PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
A. Lý thuyết
1. Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức , nhân đa thức với đa thức và viết
dạng tổng quát.
A.(B+C) = AB+ AC
( A+B).(C+ D) = AC+ AD+ BC+BD
2. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
1. (A+B)
2
= A
2
+2AB +B
2
2. (A-B)
2
=A
2
-2AB +B
2
3. A
2
- B
2
=( A-B)(A+B)
4. (A+B)
3
=A
3
+3A
2
B+3AB

)
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
- Nhóm các hạng tử
- Phối hợp nhiều phương pháp
- Thêm, bớt cùng 1 hạng tử
- Tách hạng tử
- Đặt biến phụ
- Nhẩm nghiệm của đa thức
4. Khi nào đơn thức A chia hết cho đơn thức B? Muốn chia đơn thức A cho đơn thức
B ta làm như thế nào?
5. Khi nào đa thức chia hết cho đơn thức ? Muốn chia đa thức cho đơn thức ta làm
như thế nào?
6. Nêu cách chia hai đa thức 1 biến đã sắp xếp.
B. Bài tập
Bài 1: Làm tính nhân:
a) 2x. (x
2
– 7x -3) b) ( -2x
3
+
3
4
y
2
-7xy) 4xy
2
c) (-5x
3

2
b) ( 5x – y)
2

c)
( ) ( )
3 2 3 2− +
d)
2 2
2 2
x y . x y
5 5
   
+ −
 ÷ ÷
   
e) (2x + y
2
)
3
f) ( 3x
2
– 2y)
3
;
1
g)
3
2
2 1

c) 10,2 . 9,8 – 9,8 . 0,2 + 10,2
2
–10,2 . 0,2 d) 36
2
+ 26
2
– 52 . 36
e) 99
3
+ 1 + 3(99
2
+ 99) f) 37. 43
g) 20,03 . 45 + 20,03 . 47 + 20,03 . 8
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
3
- 2x
2
+ x b) x
2
– 2x – 15
c) 5x
2
y
3
– 25x
3
y
4
+ 10x

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3 2
a)x 3x 4x 12− − +
2 2
b)2x 2y 6x 6y− − −

3 2
c)x 3x 3x 1+ − −

4 2
d)x 5x 4− +

Bài 6: Chứng minh rằng: x
2
– x + 1 > 0 với mọi số thực x?
Bài 7: Làm tính chia: ( x
4
– 2x
3
+ 2x – 1): ( x
2
– 1)
Bài 8: a, Giá trị của m để x
2
– ( m +1)x + 4 chia hết cho x -1
b.Tìm a để đa thức f(x) = x
4
– 5x
2
+ a chia hết cho đa thức g(x) =x

e)
( )
2
2x 1 25 0− − =
g) ( 2x – 1 )
2
– ( 2x + 5 ) ( 2x – 5 ) = 18
2
h) 5x ( x – 3 ) – 2x + 6 = 0 i)
( ) ( ) ( )
2
x 2 x 2 x 2 0+ − − + =
k) x
2
– 5 = 0 l)
3 2
x 5x 4x 20 0+ − − =
m)
3 2
x 2 2x 2x 0+ + =
3
Tø gi¸c
B. Bµi tËp
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM. Gọi I là trung
điểm AC, K là điểm đối xứng của M qua I.
a) Tứ giác AMCK là hình gì ? Vì sao?
b) Tứ giác AKMB là hình gì ? Vì sao?
c) Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME =MA. Chứng
minh tứ giác ABEC là hình thoi
Bài 2: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=8cm, BC=10cm,. Gọi AM
là trung tuyến của tam giác.
a) Tính đoạn AM
b) Kẻ MD vuông góc với AB, ME vuông góc Với AC. Tứ giác
ADME có dạng đặc biệt nào?
c) DECB có dạng đặc biệt nào?
Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm tam giác, M là
trung điểm BC. Gọi D là điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh các tam gíac ABD, ACD vuông
4
b) Gọi I là trung điểm AD. Chứng minh IA=IB=IC=ID
Bài 8: Cho tam giác ABC vng tại A có góc B bằng 60
0
, kẻ tia Ax
song song BC . Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD=DC.
a) Tính các góc BAD và gãc DAC
b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân
c) Gọi E là trung điểm BC. Chứng minh ADEB là hình thoi
Bài 9: Cho hình vng ABCD, E là điểm trên cạnh DC, F là điểm trên
tia đối tia BC sao cho BF= DE.
a) Chứng minh tam giác AEF vng cân
b) Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh I thuộc BD.
c) Lấy K đối xứng của A qua I. Chứng minh AEKF là hình
vng .
( Híng dÉn:Tõ E kỴ EP //BC , P
∈
BD )
Bài 10: Cho hình vng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh CD, gọi AF
là phân giác của tam giác ADE. Gọi H là hình chiếu của F trên AE.
Gọi K là giao điểm của FH và BC.

a) Tứ giác ABDC là hình gì ? Vì sao ?
b) Gọi I là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh: BC // ID.
c) Chứng minh: Tứ giác BIDC là hình thang cân.
d) Vẻ HE
⊥
AB tại E , HF
⊥
AC tại F. Chứng minh: AM
⊥
EF.
5
Bài 4: Cho tam giác ABC vng ở C. GọI M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC và AB. Gọi P là điểm đốI xứng của M qua điểm N
a) Chứng minh tứ giác MBPA là hình bình hành
b) Chứng minh tứ giác PACM là hình chữ nhật
c) Đường thẳng CN cắt PB ở Q. Chứng minh: BQ = 2PQ
d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì thì hình chữ nhật
PACM là hình vng ? Hãy chứng minh ?
Bài 5: Cho tam giác ABC vng tại A, D là trung điểm BC. Gọi M là
điểm đối xứng của D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là
điểm đối xứng của D qua AC, F là giao điểm của DN và AC.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác ADBM là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh M đối xứng với N qua A
d) Tam giác vng ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình
vng?
Bài 6: Cho
∆
ABC cân tại A . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh đáy BC . Từ M
kẻ ME // AB ( E

trung điểm của AB,CD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMCN là hình bình hành
b) Tứ giác AMND là hình thoi
c) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua D, Gọi Q là điểm đối
xứng với điểm N qua D . Hỏi Tứ giác ANKQ là hình gì? Vì sao?
d) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác ABCN
là hình thang cân
6
Bài 10: Cho hình thoi ABCD có hai đương chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua O
kẻ OM, ON, OP, OQ vuông góc với AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q.
a) Chứng minh: OM = ON = OP = OQ.
b) Chứng minh ba điểm M, O, P thẳng hàng.
c) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
d) Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình gì? Vì sao?
Bài 11: Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm
của tam giác đó. Chứng minh rằng
HA' HB' HC'
1
AA' BB' CC'
+ + =
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng
với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC.
a) Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A.
b) Tam giác DHE là tam giác gì? Vì sao?
c) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh rằng BC = BD + CE.
7
BUỔI 03
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. MỤC TIÊU

2
3 2
1 x x x 1 2x 1
A . :
x 1 1 x x 1 x 2x 1
 
+ + +
= −
 ÷
− − + + +
 
a) Rót gän biĨu thøc A?
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A khi
1
x
2
=
?
Bµi 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

2 3 2 3
5xy - 4y 3xy + 4y
a) +
2x y 2x y

1 1
b)
5 3 5 3
−
− +

+ −
2
2
1 4x 2 4x
h) :
x 4x 3x
− −
+

x 1 x 2 x 3
i) : :
x 2 x 3 x 1
+ + +
+ + +

2
1 2 x 1
k) : x 2
x x x 1 x
−
   
− + −
 ÷  ÷
+ +
   
Bµi 4: Cho biĨu thøc:
2
2
x 1 3 x 3 4x 4
B .

+
−
+
−
+
=
a) T×m ®iỊu kiƯn cđa x ®Ĩ biĨu thøc x¸c ®Þnh ?
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A t¹i x = 20040 ?
Bµi 6: Cho ph©n thøc
2
2
x 10x 25
x 5x
− +
−
a) T×m gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ ph©n thøc b»ng 0?
b) T×m x ®Ĩ gi¸ trÞ cđa ph©n thøc b»ng 5/2?
c) T×m x nguyªn ®Ĩ ph©n thøc cã gi¸ trÞ nguyªn?
Bµi 7: BiÕn ®ỉi mçi biĨu thøc sau thµnh 1 ph©n thøc ®¹i sè:
1
1
x
a)
1
x
x
+
−
b)
2 2

 
Bµi 8: Chøng minh ®¼ng thøc:
3 2
9 1 x 3 x 3
:
x 9x x 3 x 3x 3x 9 3 x
−
   
+ − =
 ÷  ÷
− + + + −
   
Bµi 9: Cho biĨu thøc:
2
x 2x x 5 50 5x
B
2x 10 x 2x(x 5)
+ − −
= + +
+ +

a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh cđa B ?
b) T×m x ®Ĩ B = 0; B =
1
4
.
c) T×m x ®Ĩ B > 0; B < 0?
BUỔI 4:
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
I.Mục tiêu cần đạt:

tam giác vuông:
a) Một góc nhọn bằng nhau:

b) Hai cạnh góc vuông tỉ lệ:
c) Cạnh huyền - cạnh góc
vuông tỉ lệ:
7) Tỉ số đường cao và tỉ số
diện tích:
-
' ' '
A BC ~ ABC∆ ∆
theo tỉ số k =>
' '
A H
k
AH
=
-
' ' '
A BC ~ ABC∆ ∆
theo tỉ số k =>
' ' '
2
A BC
ABC
S
k
S
=
B. Bµi tËp

= = =

⇔

= =


ABC ; AMN
MN // BC => AMN ABC
A'B' B'C' A'C'
AB BC AC
= =
⇒
A’B’C’ ABC
µ
µ
A' A
A'B' A'C'
AB AC

=

⇒

=


A’B’C’ ABC
µ
µ

BC AC
=
=>
∆
vuông A’B’C’
∆
vuông
Bài 1: Cho tam giác ABC
vuông tại A, AB = 36cm ; AC =
48cm và đường cao AH
a) Tính BC; AH
b) HAB HCA
c) Kẻ phân giác góc B cắt AC
tại F . Tính BF
Hướng dẫn:
a)- Áp dụng đl Pitago: BC =
60cm
- Chứng minh
∆
ABC
∆
HBA
=> HA = 28,8cm
b) Chứng minh
·
·
BAH ACH=
=>
∆
vuông ABC

chân đường vuông góc kẻ từ A
xuống BD.
a) Chứng minh
∆
HAD đồng dạng
với
∆
CDB.
b)Tính độ dài AH.
c) Gọi M; N; P lần lượt là trung
điểm của BC; AH; DH . Tứ giác
BMPN là hình gì ? vì sao ?
Hướng dẫn:
a)
·
·
DAH BDC=
(cùng bằng với
·
ABD
)
=>
∆
vuông HAD
∆
vuông CDB
(1 góc nhọn)
b) – Tính BD = 15cm
Do
∆

1
3

ADE BCDE
ABC ABC
S 1 S 8
S 9 S 9
= => =
b) ABD BDC
=>
AB AD BD
BD BC DC
= =
=> BC = 7cm;
DC = 10cm
c) p dng L Talet:
ME MA MB 2,5 1
NE NC ND 10 4
= = = =
Bi 5: Cho tam giỏc ABC; cú AB =
15cm;
AC = 20cm; BC = 25cm.
a) Chng minh: ABC vuụng ti A
b) Trờn AC ly E tu ý , t E k EH


BC ti H v K l giao im BA vi
HE.
CMR: EA.EC = EH.EK
c) Vi CE = 15cm . Tớnh

Bi 8: Cho

ABC vuụng ti
A, v ng cao AH v trờn
tia HC xỏc nh im D sao
cho HD = HB . Gi E l hỡnh
chiu ca im C trờn ng
thng AD.
a)Tớnh BH , bit AB = 30cm
AC = 40cm.
b) Chng minh AB . EC = AC .
ED
c)Tớnh din tớch tam giỏc
CDE.
b)

EDC

ABC => ủpcm
c)

EDC

ABC theo t s
DC 14
k 0,28
BC 50
= = =
=>
2

b) CMR: Các tam giác BDE và CDB
đồng dạng
c) Tính tổng:
·
·
DEB DCB+
HD: c)
·
·
DCB DBE=
=>
·
·
DEB DCB+
=
45
0
HD:
a)
∆
ABM
∆
DMC (c – g –
c )
b)
¶
¶
0
1 3
M M 90+ =

bằng góc B.
a) Chứng minh
∆
BDM đồng dạng với
∆
CME
b) Chứng minh BD.CE không đổi.
c) Chứng minh DM là phân giác của góc BDE
Bài 5: Cho ABC vuông tại A có AB = 9cm ; BC = 15cm . Lấy M
thuộc BC sao cho CM = 4cm , vẽ Mx vuông góc với BC cắt AC tại N.
a) Chứng minh CMN đồng dạng với CAB , suy ra CM.AB =
MN.CA .
b) Tính MN .
13
c) Tính tỉ số diện tích của CMN và diện tích CAB .
Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc ®Ịu nhän.KỴ ®êng cao BD vµ CE cđa A BC
Chøng minh r»ng:
a) ABD ®ång d¹ng víi ACE. Tõ ®ã suy ra AB. AE= AC. AD
b) ADE ®ång d¹ng víi A BC
c) Gäi H lµ trùc t©m cđa ABC. LÊy ®iĨm I trªn ®o¹n BH, ®iĨm K trªn ®o¹n
CH sao cho
·
·
0
AIC AKB 90= =
. Chøng minh AIK lµ tam gi¸c c©n
IV. Hướng dẫn tự học.
– Làm BT .
– Xem lại các trường hợp đồng dạng của hai tam giác
BUỔI 5:

b
a
−
3) Hai quy tắc biến đổi phương
trình:
* Chuyển vế: Ta có thể chuyển 1 hạng
II/. Bát phương trình bậc
nhất một ẩn:
1) Liên hệ thứ tự: Với a;
b; c là 3 số bất kỳ ta có
* Với phép cộng:
- Nếu a
≤
b thì a + c
≤
b +
c
- Nếu a < b thì a + c < b +
c
* Với phép nhân:
- Nhân với số dương:
+ Nếu a
≤
b và c > 0 thì a .
c
≤
b . c
+ Nếu a < b và c > 0 thì a .
c < b . c
- Nhân với số âm:

)
với
a 0≠
3) Hai quy tắc biến đổi
bất phương trình:
* Chuyển vế: Ta có thể
chuyển 1 hạng tử từ vế này
sang vế kia và đổi dấu hạng
tử đó.
* Nhân hoặc chia cho một
số: Khi nhân (chia) cả 2 vế
của BPT cho cùng một số
khác 0, ta phải:
- Giữ ngun chịều BPT nếu
số đó dương.
- Đổi chiều BPT nếu số đó
âm.
2) (x – 6)(x + 1) = 2.(x + 1)
( NX: khi nhân để khai triển thì VT có x
2
; VP
không có nên PT không thể đưa về bậc I )
 (x – 6)(x + 1) – 2(x + 1) = 0
 (x + 1)[(x – 6) – 2] = 0
 (x + 1)(x – 8) = 0
 x + 1 = 0 hoặc x – 8 = 0
 x = - 1 hoặc x = 8
Vậy x = -1 và x = 8 là nghiệm của phương
trình.
Bài tập tự giải:

 x <
1
2−
(Chia 2 vế cho -2 < 0
và đổi chiều BPT)
 x <
1
2
−
Vậy x <
1
2
−
là nghiệm của bất
phương trình.
15
* p dụng: Giải các phương trình sau
1)
x 5 2
1
x 1 x 3
−
+ =
− −
(I)
- TXĐ: x
≠
1 ; x
≠
3

x 2 x 1 4
x 3 1 x (x 3)(x 1)
+ +
+ =
+ − + −
( ĐS: x = - 3
∉
TXĐ. Vậy PT vô nghiệm)
3)
( ) ( )
2x 1 x 6x 2
x 1 x 1 x 2 (x 2)
− −
+ =
− − − −
(ĐS:
x 0 TXD;x 1 TXD= ∈ = ∉
)
2)
4x 5 7 x
3 5
− −
≥

(4x 5).5 (7 x).3
3.5 5.3
− −
≥
(quy
đồng)

(ĐS: x > 2)
3)
1 2x x
2 3
− −
≥
( ĐS: x
≤

3
4
)
Chủ đề 3: Giải phương trình
chứa dấu giá trò tuyệt đối
* VD: Giải các pt sau:
1)
3x x 8= +
(1)
* Nếu
3x 0 x 0≥ ⇔ ≥
khi đó
(1)  3x = x + 8
 x = 4 > 0 (nhận)
* Nếu
3x 0 x 0< ⇔ <
khi đó
(1)  -3x = x + 8
 x = -2 < 0 (nhận)
Vậy x = 4 và x = -2 là nghiệm
của PT.

Gọi x (tuổi) là tuổi của con hiện nay.
(ĐK: x nguyên dương)
x + 30 (tuổi) là tuổi của mẹ hiện nay.
Và x + 8 (tuổi) là tuổi con 8 năm sau .
x + 38 (tuổi) làtuổi của mẹ 8 năm sau
Theo đề bài ta có phương trình:
3(x + 8) = x + 38
 3x + 24 = x + 38
 2x = 14
 x = 7 ,thoả ĐK
Vậy tuổi con hiện nay là 7 tuổi và tuổi
mẹ là 37 tuổi .
2) Lúc 6h sáng, một xe máy khởi
hành từ A để đến B. Sau đó 1h,
một ơtơ cũng xuất phát từ A đến
B với vận tốc trung bình lớn hơn
vận tốc trung bình của xe máy là
20km/h. Cả hai xe đến B đồng
thời vào lúc 9h30’ sáng cùng
ngày. Tính độ dài qng đường
Ta có hệ phương trình:
7
2
.x =
5
2
(x + 20)
=> x = 50 (thoả ĐK)
Vậy qng đường AB là: 50. 3,5
= 175km

t(h) S(km)
Xe
máy
x
7
2
7
2
.x
Ôtô
x +
20
5
2
5
2
(x +
20)
Giải:
Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy (x
> 20)
x + 20 (km/h) là vận tốc của ôtô
7
2
.x là quãng đường xe máy đi
được
5
2
(x + 20) là quãng đường ôtô đi
được

− − − −
+ = +
;
7) x ( x
2
– x ) = 0; 8)
2 3
5
x 1 x 1
− =
+ −
;
9)
2
x 2 1 2
x 2 x x 2x
+
− =
− −
; 10)
( ) ( )
2x x 4
1
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1
+ = +
− + − +

11)
x 3 x 2
2

trục số
1) 2x + 5
≤
7; 2)
2x 2 3 3x 2
5 10 4
+ −
+ <
;
3)
2x 1
5
+
-
2x 2
3
−
> -7; 4) 3x – (7x + 2) > 5x + 4
5)
2x 2 3 3x 2
5 10 4
+ −
+ <
;
IV. Các bài tập đại số khác khác:
1)Tìm x biết: a)
2
1
x 1
>

Học thuộc bài và làm bài tập
19
Chơng trình ôn tập hè môn toán
Lớp 8 lên lớp 9
stt
Bui
Nội dung
Ghi
chú
1
Phép nhân và phép chia đa thức
1 Nhân đơn thức với đa thức ; Nhân đa thức với đa thức
2 Những hằng đẳng thức đáng nhớ
3 Phân tích đa thức thàng nhân tử
4 Chia đơn thức cho đơn thức
5 Chia đa thức cho đơn thức
6 Chia hai đa thức 1 biến đã sắp xếp
2
II.Tứ giác
7 Định nghĩa tứ giác lồi . Tính chất của tứ giác lồi
8 Các tứ giác đặc biệt: Định nghĩa , tính chất , dấu hiệu nhận biết
Diện tích tam giác , tứ giác đặc biệt và diện tích đa giác
3
III .Phân thức đại số
9 Định nghĩa phân thức đại số. Định nghĩa hai phân thức
bằnnhau
10 Tính chất cơ bản của phân thức
Quy tắc đổi dấu phân thức
11 Các phép toán trên phân thức
12 Biến đổi biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức đại số