MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

1
TÊN ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng của vấn đề
Dãy số là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của
Đại số, Giải tích và Số học Dãy số có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ là những
đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình
rời rạc trong Giải tích, trong lý thuyết phương trình xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn…
Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, thi Olympíc Toán khu vực và quốc
tế…các bài toán liên quan đến dãy số hay đề cập và thường là loại rất khó. Các bài toán
vể ước lượng và tính giá trị các tổng, tích cũng như các bài toán cực trị và xác định giới
hạn của một biểu thức cho trước hoặc xây dựng công thức nghiệm của các phương trình
nghiệm nguyên, thường có mối quan hệ ít nhiều đến các đặc trưng của dãy tương ứng.
Lý thuyết về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của Giải
tích toán học. Tuy nhiên để tạo cho học sinh niềm tin sáng tạo và tạo cho các em thích
thú với việc giải các bài toán về dãy số, khi chúng biết rằng có những mối quan hệ mật
thiết giữa việc giải các các bài toán số học với các dãy số nguyên và từ đó tạo cho các
em tự tin khi giải quyết bài toán về dãy số.
Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán của trường và nhất là được
đi học tập các chuyên đề Toán bồi dưỡng học sinh giỏi vào các dịp hè tại trường
ĐHKHTN Hà Nội được các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi đã tích lũy soạn giảng theo
đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ ”.
Đây cũng là chuyên đề mà tôi phụ trách giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh đội tuyển
Toán tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia hằng năm.
2. Ý nghĩa và tác dụng của đề tài
Nội dung tôi muốn đề cập trong chuyên đề này là tóm tắt một số khái niệm cơ bản về
dãy số và một số phương pháp xây dựng dãy số thỏa mãn một số tính chất nào đó.

được đi học tập các chuyên đề Toán bồi dưỡng học sinh giỏi vào các dịp hè tại trường
ĐHKHTN Hà Nội được các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi nhận thấy các dãy số
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

3
nguyên có liên hệ mật thiết với công thức nghiệm của phương trình nghiệm nguyên và
khi giải chúng cần những kiến thức về số học như chia hết , đồng dư,…
 Qua tham khảo các đề thi Toán quốc gia và đề thi Toán các nước trên thế giới
đều đưa nội dung dãy số vào trong đề thi nhằm phát hiện và tuyển chọn được học sinh
giỏi môn Toán.
2. Các phương pháp tiến hành, thời gian tiến hành đề tài
Tôi đã tiến hành các phương pháp sau:
 Phương pháp phân tích, đánh giá, dự đoán từ các đề thi Olympiad của các nước trên
thế giới và Việt Nam.
 Phương pháp tổng hợp, rút ra được một số cách xây dựng bài toán mới.
 Thời gian tiến hành: Trong 5 năm học từ 2010 – 2015 dựa trên thực tế giảng dạy các
lớp chuyên Toán và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán dự thi cấp quốc gia, trên cơ
sở tích lũy trong quá trình soạn giảng, tham khảo ý kiến các đồng nghiệp và được tích lũy
từ các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi do các giáo sư đầu ngành giảng dạy, tôi đúc kết
viết kinh nghiệm giảng dạy này.


hơn nữa học sinh chưa dám mạnh dạn nghĩ ra một bài toán khác từ các bài toán cơ bản
đã được học.
- Tài liệu dùng cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán về dãy số còn hạn
chế.
1.2. Tính mới của giải pháp
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

5
- Đã sử dụng, khai thác việc tìm nghiệm của phương trình bậc hai hoặc công thức
nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, phương trình Pell và một số hàm số xây dựng
được một số dãy số mà mối quan hệ của các số hạng của dãy số đã biết được.
- Giúp học sinh chuyên Toán biết cách đào sâu kiến thức toán học phổ thông, tạo
niềm say mê nghiên cứu, tự tin tập dợt sáng tạo.
- Giúp cho giáo viên tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán có tài liệu về việc soạn
giảng chuyên đề về dãy số
1.3. Nội dung giải pháp
- Sử dụng việc xác định nghiệm của phương trình bậc hai, xây dựng công thức
nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, phương trình Pell và tính chất của hàm phân
tuyến tính và hàm lượng giác xây dựng được một số lớp bài toán về dãy số. Đề tài đưa
ra 6 phương pháp xây dựng dãy số.
a. Xây dựng dãy số từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai.
b. Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình nghiệm nguyên.
c. Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình Pell
2 2
1
x dy
 
.
d. Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình Pell chứa tham số
2 2

2010 -2011 29 giải 3 HC 5 giải
2011-2012 18 giải 5 HC 5 giải
2012-2013 21 giải 6 HC 1 giải
2013-2014 28 giải 5 HC 5 giải
2014-2015 16 giải(lớp 12) 2 HC 6 giải
Cộng 112 giải 21 HC 17 giải
* Kết quả thi học sinh giỏi Toán của các lớp do tôi trực tiếp giảng dạy :

Năm học
HS Giỏi cấp Tỉnh Olympic 30/04 HSG Quốc gia
2010 -2011 13 giải 3 HC 2 giải
2011-2012 8 giải 3 HC 4 giải
2012-2013 9 giải 3 HC 0 giải
2013-2014 6 giải Lớp 12 không thi 3 giải
2014-2015 10 giải 1 HC 5 giải
Cộng 46 giải 10 HC 14 giải

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

7
III. Nội dung đề tài
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
Chương I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ
1.1 Định nghĩa.
Dãy số là một hàm số từ

vào một tập hợp số (
, , ,   
hay một tập con nào đó
của các tập hợp trên). Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu

     
.
 Dãy số
 
n
x
được gọi là bị chặn dưới, nếu
: ,
n
m x m n
     
.
Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.
 Dãy số
 
n
x
được gọi là tuần hoàn với chu kỳ k, nếu
,
n k n
x x n

  
. Dãy số
tuần hoàn với chu kỳ 1 gọi là dãy hằng.
1.3 Một số định nghĩa và định lý về giới hạn của dãy số
 Định nghĩa 1. Ta nói dãy số
 
n
x

           
.
 Định nghĩa 2. Ta nói dãy số
 
n
x
dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng, nếu
với mọi số thực dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên
0

( phụ thuộc vào dãy số
 
n
x
và

) sao cho với mọi n >
0

, ta có
n
x M
.
Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô
cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ.
 Định lý 1 ( Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ )
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

8
Nếu

x
có giới hạn hữu hạn L, nếu

0 0
: ,
n
n a x b a L b          

 Định lý 3 ( Định lý kẹp) Cho ba dãy số
 
n
x
,
 
n
y
,
 
n
z
, trong đó dãy số
 
n
x
và
 
n
z
có cùng giới hạn hữu hạn L và


x x nd n
   0 0
0 1
( 1)( ) ( 1)(2 )

2 2
n
n n
n x x n x nd
S x x x
   
     
.
1.5 Cấp số nhân
 Định nghĩa Dãy số
 
n
x
được gọi là một cấp số nhân khi và chỉ khi tồn tại
hằng số q sao cho
1
: .
n n
n x q x

  
.


9
1.6 Một số kiến thức liên quan giữa dãy số với công thức nghiệm của phương
trình nghiệm nguyên.
1. Xét phương trình nghiệm nguyên có dạng

2 2
0
ax bxy cy dx ey f
     
(1).
Sử dụng các phép biến đổi, ta đưa phương trình (1) về dạng
2 2
x dy m 
(2), trong đó
m là số nguyên.
Nếu d là số nguyên dương chính phương thì ta có thể giải phương trình (2) bằng cách
đưa về phương trình tích.
Nếu d là số nguyên dương không chính phương, khi đó phương trình (2) có nghiệm
nguyên dương thì nó sẽ có vô số nghiệm nguyên dương.
Chứng minh
Thật vậy, gọi
( ; )a b
là nghiệm cơ sở của phương trình Pell:
2 2
1
x dy
 
, và
0 0

   



. (*)
Ta có

2 2 2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( )
n n n n n n
n n n n
x dy ax dby d bx ay
a db x d a db y x dy m
 
    
      

Do đó, nếu
0 0
( ; )x y
là nghiệm không tầm thường của phương trình (2) thì
( ; )
n n
x y
cũng là
nghiệm của phương trình (2) với mọi n nguyên dương.
Chú ý



  

,
n
 
.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

10
2. Phương trình Pell loại 1
Định nghĩa
Phương trình Pell loại 1 là phương trình có dạng
2 2
1
x dy
 
(3), trong đó d là một
số nguyên dương.
Định lý 1 (về sự tồn tại nghiệm)
Phương trình Pell loại 1 có nghiệm nguyên dương
( ; )x y
khi và chỉ khi d là số
không chính phương.
Chú ý
Phương trình Pell loại 1 với d là số không chính phương có nghiệm nguyên dương
nên tồn tại nghiệm nguyên dương nhỏ nhất
( ; ) ( ; )x y a b

   


   

thì
( ; )
n n
x y
là tất cả các
nghiệm nguyên dương của phương trình (3),
*
n 

.
3. Phương trình Pell có chứa tham số
Định nghĩa
Phương trình Pell có chứa tham số là phương trình có dạng
2 2
x dy m 
(4), trong
đó d là một số nguyên dương không chính phương, còn m là số nguyên.
Định lý1
Giả sử phương trình (4) có nghiệm. Nếu
0 0
( ; )x y
là nghiệm nhỏ nhất của nó thì

2
2 2


2
2 2
; , 1,2, ,
ax
i
ma
m mb i k
d

 
 
  
 
 
 
, trong đó
( ; )a b
là nghiệm nhỏ nhất của phương trình
Pell loại 1
2 2
1
x dy
 
.
Xét k dãy sau đây. Dãy thứ i ( i = 1, 2,…,k) xác định khi

0, 0,
1, , ,
1, , ,


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

12
Chương II
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ
§1 Xây dựng dãy số từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai
Chúng ta nhận thấy từ hai nghiệm của một phương trình bậc hai có thể xây dựng ra
các dãy truy hồi tuyến tính bậc hai ( kiểu dãy số Fibonacci).
1. Xét phương trình bậc hai
2
1 0

a

    
.
Chọn m = 4, a = 1/4, ta có dãy số:
Bài toán 1. Cho dãy số
 
n
x
được xác định:
2
0 1
1, 16 2
n n
x x x n

    
. Xác định công
thức xác định dãy.
2. Xét phương trình bậc hai
2
1 0
x mx
  
có hai nghiệm
,
 
. Xét một số thực
a bất kỳ. Xét dãy số


n
x
được xác định:
3
0 1
1; 3 ,
n n n
x x x x n

     
. Xác định công
thức xác định dãy.
3. Xét phương trình bậc hai
2
4 5 0
x x
  
có hai nghiệm
1, 5
x x
  
.
Ta lập dãy số
 
n
x
:
*
( 1) (5) ,
n n







 






và
*
8 25
( 1) (5) ,
3 3
n n
n
x n    

(*)
Khi đó, ta lập được công thức dãy số
 
n
x
bằng cách:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC


   
   
.
Như vậy, ta có được dãy số
 
n
x
xác định:
*
1 2 2 1
39, 211, 4 5 ,
n n n
x x x x x n
 
     

.
Từ công thức dãy số (*), ta có
2016
2016
1
8 25(5)
3
x
 
 
 
.
Theo định lý Fecma:
2016

1 2 2 1
28, 200, 4 5 88,
n n n
y y y y y n
 
      

. Chứng minh rằng
2016
2017
y

.
4. Xét phương trình bậc hai
2
6 2016 0
x x
  
có hai nghiệm
42, 48
x x
  
.
Ta lập dãy số
 
n
x
:
( 42) (48) ,
n n







 
 





và
49 41
( 42) (48) ,
90 90
n n
n
x n
    
(*)
Khi đó, ta lập được công thức dãy số
 
n
x
bằng cách:

2 2
2


   
       
   
   
.
Như vậy, ta được dãy số
 
n
x
xác định:
0 1 2 1
1, 1, 6 2016 ,
n n n
x x x x x n
 
      
(**).
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

14
Từ công thức dãy số (*), ta có
2012 2012
2012
49 41
( 42) (48)
90 90
x   
.
Theo định lý Fecma:

0 1 2 1
1, 1, 6 5 ,
n n n
y y y y y n
 
      
.
Chứng minh rằng
2012
( 2010) 2011
y
 
.
5. Xét phương trình bậc hai
2
3 1 0
x x
  
có hai nghiệm
3 5 3 5
,
2 2
x x
 
 
.
Ta lập dãy số
 
n
x

.
Nếu chọn
0
1
5 5
1
10
1
5 5
10
A
x
x
B








 








   
   
 
   
   
   1 1
1 1
3 5 3 5 5 5 3 5 5 5 3 5
2 2 10 2 10 2
3 5 5 5 3 5 3 5 5 5 3 5
.
2 10 2 2 10 2
n n
n n
 
 
 
     
     
 
  
     
     
 
     
 
   

n
x
xác định:
0 1 2 1
1, 1, 3 ,
n n n
x x x x x n
 
     
. (**)
Và ta có đẳng thức
2 2
1 1
3 1,
n n n n
x x x x n
 
    
. (1)
Từ công thức (**) bình phương hai vế và sử dụng (1), ta được:

2 2 2
2 1
7 2,
n n n
x x x n
 
    
.
Do đó, nếu đặt
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

16
§2 Xây dựng dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình nghiệm
nguyên
Một dãy truy hồi tuyến tính với hệ số nguyên và các số hạng đầu đều nguyên sẽ
chứa toàn số nguyên. Đó là điều hiển nhiên. Thế nhưng có những dãy số mà trong công
thức truy hồi có phân số, thậm chí có cả căn thức, nhưng tất cả các số hạng của nó vẫn
là số nguyên. Đấy là điều bất ngờ. Tuy nhiên, nếu xem xét kỹ, ta có thể thấy chúng có
một mối quan hệ “mật thiết”
Chúng ta xét một dãy số sau: Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số
 
n
x
xác
định bởi
2
0 1
1, 9 4 5( 4)

x x x x
 
   
(2)
Lấy (1) trừ (2) theo vế:

  
2 2
1 1 1 1 1 1 1
18 ( ) 0 18 0
n n n n n n n n n n
x x x x x x x x x x
      
        
(3)
Từ công thức truy hồi của dãy, ta có
1
,
n n
x x n

   
, do đó từ (3), suy ra:

1 1
18 , 1
n n n
x x x n
 
   

Và
2
2
1 1 1
1
320
320 , 1
n
n n n n
n
x
x x x x n
x
  


     
(3)
Từ kết quả bài toán trên, ta nhận thấy cả công thức ban đầu và công thức hệ quả
1 1
18 , 1
n n n
x x x n
 
   
của dãy số đều gợi cho chúng ta đến với phương trình nghiệm
nguyên.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

17

x x n
x x



    


. (1.2)
Từ công thức (1.2) suy ra
2 2
1 1
5 5 0
n n n n
x x x x
 
   
(1.3)
Thay n bởi n-1, ta được
2 2
1 1
5 5 0
n n n n
x x x x
 
   
(1.4)
Từ (1.3) và (1.4) ta nhận thấy
1 1
,

1 1 1
1
5
5 ,
n
n n n n
n
x
x x x x n
x
  


      

Như vậy, dãy số nguyên được xác lập
0 1 2 1
1, 2, 5 ,
n n n
x x x x x n
 
     
có các cặp
số hạng
1
( ; ),
n n
x x n

 

x yx y
   
có vô số nghiệm
( ; )x y
nguyên
dương, nên suy ra
2 2 2
25 4( 5) 21 20
y y y
     
phải là số chính phương. Từ đậy, ta
xây dựng bài toán về dãy số
Bài toán 6. Cho dãy số
 
n
x
được xác định:
0 1 2 1
1, 2, 5 ,
n n n
x x x x x n
 
     
. Chứng
minh rằng số
2
21 20,
n
x n
  

2 2 2
2 1 2 1 1
5 , 25 10
n n n n n n n n
x x x n x x x x x
    
       

,
kết hợp với
2 2
1 1
5 5
n n n n
x x x x
 
  
, ta có
2 2 2
2 1
23 10
n n n
x x x
 
  
.
Đặt
2
n n
x y

x y

. Lập dãy số
 
n
x
xác định:

2 2
1
0 1
1
6
1, 1, 8,
n n
n n
x x
x x n
x x


 
    
. (2.2)
Từ công thức (2.2) suy ra
2 2
1 1
8 6 0
n n n n
x x x x

n n n
x x x
 
 

1 1
8 , 1
n n n
x x x n
 
    

Và
2
2
1 1 1
1
6
6 ,
n
n n n n
n
x
x x x x n
x
  


      


x x x x
 
    

Do đó
1 2
( ; )
n n
x x
 
cũng là nghiệm của phương trình (2.1).
Ta kết luận phương trình (2.1) có vô số nghiệm nguyên dương.
 Từ phương trình (2.1), viết lại
2 2
8 6 0
x yx y
   
có vô số nghiệm
( ; )x y
nguyên
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

19
dương, nên suy ra
/ 2 2 2
16 ( 6) 15 6
y y y
     
phải là số chính phương. Từ đậy, ta xây
dựng bài toán.

n n n
x x x x x n
 
     
.
Chứng minh rằng
2
1
( 6) ,
n n
x x n

   
.
Bài toán 11. Cho dãy số
 
n
x
được xác định:
0 1 2 1
1, 1, 8 ,
n n n
x x x x x n
 
     
.
Chứng minh rằng số
1 1
6,
n n

n n n
x x x
 
  
.
Đặt
2
n n
x y
, ta có bài toán.
Bài toán 12. Cho dãy số
 
n
y
được xác định:

0 1 2 1
1, 1, 62 12,
n n n
y y y y y n
 
      
. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số
 
n
y
đều là số chính phương.
3. Xét phương trình nghiệm nguyên dương
2 2
10 3( 1)( 1)

(3.2)
Thay n bởi n-1 vào (3.2) ta được
2 2
1 1
3( 1) 3 7 0,
n n n n n
x x x x x n
 
       
(3.3)
Từ (3.2) và (3.4) ta nhận thấy
1 1
,
n n
x x
 
là nghiệm của phương trình bậc hai

2 2
3( 1) 3 7 0
n n n
x x x x x
     
(3.4)
Theo Viet của phương trình (3.4) ta có

1 1
3( 1)
n n n
x x x

20
Như vậy, dãy số nguyên được xác lập
0 1 2 1
1, 1, 3 3,
n n n
x x x x x n
 
      
có các cặp
số hạng
1
( ; ),
n n
x x n

 
là nghiệm của phương trình (3.1).
Từ phương trình (3.1), viết lại
2 2
10
3
( 1)( 1)
x y
x y
 

 
hoặc
2
( ) 5 3( ) 7

được xác định:

0 1 2 1
1, 1, 3 3,
n n n
x x x x x n
 
      
.
Chứng minh rằng số
2
1 1
( 3 7) ,
n n n
x x x n
 
    
.
Bài toán 15. Cho dãy số
 
n
x
được xác định:

0 1 2 1
1, 1, 3 3,
n n n
x x x x x n
 
      

1
1 1
1, 2, 4,
n n
n n
x x
x x n
x x


 
      2 2
1 1 1
4 0,
n n n n n n
x x x x x x n
  
       2 2
1 1
(4 1) 0,
n n n n n
x x x x x n
 
       

x x x
 
  
Và
2
1 1
n n n n
x x x x
 
 

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

21
Như vậy, dãy số nguyên được xác lập
0 1 2 1
1, 2, 4 1,
n n n
x x x x x n
 
      
có các
cặp số hạng
1
( ; ),
n n
x x n

 
là nghiệm của phương trình (4.1).

được xác định:

0 1 2 1
1, 2, 4 1,
n n n
x x x x x n
 
      
.
Chứng minh rằng số
1 1
2 ( ),
n n n n
x x x x n
 
   
đều là số chính phương.
Bài toán 17. Cho dãy số
 
n
x
được xác định:

0 1 2 1
1, 2, 4 1,
n n n
x x x x x n
 
      
.


1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
( 1)
2
n n

là một số chính phương.
Gọi
y
là số nguyên dương sao cho
2 * 2 2
( 1) 2 , 4 4 1 8 1
n n y y n n y
       
.
Đặt
*
2 1,x n x  

.
Xét phương trình Pell
2 2
8 1
x y
 
,có nghiệm nhỏ nhất (3;1). (5.1)
Vậy công thức nghiệm nguyên dương của phương trình là hai dãy số
 
n
x

.
Hơn nữa
2 1
6 2 (mod 2),
n n n n n
x x x x x n
 
     

*
1(mod2) ( 1) 2,
n n
x x n     
 
.
Do đó từ cách đặt ta có
1
2
x
n


là số nguyên dương, suy ra dãy số
 
n
u
xác định các số
nguyên dương n:
*
1 2 2 1

,
2
n n
u u
n

 

đều là các số chính phương.
Bài toán 19. Cho dãy số
 
n
u
và
 
n
y
được xác định:

*
1 2 2 1
*
1 2 2 1
1, 8, 6 2,
1, 6, 6 ,
n n n
n n n
u u u u u n
y y y y y n
 

Đặt
3 1X x y  
, phương trình (6.2) trở thành
2 2
8 1
X y
 
(6.3)
Phương trình (6.3) có nghiệm nhỏ nhất (3;1)
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

23
Vậy công thức nghiệm nguyên dương của phương trình (6.3) là hai dãy số
 
n
X
,
 
n
y

xác định bởi
0 1 2 1
0 1 2 1
1, 3,
0, 1, 6
n n n
n n n
X X X X X
y y y y y

x X y
      
      2 2 2 1 1
1 1
*
1
3 1 6 3(6 ) 1
6( 3 1) ( 3 1) 4
6 4,
n n n n n n n
n n n n
n n
x X y X X y y
X y X y
x x n
    
 

       
      
    


Ta có hai dãy số
 
n
x

. Từ đây ta xây dựng các bài toán về dãy số.
Bài toán 20. Cho dãy số
 
n
u
được xác định:
*
1 2 2 1
1, 5, 6 ,
n n n
y y y y y n
 
     

.
Chứng minh rằng số
2 *
8 1,
n
y n  

đều là các số chính phương.
Bài toán 21. Cho dãy số
 
n
x
và
 
n
y

.

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

24
§4 Xây dựng các dãy số nguyên từ công thức nghiệm phương trình
2 2
x dy m 

1. Xét phương trình nghiệm nguyên dương
2 2
5 4
x y
  
(7.1)
Ta có nghiệm cơ sở
( ; ) (9;4)
 

của phương trình Pell
2 2
5 1
x y
 

Ta nhận thấy phương trình (7.1) có nghiệm
0 0



(7.2)
Từ hệ (7.2) còn viết lại:
2
1
2
1
9 4 5( 4)
,
9 4 5 4
n n n
n n n
x x x
n
y y y



  

 


  


(7.3)
Xét dãy số
 

2 2
1 1 1 1 1 1
18 ( ) 18 , 1
n n n n n n n n
x x x x x x x x n
     
        
.
Xét dãy số
 
n
y
:
2
0 1
1, 9 4 5 4 ,
n n n
y y y y n

     2 2
1
( 9 ) 80 64
n n n
x x x

   



     
.
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số
 
n
y
đều là số nguyên.
Bài toán 23. Cho dãy số
 
n
x
được xác định:
2
0 1
1, 9 4 5( 4)
n n n
x x x x n

     
.
Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số
 
n
x
đều là số nguyên.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ TRƯƠNG NGỌC ĐẮC

25
2. Mặt khác, ta cũng xét phương trình:

Kiểm tra trực tiếp
        
.5,11,2,4,1,1,



Theo công thức nghiệm thì tất cả các nghiệm của phương trình (8.1) được xác định











1,13,3,13,13,3,11,03,0
1,11,1,11,11,2,12,02,0
1,11,1,11,11,1,11,01,0
94,209,5,11
94,209,2,4
94,209,1,1
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
yxyyxxyx
yxyyxxyx
yxyyxxyx







1
3
411
41129
123
234
b
a
ba
ba
bxaxx
bxaxx
.
Vậy
11
3


nnn
xxx
. Tương tự cho dãy
 
.
n








1121
1121
3,2,1
3,4,1
nnn
nnn
yyyyy
xxxxx
,
2
n
 

a. Chứng minh rằng
2 2 *
5 4 0,
n n
x y n    

.
b. Chứng minh rằng nếu a, b nguyên dương thỏa mãn
2 2
5 4