www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015
NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN
1) PHẠM VĂN QUÝ
2) NGUYỄN VIẾT THANH
3) DOÃN TIẾN DŨNG
ĐƠN VỊ CÔNG TÁC:
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XOÀI, TỈNH BÌNH PHƯỚC
Bài 1 Giải hệ phương trình:
2
3
12 (12 ) 12 (1)
8 1 2 2 (2)
x y y x
x x y
Cách 1:
Đặt
2
12 , 0 12
y a y a
a
PT (1)
2 2
(12 )(12 ) 12
xa a x
2 2 2 2 2
12 12 12 12
x a x a xa
2
12
( ) 0
xa
x a
Ta có (x – a)
2
= 0 x =
12
y
(*)
12 3 1 2
y
y
y y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Vậy
3
3
x
y
(3)
Khi đó (1) tương đương với (3)
(3)
2 2 2 2 2
0 0 0
144 12 12 12 144 12 12 (4)
x x x
x y x y x y y x y x
Thế (4) vào (2) ta có
3 2 3 2
(2) 8 1 2 10 8 1 2 10 0
x x x x x x
x
2
2
2( 3)
3 3 1 0
1 10
x
x x x
x
2
2
3
2( 3)
3 1 0 (voâ nghieäm vì x 0)
1 10
x
Cách 3:
Đặt
2
; 12 ; 12 ;
a x x b y y
12
a b
(1)
2 2
2 .
a b a b
3
x y
2 2
3 1 10 1 2 3 0
x x x x
Đặt
2 2
(ĐH khối B – 2014)
Giải
Điều kiện:
0
2
4 5 3
y
x y
x y
Phương trình thứ nhất viết lại thành
(1 ) (1 ) ( 1) ( 1)
1
(1 )(x y 1) 1
( 1)
TH2 :
1
x y
thay xuống (2) ta có
2
2
2
2
2 3 2 2 1 1
2 3 2 1 0
2( 1) ( 1 ) 0
1
( 1) 2 0
1
5 1 5 1
( )
2 2
y y y y
y y y
y y y y
y y
y y
y x TM
( 2 2) ( 6)
( 1)( 2 7) ( 1)( 1)
y x x x y
y x x x y
Giải
ĐK:
,
x y R
Đặt
1
a x
b y
a b a b ab
a b ab
Trường hợp 1:
a b
thay vào phương trình (*) ta có:
2 2 2
2
( 1)( 6) ( 1) 5 6 0
3
a
a a a a a a
a
Vậy ta có hệ phương trình:
2 2
2 7 0
5 5 1
2 2 2
a b ab
a b
Giải hệ phương trình:
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0
4 2 4 5 4 6 0
x x y y
x x y y
Giải
ĐK:
2;2 , 0;4
x y
Ta có
3 3 2
thay vào phương trình (2) ta
có:
2 2
4 6 3 4 0
x x x
từ đó ta có y = 2.
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2).
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Bài 5 Giải hệ phương trình:
3 2
2 1 3
4 1 9 8 52 4
x y
x x y x y xy
.
Giải
1 5
x y
x x y x y
x y
x y
x y
y y
y
y
y
.
Bài 6 Giải hệ phương trình:
2 2
2
1 0
1 0
y x y x
xy
xy x y
KL: hệ pt có tập nghiệm:
1;1
S
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Bài 7 Giải hệ phương trình:
3 3 2 2
2 3
5 8
5
5 1 2
2
x y x y
x y xy
xy
xy
x y
u x y u v xy v
khi đó
2
3 2 2 3
1 2 3 2 0 2 2 1 0 2 2
u u u u
u u v uv v u v
v v v v
1 1
5 1 1
3 0 ì 2
5
5 1 2 2 1
x y
VN v x
x x
KL: tập nghiệm của hệ pt là:
1;1
ĐK:
0
y
1 1
1 2
y x x
x y
ĐK:
2 2
2 2
3 2 0
4 3 7 0
x xy y
x xy y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình
1
, ta được:
Với
x y
thay vào
2
, ta được:
2
1 1
1
1 1
x y
x
x y
KL:
47 47 47 47
1;1 , 1; 1 , ; 6 ; ;6
82 82 82 82
S
2
2
2 2 2
3 3 3
3 3 5 0
x y x xy
x y x y x
Thay
1
vào
2
, ta được:
3
S
Bài 11
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
x y
x y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Hệ
2 2
4 4 4 8 5 0
2 2
x xy y x y
x y x y x y x y
Với
2 1
x y
thay vào
2
, ta được:
3 2
3 1 1 1 3 9 6 13 0 0 1
y y y y y y y x
thỏa mãn
KL:
1;0
S Bài 12 Giải hệ phương trình:
x y
thay vào
1
ta được:
1 5 6 5 5 9 1 3
y y y y x
thỏa
mãn
KL:
3;1 ; 3;1
S Bài 13 Giải hệ phương trình:
2
2
ĐK:
2
1 1
1
1 1 0
x x
y
x y
Đặt:
2
Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm:
10;2 ; 10;2
S Bài 14
Giải hệ phương trình:
3 2
2 2
20 3 3 0
3 1
y y xy x y
x y y
.
Thế
2
vào
1
, ta được phương trình thuần nhất bậc 3
KL:
3 1 3 1
; ; ;
2 2 5 5
S
y
Ta có PT
2 2
2
3
3
0
1 3 3
6 6 0
y x
y x
y l
x y y x
y xy
x y
y x
y y y y y y y y l
y x
KL:
1;1 ; 2 2;2 2
S Bài 16 Giải hệ phương trình:
ĐK:
. 0
x y
Ta có PT
4 2 2 4
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1 0
x y
x x y y
x y x y
x y
x y x y
Với
x y
thay vào
2
, ta được:
1 1
y x
KL:
1;1 ; 1; 1
S
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com Bài 17 Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 2
Ta có PT
2 2
1 10 2 19 5 6 41 0
x x y y y
.
Tính
Δ
2
' 49 1 0 1
x
y y
thay vào
1
được
2
ĐK:
x y
Ta có PT
2 2
2 2
1
1 1 0
0
y x
x y x y x y
x y x y
1
y x
thay vào
thay vào hệ không thỏa
KL:
1;0 ; 0; 1
S
Bài 19 Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
3 3
2
2 2 2 2 2
3
3
8 3 1 3 1 1
4 3 1 2 1 12 1 4
y x y y
y y x y x
, ta có:
3 2 2
2
3 2 2
3 2 3 0
3 2 0
a a a b b
a b b
a a a b
thay vào
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
KL:
1 1 1 1
;1 ; ; 1 ; ;1 ; ; 1
2 2 2 2
S
ĐK:
0
y
Ta có PT
2 4 2 2 2
1 2 3 6 9 12 18 1 0
x y x x y x y y
Với
2
2
x y
1
1
2
x y
KL:
1
1;
2
S
ĐK:
0; 0
x y
Ta có PT
2
2 2
1 0 2
y x xy x y xy x y x y xy
thay vào
2
ta được:
KL: thay vào hệ ta có tập nghiệm:
3 5 3 5
;
2 2
S
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
ĐK:
1; 1
x y
Đặt:
1, 0
1, 0
a x a
b y b
1 0 1
5
1 2
x x
y
y
thỏa hệ phương trình
KL:
ĐK:
1
2 0
3 4 8
y
x y
x y
2 2 2
3 6
1 1 1 1 1 1
1 2 1 0 1
2 2 2
2 1 1 1
a a a a a a a
y y y
6
1
1 2 8
1
y x
y
Giải
Điều kiện:
1.
x
Đặt
1, 0.
t x t
Khi đó
2
1
x t
và hệ trở thành
2 2 2 2
(1 2 ) 2 0 2 2 0 ( ) 2 2 0
( ) 3 0 3 0 ( ) 3 3 0
t y y t y ty t y ty
y y t t y ty t t y ty
Với
,
y t
ta có
2
2 2 0 1.
t t
Suy ra
2, 1.
x y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Với
3
,
2
y t
ta có
2
3 3 3 13
2 2 0 4 6 1 0 .
2 2 4
t t t t t
Giải
Điều kiện:
2
1 0
x y
Phương trình (1)
2 2
( 2) ( 2) 3 2 ( ) 3
x x x y y y
Xét hàm số
2
( ) 3
f t t t t
Có
2
1
1 1 (tmdk)
2
3 13 10 0
10
3
x x
x x x
x x x x x x x x
x
x
x
x y
x x
x
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1). Bài 26 Giải hệ phương trình sau:
2
53 5 10 5 48 9 0
,
2 6 2 11 2 66
x x y y
x y
x y x x y x
Từ PT(1) ta có
5 10 3 10 5 9 3 9 , 3
x x y y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
10 9 10 9 1, 4
f x f y x y y x
Thay (4) vào (2) ta
được
2
7 10 2 66 0
x x x x
(5) ĐK:
7;10
x
Giải (5) ta được
2
9 9
7 4 1 10 2 63 0 9 7 0
7 4 1 10
1 1
x y
Giải
ĐK:
0 ; 1
x y
PT(1)
1
1
1 1 1 1 (1 )
yx
vì (*)
( ) (1 ) 1
f x f y x y
, thế vào pt(2) ta được :
2
1 5 2 2 6 2 2 5 6 8
x x x x x
2 2 2
1 1
5 6 1 5 6 ( 1)
2 2
x x x x x x x y
(tmđk)
vậy hệ pt có nghiệm là
1
2
1
2
x
y
Giải
Nhận xét
0,
y
nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được
3 2
(3 ) 7(3 ) 14(3 ) 8 0
xy xy xy
Từ đó tìm được hoặc 3
1
xy
hoặc 3
2
xy
hoặc 3
4
xy
Với 3
1,
xy
thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó
Giải
Phương trình
3 3
(1) 2(x y ) 4(2 x y)
Từ phương trình (2) thay
2 2
4 3
x y
vào phương trình trên và rút gọn ta được:
2 2 3
0
6 5 0
5
y
x y xy y x y
nghiệm
(x;y) ( 2;0)
TH2 :
x y y x
thay vào hệ ta được :
3
2
2 2
1
4 4
x x
x
x
2
2 . 2 . 0
(x; y R).
1. 1 3 . 1 3
y x x y
x y y x y x
Giải
ĐK:
2
1; 0
3 0
x y
2 4
2 2
2
0
4 2
x
y
x
y loai
x
với
2 4
2 2
2 2
(*)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Xét hàm số
2 2
( ) 1 1 1
f t t t t t t
, có
2
' 2
2
( ) 1 1 0 ( )
1
t
f t t f t
t
đồng
biến.
Vì PT (*)
2
1
2 2
1 2 2
2 1 2
x y x y
x y y y
Giải
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
2
2
2 1 1 2 4 2 2 2 2 2 0
2 0
x
x xy x y x x y x y x x y
x y
Giải
Điều kiện
0
y
2
2 2 2
2 2
1 1
1 4 1 4
( )
1 1
2 1 5 1 5
x y y y x x
y y
I
y x x y x
10 2
2 5 2 15 0
1 1
1 5 1 3
1 10 1 2
u v v u
u u
v v
u v u u
y x y x
hay
y y
x x
Vậy hệ có các nghiệm (1;1) và (1; 1/2 ).
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Bài 33 Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
3 2
1
1
4
22
+ y
2
- 1
0.
Đặt u = x
2
+ y
2
- 1 và v =
x
y
Hệ phương trình (I) trở thành
3 2
1
21 4
u v
u v
hoặc
7
7
2
u
v
+ Với
9
3
u
v
Với
7
7
2
u
v
2
14
53
Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1),
2 2
14 ;4
53 53
(I) .
Điều kiện:
1 0 1
0 0
x x
y y
2
3
1 1 1
x x x
3 2
1 2 2
x x x x
(1)
Ta thấy hàm số
( ) 1
f x x
là hàm đồng biến trên
1;
Xét hàm số
3 2
( ) 2 2
g x x x x
. Miền xác định:
(II). Điều kiện:
0
0
x
y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Ta có (II)
2
1;D
Đạo hàm:
/
2
3
( ) 1 0
2
3
t
f t x D
t
t
. Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Từ (*) ta có
( ) ( )
f x f y x y
Lúc đó:
2
3 3
x x
ĐK :
1 1
x
Từ (1) ta có :
3
2. 2( 1) 1 2 1 3 1
y x x x x y
(thêm vào vế trái
2 1
x
)
3 3
2 2( 1 ) 1
y y x x
5
57
4 3 (3 1) (2)
25
x y
x x y x
Giải
ĐK:
,
x y R
Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có:
Hệ phương trình
15 5 5 12 15 5 17
x y x y
x y
x y x y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Với
15 5 7
x y
kết hợp với (1) ta có hệ phương trình:
2 2
15 5 7
1
5
x y
x y
1
5
x
y x
y
y x
y x
x
x y
x x
x
x
y
2
2 2
2
5 17 15
5 17 15
5 7 15
25 25 5
25 17 15 5
y x
y x
y x
x
x y
x x
.
Bài 38 Giải hệ phương trình:
3 2 1 (1)
0 (2)
x y x y
x y x y
Giải
2 2
2 2
y x x y
x y x y
x y y x
x y y x
2
4 1
1
3
9 11 2 0
y x
x
x x
1
2 2 2 2
3 3
2 2 2 3 (1)
2 2 (2)
x y y x
x y y x
Giải
ĐK:
2 2
2 0
x y
Đặt :
2 2
2 ( 0)
t x y t
2 2
x y
x y y x
2 2
3 3 2 2
2 1
2 2 2
x y
x y y x x y
y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Hệ phương trình tương đương
2
3
2 1
5 0
x
x
( vô lí )
Vậy cặp ( x , 0) không là nghiệm của hệ
TH2 : Chia hai vế ( 3 ) cho
3
y
ta có hệ phương trình tương đương
2 2
2 1
1
x y
x
y
1
1
x y
x y
y
x y
Giải
Điều kiện:
0
x y
Hệ phương trình biến đổi tương đương
Đặt
1
a x y
b x y
x y
Ta có hệ tương đương
2 2
9
2 2 0
8
2
2
5 25
2
4 8
5
4
b b
a b
Vậy hệ có nghiệm
7 3 13 3
; ; , ;
8 8 8 8
x y
Giải
Hệ phương trình tương đương
2 2
2
2 2
1 25 1
1 1 10 1 0
x y x y y
x y x y y y
x y x y
y
x y
x y
y
Đặt
2 2
1
2 2
5
5 1
5
1 10
a
x y y
b
x y
4 1 0
x x y y y
x y x y y xy
Giải
Nhận xét
0
y
không là nghiệm hệ phương trình
Chia hai vế phương trình một cho
2
y
và hai
3
y
Đặt
1
a x
y
x
b
y
Hệ phương trình biến đổi tương đương ta có :
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
1
1
x
y
Giải
Hệ phương trinh tương đương:
2 2
5
4
5 5 5
x y
x y x y
x y
x y
y x
2 2
2 2
5
4
1
5
x y
x y x y
x y y x
x y
khi đó ta có
4
1 1
1
a b
a b
4 2
4 2
a b a
ab b
3 2 3 1
5
3 2 2 2
2
x y x y
x
y xy y
Giải
Điều kiện ta có
2
; 3; 3
Với
6 9
x y
3
x
6 9 3 1
y y
Suy ra phương trình vô nghiệm
Với
2 1
x y
thay vào phương trình ( 2 ) ta có
2
3 2 2 2 3 2
y y y y
Vì
2 2 7
;2 1
3
3 2 2 2
y
y y
Vậy hệ có nghiệm ( 3 ;2 )
Bài 45 Giải hệ phương trình:
2
2 7 10 3 1 1
3
1 2
1
y y x y y x
y x y
x
2 7 10 3 1 1
1 1 3 2 1
y y x y x y
x y x y x
2
2
2
2
2 7 10 3 1 2 1 2 7
1 1 1 2 3
y y x y x x x y
x y x x y
Phương trình ( *) tương đương
2 2
2 4 2 3 3 0
y y xy x x
1 0
2 2 0
x y
x y
Giải
Lấy ( 1 ) – ( 2 )
Ta có
2 2
3 2 2 4 2 2 1
x x x y y y
2 2
( 1) ( 1) 2 4 2 2 1
x x x y y y
Xét hàm số :
2
( ) 1
f t t t t
1
'( ) 2 1
f t
là hàm đồng biến
Suy ra
1 2
x y
Thay
2 1
x y
vào phương trình ( 2 ) ta có
2
2
2 1 2 2 2 1 2 0
y y y y
2
1 1
6 7 1 0
1 2
6 3
y x
y y
Bài 47 Giải hệ phương trình:
3
3 2 2 2 1 0
2 2 2 5
x x y y
x y
Giải
Điều kiện
2
' 3 1 0
f t t
sauy ra hàm số
f t
đơn điệu tăng .
Từ đó suy ra
2 2 1 2 2 1
f x f y x y
3 2
x y
thay vào phương trình (2)
Ta có
3
5 2 2 2 5
y y
( * )
1; 2
3 65 23 65
;
4 8
65 3 23 65
;
4 4
u v
u v
u v
Vậy hệ có nghiệm
23 65 185 233 23 65 23 65 185 233 23 65
1;2 , ; , ;
16 32 16 32
S
Copyright: Tài liệu đại học ©