NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn
Bài 1: Nguyên hàm
A- Tóm tắt lí thuyết:
1, Định nghĩa và tính chất:
2, Bảng các nguyên hàm:
3, Các nguyên hàm mở rộng: ( với các điều kiện thích hợp)
1.
Cbax
na
dxbax
nn
++
+
=+
+
∫
1
).(
1
1
.
1
.)(
2.
∫
++=
+
Cbax
a
dx
bax

)cos(.
1
).sin(
6.
∫
++=
+
Cbaxtg
a
dx
bax
)(.
1
.
)(cos
1
2
7.
∫
++−=
+
Cbaxg
a
dx
bax
)(cot.
1
.
)(sin
1

A. f(x) =
21
1
−+−
xx
B. f(x) =
2
2
−−
xx
x
3. Tìm họ nguyên hàm của:
A. f(x) =
12
164
2
+
++
x
xx
B. f(x) =
352
1
2
++
xx
C. f(x) =
1
1
4

B. f(x) =
1
2
2
++
xx
x
C. f(x) =
1
1
2
+
xx
D. f(x) =
xx
−
3
2
1
6. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
A. f(x) = tgx C. f(x) =
xsin
1
D. f(x) =
x
4
sin
1
B. f(x) = cos
3

12. f(x) = sin(2x+1).cos(3x-1)
13. f(x) =
x
xx
2
44
sin
cossin
+
14. f(x) =
12
144
23
+
−+
x
xx
15. f(x) =
56
1
2
+−
xx
16. f(x) =
2343
1
−−+
xx
17. f(x) =
1

1
23. f(x) =
x
x
sin
cos
3
26. f(x) = tg
5
x
24. f(x) =
xx cos..sin
1
4
25. f(x) =
xx
42
cos..sin
1
Bài 2: Tích phân
A- Tóm tắt lí thuyết:
1. Định nghĩa: cho:
∫
+=
CxFdxxf )()(
. Khi đó:
∫
−=
b
a

10.
∫
π
2
0
2
.cos dxxx
2.
∫
−
1
0
3
1 dxxx
5.
∫
4
0
.
π
dxtgx
8.
∫
+
2
0
2cos2
.cos
π
x

x
12. Tính I =
∫
2
0
42
.cos.sin
π
dxxx
và J =
∫
2
0
24
.cos.sin
π
dxxx
13. I =
∫
+
dx
xx
x
33
3
sincos
cos
14. Cho f(x) là hàm lẻ, liên tục trên [-a; a]. CMR:
0).(
=

sin
π
dx
xx
x
31.
∫
+
1
0
3
)1(x
xdx
NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn
26.
∫
−++
1
0
11 xx
dx
29.
dxxxx ).cos.(sin2cos
2
0
44
∫
+
π
32.

3
2
1dxx
34.
∫
++
+
2ln
0
2
2
23
3
dx
ee
ee
xx
xx
45.
∫
+
2
0
cossin
.sin
π
xx
dxx
nn
n

∫
2
0
ln
e
xx
dx
36.
∫
+−
−
1
0
2
65
)21(
xx
dxx
47.
∫
−
1
2
2
2
2
1
dx
x
x

)1(
xxx
dxx
59.
∫
+
4
0
cossin
cos
π
xx
xdx
38.
∫
e
x
dxx
1
)sin(ln
49.
∫
+
32
0
2
4x
dx
60.
∫

8
3
8
22
cos.sin
π
π
xx
dx
40.
∫
+
8
3
1x
xdx
51.
∫
+
−
)13ln(
2ln
1dxe
x
62.
∫
−
π
0
.2cos1 dxx

2
0
sin1 dxx
53.
∫
+
2ln
0
2
)1(
dx
e
e
x
x
64.
∫
2
0
5
sin
π
xdx
43.
∫
−





44.
∫
+
2
0
2
)cos1(sin
π
dxxx
55.
∫
83
6
22
cos.sin
π
π
xx
dx
66.
∫
+
2
0
2sin1
π
x
dx
NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn
Bài 3: Ứng dụng của tích phân

a
dxxfdxy
2
2
)(
ππ
2, Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi 2 đường cong (C
1
): y = f(x); (C
2
): y
= g(x) (f(x) và g(x) cùng dấu) và 2 đường thẳng: x = a, x = b. Thể tích vật
tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Ox là:
V =
[ ]
∫∫
−=−
b
a
b
a
dxxgxfdxyy |)]([)(|||
2
22
2
2
1
ππ
B- Bài tập:
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

b, y = 5 – x và y = x
2
– 2x + 3 d, y = x
2
– 2x + 2 và y = - x
2
– x +3
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a, (C): y = x
3
– 3x và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -
2
1
b, (P): y =
2
1
x
2
– 2x + 4 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ M(
2
5
; 1)
c, (P): y = x
2
– 4x + 5 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ 2 điểm A(1; 2), B(4; 5)
d, (C): y = x
3
– 2x
2
+ 4x – 3, trục Ox và tiếp tuyế của (C) tại điểm có hoành

2
+ (y – 1)
2
= 4, trục Ox
b, y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e f, x
2
+ y – 5 = 0, x + y – 3 = 0
c, y = -3x
2
+ 3x + 6, y = 0 g, y = x
2
, y =
x
d, y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2
5. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: y = tgx, x = 0, x =
3
π
, y = 0
a, Tính diện tích của (D)
b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Ox
6. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y = -x
2
+ 4 và trục hoành
a, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Ox
b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Oy
7. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y
2
= 8x và đường thẳng x = 2
a, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Ox
b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Oy