THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
1

Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn
PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

 
n
k n k k
n
k
n
0
a b C a b


 

,
n


.
2. Tam giác Pa-xcan
Từ công thức ta thấy
k
n
C
là hệ số của
n k k

n
a b
 ,
+) cột
k
là hệ số của lũy thừa
n k k
a b

,
ta được một tam giác. Tam giác này được gọi là tam giác Pascal.
0
0
0 1
1 1
0 1 2
2 2 2
0 1 2 3
3 3 3 3
0 k k 1 n
n n n 0
0 k k 1 n n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
C
C C
C C C
C C C C
C C C C
C C C C C


1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
.
Vậy
 
5
5 4 3 2 2 5 4 5
a b a 5a b 10a b 10a b 5ab a
      
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
3

PHẦN 2. CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Loại 1. Các đẳng thức suy ra trực tiếp từ công thức khai triển nhị
thức Niu-tơn
A. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Với
n
là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau.
1)
0 1 2 n
1 n n n n
S C C C C
     ,
2)
 

 
        
 
 
.
Nhận xét: Kết quả ở câu 1) nhận được từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn khi cho
a b 1
 
. Kết quả ở câu 2) nhận được khi cho
a 1

,
b 1
 
.
Ví dụ 2. Rút gọn
 
1 1 1 1
S
0!2012! 1!2011! k! n k ! 2012!0!
    

  .
Giải
Ta có
 
2012
k 0
1
S

k 2012 k k
n
k 0
C 1 1





 
2012
2012
1 1 2   .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
4



2012
2
S
2012!
 .
Ví dụ 3. Với
n
là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau:
0 2 4 2n
1 2n 2n 2n 2n
S C C C C
     ,

S S 1 C C 1 1 1 1 0 0

 
 
         
 
 
.


1 2
S S

.


2

Từ


1
,


2
suy ra
2n
2n 1
2

2n 2n
k 0 k 0
2S C C 1 1 1 1 2

 
    
 



2n
2n 1
2
2
S 2

  .
Ví dụ 5. Với
n
là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau:
1)
 
n
0 1 2 2 n n
1 n n n n
S C 2C 2 C 1 2 C
      .
2)
 
2

 
   
 
 
 
n
n k n n
n
k n
k
5 5
1 1
2 n
3 3 3 3
k 0
S C 2 2 1


 
        
 

.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
6

B. Bài tập
Bài 1. Giải phương trình
x 1 x 2 x 3 x 8 x 9 x 10
x x x x x x

    .
Bài 5. Rút gọn
1)
n 0 n 2 2 n 4 4 n
n n n n
S 2 C 2 C 2 C C
 
     (
n
là số nguyên dương chẵn).
2)
n 1 n 3 n 3
n n
3 n
n
5
n
1
S 2 C 2 C 2 C C
  
    (
n
là số nguyên dương lẻ).

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
7



   , … .
*
 
 
     
k 1
k
C
n 1 !
C
n!
n 1 1 n 1
k 1 k 1 n 1 n 1
k! n k !
k 1 ! n 1 k 1 !
.



   

 
   
 
  
.
Tương tự ta cũng có
     
k 2

n 2 n 3 n 4
3 3 3
S C C C 1 n 1 nC
  
       .
Giải
1)
 
n
k
2
k
1 n
k 1
k 0
S C





.
Với mọi
k 0

,
1
,
2
, …,


 
n
k
k 1
1
n 1
n 1
k 0
2 C







 
n 1
h 1
h
1
n 1
n 1
h 1
2 C



 
n 1
h
h n 1 h
1
n 1
n 1
h 0
C 1 2 1

 



 
 
 
  
 
 
 
 
 


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
8



 .
2)
   
n
k
1 k k 1
k
2 n
n k
3
k 2
S C
 




.
Với mọi
k 2

,
3
,
4
, …,
n
ta có:
   
 



     .
2) [ĐHB2003]
2 2 2
0 1 2 n
2 1 2 1 2 1
n n n n
2 3 n 1
C C C C
  

   .
Bài 7. Với
n
là số nguyên dương, rút gọn
1)
 
1 2 n 1 n
n n n n
S C 2C n 1 C nC

     .
2)
 
n 1 n
n n n n
0 1
S C 2C nC n 1 C


n n n
n
C C C
S 2 C 2 2
2 3 n 1
 
   

.
Bài 8. Chứng minh
1)
0 2001 1 2000 k 2001 k 2001 0 2002
2002 2002 2002 2001 2002 2002 k 2002 1
C C C C C C C C 1001.2


     .
2)
1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n 1
n n n n
C 3 2C 3 3C 3 nC n4
   
     (
n
nguyên dương).
3)
 
2n 2n 2n 2n 2n
0 1 2 3 2n
3 4 .C 2C C C


    
 
(
n
nguyên dương).
Bài 9. [ĐHA05] Tìm số nguyên dương
n
sao cho
 
1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
C 2.2C 3.2 C 4.2 C 2n 1 .2 C 2005

    
       . ĐS:
1002
.
THS. PHM HNG PHONG GV TRNG HXD D: 0983 0707 44 WEBSITE: violet.vn/phphong84
10

Loi 3. Cỏc bi toỏn v h s ca ly tha trong khai trin
A. Mt s vớ d
Vớ d 1. [HD04] Tỡm s hng khụng cha
x
trong khai trin
7




.

h s ca
28 7k
12
x

trong khai trin l
k
7
C
.
Ta cú
28 7k
12

n
2
nx 1
14 x

,
x 0

.
Gii
* Ta cú
n 1 3
n n
5C C









n n 1 n 2
6
5n


n 7
n 4






.
*
n 7
7 k
7 k
k
7 7
7 k
1 C2 2
k 3k 7
x 1 x 1 7
7
2 x 2 x k
2
k 0 k 0
C x

1 C
7
k
2


.
Ta
3k 7 5

k 4



h s ca
5
x
trong khai trin l

3
4
1 C
35
7
4 16
2


là tổng các hệ số của
5
x
trong các khai triển
 
5
1
P x 1 2x
  và
 
10
2
2
P x 1 3x
  .

Hệ số của
5
x
trong khai triển
1
P
là hệ số của
4
x
trong khai triển
 
5
1 2x
 .


hệ số của
4
x
trong khai triển này là
 
4
4
5
2 C 80
 



1
.
   
 
10 10
10 k
k 5 k k k k
5 10
k 0 k 0
1 3x C 1 3x 3 C x

 
 
  
 
 

 
.
Ví dụ 4. [ĐHA04] Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của
 
8
2
1 x 1 x
 
 
 
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
12

Giải
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có
     
8 8
k 8 k k
8 8
k 0
8 k
k
2 2 2k
k 0
1 x 1 x x 1 x x 1 xC 1 C


x
. Do đó muốn trong khai triển
k
P
có chứa
8
x
thì
2k 8 3k
 



8
3
k 4
 





k 3;4
 .
+)
 


3
2 3 6 76

hệ số của
8
x
trong khai triển
4
P
là
1
.
Vậy hệ số của
8
x
trong khai triển ban đầu là
3 4
8 8
3C C 238
  .
Ví dụ 5. Tìm lũy thừa có hệ số lớn nhất của đa thức
 
9
3x 2
 .
Giải
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có
   
 
9 9
9 k
k 9 k k 9 k k k
9 9

k
T


.
Ta có
   
   
 
k 1 8 k k 1
3 .2 .C
k! 9 k ! 3 9 k
9 3 9!
k 9 k k 2 9!
k 1 ! 8 k ! 2 k 1
3 .2 .C
9
T . .
  
 

  
   .
T 1







5
x
và
6
x
.
Ví dụ 6. Tìm
n
để đa thức
 
n
x 2
 chỉ có một lũy thừa hệ có hệ số lớn nhất là
10
x
.
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
13

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có
 
   
n n
n
k k n k n k k k
n n
k 0 k 0
x 2 C x 2 2 C x
 

Ta có
   
 
 
n k 1 k 1
k! n k !
2 C
n!
n 1 n k
k
n k k 2 n!
k 1 ! n k 1 ! 2 k 1
2 C
n
T . .
  



   
   .
Lũy thừa có hệ số cao nhất là
10
x
nên
9 10 11
a a a
 





n 9
20
n 10
22
1
1












n 29
n 32









Bài 1. [CĐAB08] Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
18
5
1
2x
x
 

 
 
, với
x 0

.
Bài 2. [ĐHB07] Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong đa thức
 
n
2 x
 , biết
 
n
n 0 n 1 1 n 2
n
2 n
n n n

n
7
4
1
x
x
 

 
 
, biết rằng
1 2 n 20
2n 1 2n 1 2n 1
C C C 2 1
  
   
.
Bài 5. Tìm hệ số của
15
x
trong đa thức
       
2 3 20
1 x 2 1 x 3 1 x 20 1 x
        .
Bài 6. [ĐHA08] Giả sử
 
n
2 n
0 1 2 n


trong khai triển thành đa thức của


 
n
2
n
x 1 x 2
  . Tìm
n
để
3n 3
a 26n

 .
Bài 8. Tìm số nguyên dương bé nhất
n
sao cho trong đa thức
 
n
1 x
 có hai lũy thừa liên tiếp
có tỷ số các hệ số bằng
7
5
.
Bài 9. Khai triển biểu thức
 
n

8
a
.
Bài 7
5
. Bài 8
21
. Bài 9
672
.