, 7 11. 5. , 4
n n n n
u u u u u u u n

16 4 16
n
n
a n

= + +
D. Bài tập áp dụng
Bài toán 10: Cho dãy số
n
a
đợc xác định theo công thức sau
1 2 1 1
0; 1, 2 1, 2
n n n
a a a a a n
+
= = = +
(10.1)
Chứng minh số
2
4. . 1
n n
A a a
+
= +
là số chính phơng
Bài giải Ta có
1 1
2 1
n n n

là nghiệm bội bậc ba
Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình (10.4) là
2
1 2 3
( )1
n
n
a c c n c n= + +
Cho n=0, n=1, n=2 ta đợc
1
1
2 2 3
2 3
1 2 3
0
0
1
1
3 2 4
2
c
c
c c c
c c
c c c
=

=



n
x
đợc xác định theo công thức sau
( )
1 2 1 1
7; 50, 4 5 1975 2
n n n
x x x x x n
+
= = = +
(11.1)
Chứng minh rằng
1996
1997x M
Bài giải Xét dãy số
{ }
n
y
với
1 2
7, 50y y= =
và
( )
1 1
4 5 22 2
n n n
y y y n
+
= + +
(11.2)

= +
suy ra
1 1
20 5 55
n n
y z

=
(11.4)
12
Thế (11.4) vào (11.3) ta đợc
1 1
4 5
n n n
z z z
+
= +
Suy ra
1 1
4 5 0
n n n
z z z
+
=
(11.5)
Phơng trình đặc trng của (11.5) là
2
4 5 0

=

=

= + =




= + =


=


Do đó ta nhận đợc
( )
8 25
. 1 .5
3 3
n
n
n
z = +
(11.6)
Từ (11.6) ta suy ra
1996
1996
8 25.5
3
z
+

n
z n
+
= + = +
Vậy
( )
1996
11 mod 1997z
E. Bài tập t ơng tự
13
Bài 1: Xác định công thức của dãy số
{ }
n
x
thoả mãn các điều kiện sau
1)
1 1
11, 10. 1 9 ,
n n
x x x n n N
+
= = +
2)
0 1 2 1
2, 8, 8. 9
n n n
x x x x x
+ +
= = = +
3)

2.
3
1
n n n
a a a
n N n
a a

= +



= =


Chứng minh rằng
n
a
là một số lẻ
Bài 3: Cho dãy số
{ }
n
b
xác định bởi
( )
1 2
1 2
2.
3
1, 2

0 1
2. 2
2
1, 0
n n n
u u u
n N n
u u
+ +
+ =



= =


Chứng minh rằng
n
u
là một số chính phơng
Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 4 Toán 11 Lần thứ VIII 2002
NXB giáo dục )
Cho dãy số
{ }
n
u
thoả mãn nh sau
0 1
1 2
,

1
5. 4 3. 1 2
k k k
u u va u

M M
(
M
kí hiệu chia hết )
Bài 6: Cho dãy số
{ }
n
u
thoả mãn điều kiện
*
2 1 1
2 2 ,
n n n n
u u u u n N
+ +
= +

Chứng minh rằng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số
1
4.
n n
M a a
+
+



Tìm số nguyên dơng h bé nhất có tính chất
1998 ,
n h n
a a n N
+
M
F. Xây dựng bài toán về dãy số truy hồi
Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng quát
của một lớp dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúp các
Thầy cô kiểm tra kết quả bài toán theo cách giải khác. Bên cạnh đó ta có thể
tiến hành xây dựng thêm các bài toán mới về dãy số
Dới đây là một số ví dụ xây dựng thêm các bài toán về dãy số có
tính quy luật chỉ mang tính chất tham khảo. Tác giả mong muốn bạn
đọc tìm hiểu và phát triển rộng hơn các bài toán khác về dãy số
Ví dụ 1: Xuất phát từ phơng trình
( ) ( )
2
1 9 0 8 9 0

+ = + =
(12.1)
15
phơng trình (12.1) có thể đợc coi là phơng trình đặc trng của một dãy số có
quy luật. Chẳng hạn dãy số
n
u
đợc xác định theo công thức sau
2 1
8. 9. 0

Bài toán 2: Cho dãy số
n
x
xác định nh sau
2 1
0 1
8. 9. 0
2, 8
n n n
x x x
n N
x x
+ +
+ + =



= =

Tính giá trị của biểu thức
2006 2007
5. 4A x x= +
Ví dụ 2: Xuất phát từ phơng trình
( )
2
2
1 0 2 1 0

= + =
(12.2)

n n n
x x x
n N
x x
+ +
+ =



= =

Bài toán 2: Cho dãy số
n
x
xác định nh sau
2 1
0 1
2 2
1, 0
n n n
x x x
n N
x x
+ +
+ =



= =


+ =

Kết luận- kiến nghị
Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề
tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy
đã thu đợc một số kết quả nhất định sau :
1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững đợc một số phơng pháp và
biết vận dụng ở dạng cơ bản xác định đợc công thức của dãy số
2) Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn có thể sử dụng ph-
ơng pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán
3) Là một phơng pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo
4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài
toán về dãy số
Xây dựng phơng pháp giảng dậy theo quan điểm đổi mới là việc mà
toàn xã hội và nghành đang quan tâm. Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán
bậc THPT ta có thể sử dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây
dựng phơng pháp giải toán sơ cấp là một vấn đề ít đợc chú ý. Qua nội dung
đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa Toán
học hiện đại và Phơng pháp toán sơ cấp . Qua đó ta có thể tìm đợc
phơng pháp giải, xây dựng các lớp bài toán ở bậc THPT

17
Tài liệu tham khảo
1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phơng pháp sai phân. Nhà xuất bản
Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004
2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 4 Môn Toán Lần thứ V , Nhà xuất bản
Giáo Dục
3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà
xuất bản Giáo Dục
4) Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất bản Giáo Dục

theo ta chọn hệ cơ sở nào. Mỗi khi ta viết một vector dưới dạng là ta đã
ngầm định một hệ cơ sở nào đó, thường là hệ cơ sở trực chuẩn ,
, và . Các tọa độ 3, -2, 5 của x là tương ứng với tọa độ
của x trong hệ cơ sở ngầm định này.
Hệ cơ sở như trên thường được dùng vì ta “dễ” hình dùng chúng trong không
gian n chiều, chúng là sản phẩm phụ của hệ tọa đồ Descartes cổ điển hay dùng trong
không gian 2 chiều. Tuy nhiên, khi áp dụng một phép BĐTT thì các vectors
thường cũng bị biến đổi theo luôn, rất bất tiện nếu ta phải tính cho nhiều giá trị k
và x khác nhau.
Bây giờ, giả sử ta tìm được hướng độc lập tuyến tính và bất biến qua phép BĐTT đại
diện bởi A. (Đây là giả sử rất mạnh, may mà nó lại thường đúng trong các ứng dụng kể
trên.) Dùng vector để biểu diễn hướng thứ . Bất biến có nghĩa là áp dụng A vào
hướng nọ thì hướng không đổi. Cụ thể hơn, BĐTT A làm hướng “bất biến” nếu
với là một con số (scalar) thực hoặc phức nào đó (dù ta giả sử A là thực).
Do các hướng này độc lập tuyến tính, một vector x bất kỳ đều viết được dưới dạng
Nếu ta lấy l m hà ệ cơ sở thì cái hay l có áp dà ụng A bao nhiêu
lần thì cũng không đổi hướng của các vectors trong hệ cơ sở! Điều n y à
rất tiện lợi, bởi vì
Như vậy, thay vì tính lũy thừa bậc cao của một ma trận, ta chỉ cần tính
lũy thừa của n con số v l m mà à ột phép cộng vectors đơn giản. Các giá trị
l các trà ị đặc trưng (eigenvalues) của A, v cácà vectors l các vector à
đặc trưng (eigenvectors).
Tiếp tục với giả thiết rất mạnh là n eigenvectors độc lập tuyến tính với nhau. Nếu ta bỏ
các vectors này vào các cột của một ma trận , và các eigenvalues lên đường chéo của
19
một ma trận thì ta có . Trong trường hợp này ma trận A có tính
diagonalizable (chéo hóa được). Diagonalizability và sự độc lập tuyến tính của n
eigenvectors là hai thuộc tính tương đương của một ma trận. Ngược lại, ta cũng có
, và vì thế lũy thừa của A rất dễ tính: do lũy thừa của một
ma trận đường chéo rất dễ tính.

trong đó c l mà ột hằng số dương là một bất phương trình bậc 2 với n
biến (các tọa độ của vector x). Nghiệm của nó l cácà điể m nằm
trong một hình e-líp trong không gian n chiều (Ellipsoid) m n trà ục của
20
ellipsoid chính l hà ướng của các eigenvectors của A, v chià ều d i các trà ục
tỉ lệ nghịch với eigenvalue tương ứng (tỉ lệ với nghịch đảo của căn của
eigenvalue). Đây l trà ực quan hình học phổ biến thứ hai của eigenvectors
v eigenvalues.à
Trong trường hợp của Principal Component Analysis (PCA) như có bạn đã hỏi trong
phần bình luận bài tư duy trừu tượng, thì ta có thể hiểu nôm na về sự xuất hiện của
eigen-vectors/values như sau. Giả sử ta có một đống các sample vectors (data points)
trên một không gian n chiều nào đó. Các tọa độ là exponentially distributed (Gaussian
noise chẳng hạn). Thì đa số các vectors này tập trung trong một ellipsoid định nghĩa bởi
covariance matrix (positive semi-definite). Trục dài nhất của ellipsoid là trục có variance
cao nhất, nghĩa là SNR cao. Trục này chỉ cho ta hướng biến thiên quan trọng nhất của
data. PCA lấy các trục của ellipsoid làm hệ cơ sở, sau đó lấy k trục dài nhất làm
principal components để biểu diễn data. (Dĩ nhiên, ta phải shift cái mean về gốc tọa độ
trước khi đổi hệ cơ sở.)
Ngô Quang Hưng | Đề tài: Toán Ứng Dụng | | In bài này
21
Solution to Difference Equation
< Contents | Previous | Next >

A solution of a difference equation is an expression (or formula) that makes
the difference equation true for all values of the integer variable k. The
nature of a difference equation allows the solution to be calculated
recursively . It is easier to see the solution of the difference equation
through algebraic equation.
Example:
We have difference equation with initial value