GS. Nguyễn Tiến Dũng
Các bài giảng về toán
cho Mirella
�
Quyển I
i
Ảnh bìa: Tranh do Mirella vẽ, 06/2012
Về tác giả: GS. Nguyễn Tiến Dũng tốt nghiệp Đại học Quốc gia Moskva
mang tên Lomonosov (Liên Bang Nga) năm 1991, bảo vệ luận án tiến sĩ về
toán năm 1994 ở Đại học Strasbourg (Cộng hòa Pháp), trở thành nghiên
cứu viên của Trung tâm Nghiên cứu Khoa học Quốc gia Pháp (CNRS) vào
năm 1995, và được bổ nhiệm làm giáo sư tại Đại học Toulouse (Cộng hòa
Pháp) vào năm 2002. Ông là một chuyên gia trong các lĩnh vực hình học
vi phân, hệ động lực, và toán tài chính.
Tác giả cảm ơn và thân tặng
Nguyễn Sương Thu
bản e -book này
Toulouse
Ngày 28 tháng 10 năm 2012
ii
Mục lục
1 Bài toán của công chúa Dido . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Đường ngắn nhất nối 4 đỉnh hình vuông . . . . . . . . 16
3 Con khỉ đi bán chuối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Các hình đa giác và các nhóm đối xứng . . . . . . . . 35
5 Vấn đề lát gạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Bài toán về các con kiến . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7 Cắt ghép hình vuông thành tam giác đều . . . . . . . 59
8 Bài toán bò ăn cỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9 Các số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10 Tổng bình phương của cấp số cộng . . . . . . . . . . . 82

“lò luyện thi”. Papa không bắt Tito làm đi làm lại các dạng bài tập quen
(1)
Ở Pháp gọi là lớp “3ème”, lớp cuối của “collège”, tức là lớp cuối của phổ thông cơ sở.
1
thuộc đến nhàm chán để giải nhanh như cái máy. Papa cho rằng, kiểu học
chỉ để thi là lãng phí thời gian mà không tiến bộ nhiều. Trái lại, papa
giảng cho Tito các kiến thức rộng hơn, kể cả các kiến thức không nằm
trong chương trình kỳ thi, để có cái nhìn rộng hơn, hiểu biểu tốt hơn về
toán, thấy được cái hay cái đẹp của các kiến thức toán học, dùng được
chúng, khi gặp các vấn đề lạ là có thể tìm cách liên hệ các vấn đề đó với
các kiến thức đã có. Papa không chỉ dạy cho Tito kiến thức toán học, mà
còn dạy phương pháp toán học: các cách suy luận, đặt vấn đề, tiếp cận và
giải quyết vấn đề.
Ngoài học ở trường, tự học ở nhà, và thảo luận với papa, Tito cũng
không hề phải đi học thêm ở nơi nào khác. Theo cách học với tầm nhìn xa,
thời gian đầu ở lớp chuẩn bị
(2)
, Tito khi làm bài kiểm tra đạt điểm thấp
hơn so với nhiều bạn, khiến mẹ của Tito lo lắm, bảo papa dạy kiểu gì mà
để Tito như vậy sẽ thi trượt mất thôi. Papa phải trấn an rằng, những điểm
kiểm tra ban đầu đó không quan trọng lắm, Tito đạt điểm thấp hơn các
bạn không phải là vì kém hơn, mà là vì đề bài quá dài, có những bạn đã
được luyện giải các bài cùng dạng từ trước nên làm nhanh được còn Tito
cũng làm được nhưng không nhanh bằng thôi. Quả nhiên, càng về sau, khi
các vấn đề càng khó lên, càng đòi hỏi kiến thức sâu rộng và suy luận tốt,
thì Tito càng tỏ ra xuất sắc, trở thành đứng đầu lớp.
Đối với Mirella cũng vậy, các bài giảng về toán của papa cho Mirella
không nhằm giúp Mirella đạt điểm cao ở lớp về môn toán (điều này tự
Mirella cũng làm được, không cần papa giúp), mà nhằm giúp Mirella hiểu
sâu rộng hơn về toán, thấy được sự liên quan chặt chẽ giữa toán học và thế

đọc. Mỗi quyển sẽ gồm khoảng hơn 10 bài giảng (mỗi bài giảng ứng với
một hay vài buổi thảo luận), mỗi bài giảng là về một đề tài, trong đó có
một vấn đề cụ thể, các suy luận toán học để giải quyết vấn đề và có thể
phát triển lên thành một lý thuyết để giải quyết các vấn đề tương tự, và
3
các bài tập dành cho Mirella và các bạn đọc tự làm để đào sâu suy nghĩ
thêm. Sau Quyển 1 này, tác giả sẽ viết thêm các quyển bài giảng tiếp theo.
Quyển 1 này gồm có 12 bài giảng, viết thành 12 chương, và có thể chia
thành mấy nhóm chủ đề chính. Nhóm thứ nhất, gồm 3 bài đầu tiên, là về
các vấn đề cực đại, cực tiểu và phương pháp biến phân. Nhóm thứ hai,
gồm 4 bài tiếp theo, là về các bài toán hình học và các nhóm đối xứng.
Nhóm thứ ba, gồm 3 bài tiếp theo, là về đại số, với các đa thức và đại số
tuyến tính. Hai bài giảng cuối cùng chứa các kiến thức về giải tích, nhưng
cũng liên quan đến hình học, đại số, và các vấn đề thực tế, vì dụ như là
việc vận chuyển đá để xây kim tự tháp. Thông tin thêm về các bài giảng,
cũng như lời giải của các bài tập trong sách, có thể xem và thảo luận tại
trang web của tác giả:
/>Những bản thảo đầu tiên của các bài giảng này, khi đưa lên trang web
cá nhân của tác giả (), đã được rất nhiều bạn bè
gần xa hưởng ứng, góp ý, khích lệ tác giả viết lại thành sách. Trong đó có
nhiều người là các nhà khoa học hay là giáo viên. Tác giả xin chân thành
cảm ơn tất cả những người bạn đã chia sẻ, góp ý cho những bài giảng này.
Đặc biệt vinh dự có giáo sư vật lý Đàm Thanh Sơn (Đại học Chicago), là
một nhà khoa học cũng rất quan tâm đến việc giáo dục cho các thế hệ trẻ,
đã góp cho loạt bài giảng này một số ý tưởng và bài tập có được đưa vào
trong quyển sách này.
4
Chương 1
Bài toán của công chúa
Dido

đúng nữa. Chẳng hạn, ta có thể dịch đường tròn ra sao cho tiếp xúc với
biển. Sau đó, ta kéo cái cung 1/4 vòng tròn có 1 đầu giáp biển, từ đầu kia
của cung ra thành một đường thẳng vuông góc với biển, thì vừa có được
6
c
�Prof. Nguyen Tien Zung
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO
thêm đất mà vừa tiết kiệm được dây. Xem Hình 1.2 a).
Hình 1.2: Hình tròn và hình vuông không tối ưu
Mirella đưa ra ý tưởng khác: “Làm một hình vuông một cạnh giáp
biển”. Nhưng ngay sau đó, Mirella tự nhận ra rằng đây chưa phải là cách
tốt nhất, bằng một phương pháp mà có lần papa đã chỉ cho: Cắt 1 góc
hình vuông đó (góc mà không chạm biển) theo 1 tam giác không cân, xoay
ngược tam giác đó lại sao cho cạnh huyền vẫn ở vị trí cũ, chỉ có 2 cạnh góc
vuông là chuyển chỗ thôi. Khi đó được 1 hình khác cùng diện tích và chu
vi với hình vuông, nhưng mà là hình lõm. Mà hình lõm thì không thể là có
diện tích to nhất được, vì chỉ cần “kéo căng dây ra” lấp đầy chỗ lõm cho
thành lồi thì là vừa tăng được diện tích vừa đỡ tốn dây. Xem Hình 1.2 b).
Cũng theo lý luận tương tự như trên, các hình “có góc cạnh” (trừ góc
tại điểm tiếp xúc với biển) đều không phải là hình tốt nhất, mà nó phải là
một đường cong không gẫy khúc may ra mới tốt nhất được.
Mirella liền đưa ra giải pháp: “Thế thì lấy một cung tròn”.
Nhưng cung tròn nào? Có nhiều cung tròn khác nhau cùng độ dài: cung
tròn “bẹt”, cung tròn “hơi bẹt” (nhỏ hơn 1/2 đường tròn, tức là góc tạo bởi
cung tròn tính từ tâm hình tròn nhỏ hơn 180 độ), 1/2 đường tròn, và cung
tròn lớn hơn 1/2 đường tròn.
Bản e-book cảm ơn và thân tặng Nguyễn Sương Thu 7
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO
Mirella đoán: “Lấy 1/2 đường tròn là tốt nhất”.
Papa hỏi “thế tại sao hơn 1/2 đường tròn thì không tốt?”. Mirella trả

có diện tích lớn nhất trong các hình cùng chu vi.
Ta sẽ chấp nhận mà không chứng minh, rằng tồn tại hình có diện tích
lớn nhất trong các hình có cùng chu vi. Ở đây ta sẽ chỉ chứng minh rằng,
một hình lớn nhất như vậy bắt buộc phải là hình tròn. Để chứng minh
điều này, ta xem hình có diện tích lớn nhất thì phải có các tính chất gì?
1) Tính chất lồi là hiển nhiên rồi: Nếu không lồi, thì “lấp cho nó thành
lồi”, hay nói theo ngôn ngữ toán học là lấy bao lồi của nó, thì chu vi giảm
đi mà diện tích tăng lên.
2) Tính chất không gẫy khúc nữa: Nếu bị gẫy khúc ở bất cứ điểm nào,
thì làm tương tự như với hình vuông phía trên, sẽ làm tăng được diện tích
của hình lên. Tính chất không gãy khúc này có nghĩa là, tại mỗi điểm có
đúng một đường thẳng đi qua điểm đó mà tiếp xúc với hình. Do là hình
lồi, nên đường thẳng đó sẽ chia mặt phẳng thành hai phần trong đó có
một phần chứa toàn bộ hình.
3) Tính chất thứ 3 là tính chất góc cắt đều: Lấy hai điểm khác nhau
Bản e-book cảm ơn và thân tặng Nguyễn Sương Thu 9
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN CỦA CÔNG CHÚA DIDO
Hình 1.4: Tính chất góc cắt đều
bất kỳ trên hình. Khi đó hai góc của đường đó với hai đường tiếp xúc tại
hai điểm tương ứng là bằng nhau. Xem Hình 1.4. Chứng minh cũng hệt
như là chứng minh phía trên cho chuyện hình vuông không phải hình tốt
nhất vậy: nếu hai góc đó khác nhau, thì bằng cách lật ngược một trong
hai mảnh của hình lại (mà vẫn giữ nguyên đáy) thì được một hình cùng
chu vi, cùng diện tích nhưng có chỗ bị lõm, do đó nó không phải là hình
có diện tích to nhất.
Tất nhiên, hình tròn thỏa mãn cả 3 tính chất trên. Hơn nữa, ngoài hình
tròn ra, thì không còn hình nào khác thỏa mãn cả 3 tính chất này, tức là
ta có khẳng định sau:
Một hình trên mặt phẳng thỏa mãn cả 3 tính chất trên thì là hình tròn.
Papa giải thích tỷ mỉ cho Mirella tại sao như vậy. Nhưng bạn đọc hãy