Mục lục
Mở đầu 2
Một số kí hiệu 4
1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 5
1.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Bất đẳng thức BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Các kiến thức cơ bản về lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Hệ thức lượng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác. . . . . . . . 8
1.2.3 Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác. . . . . 9
2 BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 10
2.1 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhọn. . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác bất kì . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Bài tập đề nghị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC TAM GIÁC
KHÁC 40
3.1 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác a + c ≥ 2b . . . . . . . . . . 52
3.3 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác b + c ≥ 3a . . . . . . . . . . 58
3.4 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác loại một và loại hai . . . . 64
3.5 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Phụ lục 73
Kết luận 80
Tài liệu tham khảo 81
1
Mở đầu
Lượng giác là một phân môn quan trọng trong chương trình Toán học ở các
trường Trung học phổ thông. Trong các đề thi vào các trường Cao đẳng và Đại

kính trọng và biết ơn sâu sắc, tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới
Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường
Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
PGS.TS Phan Huy Khải, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo,
động viên và hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các thầy trong hội đồng chấm luận văn đã cho tác giả
những đóng góp quý báu để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, 2013
3
MỘT SỐ KÍ HIỆU
ABC Tam giác ABC.
A, B, C Các đỉnh tam giác hay số đo các góc trong tam giác ABC.
a, b, c Độ dài các cạnh đối diện các góc A,B,C.
h
a
, h
b
, h
c
Độ dài các đường cao xuất phát từ A,B,C.
l
a
, l
b
, l
c
Độ dài các đường phân giác trong xuất phát từ A,B,C.
m
a

1
+ a
2
+ + a
n
n
≥
n
√
a
1
a
2
a
n
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= = a
n
.
1.1.2 Bất đẳng thức BCS
Với hai bộ số (a
1
; a
2
; . . . ; a
n

n
2

b
1
2
+ b
2
2
+ + b
n
2

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
1
b
1
=
a
1
b
1
= =
a
1
b
1
.


(x) < 0 trong khoảng (a, b) thì
f (x
1
) + f (x
2
) + + f (x
n
) ≤ n.f

x
1
+ x
2
+ + x
n
n

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x
1
= x
2
= = x
n
.
5
1.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev
Với hai dãy số thực đơn điệu cùng chiều a
1

+ . . . + a
n
) (b
1
+ b
2
+ . . . + b
n
) .
Nếu hai dãy a
1
; a
2
; . . . ; a
n
và b
1
; b
2
; . . . ; b
n
đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức
đổi chiều.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= . . . = a
n
hoặc b

+ a
2
− 2ac. cos B.
c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab. cos C.
Định lí hàm số tan.
a −b
a + b
=
tan
A −B
2
tan
A + B
2
.
b −c
b + c
=
tan
B −C
2
tan
B + C
2

ab. sin C =
1
2
bc. sin A =
1
2
ca. sin B
=
abc
4R
= pr
= (p −a) r
a
= (p −b) r
b
= (p −c) r
c
=

p (p −a) (p −b) (p − c).
6
Công thức tính các bán kính.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp.
R =
a
2 sin A
=
b
2 sin B
=

r
a
= p. tan
A
2
=
S
p −a
.
r
b
= p. tan
B
2
=
S
p −b
.
r
c
= p. tan
C
2
=
S
p −c
.
Công thức trung tuyến.
m
a

a
2
+ b
2
2
−
c
2
4
.
Công thức phân giác trong.
l
a
=
2bc
b + c
. cos
A
2
.
l
b
=
2ac
a + c
. cos
B
2
.
l

c = a. cos B + b. cos A = r

cot
A
2
+ cot
B
2

.
Một số công thức khác.
Về cạnh và góc.
0 < a ≤ b ≤ c ⇔ 0 < A ≤ B ≤ C
⇒

0 < sin A ≤ sin B ≤ sin C ≤ 1
1 > cos A ≥ cos B ≥ cos C ≥ 0
.
Về cạnh.
|a −b| < c < a + b.
|b −c| < a < b + c.
|c −a| < b < c + a.
Về góc.
sin A = sin (B + C) . sin
A
2
= cos
B + C
2
.

2
=
p
R
.
2. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.
3. sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 2 (1 + cos A cos B cos C).
4. cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
= 1 +
r
R
.
5. cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C.
6. cos
2
A + cos

B
2
+ cot
C
2
= cot
A
2
. cot
B
2
. cot
C
2
.
1.2.3 Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác.
1. cos A + cos B + cos C ≤
3
2
. 13. cos
A
2
+ cos
B
2
+ cos
C
2
≤
3

+ tan
C
2
≥
√
3.
4. cot A + cot B + cot C ≥
√
3. 16. cot
A
2
+ cot
B
2
+ cot
C
2
≥ 3
√
3.
5. cos A. cos B. cos C ≤
1
8
. 17. cos
A
2
. cos
B
2
. cos

2
. tan
B
2
. tan
C
2
≤
1
3
√
3
.
8. cot A. cot B. cot C ≤
1
3
√
3
. 20. cot
A
2
. cot
B
2
. cot
C
2
≥ 3
√
3.

2
C ≤
9
4
. 22. sin
2
A
2
+ sin
2
B
2
+ sin
2
C
2
≥
3
4
.
11. tan
2
A + tan
2
B + tan
2
C ≥ 9. 23. tan
2
A
2

Chương 2
BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
2.1 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhọn.
Trong phần này chúng ta sẽ xét các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
nhọn. Chú ý rằng, các bất đẳng thức này sẽ không còn đúng nữa nếu tam giác đã
cho không có đặc thù là "nhọn".
Bài toán 2.1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có
1.
√
tan A +
√
tan B +
√
tan C ≥

cot
A
2
+

cot
B
2
+

cot
C
2
.

⇔ cos C ≥ cos C cos (A −B)
⇔ cos (A − B) ≤ 1. (2)
10
(Do ABC nhọn nên 0 < cos A; 0 < cos B; 0 < cos C < 1).
Vì (2) đúng nên (1) đúng và dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi A = B.
Do ABC nhọn nên tan A > 0; tan B > 0.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
tan A + tan B ≥ 2
√
tan A tan B. (3)
Từ (1) và (3) có
tan A + tan B ≥ 2 cot
C
2
. (4)
Mặt khác, từ (1) có
2
√
tan A tan B ≥ 2 cot
C
2
. (5)
Cộng (4) và (5) theo từng vế ta được

√
tan A +
√
tan B

2


cot
B
2
. (8)
Dấu bằng trong (8) xảy ra khi và chỉ khi C = A.
Cộng (6); (7) và (8) theo từng vế suy ra
√
tan A +
√
tan B +
√
tan C ≥

cot
A
2
+

cot
B
2
+

cot
C
2
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều.
2. Do ABC nhọn nên theo bất đẳng thức AM - GM ta có

cot A (sin 2B + sin 2C) = −2 cos (C + B) cos (C − B) = −(cos 2C + cos 2B) .
Do đó
V P (4) = −(cos 2A + cos 2B + cos 2C)
= 3 −2

cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C

.
Vậy
(4) ⇔ cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C + 2 (cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A) ≤
≤ sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C
⇔ (cos A + cos B + cos C)

C − A
2
. (1)
Ta thấy cos
A −B
2
≤ 1, và do C nhọn nên 0 < C <
π
3
⇒ 2 cos
C
2
> 1
⇒ cos
A −B
2
< 2 cos
C
2
⇒ sin
C
2
cos
A −B
2
< sin C. (2)
Tương tự có
sin
A
2

. Khi đó
(cos A + cos B + cos C)
2
= 3
1
4
−
√
3.
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 1
1
4
.
⇒(cos A + cos B + cos C)
2
> sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C.
3. Với bất đẳng thức thứ ba
- Nếu ABC là tam giác vuông thì kết luận của bài toán vẫn đúng.

≥

tan
A
2
+ tan
B
2
+ tan
C
2

cot
A
2
+ cot
B
2
+ cot
C
2

.
Giải. Xét hàm số f (x) = tan x và g (x) = cot x với 0 < x <
π
2
.
Dễ thấy
f


[f(A) + f(B)] ≥ f

A + B
2

⇔
1
2
(tan A + tan B) ≥ tan
A + B
2
⇔ tan A + tan B ≥ 2 cot
C
2
. (1)
Lý luận tương tự
tan B + tan C ≥ 2 cot
A
2
. (2)
tan C + tan A ≥ 2 cot
B
2
. (3)
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế suy ra
tan A + tan B + tan C ≥ cot
A
2
+ cot
B

B
2
+ tan
C
2
> 0.
cot
A
2
+ cot
B
2
+ cot
C
2
> 0.
Khi đó, bất đẳng thức đã cho không đúng.
Bài toán 2.3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có




cos A cos B
cos
A
2
cos
B
2
+

A
2
sin
B
2
+ sin
B
2
sin
C
2
+ sin
C
2
sin
A
2

+
√
3
2
.
14
Giải. Ta có
cos A. cos B
cos
A
2
. cos

2
≤
4
√
3
sin
A
2
. sin
B
2
+
√
3 cot A. cot B
2
=
2
√
3
sin
A
2
. sin
B
2
+
√
3
2
cot A. cot B. (1)


cos C. cos A
cos
C
2
. cos
A
2
≤
2
√
3
sin
C
2
. sin
A
2
+
√
3
2
cot C. cot A. (3)
Cộng từng vế của(1), (2) và (3) ta được điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét.
1. Nếu ABC là tam giác vuông thì kết quả vẫn đúng.
2. Nếu ABC là tam giác tù, chẳng hạn A >
π
2

2
+
1
sin
C
2
.
3. cot A + cot B + cot C + cot 2A + cot 2B + cot 2C ≤ 0.
Giải.
1. Vì ABC nhọn nên ta có
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C =
sin A. sin B. sin C
cos A. cos B. cos C
.
15
Vì trong mọi tam giác nhọn ta đều có
0 < cos A. cos B. cos C ≤
1
8
.
Suy ra
tan A. tan B. tan C ≥ 8 sin A. sin B. sin C. (1)
Theo hệ thức cơ bản ta có
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
tan A. tan B. tan C ≥ 2 (sin 2A + sin 2B + sin 2C) .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
2. Theo bất đẳng thức AM - GM ta có
1
cos A

+
1
cos C
≥
2
sin
A
2
. (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi B = C.
1
cos C
+
1
cos A
≥
2
sin
B
2
. (3)
Dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi A = C.
Từ (1),(2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
3. Ta có
cot 2A + cot 2B =
sin (2A + 2B)
sin 2A. sin 2B
= −
2 sin 2C

2. Xét bất đẳng thức thứ hai
- Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong các đại lượng:
1
cos A
,
1
cos B
,
1
cos C
không xác định.
- Nếu ABC là tam giác tù, chẳng hạn A >
π
2
, không giảm tổng quát giả sử
B ≥ C ⇒ 0 < C <
π
4
⇒

tan C < 1
sin
C
2
< sin C < cos C.
Ta có
1
cos C
<
1

sin
C
2
.
Hiển nhiên
1
sin
C
2
<
1
sin
C
2
+
1
sin
A
2
+
1
sin
B
2
⇒
1
cos A
+
1
cos B

. Ta có
cot A + cot 2A = 0.
cot B + cot C + cot 2B + cot 2C > 0.
⇒ cot A + cot B + cot C + cot 2A + cot 2B + cot 2C > 0.
Như vậy ta có bất đẳng thức theo chiều ngược lại.
Bài toán 2.5. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có

1 +
1
cos A

1 +
1
cos B

1 +
1
cos C

≥ 27.
Giải. Để giải bài toán ta sử dụng bổ đề sau
Bổ đề. Cho x > 0; y > 0; z > 0 và x + y + z ≤ a thì

1 +
1
x


1 +
1


1 +
1
cos C

≥



1 +
3
3
2



3
= 27.
18
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Điều kiện ABC là tam giác nhọn là thực sự cần thiết.
1. Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong các đại lượng
1
cos A
,
1
cos B
,
1


1 +
1
cos C

< 0.
Bài toán 2.6. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có
sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≥

1 +
√
2 cos A cos B cos C

2
.
Giải. Vì ABC là tam giác nhọn nên theo bài 2.2 ta có
tan A + tan B + tan C ≥ cot
A
2
+ cot
B
2
+ cot
C
2
. (1)
Vì trong mọi tam giác không có góc vuông ta có
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C.
và trong mọi tam giác ta có
cot

Ta có
(2) ⇔
sin A sin B sin C
cos A cos B cos C
≥
cos
A
2
. cos
B
2
. cos
C
2
sin
A
2
. sin
B
2
. sin
C
2
⇔ 8 sin
2
A
2
. sin
2
B

2 cos A cos B cos C + 1
⇔ cos A+ cos B + cos C + cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≥
≥

1 +
√
2 cos A cos B cos C

2
. (6)
Dấu bằng trong (6) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Ta sẽ chứng minh rằng trong mọi tam giác thì
cos A + cos B + cos C + cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A
= sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A. (7)
Thật vậy
(7) ⇔ (cos A cos B − sin A sin B) + (cos B cos C − sin B sin C)
+ (cos C cos A −sin C sin A) = −(cos A + cos B + cos C)
⇔ cos (A + B) + cos (B + C) + cos (C + A) = −cos A −cos B − cos C. (8)
Vì (8) đúng nên (7) đúng. Từ (7) và (8) suy ra
sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≥

1 +
√
2 cos A cos B cos C

2
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều.
Nhận xét.
- Bất đẳng thức vẫn đúng khi ABC là tam giác vuông.

<
a
2
2R
+
b
2
2R
⇒ c.
c
2R
< a.
a
2R
+ b.
b
2R
.
Theo định lý hàm số sin suy ra
c sin C < a sin A + b sin B. (1)
Lý luận tương tự có
b sin B < a sin A + c sin C. (2)
a sin A < b sin B + c sin C. (3)
Từ (1), (2), (3) có thể lấy a sin A, b sin B, c sin C là số đo ba cạnh của một tam
giác nào đó.
Nhận xét. Giả thiết ABC là tam giác nhọn là hoàn toàn cần thiết vì nếu không
thì kết luận của bài toán chưa chắc đúng.
1. Giả sử ABC là tam giác vuông cân tại A có AB = AC = 1 ⇒ BC =
√
2. Khi

3
.
Giải. Vì trong mọi tam giác không vuông ta có
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C.
21
Vì ABC là tam giác nhọn nên bất đẳng thức đã cho được viết lại dưới dạng
(tan A + tan B + tan C) (cos A + cos B + cos C) ≥ 3 (sin A + sin B + sin C)
⇔(tan A + tan B + tan C) (cos A + cos B + cos C) ≥
≥ 3 (tan A cos A + tan B cos B + tan C cos C) .
Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử A ≥ B ≥ C và do ABC nhọn nên
tan A ≥ tan B ≥ tan C. (1)
cos A ≤ cos B ≤ cos C. (2)
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev với hai dãy (1) và (2) suy ra điều phải chứng
minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Giả thiết ABC là tam giác nhọn là hoàn toàn cần thiết.
1. Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong ba biểu thức: tan A; tan B; tan C
không xác định.
2. Nếu ABC là tam giác tù thì
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C < 0.
sin A + sin B + sin C > 0.
cos A + cos B + cos C > 0.
⇒
sin A + sin B + sin C
cos A + cos B + cos C
> tan A + tan B + tan C.
Bài toán 2.9. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có
tan
2
A

B
2
+
tan
2
C
sin
C
2
≥
(tan A + tan B + tan C)
2
sin
A
2
+ sin
B
2
+ sin
C
2
. (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Do ABC nhọn nên theo bất đẳng thức cơ bản trong tam giác có
tan A + tan B + tan C ≥ 3
√
3. (2)
0 < sin
A
2

sin
C
2
≥ 18.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Giả thiết ABC là tam giác nhọn là hoàn toàn cần thiết.
1. Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong ba biểu thức: tan A; tan B; tan C
không xác định.
2. Nếu ABC là tam giác tù, chẳng hạn A =
2π
3
; B = C =
π
6
. Khi đó
tan A = −
√
3; tan B = tan C =
√
3
3
;
sin
A
2
=
√
3
2
; sin

sin
C
2
= 2
√
3 +
4

2 +
√
3
2
< 18.
Vậy bất đẳng thức đã cho không đúng trong trường hợp này.
Bài toán 2.10. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có
1. tan
2
A + tan
2
B + tan
2
C ≥ 9.
2. tan
5
A + tan
5
B + tan
5
C ≥ 9 tan A. tan B. tan C.
Giải.

tan A. tan B. tan C
⇒(tan A. tan B. tan C)
3
≥ 27 (tan A. tan B. tan C)
⇒(tan A. tan B. tan C)
2
≥ 27. (4)
Dấu bằng trong (4) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Từ (1) và (4) suy ra
tan
2
A + tan
2
B + tan
2
C ≥ 9.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Giả thiết ABC là tam giác nhọn là hoàn toàn cần thiết.
- Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong ba biểu thức: tan A; tan B; tan C
không xác định.
- Nếu ABC là tam giác tù, chẳng hạn A =
2π
3
; B = C =
π
6
. Khi đó
tan
2
A + tan

5
C ≥ 3 tan A. tan B. tan C
3

(tan A. tan B. tan C)
2
. (1)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Vì tan A > 0; tan B > 0; tan C > 0 nên theo bài 2.9
tan A. tan B. tan C ≥ 3
√
3
⇒
3

(tan A. tan B. tan C)
2
≥ 3. (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Từ (1) và (2) suy ra
tan
5
A + tan
5
B + tan
5
C ≥ 9 tan A. tan B. tan C.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Giả thiết ABC là tam giác nhọn là hoàn toàn cần thiết.
- Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong ba biểu thức tan A; tan B; tan C

(sin A)
sin A
. (sin B)
sin B
. (sin C)
sin C
≥

2
3

3
√
3
2
.
Giải. Theo tính chất của hàm số mũ ta có
sin A + sin B + sin C ≥ sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C.
Vì
sin
2
A + sin
2
B + sin

sin A + sin B + sin C
3

⇔
1
3

ln (sin A)
sin A
+ ln (sin B)
sin B
+ ln (sin C)
sin C

≥
≥
sin A + sin B + sin C
3
. ln

sin A + sin B + sin C
3

⇔(sin A)
sin A
. (sin B)
sin B
. (sin C)
sin C
≥