Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 1
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân BÀI GIẢNG SỐ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hàm số
( )
y f x
trên khoảng
( ; )
a b
Tính chất 1: Hàm số
( )
y f x
tại hữu hạn điểm thuộc
khoảng
( ; )
a b
ii) Nghịch biến nếu
'( ) 0 ( ; )
f x x a b
và
( ) 0
f x
tại hữu hạn điểm thuộc
khoảng
( ; )
a b
Nhận xét: Trong các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu chúng ta thường
dùng tính chất 2 để áp dụng.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
( )
y f x
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm
0 2
y’ + || - 0 +
Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( ;0)
và
(2; )
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; -2).
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 2
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
6
y x x x
x k
x k
Trên khoảng 0
( , ).
y’ = 0 có một nghiệm
.
2
x
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Lời giải:
Tập xác định:
1
\
D R
Khi đó, ta có
2
2
2 4 3
1
'
x x m
y
x
.
Để hàm số đồng biến với mọi x > 3, thì
2
' 2
2
2
2 4 3
0 3 2 4 3 0, 3.
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân Vậy f(x) là hàm số đồng biến với
3
x
suy ra
3 9
( ) ( )
f x f
, vậy để
2
2 4 3 3
x x m x
thì
3 9
( ) .
m f
sao cho
2 1
1
(*)
x x
Điều kiện để (4’) có hai nghiệm phân biệt là
0 9 3 0 3
'
.
m m
Khi đó
2
2
1 2 1 2 1 2
1 4 1
(*) ( )x x x x x x
. Áp dụng định lý viet, ta có:
4
9 1 6
3
.
m
m
So sánh với điều kiện suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có
2
' 7 21 21 0
a a a
Gọi
1 2 2 1
, ( )
x x x x
là hai nghiệm của phương trình y’ = 0,
khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là
1 2
( ; ] [ ; )
x x
.
Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng
2
;
, thì
1 2
[2; ) ( ; ] [ ; )
x x
a
x x
x x
theo viet
x x x x x x
a a aTrung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 4
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
a
a a
Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điều trong chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )
f a f x f b
f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )
f a f x f b
Ví dụ 6: Chứng minh rằng
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x
Lời giải:
Xét hàm số
3
( ) tan ,
(0; )
2
suy ra
3
( ) (0) 0 tan (0; )
3 3
x
f x f x x x
Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau:
2
cos 2 , .
2
x
x
x e x x R
Lời giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
2
cos 2 0, .
2
x
x
x e x x R
Bảng biến thiên
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 5
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân x
0
'( )
f x
- 0 +
( )
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x
đồng biến trên khoảng (0; 3).
ĐS:
12
.
7
m
Bài 3: Cho hàm số
4
mx
y
x m
a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định. ĐS:
2 2.
m
b. Tìm m để hàm số tăng trên
(2; )
. ĐS:
2, 2
m
Bài 5: Cho hàm số
3 2
3 3 1 (1),
y x x mx m
là tham số thực
Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
0;
. ĐS:
1.
m
0
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học
Bài 7: Cho hàm số
3 2
3 2 1 12 5 2.
y x m x m x
Tìm m để hàm số đồng biến trên
; 1 2; .
ĐS:
5
1 .
12
m
Bài 8: Cho hàm số
2
6 2
.
2
mx x
b) Tìm m để hàm số đồng biến với
3.
x
ĐS:
1 0.
m
Bài 10. Cho hàm số
2
( ) .
y m x x m
Tìm m để hàm số đồng biến trên
1;2 .
ĐS:
3.
m
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi
2
0
x
ta có
xxx tan
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 7
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số
\, ,
o o o
x a b x f x
gọi là giá trị cực đại của hàm số.
o
x x
gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu
, , ,
o
a b x a b D
và
,
o
hoặc tại đó mà
f x
liên tục
nhưng không có đạo hàm.
+ Lập bảng biến thiên.
+ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu.
Quy tắc 2
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính đạo hàm
'
f x
. Tìm các giá trị
, 1,2
i
x i để
' 0.
f x
+ Tính
''
f x
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 8
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Cách 1: Dùng bảng biến thiên
Cách 2: Dùng y’’
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số
sin 2 os2 .
f x x c x
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên .
2 , 2.
8
CT
x k y
Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm
0
x
Phương pháp: Dùng bảng biến thiên hoặc dùng điều kiện của y’’
Ví dụ 2: Tìm giá trị của để hàm số
3 2 2
3 1 2
f x x mx m x
đạt cực đại tại
2.
x
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên
.
Ta có:
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 9
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại
2
3 6 3
2 2 11
3
m m
x m
Vậy với
Lời giải
Tập xác định
.
D
2
2
' 3 2 3 4 1
' 0 3 2 3 4 1 0
y x m x m
y x m x m
Để hàm số đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
thì
4 0 8 1 0
3 3 8
m
m
m m
x
2
3 6 3
3
m m
2
3 6 3
3
m m
CT
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 10
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân Vậy
1
8
m
thì hàm số đã cho đạt cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
Giá trị cực trị của hàm số tương ứng là
1
2
2
(1)
3
2
( 1)
3
y y m
y y m
Yêu cầu bài toán tương đương với:
1 2
2 2 2 2
0 ( )( ) 0 .
3 3 3 3
y y m m m
Lời giải
Ta có:
3 2
' 4 4 4
y x mx x x m
2
0
' 0
x
y
x m
Hàm số có ba cực trị
'
y
đổi dấu ba lần trên
' 0
D y
vuông tại
D
, ta có
sin
AD
C
AC
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 11
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân Gọi
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
m
B D C
Kết hợp điều kiện
0
m
ta được
1 5
1, .
2
m m
Ví dụ 6: Cho hàm số
2
1 2
2 2
0 2 2 0 '
.
y g x x mx m x m
Hàm số có cực đại, cực tiểu
'
y
đổi dấu 2 lần trên
D
.
2
2
Δ 0
1
2 1 0
0
1
2 2 0
g
m
m
'
'
2
. . '
'
1
0
u x
u x
y
y
u x u x
v x
y x m
v x
v x v x
u x v x u x v x
y
và
3
m
.
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 12
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân Ví dụ 7: Tìm
m
để hàm số
3 2
2 3
y x x m
(1) 1
(0)
y y m
y y m
Điểm cực trị của đồ thị hàm số lần lượt là (0; m) và (1; m-1).
Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu có dạng
0
0
1 1
x y m
x y m
(d)
Véc tơ pháp tuyến của (d) và
( )
lần lượt là
(1;1), ( ; 4).
d
n n m
Ví dụ 8: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
3
y x x m x m
có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua
đường thẳng
2 5 0
x y
.
Lời giải
Hàm số xác định trên
.
Ta có
2 2
' 3 6
y x x m
Để hàm số có hai điểm cực trị thì
'
y
phải đổi dấu hai lần
m thì
' 0
f x
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
và hàm số
f x
đạt cực trị tại
1 2
, .
x xTrung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 13
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
1 1 1
2
2
2 2 2
2
3
3 3
2
3
3 3
m
y f x m x m
m
y f x m x m
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
2
2
2
1 1 2 2
, , ,
A x y B x y
đối xứng với nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
y x
d
và trung điểm
I
của
AB
phải thuộc
d
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.Tìm cực trị của các hàm số sau:
a.
2
2 3 1
y x x
ĐS:
2 2 13
; 5 , ;
5 5 5
CT CD
b.
4
48
x
ĐS:
5 7
;
6 4
CD
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a.
1
cos
2
os2
y x c
x
ĐS:
2 3 2 3
2 ; ; 2 ;
3 4 3 4
CT k k
2 3
3sinx cos
2
x
y x
ĐS:
3
2 ; 3 2
2 2 2
CT k k
3
2 ; 3 2
6 2 6
CD k k
x
và đồ thị hàm số đi qua điểm
1;0
A
. ĐS:
3; 0; 4
a b c
Bài 5: Tìm m để hàm
m
x
mxx
y
4
2
đạt cực tiểu tại
0
x 1
. ĐS:
1
m
có cực trị. ĐS:
2
1
2
1
m
Bài 8: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước.
a.
4 2
2 1 5
y x m x m
có 3 cực trị. ĐS: 1
m
b.
3
1
3
y x x m
có hai cực trị trái dấu. ĐS:
phía của Oy ĐS: 13
m
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 15
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân Bài 10: Tìm m để hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2 2
y x m x m m x m
có hai điểm cực trị
1 2
,
Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
1
y x (m 2)x (5m 4)x m 1
3
đạt cực trị tại
1 2
x , x
sao cho
1 2
x 1 x
. ĐS:
3
m
Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
1
y x mx x m 1
3
có hai điểm cực trị
1 1 2 2
(x , y ), (x , y )
sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. ĐS:
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có ba điểm cực
trị tạo thành tam giác vuông cân. ĐS: 2
9
1
3
m
Bài 16: Cho hàm số
3 2
3
y x x m
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và sao
cho góc
120
o
AOB
. ĐS: 4
3
2
m
Bài 17: Tìm
m
để hàm số
x m x m
y
x
.
Chứng minh rằng với mọi
m
hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị không
phụ thuộc
m
. Tính độ dài khoảng cách đó. ĐS:
4 5
Bài 19: Tìm
m
để hàm số
3 2
2 1 1
y mx m x x
đạt cực đại tại
1
x
, đạt cực tiểu tại
2
x
m
để đồ thị hàm số
3 2
3 5
y x mx x
có hai điểm cực đại, cực tiểu và đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị đó vuông góc với đường thẳng
9 14 1 0.
x y
ĐS:
4
m
Bài 21: Cho hàm số
4 2 2
2(1 ) 1.
y x m x m
Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam
giác có diện tích lớn nhất. ĐS: m = 0.
Vi
ế
t Tuân BÀI GIẢNG SỐ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Cho hàm số )(xfy
xét trên tập .
- Số gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu .
- Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu .
2. Phương pháp tìm min và max
Phương pháp 1: Bảng biến thiên
Bước 1: Tìm miền xác đinh và tính y’
Bước 2: Lập bảng biến thiên
Bước 3: Kết luận giá trị min và max dựa vào bảng biến thiên.
Phương pháp 2: Phương pháp hàm liên tục trên đoạn.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
2
3( 1)
( )
2 2
2
3
)(
xfLim
x Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 18
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
2
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
12)(max xxf
D
;
1
5
6
)(min xxf
D
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
4)( xxxf
trên miền xác định của nó.
Lời giải
Tập xác định
3
;1 e
Lời giải
Ta có :
2
)ln2(ln
'
x
xx
y
;
32
2
2
;1
4
max
3
ex
e
y
e
; 10min xy
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 19
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
;0
3
;0
x
ta có
0cos
x
. Chia cả tử và mẫu cho
x
cos
ta được:
)tan2(tan
1
tan2
1
2
xxx
)2(
1
2
1
2
tg
ttt
y
1
0
0430)('
)2(
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
4
12)(minmin
1;0
3
;0
xttgy
Ví dụ 5: Cho các số thực không âm
y
x
,
thay đổi và thỏa mãn 1
yx . Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12216
22
xyyxTrung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 20
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân Đặt
xy
t
với
4
;0
t
4
1
;0
16
1
0'232' tStS
Bảng biến thiên
t
0
16
14
1
4
32
;
4
32
4
32
;
4
32
16
1
2
25
)(minmin
4
1
40
x
.
Khi đó
)(
45
12
1 xF
xx
xxx
m
Ta có:
12)( xxxxf
có
)(4;0,0
122
1
2
3
)(' xfx
x
x
xxxg 45)(
có
)(4;0,0
42
1
52
1
)(' xgx
xx
xg
giảm trên
4;0
và
4;0,0)( xxg
Do đó
)
)4(F
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để (1) có nghiệm )4()0( FmF
12
25
12
m
Ví dụ 7: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn
24
3
xyyx
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của biểu thức
123
222244
yxyxyxA
.
Lời giải
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
1
3 2 1
4
9
2 1
4
x y x y x y
x y x y
Đặt
2 2
t x y
, khi đó biểu thức
2
9 1
2 1 ( )
4 2
A t t t
Dễ thấy dùng đạo hàm suy ra
1
2
x
x
y
trên đoạn
2;1 .
Đs:
)1(0min);1(2max fyfy
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1)3(
2
xxy
trên đoạn
2;0 .
Đs:
5min;3max yy
Bài 3: Cho 1,0,0
3
2
3
log1;
2
3
log
4
9
min));0;1((10max yPyP
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
x
x
xx
y
66
44
cos
sin
cossin
.
Đs:
1max;
7
5
min yy
.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
xx
xx
xx
xx
xf
Đs: 2min;2max
yy
Bài 6: Cho hai số thực 0,0
yx
thay đổi thỏa mãn điều kiện xyyxxyyx
22
)( . Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức
33
11
yx
A
2
13
max PP
Bài 9: Cho
2
3
;0,, zyxzyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
zyx
zyxP
111
.
Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học 23
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân
có nghiệm.
Đs:
1
16
9
m
Bài 12: Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
3
x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
1 1 1 1x y z
P
y z x x y z
BÀI GIẢNG SỐ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Bài toán: Cho đồ thị
:
C y f x
và điểm
,
o o o
M x y C
. Viết phương trình tiếp
tuyến của tại
, .
o o o
M x y
Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của
.Viết phương trình tiếp tuyến của
C
có hệ số góc là
k
.
Phương pháp:
+ Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với
:
C y f x
tại điểm có hoành độ
'
i i i
x f x k x
là nghiệm của phương trình
' .
f x k
+ Giải phương trình
k
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng
: a .
d y x b k a
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: a 1, 0.
d y x b ka a
+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng
: a
d y x b
một góc
tan .
1
k a
ka
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên so
ạ
n: ThS. Đ
ỗ
Vi
ế
t Tuân Phương pháp:
Cách 1:
+ Giả sử đường thẳng
d
đi qua
,
A a b
tiếp xúc với
:
C y f x
, ' *
i i i
A a b d b f x a x f x
+ Giải phương trình
* .
i
x
+ Phương trình tiếp tuyến tại
i
x
là
'
i i i
y f x x x f x
hệ phương trình
'
f x k x a b
f x k
có nghiệm
' *
f x f x x a b
+ Giải phương trình
1;4 .
A
Lời giải
Gọi
0 0
( ; )
M x y
là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:
2 3
0 0 0 0 0 0 0
'( )( ) (3 3)( ) 3 2 ( )
y y x x x y x x x x x d
Vì điểm
( 1, 4) ( )
A d
nên ta có
2 3
0 0 0 0
0
3 2
0 0
0
4 (3 3)( 1 ) 3 2
Copyright: Tài liệu đại học ©