BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NA Ê M 2015
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN
(Đề t h i gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−
Câu 1 (1 ,0 đie å m). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số y = x
3
− 3x.
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) = x+
4
x
trên đoạn [1; 3].
Câu 3 (1 ,0 đie å m).
a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − i) z − 1 + 5i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của z.
b) Giả i phương trình log
2
(x
2
+ x + 2) = 3.
Câu 4 (1 ,0 đie å m). Tính tích phân I =
1

0
(x − 3)e
x
dx.
Câu 5 (1 ,0 điểm). Trong không gian với hệ to ï a độ Oxyz, cho các điểm A(1; −2; 1), B(2; 1; 3) và
mặt phẳng (P ) : x − y + 2z − 3 = 0. Viết phương trình đườ ng t hẳ ng AB và tìm tọa độ giao điểm
của đươ ø ng t hẳ ng AB với mặt phẳng (P ).
Câu 6 (1 ,0 đie å m).
a) Tính giá t rò của biểu thức P = (1 − 3 cos 2α)(2 + 3 cos 2α), biết sin α =
2

P =
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
+ 12abc + 72
ab + bc + ca
−
1
2
abc.
−−−−−−−−Hết−−−−−−−−
Thí sinh kho â n g được sử dụ n g tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THA NG ĐIỂM
Môn thi: TOÁN
(Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu
Đáp án (Trang 01)

y
−∞
2
−2
+∞
✟
✟
✟
✟
✟✯
❍
❍
❍
❍
❍❥
✟
✟
✟
✟
✟✯
0,25
• Đồ thò:
x
y
O
−2
1
−1
2
0,25

Câu
Đáp án (Trang 02)
Điểm
4
(1,0đ)
Đặt u = x − 3; dv = e
x
dx. Suy ra du = dx; v = e
x
. 0,25
Khi đó I = (x − 3)e
x



1
0
−
1

0
e
x
dx 0,25
= (x −3)e
x



1

2
α =
1
9
. 0,25
Suy ra P =

1 −
1
3

2 +
1
3

=
14
9
. 0,25
b) Số phầ n tư û của không gian mẫu là C
3
25
= 2300. 0,25
Số kết quả thuận lợi cho biến cố “có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở” là
C
2
20
.C
1
5

2 a.
0,25
V
S.ABCD
=
1
3
SA.S
ABCD
=
1
3
.
√
2 a.a
2
=
√
2 a
3
3
. 0,25
Kẻ đường thẳng d qua B và song song AC. Gọi M
là hình chiếu vuông góc của A trên d; H là hình chiếu
vuông góc của A trên SM. Ta có SA⊥BM, MA⊥BM
nên AH⊥BM . Suy ra AH⊥(SBM).
Do đó d(AC, SB) =d(A, (SBM )) =AH.
0,25
Tam giác SAM vuông tại A, có đường cao AH, nên
1

Gọi M l à trung điểm AC. Ta có MH = MK =
AC
2
,
nên M thuộc đường trung t rư ï c của HK. Đường trung
trực của HK có phương trình 7x + y −10 = 0, nên tọa
độ của M t ho û a mãn hệ

x − y + 10 = 0
7x + y −10 = 0.
Suy ra M (0; 10).
0,25
Ta có

HKA =

HCA =

HAB =

HAD, nên ∆AHK
cân tại H, suy ra HA = HK. Mà MA = M K, nên A
đối xứng với K qua M H.
0,25
Ta co ù
−−→
MH = (5; 15); đường thẳng MH có phương
trình 3x − y + 10 = 0. Trung điểm AK thuộc MH và
AK⊥MH nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ


x = 2
x + 4
x
2
− 2x + 3
=
x + 1
√
x + 2 + 2
(1).
0,25
Ta có (1) ⇔ (x + 4)(
√
x + 2 + 2) = (x + 1)(x
2
− 2x + 3)
⇔ (
√
x + 2 + 2)[(
√
x + 2)
2
+ 2] = [(x −1) + 2][ (x − 1)
2
+ 2] (2)
Xét hàm số f(t) = (t + 2)(t
2
+ 2).
Ta có f


10
(1,0đ)
Đặt t = ab + bc + ca.
Ta có 36 = (a + b + c)
2
=
1
2

(a − b)
2
+ (b − c)
2
+ (c − a)
2

+ 3t  3t. Suy ra t  12.
Mặt khác, (a −1)(b −1)(c − 1)  0, nên abc  ab + bc + ca − 5 = t − 5 ;
và (3 −a)(3 −b)(3 −c)  0, nên 3t = 3(ab + bc + ca)  abc + 27  t + 22. Suy ra t  11.
Vậy t ∈ [11; 12].
0,25
Khi đó P =
a
2
b
2
+ b
2
c
2

.
0,25
Xét hàm số f(t) =
t
2
+ 5t + 144
2t
, với t ∈ [11; 12]. Ta có f

(t) =
t
2
− 144
2t
2
.
Do đó f

(t)  0, ∀t ∈ [11; 12], nên f(t) nghòch biến trên đoạn [11, 12].
Suy ra f (t)  f(11) =
160
11
. Do đó P 
160
11
.
0,25
Ta có a = 1, b = 2, c = 3 thỏa mãn điều kiện của bài toán và khi đó P =
160
11