ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
NGUYỄN VĂN THI
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 12
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN
HÀ NỘI - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
NGUYỄN VĂN THI
Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên em thêm
nghị lực hoàn thành Luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy cô giáo và bạn đọc. Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả luận văn Nguyễn Văn Thi
ii
MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn Mục lục
7
1.2.3. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
8
1.2.4. Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán
9
1.3. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ
9
1.3.1. Rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ
9
1.3.2. Phương pháp tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ
10
1.3.3. Cách thức dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán
14
1.3.4.Yêu cầu đối với lời giải bài toán phương trình vô tỷ
14
1.3.5. Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán phương trình
vô tỷ 16
1.3.6. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng giải phương trình vô tỷ
20
29
2.1.5. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị
các biểu thức thành phần 30
2.1.6. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến
thiên của hàm số 33
2.2. Biện pháp 2: Hình thành khả năng phát hiện sự tương ứng để từ
đó rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán 35
2.2.1. Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tìm điều kiện
cho ẩn phụ 38
2.2.2. Khắc sâu mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ
42
2.2.3. Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách
phát biểu bài toán 47
2.3. Biện pháp 3: Trang bị kiến thức về các phép biến đổi phương
62
2.4.3. Theo dõi một sai lầm của học sinh khi giải toán qua các giai đoạn
63
2.5. Biện pháp 5: Hình thành khả năng phân tích, định hướng phương
pháp giải 71
iv
2.6. Kết luận chương 2
79
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
80
3.1. Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm
80
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
80
3.2.1. Lớp thực nghiệm
80
3.2.2. Tiến trình thực nghiệm
80
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp
với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”.
- Dự thảo chương trình (1989) môn Toán nêu rõ: “ Góp phần phát triển năng lực
trí tuệ, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy biện chứng, tư duy
hàm…; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo…”.
- Còn theo chương II điều 28 Luật Giáo dục 2006 thì: " Phương pháp giáo dục
phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả
năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác
động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Trong quá trình dạy học ở trường Trung học phổ thông tôi nhận thấy việc rèn
luyện kỹ năng giải toán, mục tiêu giáo dục học sinh của những người làm công tác
giáo dục là hết sức quan trọng. Điều đó được nêu cụ thể trong Luật giáo dục,
chương I, điều 2: "Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam
phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung
thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng
nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây dựng và bảo
vệ Tổ quốc". Cụ thể hóa điều này, mục tiêu dạy học của môn Toán là:
2
- Trang bị kiến thức cơ bản, cần thiết nhất cho học sinh;
- Rèn luyện kỹ năng giải toán để phát triển tư duy cho học sinh;
- Rèn luyện kỹ năng ứng dụng khoa học nói chung và toán học nói riêng
vào thực tiễn cuộc sống;
- Phát triển và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán học.
Trong chương trình toán Trung học phổ thông, các em học sinh đã được
tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với một vài
cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên trong
thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa
phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi lớp 12 trung học phổ thông ".
2. Mục đích nghiên cứu
Đề ra một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khá
giỏi trong dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ nhằm góp phần nâng cao
chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống hoá các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện kỹ
năng toán học cho học sinh.
Hệ thống hoá các kỹ năng giải toán phương trình vô tỷ cần rèn luyện cho
học sinh khá giỏi.
Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hiện giảng dạy chuyên đề phương trình vô tỷ.
Thiết kế các hoạt động, các ví dụ về nội dung phương trình vô tỷ.
Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng.
4. Phạm vi nghiên cứu
Qua quá trình dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ ở trường phổ thông.
5. Mẫu khảo sát
Lớp 12A3 và 12A5 trường THPT Bất Bạt - Ba Vì - Hà Nội.
6. Vấn đề nghiên cứu
Ở trường phổ thông dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ như thế nào
để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khá giỏi.
4
7. Giả thuyết khoa học
Nếu giảng dạy chuyên đề phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi theo
định hướng rèn luyện kỹ năng giải toán thì có thể nâng cao chất lượng dạy
học chuyên đề này ở trường phổ thông.
8. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo dục học, Lý
luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục có liên quan đến đề tài.
Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra
quyết được nhiệm vụ. Với quá trình đó con người dần hình thành cho mình cách
thức (kỹ năng) để giải quyết các vấn đề đặt ra. Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm
lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách
thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [23, tr.131].
Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các
dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những
nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[17, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[27, tr. 426].
Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm
vụ mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng
kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp ) vào giải quyết các bài tập cụ
thể. Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra
khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn
có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc
chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc
tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định.
Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành
6
động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra
thu được thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức
(hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát
hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và
những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho.
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng
Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kỹ năng gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết
hành động giải toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học".
1.2.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền
thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện
được phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ không được
củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như vào các ngành khoa học khác,
nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động tương ứng.
Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng
là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này
đã được nhiều tác giả đề cập như:
“ Suy nghĩ tức là hành động” ( J. Piaget);
“ Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant);
“ Học để hành, học và hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh).
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
thạo vào việc giải bài tập.
Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho học sinh. Việc
hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một trong những
yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học sinh hiểu sâu sắc
kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho học sinh các
8
thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ,
phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài
tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhau như:
Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri
thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán
- Coi trọng việc rèn luyện khả năng tính toán trong giờ học, đó là sự phát triển
trí tuệ cho học sinh qua môn Toán gắn bó với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành
- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ: tính kiên trì, cẩn
thận chính xác, các thói quen tự kiểm tra, đánh giá để tránh sai lầm có thể gặp.
1.2.4. Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán
Hệ thống kỹ năng giải toán cho học sinh có thể chia làm ba cấp độ: Biết
làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể.
Trong giải toán học sinh cần có nhóm kỹ năng sau:
+ Nhóm kỹ năng vận dụng chung;
+ Nhóm kỹ năng thực hành;
+ Nhóm kỹ năng về tư duy.
- Kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức trong giải toán:
+ Kỹ năng tổng hợp: Liên hệ các dữ kiện trong bài toán, tóm tắt
nội dung bài toán, kết cấu lại đề toán đã định hướng giải;
+ Kỹ năng phân tích;
+ Kỹ năng mô hình hóa;
+ Kỹ năng sử dụng thông tin.
1.3. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ
1.3.1. Rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ
Đây là khâu rất quan trọng có tính chất quyết định trong việc rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh. Vì vậy, trong quá trình dạy học giải bài tập phương
10
trình vô tỷ, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tập luyện khâu này thật kỹ lưỡng,
làm cho họ ý thức được vai trò đặc biệt quan trọng của khâu này, thể hiện ở chỗ:
- Khi giải bài tập toán, dù có kỹ thuật cao, có thành thạo trong thực hiện các
thao tác, các phép tính hay các phép biến đổi nhưng khi chưa có phương hướng
giải hoặc chưa có phương hướng giải tốt thì chưa thể có lời giải hoặc lời giải tốt.
- Khi đã có phương hướng giải thì việc thực hiện các thao tác khi trình
bày lời giải có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo, những phân
Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán hay liên hệ
các giả thiết, các điều kiện đã cho với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán
cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán
tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan.
Bước này nhằm rèn luyện những kỹ năng đi sâu vào mỗi bài toán:
Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện bài toán và cả kết quả của nó
giúp cho người giải toán hiểu rõ quá trình xảy ra có tính quy luật của mọi bài
toán. Nghĩa là, người giải toán sẽ biết được với các giả thiết, các điều kiện đã
cho như vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra như thế nào?
Làm tốt bước này người giải toán có đủ lòng tin vào đường lối mình đã
tiến hành và hy vọng ở tính đúng đắn của mọi thao tác, biến đổi. Ngoài ra, nó
còn giúp ích nhiều cho người giải toán trong việc tìm kiếm các bài toán liên
quan, sáng tạo ra các bài toán mới.
Bước 3: Trình bày cách giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự nhất định và thực hiện các bước đó.
Bước này nhằm rèn luyện cho người giải toán khả năng trình bày một lời
giải chính xác, chặt chẽ, lôgic và thẩm mỹ.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giải
những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ đó sáng tạo ra bài
12
toán mới. Để làm tốt việc này trước hết người giải toán phải phân tích kỹ để
nắm được đặc điểm và bản chất của bài toán, các yếu tố tạo nên bài toán đó.
Như thế mới có thể thấy được mối liên hệ giữa các bài toán trong cùng một
loại bài toán và giữa các loại bài toán khác nhau.
Ví dụ1.1: Giải phương trình
2 2
5x 14x 9 x x 20 5 x 1
= (x + 4) (x
2
-4x - 5).
và 2x
2
- 5x + 2 = 2(x
2
- 4x - 5) + 3 (x+4).
Việc phát hiện ra được mối liên hệ đó cho phép ta thu được phương trình:
2(x
2
- 4x - 5) + 3 (x+4) =
2
5 x 4x 5 x 4
.
Để giải phương trình này, ta có thể chuyển về phương trình bậc hai hay
phương trình thuần nhất.
Bước 3: Trình bày cách giải
13
Ta có phương trình (1.1)
2 2
5x 14x 9 x x 20 5 x 1
.
Do hai vế không âm, bình phương hai vế ta thu được:
Phương trình (1.1) 2x
2
- 5x + 2 = 5
3 5
x 4 x 4
.
Đặt t =
2
x 4x 5
x 4
0, ta được:
2t
2
- 5t + 3 = 0, t 0 t = 1 hoặc t =
3
2
.
Với t = 1
2
x 4x 5
x 4
=1.
2
x 4x 5
x 4
x 4x 5
x 4
=
9
4
.
4x
2
- 25x - 56 = 0 x = 8 hoặc x= -
7
4
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 8 và x =
5 61
2
.
14
Bước 4: Nghiên cứu sau lời giải.
Từ ví dụ này ta có thể đưa ra một phương pháp chung để giải những phương trình
tương tự: Chuyển vế, luỹ thừa hai vế và phân tích theo các biểu thức trong dấu căn.
1.3.3. Cách thức dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng
được phương pháp tìm lời giải bài toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà
họ gặp trong chương trình. Học phương pháp tìm lời giải không phải là học
một thuật giải mà học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi,
phát hiện. Theo [19], tác giả Nguyễn Bá Kim, cách thức dạy học phương pháp
pháp suy luận, kỹ năng tính toán. Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng,
một biểu thức một hàm số thoả mãn yêu cầu bài ra
Yêu cầu này cũng đảm bảo lời giải phải đầy đủ, không được thiếu một trường
hợp nào, một chi tiết nào. Đặc biệt giải phương trình không được thiếu nghiệm.
Ngôn ngữ dùng phải chính xác.
Lập luận phải chặt chẽ.
+ Luận đề phải nhất quán: Luận đề là một yêu cầu hoặc một điều phải
chứng minh. Luận đề phải nhất quán nghĩa là không được đánh tráo đề bài,
đánh tráo điều phải chứng minh.
+ Luận cứ phải đúng: Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa định lý đã
biết .Trong quá trình giải bài tập phải sử dụng những tiên đề, định nghĩa định
lý đã biết một cách chính xác, đầy đủ các điều kiện.
+ Luận chứng phải hợp lôgic: Luận chứng là phép suy luận được sử dụng
trong chứng minh, luận chứng phải hợp lôgic nghĩa là phép suy luận phải hợp lôgic.
1.3.4.2. Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất
Được làm việc với các bài toán có nhiều lời giải khác nhau, học sinh sẽ vận
dụng được nhiều kiến thức khác nhau để di đến cùng một đích, chính quá trình tìm
được lời giải dẫn đến học sinh biết cách so sánh các lời giải với nhau tìm ra lời
giải hay nhất, ngắn nhất, dễ hiểu nhất và dùng kiến thức đơn giản nhất.
16
Tìm được những lời giải khác nhau cho một phương trình là rất tốt.
Xong vấn đề chỉ có thể thực hiện được có hiệu quả khi học sinh đã giải đúng
được bài toán theo một phương pháp nhất định. Đứng trước một phương trình
đầu tiên cần lo giải được nó rồi mới giải theo một cách khác.
1.3.4.3. Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bài toán khái quát hoá là từ một bài toán ban đầu ta xây dựng bài toán
mới nhờ bỏ bớt đi một số yếu tố của bài toán cũ, hoặc bỏ đi một số điều kiện
ràng buộc, hoặc một số đòi hỏi của kết luận, thay hằng bởi biến. Khi đó ta có
bài toán mở rộng hoặc tăng thêm độ phức tạp của bài toán cũ.
lớp nhiều, chỉ cần tính toán sai một bước sẽ dẫn đến tất cả đều sai. Do đó cần
rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán ở nhiều mức độ khác nhau.
Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh khi giải phương
trình cần chú trọng rèn luyện kỹ năng này trong tất cả các nội dung kiến thức
khác. Cần rèn luyện các đức tính như cẩn thận, chu đáo, kiên trì, nhanh trí nhằm
tiến tới thói quen tính toán chính xác, đồng thời một đề ra có thể có nhiều cách
giải từ các khía cạnh khác nhau, cần khai thác triệt để làm như vậy học sinh có
cơ hội tính toán linh hoạt đa dạng. Từ đó tìm ra cách giải ngắn và hay nhất.
- Kỹ năng thực hiện các phép biến đổi, đặc biệt là các phép biến đổi đồng
nhất, các phép biến đổi tương đương.
- Kỹ năng vận dụng các phương trình mẫu.
Thứ nhất: đây là những kiến thức cơ bản, yêu cầu học sinh cần nắm được.
Thứ hai: đây là nền tảng, là bài toán gốc để giải bài toán ở mức độ cao hơn.
(Quá trình giải phương trình phần lớn “biến đổi” đưa về các phương trình
dạng đơn giản, cơ bản đã có sẵn cách giải).
- Kỹ năng sử dụng đồ thị: Học sinh không khỏi thắc mắc giải toán
phương trình sao cần đến kỹ năng sử dụng đồ thị, họ cho rằng kỹ năng này chỉ
cần khi học nội dung “hàm số”. Thực ra nhiều bài toán phương trình, bất
phương trình giải bằng phương pháp đồ thị, nhất là các bài toán xác định số
18
nghiệm hay biện luận số nghiệm giải bằng phương pháp này dễ nhận ra kết
quả, nhanh chóng, trực quan.
Ví dụ 1.2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
2
4+ x 6- x = x -2x + m
.
Điều kiện :
4 x 6
m 1 5
m 6
. 5 M(1;5)
Phương pháp sử dụng đồ thị hàm số
đặc biệt phát huy tác dụng khi biện luận O
về số nghiệm của phương trình. Mặc dù -4 0 1 6 x
phương pháp này không chỉ ra được chính xác nghiệm của phương trình
nhưng số nghiệm của phương trình được nhận ra khá dễ dàng và trực quan.
- Kỹ năng suy luận: Kỹ năng này không chỉ cần khi giải toán phương
trình mà có thể nói đây là kỹ năng chung cần để giải bài tập toán.
Kỹ năng suy luận vừa thể hiện khía cạnh nhận thức vừa thể hiện khía
cạnh xử sự của kỹ năng. Để đưa ra những suy luận học sinh phải dựa vào đặc
điểm, nhận thức dự đoán, phân tích riêng của bản thân để đưa ra nhiều cách
làm khác nhau.
Ví dụ 1.3: Giải phương trình sau
x -1+ 3- x 2
( 1.3).
Bằng suy luận của mình học sinh có thể đưa ra các cách giải sau:
y=x
2
-2x+m
19
Cách 1: Biến đổi tương đương.
Phương trình (1.3)
1 x 3
x 2
x 2
.
Cách 2: Phương trình (1.3) là phương trình vô tỷ nhưng lại có nghiệm duy
nhất, điều đó gợi cho ta có cách giải khác. Ta có thể thử đi chứng minh vế trái
của phương trình nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta có:
2
2 2
x -1+ 3-x 1 1 x -1+3-x
2
x -1+ 3- x 4
x -1+ 3-x 2
.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
x -1 3- x
.
Thông qua bài toán này ta thấy việc nghiên cứu tính chất của các biểu
thức có mặt trong phương trình cần kết hợp với các biểu thức có mặt trong bài
toán từ đó định hướng cách giải.
Các kỹ năng suy luận, chứng minh là những kỹ năng chung, đều cần khi
giải toán nên chúng tôi không đề cập nhiều.
Ngoài ra các kỹ năng vận dụng các phần kiến thức cụ thể vào giải
phương trình vô tỷ như kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên
hàm số, kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị của các biểu
thức thành phần chúng tôi sẽ trình bày cụ thể ở phần sau.
Copyright: Tài liệu đại học ©