phòng gd - đt đức thọ
đề thi olympic huyện năm học 2010 2011
Môn toán lớp 8. Thời gian: 120 phút
Bài 1: 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3 3 3
a b c 3abc + +
2) Cho
3 2
a 3ab 5 =
và
3 2
b 3a b 10 =
. Tính S =
2 2
a b+
Bài 2: 1) Giải phơng trình:
8 4 2
x 2x x 2x 2 0 + + =
2) Có tồn tại hay không số nguyên dơng n sao cho
6 n 2011
n 26 21+ =
Bài 3: Rút gọn biểu thức A =
3 3 3
3 3 3
2 1 3 1 2011 1

2 1 3 1 2011 1

ì ì ì
+ + +
Bài 4: Cho ABC vuông tại A, có AB < AC. Kẻ phân giác AD. Gọi M và N lần lợt là hình chiếu của D

a b+
Bài 2: 1) Giải phơng trình:
8 4 2
x 2x x 2x 2 0 + + =
2) Có tồn tại hay không số nguyên dơng n sao cho
6 n 2011
n 26 21+ =
Bài 3: Rút gọn biểu thức A =
3 3 3
3 3 3
2 1 3 1 2011 1

2 1 3 1 2011 1

ì ì ì
+ + +
Bài 4: Cho ABC vuông tại A, có AB < AC. Kẻ phân giác AD. Gọi M và N lần lợt là hình chiếu của D
trên AB và AC. BN cắt CM tại K, AK cắt DM tại I, BN cắt DM tại E, CM cắt DN tại F.
1) Chứng minh rằng EF // BC
2) Chứng minh rằng K là trực tâm của AEF
3) Tính số đo của
ả
BID
Bài 5: Cho a, b, c, d, e > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d + e = 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( ) ( )
a b c d a b c a b
P
abcde
+ + + + + +

3 2
a 3ab 5 =

( )
2
3 2
a 3ab 25 =

6 4 2 2 4
a 6a b 9a b 25 + =
(0,5 đ)
và
3 2
b 3a b 10 =

( )
2
3 2
b 3a b 100 =

6 2 4 4 2
b 6a b 9a b 100 + =
(0,5 đ)
Suy ra 125 =
( )
3
6 6 2 4 4 2 2 2
a b 3a b 3a b a b+ + + = +
. Do đó S =
2 2

x 1 0

=

=

x = 1 (0,5 đ)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1 (0,5 đ)
2) (2 điểm). Giả sử tồn tại n N
*
sao cho
6 n 2011
n 26 21+ =
. Ta có 26
n
có tận cùng là 6 và 21
2011
có tận
cùng là 1. Vậy n
6
có tận cùng phải là 5, do đó n có tận cùng là 5. (0,5 đ)
Khi đó
6 n 2011
n 26 21+ =
có dạng
( )
( )
6
402
5 5



= =
+
+ + + +
với k = 2, 3, , 2011 (1 đ)
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
1. 3 3 1 2. 4 4 1 2010. 2012 2012 1
S .
3 2 2 1 4 3 3 1 2012 2011 2011 1
+ + +
=
+ + +
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1.2 2010. 3 3 1 4 4 1 2012 2012 1
S
3.4 2012 2 2 1 3 3 1 2011 2011 1
+ + +

F
K
I
AN DN NC NF NF
AB AB AC AM AN
= = = =
(0,5 đ)
hay
AN NF
AB AN
=
và
ã
ã
0
BAN ANF 90= =
(0,5 đ)
NAF ABN
ã
ã
NAF NBA=
AF BN. (0,5 đ)
Lập luận tơng tự có AE CM. Vậy K là trực tâm của AEF (0,5 đ)
3) (2 đ). K là trực tâm của AEF AK EF mà EF // BC AK BC (0,5 đ)
Kết hợp với DM AB I là trực tâm của ABD.
Vậy
ả
ã
0 0 0 0
BID 180 BAD 180 45 135= = =

( ) ( ) ( )
a b c d a b c a b
P 16
abcde
+ + + + + +
=
. (1 đ)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
1
a b c d e 4
a b
4
a b c d e
1
c
a b c d
2
a b c
d 1
a b
e 2

+ + + + =

= =


+ + + =