1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

VŨ THỊ THÙY HƯƠNG
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2015



3
LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo
trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình, tận tâm
giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Hoàn thành luận văn tại trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia
Hà Nội dưới sự tận tình hướng dẫn khoa học của PGS. TSKH. Vũ Đình Hòa.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã giúp đỡ ,
chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi nghiên cứu và hoàn chỉnh luận
văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và
các em học sinh trường THPT Hồng Quang, THPT Thành Đông – Hải Dương
đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Lời cảm ơn chân thành của tôi cũng xin được dành cho người thân, gia
đình và bạn bè, đặc biệt là lớp Cao học Toán K7, K8 trường Đại học Giáo
dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã động viên tác tôi trong suốt thời gian qua.

Xin chân thành cảm ơn!
Hải Dương, ngày 25 tháng 11 năm 2014
Tác giả
Vũ Thị Thùy Hương

Lời cảm ơn……. i

Danh mục chữ viết tắt ii

Mục lục iii

Danh mục bảng vi

Danh mục biểu đồ vii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán 7

1.1.1. Khái niệm kĩ năng 7

1.1.2. Kĩ năng giải toán 8

1.1.3. Phân loại kĩ năng trong môn Toán 8

1.1.4. Sự hình thành của kĩ năng giải toán 9

1.1.5. Điều kiện để có kĩ năng 10

1.1.6. Các mức độ của kĩ năng giải toán 10


trình bằng phương pháp hàm số ở trường THPT Thành Đông và trường
THPT Hồng Quang – Thành phố Hải Dương 16

1.4.2. Những khó khăn và sai lầm của học sinh trong giải phương trình và

6
bất phương trình 17

Chương 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN RÈN LUYỆN KĨ
NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ………………………………… …………. 21

2.1. Nội dung phần giải phương trình và bất phương trình bằng phương
pháp hàm số ở THPT

21

2.1.1. Mục tiêu và nhiệm vụ của dạy học giải phương trình và bất phương
trình bằng phương pháp hàm số ở THPT

21

2.3.2. Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình lượng giác

38

2.3.3. Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình mũ và
lôgarit 51

2.3.4. Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình

69

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 87

3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 87

3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm

87

3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 87

3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm 87

3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm 88

3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm


PHỤ LỤC 110 8
DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1. Thống kê kết quả của bài kiểm tra số1

97
Bảng 3.2. Kết quả xử lý để tính các tham số của bài kiểm tra số 1

97
Bảng 3.3. Các tham số đặc trưng của bài khiểm tra số 1

98
Bảng 3.4. Tần suất và tần suất tích lũy bài của bài kiểm tra số 1

98
Bảng 3.5. Thống kê kết quả bài kiểm tra của bài kiểm tra số 2

101
Bảng 3.6. Kết quả xử lý để tính các tham số của bài kiểm tra số 2

101
Bảng 3.7. Các tham số đặc trưng của bài kiểm tra số 2

101

Biểu đồ 3.2. Biểu đồ tần suất tích lũy của bài kiểm tra số 1 99
Biểu đồ 3.3. Biểu đồ tần suất của bài kiểm tra số 2 103
Biểu đồ 3.4. Biểu đồ tần suất tích lũy của bài kiểm tra số 2 103 MỞ ĐẦU

học.
11
Việc học tập môn Toán được diễn ra trong nhà trường phổ thông chủ yếu là
hoạt động giải toán. Trong quá trình đi tìm tòi lời giải cho bài toán và trình bày lời
giải đó, học sinh thường mắc một số sai lầm và lúng túng không biết sai lầm từ đâu
khi giáo viên chưa nhấn mạnh đến việc khắc phục sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải
toán cho học sinh. Trên thực tế số lượng các bài tập của từng chương, từng chuyên
đề cũng rất nhiều. Trong quá trình học tập học sinh không thể giải từng bài một mà
phải học các dạng bài tập lớn, mỗi dạng bài tập lớn đó đều có phương pháp và kĩ
năng giải khác nhau, đặc biệt là các dạng bài toán về phương trình và bất phương
trình. Qua thực tế dạy học ở THPT tôi nhận thấy học sinh thường mắc một số sai
lầm trong lập luận trình bày và đa số các em học sinh đều chưa có kĩ năng thành
thạo để giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số. Hơn nữa
trong những năm gần đây các đề thi Cao đẳng, Đại học, thi học sinh giỏi các cấp
luôn luôn có dạng bài tập về phương trình và bất phương trình, trong đó có rất
nhiều bài tập được giải bằng phương pháp hàm số. Từ những kinh nghiệm qua
giảng dạy nghiên cứu các mảng chuyên đề toán học của THPT, tôi đã đề xuất
phương pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình bằng
phương pháp hàm số.
Chính vì những lí do trên nên chúng tôi chọn tên đề tài là: “Rèn luyện kĩ năng
giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Ở nước ta có nhiều nhà tài liệu sách tham khảo viết về sử dụng phương pháp
hàm số để giải phương trình, bất phương trình như:
+ Ôn luyện thi cấp tốc môn Toán theo chuyên đề của nhóm tác giả Phạm Hồng
Danh, Nguyễn Phú Khánh, Trần Văn Toàn và Nguyễn Tất Thu [7].
+ Tạp chí toán học tuổi trẻ có các bài viết của tác giả Lê Hồ Quý [23].

giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số nhằm nâng cao
chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1 Mục đích nghiên cứu
- Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực tạo điều kiện thuận lợi
cho công tác dạy học.
- Giúp cho học sinh rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp dạng toán về phương
trình và bất phương trình. Từ đó phát triển tư duy lôgic, khái quát hoá vấn đề.
- Tìm kiếm biện pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình.
- Rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động trí tuệ và tính sáng tạo của người lao
động nhằm phát triển toàn diện trong tương lai.
13
3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống đầy đủ và phân loại các dạng bài tập hay gặp trong các đề thi ĐH, HSG
liên quan đến chủ đề phương trình và bất phương trình khó phù hợp với từng trình
độ phát triển tư duy của học sinh.
- Thông qua các bài tập cụ thể chỉ ra cách thức tổng quát để áp dụng cho các bài
toán tương tự.
- Qua việc phân lớp các dạng bài tập có đưa ra hệ thống các bài tập tự luyện và mở
rộng chúng để học sinh rèn luyện kĩ năng giải.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi về thời gian: Trong khoảng thời gian từ tháng 8/2014 đến nay,
cùng với 12 năm kinh nghiệm giảng dạy tại trường THPT Thành Đông và trường
THPT Hồng Quang – Thành phố Hải Dương – Tỉnh Hải Dương.
- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kĩ năng giải các bài tập về phương
trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số cho học sinh THPT.
5. Mẫu khảo sát

trường THPT Thành Đông và trường THPT Hồng Quang tỉnh Hải Dương; cung cấp
bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm.
- Phương pháp thống kê toán học: Xử lí các số liệu thu được sau khi điều
tra.
9. Những đóng góp của Luận văn
- Hệ thống và phân loại các dạng phương trình và bất phương trình thường
gặp ở THPT.
- Cung cấp cho học sinh cơ sở lí thuyết về hàm số, nghiệm của phương trình,
nghiệm của bất phương trình và các kĩ thuật trình bày lời giải của phương trình và
bất phương trình được giải theo phương pháp hàm số.
- Minh họa được nhiều loại bài tập có trong các đề thi ĐH – CĐ và thi HSG
những năm gần đây.
- Giúp cho các em học sinh rèn kĩ năng giải toán và giáo viên có thêm nhiều
kinh nghiệm trong dạy học .
- Nâng cao khả năng giải toán cho học sinh thông qua các phương pháp mới,
có chú trọng đến việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
10. Cấu trúc Luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo,
phụ lục, nội dung chính của luận văn gồm có ba chương.
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài.
15
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình
và bất phương trình bằng phương pháp hàm số.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

giải quyết một nhiệm vụ mới.
Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao
tác hành động để đạt tới mục đích đã định. Cơ sở của kĩ năng là kiến thức. Người
có kĩ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm và
những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể; phải biết
tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, phù hợp với mục tiêu của hành động.

17
1.1.2. Kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán
cần giải về dạng tương đương đơn giản.
Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán là môn học giữ một vai
trò và vị trí quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách cho học
sinh. Khi học môn Toán, kĩ năng giữ một vai trò quan trọng và đặc biệt cần thiết,
bởi vì nếu không có kĩ năng học sinh sẽ không phát huy được tư duy và cũng không
đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề.
Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kĩ năng giải toán:
 Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có
cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra những quy tắc cho riêng mình.
Đây là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và
không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh.
 Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng về
những kĩ năng một cách hệ thống và đầy đủ. Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ
nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết.
Như vậy: Kĩ năng giải toán là khả năng sử dụng và vận dụng linh hoạt các tri
thức về toán học, kết hợp với các kiến thức khoa học khác và những kiến thức thực
tế để giải quyết những bài toán.

làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện
được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu Do kiến thức là cơ sở của kĩ năng
cho nên tùy theo kiến thức mà học sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rèn
luyện kĩ năng tương ứng.
Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy giải quyết các nhiệm
vụ đặt ra. Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các yếu
tố như: Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn kĩ năng, mức độ chủ động tích cực
của học sinh, Có hai con đường hình thành kĩ năng cho học sinh đó là:
- Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học
sinh những bài toán vận dụng tri thức đó. Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải,
bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm qua đó phát hiện ra các
mốc định hướng tương ứng, những thủ thuật biến đổi.
- Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được
đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối sáng tạo đó vào từng
bài toán cụ thể.
19
Thực chất sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin
chứa đựng trong bài toán.
Khi giúp học sinh hình thành kĩ năng cần tiến hành:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải
tìm và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải những bài toán
cùng dạng.
- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tồng quát và kiến thức tương
ứng.
- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thường được trừu tượng hóa

kĩ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học
với hành.
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm,
định nghĩa, định lí mà học sinh không thực sự nắm được bản chất của các phát biểu
đó nên không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập.
Có thể nói, bài tập toán chính là “chìa khóa” để rèn luyện kĩ năng giải toán. Do đó,
để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải
toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua hoạt
động giải toán, rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng
những vấn đề sau:
- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho,
yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học sinh biết
cách phân tích đặc điểm bài toán.
- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài
tập, các đối tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.
Ngoài ra, một yêu cầu hết sức quan trọng là phải kích thích hứng thú cho học
sinh, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lí bằng cách rèn luyện
các mặt sau:
- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải
với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lí kiến thức.
- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán.
- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán.
21
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kĩ
năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh.


22
thái độ, và các yếu tố cá nhân khác theo một cơ chế nào đó để thực hiện đạt chuẩn
những nhiệm vụ học tập thiết yếu của một môn học.
Năng lực được phân làm ba nhóm:
- Nhóm năng lực cơ bản.
- Nhóm năng lực chung.
- Nhóm năng lực cụ thể.
Năng lực được chia làm ba bậc (mức độ) sau đây:
Bậc 1 – bậc sơ cấp
Bậc 2 – bậc trung cấp
Bậc 3 – bậc cao cấp.
Năng lực giải toán của học sinh được thể hiện bởi khả năng vận dụng lí
thuyết toán học (khái niệm, định lí….) và những phương pháp đã biết, đã được cung
cấp ngay trong phần lí thuyết của bài học hoặc của chương để giải một số bài tập cụ
thể nào đó.
1.2. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
1.2.1. Mục tiêu dạy môn Toán
Theo [19]: “Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn
diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng
lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam
XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục
học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
Từ mục tiêu giáo dục nói chung ta xây dựng mục tiêu dạy học môn toán:
- Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ
thông, cơ bản, thiết thực.
- Phát triển trí tuệ cho học sinh.
- Rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và thực
tiễn cho học sinh.
- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh.

triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt
động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở
trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai
trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” [15, tr. 201].
Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn
toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò mang hoạt động của học sinh. Thông qua
giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận
dạng và thể hiện định nghĩa, đinh lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động
24
toán học học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những
hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ”. [15, tr. 388]
Như vậy bài tập toán ở trường phổ thông có vị trí, vai trò quan trọng trong
hoạt động dạy, học toán ở trường THPT. Vì thế, cần lựa chọn các bài tập sao cho
phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh, như thế mới phát huy được năng
lực giải toán của học sinh.
1.3.2. Ý nghĩa của bài tập toán
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có
thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Việc giải toán
có nhiều ý nghĩa:
Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và rèn
luyện kĩ năng. Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức tốt để dẫn dắt học
sinh tự mình tìm kiến thức mới.
Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ
thể, vào thực tiễn, vào vấn đề mới.
Đó là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm
tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của học sinh, phát triển

1.4.1. Thực trạng việc rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình
bằng phương pháp hàm số ở trường THPT Thành Đông và trường THPT Hồng
Quang – Thành phố Hải Dương
Đối với giáo viên
 Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học chuyên đề và ôn
luyện đan xen vào các tiết tự chọn trên lớp.
 Nội dung của đề tài chưa có một phần cụ thể nào trong sách giáo khoa
THPT.
 Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi cơ sở lí thuyết và xây dựng
hệ thống bài tập.
 Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các
ví dụ ứng dụng.
 Giáo viên chưa có hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề
phương trình và bất phương trình.
 Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành
một hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhau của học sinh.