http://trithuctoan.blogspot.com/
Một số kỹ năng giải các bài toán bất đẳng thức

Trong ch-ơng trình toán học trung học phổ thông, các bài toán về bất đẳng thức luôn thu hút đ-ợc nhiều đối t-ợng
học sinh, bởi vì đây là phần khó và thú vị của toán học. Điều đặc biệt là một bài bất đẳng thức khó có thể giải đ-ợc
bằng những cách ấn t-ợng khi áp dụng những bất đẳng thức đơn giản nh- : Cauchy, Bunhia -Copxki, Chebysep hay
bất đẳng thức hoán vị. Trong đó bất đẳng thức Cauchy và Bunhia Copxki là hai bất đẳng thức đ-ợc sử dụng rộng rãi
nhất trong ch-ơng trình toán học phổ thông. Tuy nhiên việc nhận dạng và biến đổi hai bất đẳng thức này là không
hề đơn giản.
Xuất phát từ nhu cầu thực tế ,chúng tôi nêu ra một số ph-ơng pháp biến đổi và những biến dạng có ứng dụng
hay trong giải toán của bất đẳng thức Cauchy và Bunhia-Copxki đồng thời nêu ra con đ-ờng tu duy mạch lạc về kĩ
thuật biến đổi của hai bất đẳng thức này ,đ-a chúng ta đến với những lời giải hay và ấn t-ợng.
I. Kĩ thuật chọn điểm rơi khi sử dụng BĐT Cauchy.
Nh- chúng ta đã biết, BĐT Cauchy là BĐT thức đ-ợc sử dụng rất rộng rãi trong ch-ơng trình toán học THPT.
Đặc biệt là trong các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, nó đã thể hiện rõ -u điểm của mình. BĐT Cauchy
không yêu cầu ng-ời sử dụng một trình độ quá cao về các kĩ thuật phân tích và biến đổi, mà chỉ cần ở mức độ trung
bình là có thể sử dụng đ-ợc BĐT này.
Vâng, Cauchy là một BĐT khá cổ điển mang dáng đấp khá đơn giản, dể sử dụng trong cả việc lựa chọn đối t-ợng
và xét dấu = xảy ra. Tuy nhiên trong quá trình học tập, chúng tôi nhận thấy rằng, chính điều đơn giản này của
BĐT Cauchy lại luôn gây ra cho học sing những sai lầm không đáng có. Điều kiện dấu bằng xảy ra của BĐT
Cauchy luôn là con dao hai l-ỡi, nó có thể giúp ta giải bài toán nhanh hơn, chính xác hơn, nh-ng cũng có thể biến
toàn bộ bài giải của chúng ta về con số 0.
Sai lầm về dấu = trong BĐT Cauchy th-ờng đến d-ới hai dạng sau đây:
- Dấu = của BĐT Cauchy không xảy ra.
- Dấu = xảy ra không thuộc vùng giá trị chúng ta đang xét.
Do vậy, trong khi áp dụng BĐT Cauchy, chúng ta phải rất l-u tâm đến điều này. Ví dụ đầu tiên d-ới đây sẽ giúp
các bạn hình dung rõ hơn:
VD1: Với x

2, tìm GTNN của P =
x


2 .
Do vậy khi gặp tình huống này, học sinh tuy đã nhận ra sai lầm trong phép Cauchy trực tiếp, nh-ng vẫn luống
cuống vì không tìm đ-ợc h-ớng giải quyết tiếp theo. ở đây, để xét cho tổng quát, ta có thể tách 4x=ax+bx
và dùng BĐT Cauchy cho
x
1
và ax :
P =
x
1
+ ax + bx

2
ax
x
.
1
+ bx = 2
a
+ bx

2
a
+ 2b ( x

2).

http://trithuctoan.blogspot.com/
Dấu = xảy ra

Ta có :
P =
x
1
+
4
x
+
4
15x


2
4
.
1 x
x
+
4
15x
= 1 +
4
15x


2
17
.
Dấu = xảy ra



A =
3
3
)( cba
+
3
3
)( cab
+
3
3
)( bac với a,b,c là các số thực d-ơng thỏa mãn a+b+c = 3.
Sau khi các bạn đọc xong đề bài này, tôi có thể khẳng định rằng nếu không sử dụng kĩ thuật chọn điểm rơi, bạn
gần nh- không thể giải ra bài này bằng một ph-ơng pháp nào khác. Chúng ta cùng đến với lời giải d-ới đây :
Để có thể làm mất căn bậc ba, ta phải sử dụng Cauchy cho 3 số. Vì đây là một BĐT hoán vị vòng quanh ( vai trò
của các biến là nh- nhau ) nên rất có thể dấu = xảy ra khi a = b = c = 1. Tuy nhiên để cho chính xác ta cứ nhân
thêm các số

,,
vào tích
3
)( cba
và sử dụng BĐT Cauchy :

A =
3

3







baccabcba

3
.3
)(
3
)(
3
)(
3







baccabcba




)(
3
)(
3
)(
3
bac
cab
cba


















6







6
3

Nếu chọn
1,2,6

, ta sẽ đ-ợc bài làm hoàn chỉnh:

Ta có:
A =
3
333
12
).(2.2).(2.2).(2.2 baccabcba
(
3
3
ta đ-a xuống d-ới mẫu)


CụSi

3
123

+
3
6
1
c
b

+
3
6
1
a
c




abc
1
.

Việc dự đoán dấu = xảy ra là không thể thiếu trong các bài toán chứng minh bài toán có sử dụng BĐT Cauchy ,
ở bài này dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
3
1
(Do vai trò của các biến nh- nhau).
Dựa vào điều kiện của đề bài ab+bc+ac=1, để làm xuất hiện tổng này, ta phải phân tích thành nhân tử nh- sau :
VT =
3
)61(


.
a
1
= 1 + 6ab






3
3


, vì vậy ta
phải nhân thêm vào vế trái
3
:

3
.VT =
3
)61.(
3
.3 ab
a

+
3

=
3
)(6)
111
(312 acbcab
cba

=
3
)
111
(318
cba


=
3
3
18
abc

( vì
abcabc
acbcab
cba
1111


=
abc
3
.

Vậy
3
.VT


abc
3


VT


abc
1
( đpcm )

http://trithuctoan.blogspot.com/
Dấu = xảy ra


3
1
cba
.


2

từ đó ta có
b
a
b
a
21
2


.T-ơng tự với hai số hạng còn lại ta thu đ-ợc:

2
3
8
3
222111
3
222





abc
abc
a
c
c

b
a




(1) T-ơng tự với hai số hạng còn lại:

)2(
2211
2
2
2
2
cb
b
c
bc
b
c
bc
b
c
b




1
3
222111
2
222








cbacabcab
cba
a
c
c
b
b
a

(Sử dụng BĐT quen thuộc:

cabcabcba 3
2
)

Từ bài toán trên ta có thể thấy rằng kĩ thuật Cosi ng-ợc tuy là mới mẻ nh-ng cũng rất đơn giản và hơn hết nó giải
quyết đ-ợc nhiều bài toán khó mà khi giải bằng các cách khác th-ờng rất khó và phức tạp.Đặc biệt Cosi ng-ợc dấu

b
a

Rõ ràng đây là một bất đẳng thức hoán vị vầt cũng dễ dàng nhận ra rằng không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức
cosi hay bất cứ một bất đẳng thức nào khác.Do vậy ,điều ta nghĩ đến ở đây là Cosi ng-ợc dấu:

T-ơng tự nh- ví dụ 1 ta cũng thực hiện phép chia tử cho mẫu và sau đó tách thành hai phần và ử dụng Cosi cho
mẫu số: 2
1
2
)1(
1
1
)1(
)1(
1
1
2
2
2
2
bab
a
b
ab
a
b

ccb
b
c
bc
b
c
cb
b
c
b








2
1
2
)1(
1
1
)1(
)1(
1

3
)(
3
2
3
2






bca
cba
cbacabcba
cba

(áp dụng BĐT

cabcabcba 3
2
)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Bài toán sẽ đi vào bế tắc khi ta không nhận ra và sử dụng hợp lí kĩ thuật Côsi ng-ợc.
Kĩ thuật này th-ờng đ-ợc sử dụng trong những bài toán mà khi ta côsi mẫu thức thì dấu của BĐT không nh- mong
đợi, lúc này chính là lúc ta cần dùng đến kĩ thuật Côsi ng-ợc dấu.

Tóm lại, qua các ví dụ trên để sử dụng đ-ợc cosi ng-ợc thì ta cần có b-ớc phân tích hợp lí mà cụ thể là thực hiên
phép chia tử cho mẫu và dùng BĐT côsi nh- bình th-ờng .Kĩ thuật côsi ng-ơc tuy khá đơn giản nh-ng mang lại
hiệu quả cao , giúp giải quyết đ-ợc một số bài BĐT thức khó một cách gọn gàng và rất chính xác do vậy mong rằng