TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 02 tháng 04 năm 2010
BTVN NGÀY 02-04
Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
Bài 1 : Tìm hệ số của x
3
trong khai triển:

2
2
n
x
x
 
+
 ÷
 
. Biết n thõa mãn:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
n
n n n
C C C
−
+ + + =
Bài 2 : Cho
0 1 2 2
2 2 2 6561
n n

2008
trong khai triển Newton của đa thức:

( )
( )
670
670
2
( ) 2 1f x x x
= − +
Bài 5 : Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển:
( )
2
( ) 1 2 3
n
f x x x
= + +

Biết rằng n là số tự nhiên thõa mãn đẳng thức:

2 2 2 3 3 3
. 2 . . 100
n n
n n n n n n
C C C C C C
− −
+ + =
………………….Hết…………………

+ + + =
Giải:

( )
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 2 1 2 1 2 1
2 2
2
1 2 1 2 1 23
2 2
(1 ) . . . .
(1 ) . . . .
ó :
(1 ) (1 ) 2
2
1 2 2 2
2
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n
n n
n
n n
n n
x C C x C x C x C x

k k k k k
k k
n n
x C x C x
x x
k k HS x l C
−
− −
= =
− = ⇒ =
   
⇒ + = =
 ÷  ÷
   
⇒ − = ⇒ = ⇒ =
∑ ∑
Bài 2 : Cho
0 1 2 2
2 2 2 6561
n n
n n n n
C C C C
+ + + =
.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
7
và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển:

2
3

3
3 . ( 1) 3
3 8 7 5 à : 3 1512
ác ( 3)
n n n n n
n n n n n
n n n
n n n n
k
k k k k k k k
k k
k k
k
Ta c x C C x C x C x C x
khi x C C C C n
x C x x C x
x
k k HS x l C
c HS C
− −
−
− − −
= =
−
=
+ = + + + + +
= ⇒ = + + + = ⇒ =
 
⇒ − = − = −
 ÷

k k k k k k k
k k
y y
Ta c x C x C x y
x x
Do SM x SM y k k k
−
− − − −
= =
 
− = − = −
 ÷
 
= ⇒ − = − ⇔ =
∑ ∑
=> Số hạn cần tìm là:

14
28
C
Bài 4 : Tìm hệ số của x
2008
trong khai triển Newton của đa thức:

( )
( )
670
670
2
( ) 2 1f x x x

2 2 0 1 1 2 3 2 4 2
0 1 2 2
3 1 1 3 2 667 2
3 3 670
( ) 2 1
2 2 ( 2) ( 2) ( 2) .
1
( 2) . 2 2.670 49005140
n
n
n n
n n n n n
n n n n
n
n n
n n n n
n n n n n
n n n n n n
f x x x
x x C C x C x C x
x C C x C x C x
a C C C C C n C
− −
− − − −
−
= − +
− = − + = − + − + − + +
+ = + + + +
⇒ = + − = − = − =
Bài 5 : Tìm hệ số của số hạng chứa x

4
0
4
4 8 2
4
0 0
(*) 2 . 100 100
( 1) ( 1)( 2)
10 10 60 0 4
2 6
( ) 1 2 3 3 . 1 2
.3 . . (2 ) .
n n n n n n
n n
k
k
k
k
k k k m m
k
k m
C C C C C C
n n n n n
C C n n n
f x x x C x x
C x x C
=
− −
= =
⇔ + + = ⇔ + =

k
k m
m k k m
C C x k k
m k m k
m k k m
m k
k k m
k
m k k m
HS C C C C C C
− − +
= =
− + = − =
 
 
= ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
 
 
≤ ≤ ≤ ≤
 
= − = =
 
= −



⇒ ≤ ≤ ⇔ ⇒ = =
 


+ + =

Giải:
Xét khai triển:
( )
2 1
0 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 .2 .2 . .2. .
n
n n n n n n
n n n n
x C C x C x C x
+
+ + +
+ + + +
− = − + + −
Đạo hàm 2 vế:

( )
( )
2 1
0 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2
1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1
2 .2 .2 . .2. .

n
− +
+
+ + =
⇒ =
Page 5 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Bài 2 : Tính tổng:

0 1 2
1 1 1 1
1 2 3 1
1. 2. 3. ( 1).

n
n n n n
n
C C C n C
S
A A A A
+
+
= + + + +
Với:
0 1 2
211
n n n
C C C

A A
k
S C C C C
n n
M C C C n n n
n S
=
+ +
+ + +
= = =
+
⇒ = + + + + = + =
−
= + + ⇔ + + = ⇔ + − =
⇔ = ⇒ =
∑
Bài 3 : Chứng minh hệ thức:

2 3 4 2
2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2
n n
n n n n
C C C n n C n n
−
+ + + + − = −
Giải:
0 1 2 2 1 1
ó : (1 ) . . . .
n n n n n
n n n n n

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Bài 4 : Tính tổng:

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3
2 3
n
n n n n
S C C C n C
= + + + +
Giải:

2
ó :(1 ) .(1 ) (1 )
n n n
Ta c x x x
+ + = +
Đạo hàm 2 vế ta có:

2
2 (1 ) '.(1 ) (1 ) '
n n n
x x x
   
+ + = +
   
1 2 1 2 1



 
+ = + + + − +

 

⇒ ⇒
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2 3
1
2
2 2 2 2
1 2 3
2
2 3
à (3) : à:
2 3
n
n n n n
n n
n
n n
n n n n n
C C n C
M qua HS x l nC
S C C C n C nC
−