Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Cách 1: Ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường
thẳng đi qua hai điểm chung đó
Cách 2: Sử dụng hệ quả của định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai
đường thẳng đó.
Cách 3: Sử dụng định lí 2. SGK. Tr61 và hệ quả của nó
- Định lí: Cho đường thẳng a song song mp(P). mp(Q) chứa a và cắt (P) theo giao
tuyến là b thì b song song với a.
- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Cách 4: Sử dụng định lí 3. SGK. Tr67.
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt
phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
*) Chú ý: Phương pháp chung sử dụng cách 2, 3, 4 là:
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
- Các định lí, hệ quả ở cách 2, 3, 4 cho ta phương của giao tuyến theo một
đường thẳng. Từ đó xác định được giao tuyến
Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia
Dạng toán 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
- CM ba điểm thẳng hàng ta CM chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt
- CM ba đường thẳng đồng quy ta CM giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chung của
hai mặt phẳng phân biệt mà giao tuyến là đường thẳng thứ 3
Dạng toán 4: Tìm thiết diện của một mặt phẳng và một hình
- Xác định các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình
- Xác định giao điểm của các giao tuyến với các cạnh của hình đến khi ta thu được một đa
giác khép kin, đa giác khép kín đó chính là thiết diện.
Dạng toán 5: Chứng minh hai đường thẳng song song
Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh

*) Chú ý: Phương pháp chung sử dụng cách 2, 3, 4 là:
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
- Các định lí, hệ quả ở cách 2, 3, 4 cho ta phương của giao tuyến theo một đường thẳng. Từ
đó xác định được giao tuyến
BÀI TẬP
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,AC,BD lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho MN không song
song BC, MP không song song AD. Tìm giao tuyến các mặt phẳng sau:
a) (MNP) và (ABC) b) (MNP) và (ABD) c) (MNP) và (BCD) d) (MNP) và (ACD)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy có các cặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyến của
a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC)
Bài 3. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mp(ABC ), một điểm I thuộc đoạn SA. Một đường
thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J, K. Tìm giao tuyến của:
a) ( I,a) và (SAC ) b) ( I,a) và (SAB ) c) ( I,a) và (SBC )
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN không song song
BC, trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau:
a) (MNI) và (ABC) b) (MNI) và (BCD) c) (MNI) và (ABD) d) (MNI) và (ACD)
Bài 5. Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N. Tìm các giao tuyến sau:
a) (BMN) và (ACD) b) (CMN) và (ABD) c) (DMN) và (ABC)
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm AC, BC; K thuộc BD sao cho KD < KB. Tìm giao
tuyến của: a) (IJK) và (ACD) b) (IJK) và (ABD)
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I , trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm
J,K.Tìm các giao tuyến sau:
a) (ABJ) và (ACD) b) (IJK) và (ACD) c) (IJK) và (ABD) d) (IJK) và (ABC)
Bài 8. Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J là trung điểm của AD và BC
a)Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD)
b)Gọi M,N lần lượt là điểm nằm trên đoạn AB và AC.Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
Bài 9. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm SB, SD; P thuộc SC: PC < PS.
Tìm giao tuyến của:
a) (SAC) và (SBD) b) (MNP) và (SBD) c) (MNP) và (SAC)
d) (MNP) và (SAB) e) (MNP) và (SAD) f) (MNP) và (ABCD)

⊂
(
α
)
Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và
•
α
M
β
d
a
chúng cắt nhau tại M : d
∩
(
α
) = M ( hình vẽ )
Phương pháp 2:
Tìm (
β
) chứa d thích hợp
Giải bài toán tìm giao tuyến a của (
α
) và (
β
)
Trong
β
: a
∩
d = M d

a)IJ và (SBC) b)IJ và (SAC)
Bài 9. Cho tứ diện ABCD,gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên đoạn BD ta lấy điểm P sao
cho BP = 2PD.Tìm giao điểm của:
a)CD và (MNP) b)AD và (MNP)
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hinh thang AD // BC. M, N là 2 điểm bất kỳ trên SB, SD. Tìm
giao điểm:
a) SA và (MCD) b) MN và (SAC) c) SA và (MNC)
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và M là trung điểm SC. Gọi N thuộc AB .Tìm giao
điểm của:
a) AM và (SBD). b) SD và (ABM). c)MN và (SBD).
Bài 10. Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB.Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao
cho CK = 3KS
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
b)Gọi M là trung điểm IH.Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC)
Bài 12. Cho chóp S.ABCD. Đáy có các cặp cạnh đối không song song và I thuộc SA. Tìm giao điểm
a) SD và (IBC) b) IC và (SBD) c) SB và (ICD)
Bài 13. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SB, AD và G là trọng
tâm ΔSAD. Tìm giao điểm của:
a) GM và (ABCD) b) AD và (OMG) c) SA và (OGM)
Bài 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên cạnh BD,ta lấy điểm K sao
cho BK = 2KD
a)Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng DE = DC
b)Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng FA = 2FD
c)Chứng minh rằng FK song song IJ
d)Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của đường
thẳng MN với mặt phẳng (IJK)
Bài 15. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, BC; P thuộc BD: PB = 2PD. Tìm giao điểm
của:
a) AC và (MNP) b) BD và (MNP)
Bài 16. Cho chóp S.ABCD có đáy AB > CD. Gọi M thuộc SA, N thuộc AB, P thuộc BC. Tìm giao điểm

d với d = (
α
)
∩
(
β
) nên A; B; C thẳng hàng
•
M
N
•
•
a
b
P
Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :
Đặt a
∩
b = P
Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng
Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P
BÀI TẬP
Bài 1. Cho chóp S.ABC có D, E, F lần lượt trên SA, SB, SC sao cho DE ∩ AB = I, EF ∩ BC = J, FD ∩ AC
= K.
a) Tìm giao tuyến (ABC) và (DEF)
b) Chúng minh rằng I, J, K thẳng hàng
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của
đoạn AB và SC .
a) Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD)
b) Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)

) quay quanh IK cắt SB tại M và SD tại N. Gọi O là giao điểm của AC và BD
a) CMR ba đường thẳng IK, MN, SO đồng quy. Từ đó suy ra cách dựng điểm N khi biết điểm M
b) Gọi
E AD BC
= ∩
và F =
IN MK
∩
. CMR 3 điểm S, E, F thẳng hàng
c) Gọi P = IN
AD
∩
và Q = MK
∩
BC. Chứng minh khi
( )
α
thay đổi đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm
cố định . (đó là giao điểm của KI và AC )
Dạng 4: THIẾT DIỆN
Bài 1. Cho chóp S.ABCD, BC, AD, M trung điểm SA. Tìm thiết diện của chóp và (BCM)
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, CD; P thuộc AD và không là trung điểm AD.
Tìm thiết diện của chóp và (MNP)
Bài 3. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm AD, CD; I là điểm trên
SO. Tìm thiết diện hình chóp với mp (MNI).
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm BC, CD, SA. Tìm thiết diện
của hình chóp và (IJK)
TỔNG HỢP GIAO TUYẾN, GIAO ĐIỂM VÀ THIẾT DIỆN
Bài 1. Cho chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SD, OC.
a) Tìm giao tuyến (MNP) và (SAC)

a)Xác định các giao tuyến sau :
(AEC)

(BFD) ; (BCE)

(AFD)
b)Lấy 1 điểm M trên đoạn DF. Tìm giao điểm AM

(BCE)
Bài 9. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB // CD, AB > CD. Lấy I, J, K nằm trên SA, CD, BC.
a) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAB) b) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAC)
c) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAD) d) Tìm giao điểm của SB và (I JK)
e) Tìm giao điểm của IC và (SJK)
Bài 10. Cho chóp S.ABCD có AD không song song với BC. I thuộc SA: SA = 3 IA, J thuộc SC; M là trung
điểm SB.
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm E của AB và (I JM)
c) Tìm giao điểm F của BC và (I JM)
d) Tìm giao điểm N của SD và (I JM)
e) Gọi H = MN ∩ BD. CMR: H, E, F thẳng hàng
ĐỀ KIỂM TRA THÁNG 9
Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao
Thời gian làm bài 90 phút
Câu I: (5đ) Giải các phương trình sau :
1) (1đ)
( )
x x
2
3tan 1 3 tan 1 0
− + + =

2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
π
 
− − −
 ÷
 
=
−
Câu II: (2đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(– 2; 3) , B(1; – 4); đường thẳng d:
x y3 5 8 0− + =
; đường tròn (C ):
x y
2 2
( 4) ( 1) 4+ + − =
. Gọi B’, (C′) lần lượt là ảnh của B, (C) qua
phép đối xứng tâm O. Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ
AB
uuur
.
1) Tìm toạ độ của điểm B’, phương trình của d’ và (C′) .
2) Tìm phương trình đường tròn (C′′) ảnh của (C) qua phép vị tâm O tỉ số k = –2.
Câu III: (1đ) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình
3 0x y− + =
. Hãy viết phương
trình đường thẳng
'd