Trang 1TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
17 QUANG TRUNG
Chủ đề 1
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Phần I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Các hằng đẳng thức
1)
2
2 2
a b a 2a.b b
2)
2
a b a 2 ab b
a,b 0
3)
a b a b . a b
a,b 0
7)
3
3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b
8)
3
3 2 2 3
a – b a – 3a b 3ab – b
9)
3 3 2 2
3 3
a a b b a b a b a ab b
a,b 0
13)
2
2 2 2
a b c a b c 2ab 2bc 2ca
14)
2
( a b c) a b c 2 ab 2 bc 2 ca
a,b,c 0
15)
2
d)
5. 125
e)
9
169
f)
12,5
0,5
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau
A 4 2 3
B 13 160 53 4 90
C 3 5 3 5
D 2 5 125 80 605
E 15 216 33 12 6
Bài 3. Tính các giá trị sau
a)
10 2 10 8
5 2 1 5
b)
2 3( 5 2)
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau
15 12 1
A
5 2 2 3
8 32 18
B 6 5 14
9 25 49
15 5 5 2 5
C
3 1 2 5 4
2 3 6 8 16
D
2 3 2
E (4 15)( 10 6) 4 15
2
x 4 16 8x x
(với x > 4)
e)
2
3(a 3)
(với
a 3
) f)
2 2
b (b 1)
(với b < 0)
Trang 4Bài 2. Rút gọn biểu thức
A=
(x y y x)( x y)
x y
(với x>0 và y>0)
B=
x 1 2 x 2 5 x
x 2 x 2 4 x
A :
a 1 a a 2 a 1
a) Tìm điều kiện để A xác định. b) Rút gọn A.
Bài 5. Cho biểu thức
3
3
2x 1 x x 1
B : x
x x 1 1 x
x 1
)
a a b b a b b a a b
B :
a b a b a b
(với
a;b 0;a b
)
2
1
x x
4
C
2x 1
(với
1
x
2
)
Bài 2. Cho biểu thức
1 1
B
1 x 1 x
.
Tính giá trị của biểu thức khi x = 4.
Bài 3. Cho biểu thức
2
1 1
C 1 a : 1
1 a
1 a
.
Tính giá trị của biểu thức C tại a = 1 và a =
3
2 3
.
Bài 6. Cho biểu thức A=
2
15a 8a 15 16
a. Rút gọn A.
b. Tính giá trị của A khi
3 5
a
5 3
Dạng 4: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.
Bài 1. Cho biểu thức:
2
A 4x 4x 12x 9
.
Tính giá trị của x, biết
A 15
Bài 2. Cho biểu thức
a a a a a
B :
b a
a b a b a b 2 ab
a) Tìm a biết
D 1
b) Tìm a biết
D 4
Bài 5. Cho biểu thức
3 3
a b a b
A
a b a b ab
a) Tìm điều kiện của a, b để A xác định.
b) Rút gọn A.
c) Tìm điều kiện của a, b để
A 0
Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên
a) Rút gọn B với
a 0,b 0,a b
.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
Bài 3. Cho biểu thức
a 2 1 a 3a 3 9a
C
1 a 2 a a a 2
Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức C đạt giá trị nguyên.
Bài 4. Cho biểu thức
x 2 x 1 x 5 x 12
A
9 x
x 3 x 3
a) Tìm điều kiện để A xác định.
b) Rút gọn A.
(với
x 0,x 9
)
Trang 7
a) Rút gọn A.
b) Tìm x sao cho
A 1
Bài 3. Cho biểu thức
1 1 a 1 a 2
A :
a 1 a a 2 a 1
a) Tìm điều kiện xác định của A.
b) Rút gọn A.
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng nếu
0 x 1
thì
A 0
c) Tính giá trị lớn nhất của A.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Cho biểu thức A =
2
x x 2x x 2(x 1) 1
.
x x 1 x x 1 x x 1
(với
1 x 1
)
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm x để
P 1
Trang 8
Bài 3. Cho biểu thức
x x 1 x 1
A
x 1
x 1
P
x 1
x x 1 x x 1
a. Rút gọn P.
b. Chứng minh
1
P
3
với
0 x 1
Bài 6. Cho biểu thức M=
x x 1 x x 1 1 x
:
x x x x x x
a. Rút gọn M.
0 n 1
)
a. Rút gọn biểu thức N.
b. Tìm n nguyên để N nguyên. Trang 9
Chủ đề 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Phần I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.
ax by c
a'x b'y c'
(a,b,c,a',b',c' 0)
a)
2x y 7
4x 3y 4
b)
17x 4y 2
13x 2y 1
c)
12x 5y 9
120x 30y 34
d)
2x y 2
5x 3y 5 2
g)
3.x 1 2 y 1
1 2 x 3.y 1
k)
3x 2 2y 7
2x 3 3y 2 6
Trang 10
Bài 2. Giải các hệ phương trình.
4 9
1
2x 1 y 1
3 2 13
2x 1 y 1 6
d)
2 1
1
y y
1 2
8
x y
Giải và biện luận hệ theo m.
Bài giải
Ta có
mx y 2 (2 m)x 3 (1)
2x y 1 2x y 1 (2)
Xét phương trình
1 : 2 m x 3
Nếu
2 m 0 m 2
thì phương trình (1) có dạng
0.x 3
4 m
y
2 m
Dạng 4: Tìm giá trị tham số khi biết dấu các nghiệm của hệ phương trình
Bài 1. Cho hệ phương trình
x 2y 5
mx y 3
Tìm m để
x 0, y 0
Trang 11
Bài 2. Cho hệ phương trình
2
2
x my m m 1
mx 3y m 4m
Thay
0 0
x x ; y y
lần lượt vào (1) giải.
Thay
0 0
x x ; y y
lần lượt vào (2) giải.
Ví dụ 1 Cho hệ phương trình:
2
3x 2y 7 (1)
(5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2)
Tìm n để hệ có nghiệm
x;y 1; 2
vào (2) ta có
2
(5n 1) 2(n 2) n 4n 3
2
n 0
7n 3 n 4n 3 n(n 11) 0
n 11
Vậy
n 0
hoặc
n 11
thì hệ đã cho có nghiệm
x;y 1; 2
2 2 2
5m 5m m 1 4m 4m m 1 m 1
Thay
x 1; y 3
vào (2)
Trang 12
ta có
2
m 0
4m 6 m 3m 6 m(m 1) 0
m 1
Vậy
m 1
thì hệ có nghiệm
x 1;y 3.
Sau đó giải phương trình chứa ẩn là tham số.
Ví dụ Cho hệ phương trình
2mx (n 2)y 9
(m 3)x 2ny 5
Tìm m; n để hệ có nghiệm
x 3;y 1
Bài giải
Thay
x 3;y 1
vào hệ phương trình ta có:
6m (n 2)( 1) 9 3m 2n 4 m 2
3(m 3) 2n( 1) 5 12m 2n 14 n 5
là nghiệm của hệ và thoã mãn (3)
Suy ra
x;y
là nghiệm của
1 , 2 , 3
Kết hợp 2 phương trình đơn giản nhất.
Tìm nghiệm thay vào phương trình còn lại. Giải pt chứa ẩn là tham số.
Ví dụ 1 Cho hệ phương trình
3x 2y 8 (1)
3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2)
Tìm m để hệ có nghiệm
x;y
thoã mãn
vào (2) ta được:
2 2
6m (m 5) m 1 m 5m 4 0
m 1
m 4
(thoả mãn)
Vậy với
m 1
hoặc
m 4
thì hệ có nghiệm thoả mãn
4x 2y 6.
Ví dụ 2 Cho hệ phương trình
mx y 5 (1)
2mx 3y 6 (2)
(
m 0
)
Thay
9
x
m
vào
y 5 – mx
ta có
y 5 9 4.
Vậy với
m 0
hệ có nghiệm
9
x
m
và
y 4
(thoả mãn)
Vậy với
m 1
hoặc
9
m
5
thì hệ có nghiệm duy nhất thoã mãn (3).
Dạng 7: Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm nguyên
Chú ý
a
m U(a)
m
(
a,m
)
a
m
và
b
m
m 2 x 2 mx –1 5
7
3mx 2x 7 x(3m 2) 7 x
3m 2
(
2
m
3
)
Thay vào
7 4m 2
y mx –1 y .m 1 y
3m 2 3m 2
(3)
Để
7
x 3m 2 U(7) 1; 7
3m 2
vào (3) ta có
y 6
(nhận).
Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì
m 3
hoặc
m 1
Ví dụ 2 Cho hệ phương trình
(m 3)x y 2 (1)
mx 2y 8 (2)
Tìm
m
để hệ có nghiệm nguyên.
Bài giải
Từ (1) ta có
y 2 – m –3 x y 2 mx 3x
4
x 6 m U(4) 1; 2; 4
6 m
+ Với
6 – m 1 m 5
thay vào (3) ta có
y 6
(nhận)
+ Với
6 – m 1 m 7
thay vào (3) ta có
y 18
(nhận)
+ Với
6 – m 2 m 4
thay vào (3) ta có
y 0
(nhận)
Trang 15
2x my m 2m 2 (2)
a. CMR hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b. Tìm m để biểu thức
2
x 3y 4
nhận giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
Bài giải
a. Ta có
2
m.m ( 2).1 m 2 0 m
. Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy
nhất với mọi m.
b. Rút y từ (1) ta có
2
y mx – m 3
Thế vào (2) ta được
vào
2
x 3y 4
ta được
2 2 2
5 25 5
(m 1) 3m 4 m 5m 5 m 2. .m
2 4 4
2
5 5 5
m
2 4 4
. Do
2
5
m 0
2
2 2
A 2y +x
nhận GTLN. Tìm giá trị đó.
Bài giải
Từ (1) ta có
2
y 3mx – 6m m 2
.
Trang 16
Thay vào (2) ta có:
2 2
5x m 3mx – 6m +m+2 m +12m
2 3 2
x(5 3m ) 6m 10m 2m(5 3m )
x m 1
Thay
x 2m
vào
Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ giữa x; y không phụ thuộc vào tham số
Ví dụ Cho hệ phương trình
2mx 3y 5 (1)
x 3my 4 (2)
a. CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất.
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài giải
a. Ta có
2
2m.3m – 3. 1 6m 3 0 m
Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m
b. Rút m từ (1) ta được
5 3y
m
2x
thay vào (2) ta có:
2 2
Bài 1. Cho hệ phương trình
2
2x 3y 7
3mx (m 3)y m 6m 3
Tìm m để hệ có nghiệm
x;y 2;1
Trang 17
Bài2. Giải hệ phương trình:
2 1 1
2
m 1 n
1 2 1
1
m 1 n
2
3x 2y 8
mx (3m 1)y m 1
Tìm m để hệ có nghiệm
x;y
thoả mãn
4x – 2y 6.
Bài 5. Cho hệ phương trình
x my 3
2x 3my 5
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoã mãn
2
x 0, y 0
Bài 8. Cho hệ phương trình:
(m 1)x 2y 5
mx y 1
a. Giải hệ phương trình với
m 2
b. Tìm
m
để hệ có nghiệm nguyên.
Bài 9. Cho hệ phương trình
(m 3)x y 2
mx 2y 5
I. Định nghĩa
II. Phân loại
1. Phương trình khuyết c có dạng
2
ax bx 0 (a,b 0)
Phương pháp giải:
2
x 0
ax bx 0 x(ax b) 0
b
x
a
2. Phương trình khuyết b có dạng
2
ax c 0 (a,c 0)
Phương pháp giải:
2 2
c
b 4ac
0
thì phương trình vô nghiệm.
0
thì phương trình có nghiệm kép:
1 2
b
x x
2a
0
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1 2
b b
x ;x
2a 2a
Phần II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải phương trình khi biết giá trị của tham số.
Bài 1. Giải phương trình
0
hoặc
' 0
- Để phương trình có nghiệm kép thì
0
hoặc
' 0
- Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
0
hoặc
' 0
Tổng quát: Để chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Cách 1: Chứng minh
a.c 0
Cách 2: Chứng minh
0
a 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi
11
m 3
3
Bài 3. Cho phương trình
2
x 2(m 3)x 2m 6 0
Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Bài giải
Xét
2 2
' (m 3) (2m 6) m 4m 3
Để phương trình có nghiệm kép thì
1
2
2
m 1
' 0 m 4m 3 0
m 3
Vậy phương trìng có nghiệm kép khi
m 53.
Trang 20
Dạng 3: Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bài 1. Cho phương trình
2 2
7x (3m 1)x m 1 0
CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Bài giải
Ta có
2 2
a.c 5. m –1 5 m 1 0 m
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 2. Cho phương trình
2
x 2(m 3)x 2m 4 0
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai
2
ax bx c 0
Phương pháp giải
Nếu
a 0
thì phương trình trở thành
bx cy 0
- Nếu
b 0
thì phương trình có nghiệm
c
x
b
- Nếu b = 0 và
c 0
thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
Trang 211
b b' '
x
2a a
và
2
b b' '
x
2a a
Bài 1. Giải và biện luận phương trình
2
(m 2)x 2(m 1)x m 0
Bài 2. Giải và biện luận phương trình
2
(m 3)x 2mx m 6 0
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Giải các phương trình sau
a)
Bài 6. Cho phương trình
2 2
(5m 1)x (31m 13)x 6 0
CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 7. Cho phương trình
2
x 2(m 4)x 6m 1 0
CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 8. Xác định m để 2 phương trình
2
x mx 2 0
và
2
x 2x m 0
có nghiệm chung.
; V
ngược
= V
thực
+ V
nước
.
BÀI TẬP
Bài 1. Hai người đi trên hai con đường vuông góc với nhau và xuất phát cùng một lúc
từ cùng một điểm, sau 3 giờ họ cách nhau 15km. Tìm vận tốc và quãng đường biết rằng
nếu hai người đó cùng xuất phát từ một điểm và đi ngược chiều nhau thì mỗi giờ họ
cách nhau 7km.
Bài 2. Một người dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu
người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB giảm đi 1giờ
Nếu người đó giảm vận tốc đi 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB tăng 2giờ so
với dự định. Hỏi người đó đi với vận tốc và thời gian dự định bao nhiêu?
Bài giải
- Gọi vận tốc mà người đó dự định đi là
x km / h x 0
- Gọi thời gian mà người đó dự định đi là
. Điều kiện:
0 a 9;0 b 9
,a,b
abc 100a 10b c
. Điều kiện:
0 a 9;0 b,c 9
,a,b,c
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng nếu viết chữ số 1 vào giữa hai chữ số
ta được số mới có 3 chữ số lớn hơn số đã cho là 280. Nếu đổi chỗ hai chữ số đã cho ta
được số mới lớn hơn số đó 18 đơn vị.
Bài giải
- Gọi số cần tìm là:
ab 10a b
. Điều kiện:
0 a 9;0 b 9
, a,b
(2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
b a 4 a 3
7a 2b 7 b 7
Vậy số cần tìm là 37.
Dạng 3: Toán làm chung làm riêng
Cần nhớ
Qui ước: Cả công việc là 1 đơn vị.
Tìm trong một đơn vị thời gian đối tượng tham gia bài toán thực hiện được bao
nhiêu phần công việc.
Phần công việc bằng 1/thời gian.
Trang 24
BÀI TẬP
Bài 1. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 8giờ thì xong. Nếu người thứ nhất
làm trong 6giờ sau đó dừng lại và người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hoàn
thành công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong việc?
Bài giải
Cách 1
- Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình thì xong việc là: x (giờ) (x >0)
- Gọi thời gian người thứ hai làm một mình thì xong công việc là y (giờ) (y >0)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
1 1 1
x y 8
6 9
1
x y
Đặt
1
a
x
;
1
b
y
,ta được
1
1
a
- Gọi số phần công việc người thứ nhất làm trong một giờ là
x x 0
- Số phần công việc người thứ hai làm trong một giờ là
y y 0
- Do hai người làm chung trong 8 giờ thì xong việc nên ta có:
Trang 25
1
x y 8x 8y 1
8
(1)
- Do người thứ nhất làm trong 6 giờ và người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ thì xong
công việc nên ta có phương trình:
6x 9y 1
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
1
x
8x 8y 1
. Nếu ta giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích
sẽ tăng thêm 18m
2
. Tìm kích thước hình chữ nhật.
Bài giải
- Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là
x m x 0
- Chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là
y m y 0
- Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là
2
x.y m
- Do khi tăng chiều dài, chiều rộng thêm 4m thì diện tích tăng 88m
2
nên ta có pt
Copyright: Tài liệu đại học ©