Ph n IV. Không Gian Hilbert và Ph c a toán tầ ổ ủ ử
Chapter 3.
HILBERT SPACE
Gi i thi u: Không gian Hilebert là d ng t ng quát hoá các khái ni m, tínhớ ệ ạ ổ ệ
ch t c a không gian Euclide h u h n chi u sang các không gian vô h nấ ủ ữ ạ ề ạ
chi u. Không gian Hilbert có các khái ni m tr c giao, góc gi a cácề ệ ự ữ
vect là m t nét khá m i m so v i không gian đ nh chu n. Nh v yơ ộ ớ ẽ ớ ị ẩ ờ ậ
các đ i t ng c a gi i tích nh dãy s , hàm s có th mô t nh nh ngố ượ ủ ả ư ố ố ể ả ư ữ
y u t hình h c. Do đó có th s d ng tr c quan hình h c khi nghiên c uế ố ọ ể ử ụ ự ọ ứ
các đ i t ng v a đ c đ c mô t . ố ượ ừ ượ ượ ả
Không gian Hilbert là m t tr ng h p riêng c a không gian Banach,ộ ườ ợ ủ
là m t d ng không gian h u ích th c s , d thao tác trong các ng d ngộ ạ ữ ự ự ễ ứ ụ
c a gi i tích hàm phi tuy n vào v t lý l ng t nói riêng, khoa h c kủ ả ế ậ ượ ử ọ ỹ
thu t nói chung. ậ
Không gian Hilbert đ c đ t tên c a nhà toán h c ng i đ c tên làượ ặ ủ ọ ườ ứ
David Hilbert (1862-1943) ng i đã nghiên c u các đ i t ng này khiườ ứ ố ượ
kh o sát ph ng trình tích phân. Bài t p xemả ươ ậ
()
§1 Khái ni m không gian Hilbertệ
1.1 Tích vô h ng.ướ
Cho H là không gian vect trên tr ng ơ ườ
( , ).K R C
Tích vô h ng xác đ nh trong H là m t ánh x :ướ ị ộ ạ
.,. :
( , ) ,
H H K
x y x y
< >
< >a
tho mãn các đi u ki n sau đâyả ề ệ
, , , .x y z H K
λ
� �
T đó suy ra tích vô h ng ừ ướ
.,.< >
là m t d ng song tuy n tính xác đ nhộ ạ ế ị
d ng trên H.ươ
Các ví d :ụ
1. Ký hi u X=ệ
1
l
là t p t t c các dãy s th c ho c ph c ậ ấ ả ố ự ặ ứ
( )
n n
x x=
tho mãnả
1
| | .
n
n
x
=
< +
V i m i ớ ọ
( ) , ( )
n n n n
x x y y= =
Khi đó
.,.< >
là m t tích vô h ng xác đ nh trên ộ ướ ị
[ , ]a b
C
.
3. Cho
( , , )X
µ
A
là m t không gian đ đo và ộ ộ
E .A
. Xét không gian
2 2
( , ) { : : | | }.
E
L E f E f d
µ µ
= < +
R
V i m i ớ ọ
2
, ( , ),f g L E
µ
đ nh nghĩaị
, .
E
f g fg d
1.2 Không gian Hilbert
M t không gian ti n Hilbert xem nh không gian đ nh chu n có thộ ề ư ị ẩ ể
đ y đ ho c không đ y đ . N u H là không gian ti n Hilbert và đ y đầ ủ ặ ầ ủ ế ề ầ ủ
đ i v i chu n c m sinh t tích vô h ng b i công th c (1.2) g i là khôngố ớ ẩ ả ừ ướ ở ứ ọ
gian Hilbert.
Ví d : Xét l i các ví d 1,2,3 m c 1.1. Ta có X, ụ ạ ụ ụ
[ , ]a b
C
không ph i làả
không gian Hilbert v i các chu n t ng ng là ớ ẩ ươ ứ
Trong X chu n ẩ
2
1
|| || | | , ( ) .
n n
n
x x x x X
=
= ∀ =
Trong
[ , ]a b
C
chu n ẩ
1
2
2
[ , ]
|| || | ( ) | , .
là m t không gian Hilbert th c. ộ ự
Các tính ch t c b nấ ơ ả
Theorem 1.3.1 Cho H là không gian ti n Hilbert, ề
( ), ( )
n n
x y
là hai dãy h i tộ ụ
trong H. Khi đó
, , .
n n n n
lim x lim y lim x y< > = < >
Nói cách khác tích vô h ng ướ
.,.< >
là hàm s liên t c trên ố ụ
.H H
Trong hình bình hành ta luôn có t ng các bình ph ng đ dài 4 c nh b ngổ ươ ộ ạ ằ
t ng các bình ph ng đ dài hai đ ng chéo c a hình bình hành. M r ngổ ươ ộ ườ ủ ở ộ
k t qu này ta đ c m t k t qu t t h n sauế ả ượ ộ ế ả ố ơ
Theorem 1.3.2 Cho H là không gian ti n Hinbert. Khi đóề
2 2 2 2
, , || || || || 2(|| || || || ).x y H x y x y x y∀ + + − = +�
(1.3)
(1.3) g i là đ ng th c hình bình hành.ọ ẳ ứ
Corollarry 1.3.3 Cho H là không gian ti n Hinbert và ề
, , .x y z H
Ta có đ ngẳ
th c Apollonius: ứ
2 2 2 2
1
2 2 2 2
|| || || || 2(|| || || || ).
n n n n n n
x y x y x y+ + − = +
Cho
n
ta đ c ượ
2 2 2 2
|| || || || 2(|| || || || ).x y x y x y+ + − = +
T đó suy ra t n t i m t tích vô h ng trong H’ c m sinh ra chu n c a Hừ ồ ạ ộ ướ ả ẩ ủ
và ta có
lim , , .
n n H H
x y x y< > =< >
Theorem 1.3.5. Cho S là t p l i đóng khác r ng trong không gian Hilbert Hậ ồ ỗ
thì v i m i ớ ọ
x H
t n t i duy nh t m t ph n t ồ ạ ấ ộ ầ ử
s S
sao cho
|| || ( , ) {|| ||: }.x s d x S inf x u u S− = = −
(1.4)
Đi m ể
s S
xác đ nh b i công th c (1.4) g i là đi m chi u c a x lên S. Kýị ở ứ ọ ể ế ủ
hi u ệ
( )
S
proj x
s
8
s
S4
s
5
s
2
s
6
s3
s
1
C9
s
x y x y
=
< >=
Ch ng minh ứ
2
( , .,. )l < >
là không gian Hilbert th c.ự
Bài 2. Cho không gian ti n Hilbert H, ề
, , , .x y u v H
Ch ng minhứ
|| |||| || || |||| || || |||| || .x u y v x y u v y u x v− − − − + − −
D u = x y ra khi nào?ấ ả
Bài 3. G i ọ
1 7 9
, ,x x x
l n l t là tâm các đ ng tròn ầ ượ ườ
1
C
,
7
C
,
9
C
t ng ngươ ứ
hình (H1). Hãy xác đ nh ị
( ), 1, 7, 9.
Bài 6. Cho S là t p con khác r ng trong không gian Hilbert H. Ch ng minhậ ỗ ứ
r ngằ
( , ) 0.x S d x S =� �
Bài 7. Cho H là không gian hilbert, T là toán t tuy n tính t H vào H thoử ế ừ ả
mãn
, , , .Tx y x Ty x y H< >=< > ∀
Ch ng minh T liên t c.ứ ụ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
233
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Bài 8. Cho H là không gian Hilbert, T là toán t tuy n tính t H vào H.ử ế ừ
Ch ng minh r ng n u v i m i ứ ằ ế ớ ỗ
,u H
phi m hàm ế
,x Tx u x H< > ∀ a
đ u liên t c thì T liên t c.ề ụ ụ
§2. Khái ni m tr c giao-chu i Fourierệ ự ổ
2.1 Khái ni m tr c giao. H tr c giaoệ ự ệ ự
2.1.1 Define Cho không gian ti n Hilbert H, ề
, , , , .x y H S M N H� �
Ta nói
1. x tr c giao v i y (vi t ự ớ ế
x y⊥
) n u ế
, 0x y< >=
Ký hi u ệ
{ : }.M x H x M
⊥
= ⊥�
2.1.2 Properties
1.
, .x S x S x S⊥ ⊥< > ⊥�
2.
.S S
⊥ ⊥
=
3.
( , , 1, , )
i j
x x i j i j m∀ ⊥ ∀ =
2 2 2 2
1 2 1 2
|| || || || || || || || .
m m
x x x x x x+ + + = + + +
(1.5)
(1.5) g i là đ ng th c Pythagoras. ọ ẳ ứ
Theorem 2.1.3 Cho
{ : 1,2, }
n
x n =
là m t h tr c giao đ m đ c trongộ ệ ự ế ượ
không gian Hilbert H. Khi đó
1
Theorem 2.1.4 Cho h tr c chu n ệ ự ẩ
{ : 1,2, }
n
x n =
trong không gían Hilbert
H và
( ) .
n
K
λ
Khi đó
2
1 1
| |
n n n
n n
x x
λ λ
= =
=
� �
h i t và ộ ụ
2 2
1
|| || | | .
n
n
x
i
n
n n i n
i
y a x x
−
=
= +
là tr c giao và tho mãn ự ả
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , )
n n
x x x y y y< > < >
.
Ch ng minh: V i ứ ớ
1 1
1 .n y x= =�
Gi s đã tìm đ c các vectả ử ượ ơ
, 1,2, , 1
j
y j n= −
(n>1), ta s tìm vect d i d ngẽ ơ ướ ạ
1
1
i
n
n n i n
i
λ
< >
= −
V i cách tìm trên thìớ
( 1,2, , 1)
n j
y y j n⊥ = −
. Theo gi thi t quy n p ả ế ạ
1 2 1 1 2 1
( , , , ) ( , , , )
n n
x x x y y y
− −
< > < >
do đó t n t i các s ồ ạ ố
j
n
a
đ ể
1
1
i
n
n n i n
i
y a x x
−
=
= +
H n n a ơ ử
y M
là vect tho đi u ki n ơ ả ề ệ
|| || || || ( , ) || || .
u M
x y z d x M inf x u
− = = = −
Ch ng minh:ứ
S t n t i: Đ t ự ồ ạ ặ
( , ).d d x M=
Theo đ nh nghĩa infimium t n t i dãyị ồ ạ
( )
n
y M
sao cho
lim || || .
n
x y d− =
Ta ch ng minh dãy ứ
( ) .
n
n
y y M
Vì M là không gian con đóng c aủ
không gian Hilbert H nên M là không gian Hilbert, vì v y ta đi ki m tra ậ ể
( )
n
và
2
2
.
2
m n
y y
x d
+
−
V y ậ
( )
2 2 2 2
0 || || 2 || || || || 4 0.
n
m n n m
y y y x y x d
− − + − −
Do M đ y đ nên t n t i ầ ủ ồ ạ
y M
sao cho
lim .
n
y y=
Ta k t lu n ế ậ
|| || lim || || .
n
d x y x y= − = −
Ti p theo đ t ế ặ
Khi đó m i vect ỗ ơ
x H
có hình chi u tr c giaoế ự
y lên không gian con
M
đ c bi u di n nh sauượ ể ễ ư
1
, .
n
i i
i
y x e e
=
= < >
Ch ng minh: Ta có E là c s c a M nên M là không gian h u h n chi uứ ơ ở ủ ữ ạ ề
nên M đóng trong H. Áp d ng đ nh lý hình chi u tr c giao ta có ụ ị ế ự
, , .x y z y M z M
⊥
= + ��
Ta có
1
.
n
i i
i
y a e
=
=
g i là chu i Fourierọ ổ
c a vect x đ i v i h tr c chu n E, các s ủ ơ ố ớ ệ ự ẩ ố
,
n
x e< >
g i là h s Fourierọ ệ ố
th n c a x đ i v i h E.ứ ủ ố ớ ệ
Theorem 2.3.1.
2 2
1 1
, , , | , | || || .
n n n
n n
x H x e e x e x
= =
∀ < > < >� �
� �
]
(1.2)
B t đ ng th c (1.2) g i là b t đ ng th c Bessel.ấ ẳ ứ ọ ấ ẳ ứ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
236
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
2.4 C s tr c chu nơ ở ự ẩ
Define 2.4.1. Gi s ả ử
1 2
{ , , }E e e=
là m t h tr c chu n đ m đ c c aộ ệ ự ẩ ế ượ ủ
=
∀ < >= < > < >�
d.
2 2
1
, || || | , | .
n
n
x H x x e
=
∀ = < >�
Ch ng minh:ứ
:a b
Ta có
1
, , .
n n
n
x H x e e
=
∀ < >�
]
Đ t ặ
n n
i j i j
n
i i i i
n
i i
x y x e e x e e x e y e e e
x e y e x e y e
= = = =
= =
< >= < < > < > >= < > < > < >
= < > < > = < > < >
� � ��
� �
:c d
Thay
.y x=
:d a
Ta có
.H M M
⊥
=
Ta ch c n ch ng minh ỉ ầ ứ
{0}.M
⊥
=
V i m i ớ ọ
(0,0, ,0, 1, 0 ,0, )
n
n
e =
.
Ta có
{ : 1}
n
e n
là m t h tr c chu n trong không gian ộ ệ ự ẩ
2
.l
Th t v y, v i m i ậ ậ ớ ọ
2 2 2
( ) , , | , | | | .
n n n n n
x x l x e x x e x= < >= < > =� �
H n n a ơ ử
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
237
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
2 2 2
1 1
|| || | | | , | .
n n
n n
x x x e
=
< +
thì s t n t i duy nh t m t vect ẽ ồ ạ ấ ộ ơ
x H
nh n cácậ
, ,( 1)
n n
x e n
λ
=< >
làm h s Fourier.ệ ố
Ch ng minh: Do ứ
2
1
| |
n
n
λ
=
< +
nên
1
.
n n
n
V y x nh n các ậ ậ
, ,( 1)
n n
x e n
λ
=< >
làm h s Fourier.ệ ố
N u có x’ nh n các ế ậ
, ,( 1)
n n
x e n
λ
=< >
làm h s Fourier thì ệ ố
1
, , ', .
k n n k k k
n
x e e e x e
λ λ
=
< >=< >= =< >
Suy ra
'.x x=
Theorem 2.4.4. Không gian Hilbert H có c s tr c chu n h u h n ho cơ ở ự ẩ ữ ạ ặ
đ m đ c khi và ch khi H là không gian kh ly. ế ượ ỉ ả
Ch ng minh:ứ
Ta có
1 2 1 2
{ , , , , } { , , , , } .
n n
H A A b b b e e e H= < > = < > = < >� �
Suy ra
1 2
{ , , , , } .
n
H e e e= < >
Ng c l i:ượ ạ
G i ọ
{ : 1}
n
M e n=
là c s tr c chu n h u h n ho c đ m đ c trong H.ơ ở ự ẩ ữ ạ ặ ế ượ
Đ t ặ
.Z M H Z=< > =�
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
238
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Ký hi u C là t p h p t t c các t h p tuy n tính v i h s h u t c aệ ậ ợ ấ ả ổ ợ ế ớ ệ ố ữ ỉ ủ
m t s h u h n các ph n t c a M. Ta có ộ ố ữ ạ ầ ử ủ
| | | |
n
n N
C Q
=
1 1
, | | | ||| || .
k k
i i i i i
i i
t r x C z t a r x
ε
= =
= − − <� �
� �
V y C trù m t trong Z và Z trù m t trong H nên C trù m t trong H. V y Hậ ậ ậ ậ ậ
là không gian Hilbert kh ly.ả
2.5 Phép đ ng c u trong không gian Hilbertẳ ấ
Define 2.5.1. Cho hai không gian ti n Hilbert H và H’. M t song ánh ề ộ
: 'H H
ϕ
g i là phép đ ng c u n u v i m i ọ ẳ ấ ế ớ ọ
, , ,x y H a b K� �
ta có
( ) ( ) ( ),
( ), ( ) , .
ax by a x b y
x y x y
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
+ = +
n
x e e x H
=
< >
]
Ta có
', ' , .
n n
x e x e< > = < >
Xét ánh x ạ
: 'H H
ϕ
xác đ nh b iị ở
1 1
, ' , ' .
n n n n
n n
x x e e x x e e
= =
= < > = < >
� �
a
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
239
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
là m t phép đ ng c u gi a H và H’.ộ ẳ ấ ữ
Corrollary 2.5.3 M i không gian Hilbert H kh ly vô h n chi u đ u đ ng ọ ả ạ ề ề ẳ
c u v i không gian ấ ớ
2
.l
Bài t p.ậ
Bài 9. Cho H là không gian ti n Hilbert, ề
, .M N H
Ch ng minhứ
, .M N N M N M
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
� � � �
Bài 10. Cho
.S H
Ch ng minh ứ
a.
( ) .S S S
⊥ ⊥
� �
b. N u S là không gian con c a H thì ế ủ
( ) .S S
⊥ ⊥
=
Bài 11. Cho S là m t h tr c giao g m nh ng ph n t khác 0 trongộ ệ ự ồ ữ ầ ử
không gian ti n Hilbert H. Ch ng minh S là m t h đ c l p tuy n tính. ề ứ ộ ệ ộ ậ ế
Bài 12. Cho
1
, ,
n
H H
⊥
là không gian con m t chi u c a H. ộ ề ủ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
240
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Bài 15. Gi s L là không gian con đóng c a không gian Hilbert H vàả ử ủ
.x H
Ch ng minhứ
a.
, || || 1
min || || | , | .
u L
y L y
x u max x y
⊥ =
− = < >
b.
|| || || ||x L x x u
⊥
−�
v i m i ớ ọ
.u L
Bài 16. Cho M và N là hai không gian con đóng c a không gian Hilbert Hủ
sao cho
.M N⊥
Ch ng minh r ng ứ ằ
M N+
{ : 1 }
n
e n
là m t h tr c chu n trong không gian Hilbert H,ộ ệ ự ẩ
1,2,
( )
n n
a
=
là m t dãy v i ộ ớ
1
sup | | .
n
n
a
< +
Ch ng minh r ngứ ằ
V i m i ớ ọ
1
, , .
n n n
n
x H a x e e
=
< >�
]
Bài 19. Toán t ử
thì
*
a
f H
và
|| || || || .
a
f a=
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
241
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Ng c l i v i m i ượ ạ ớ ỗ
*f H
đ u t n t i duy nh t ề ồ ạ ấ
a H
sao cho
a
f f=
nghĩa là
, ( ) , .x H f x x a∀ =< >�
Ch ng minh:ứ
Hi n nhiên ể
( , ).f L H K
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz ta cóụ ấ ẳ ứ
: | ( ) | | , | || |||| ||
a
x H f x x a x a∀ = < >� �
thì ch n ọ
0.a =
N u ế
0f
thì
.M H
Theo đ nh lý hình chi uị ế
tr c giao ta vi t ự ế
, {0}.H M M M
⊥ ⊥
= Ź
Ch n ọ
\{0}e M
⊥
thì
( ) 0.f e
V iớ
m i ọ
x H
đ t ặ
( ) ( )y f e x f x e= −
suy ra
( ) 0f y =
hay
.y Kerf
Ta có
, 0y e< >=
( ) ( ) , 0.f e x f x e e< − >=�
0 , , .a b x x H=< − > ∀
Suy ra
.a b=
3.2 Không gian liên hi pệ
Áp d ng đ nh lý Riesz chúng ta có th thi t l p m t song ánh gi a Hụ ị ể ế ậ ộ ữ
và H* nh sau:ư
Đ t ặ
: *, ( )
a
H H a a f
ϕ ϕ
=a
v i ớ
( ) , , .
a
f x x a x H=< > ∀
V i m i ớ ọ
, ,a b H t K� �
d dàng ch ra đ cễ ỉ ượ
( ) ( ) ( ),
( ) ( ).
a b a b
ta t a
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
+ = +
=
H n n a, ơ ử
|| ( ) || || || || ||
a
x
h i t y u đ n ộ ụ ế ế
x X
vi t ế
w
n
x x
n u ế
lim , ,
n
n
x y x y
< >=< >
v i m i ớ ọ
.y Y
Theorem 3.3.1. Cho H là không gian Hilbert. Ta có
a.
||.||
, , , .
w n
n n n n
x x y y x y x y
< > < >��� ��� � ����
b.
||.||
, || || || || .
w n
x
trên H
sao cho
% %
* *
| , || || || || .
M
x x x x= =
Bài 22. Gi s ả ử
{ : 1}
n
E e n=
là h tr c chu n trong không gian Hilbert H.ệ ự ẩ
Ch ng minh r ng ứ ằ
0
w
n
e
nh ng ư
( )
n
e
không h i t m nh đ n 0.ộ ụ ạ ế
Bài 23. Ch ng minh r ng ứ ằ
||.||
, , , .
w n
n n n n
x x y y x y x y
n
y
Bài 25. Gi s H và H’ là không gian ti n Hilbert và ả ử ề
: 'T H H
là m tộ
toàn ánh b o toàn tích vô h ng nghĩa làả ướ
, , , , .Tx Ty x y x y H< >=< > ∀
Ch ng minh r ng ứ ằ
T
là m t toán t tuy n tính.ộ ử ế
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
243
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Bài 26. Gi s H là không gian Hilbert v i c s tr c chu n ả ử ớ ơ ở ự ẩ
1
{ }
n n
e
. Giả
s ử
2n n
a e=
và
2 2 1
1
, 1.
1
n n n
Define 4.1.1. Cho X, Y là các không gian Hilbert và
( , ).T X Y L
Ta nói r ngằ
toán t tuy n tính liên t c ử ế ụ
*
( , )T Y X L
là liên h p c a T n u ợ ủ ế
*
, , , , .x T y Tx y x X y Y< >=< > ∀ ∀� �
Theorem 4.1.2. Cho X, Y, Z là các không gian Hilbert và
, ( , ),T K X Y L
( , ).S Y Z L
Khi đó
a.
* *
, ( ) .a aT aT∀ =�K
b.
* * *
( ) .T K T K+ = +
c.
* * *
0 0
( ) .S T T S=
Ch ng minh:ứ
a. V i m i ớ ọ
, ,x X y Y t� � �K
ta có
* *
, ( ) ( ) , , , , ( ) .x tT y tT x y t T y Tx ty x tT y< >=< >= < >=< >=< >
n
H C=
có c s chính t c ơ ở ắ
1 2
{ , , , }
n
e e e
và
( ).
n
T C L
V i cớ ơ
s ở
1 2
{ , , , }
n
e e e
gi s toán t T có ma tr n ả ử ử ậ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
244
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
11 12 1
21 22 2
, 1,2 ,
1 2( )
n
n
i j i j n
n n nn
b b b
b b b
B b
b b b
=
� �
� �
� �
= =
� �
� �
� �
� �
M M M
là ma tr n c a toán t liên h p ậ ủ ử ợ
*
.T
Ta có
* *
1 1
, , , ,
n n
k ik i j sj s k s k s
i s
Te a e T e b e Te e e T e
= =
⊥
=
(*)
V i m i ớ ọ
* *
Im , ( ) , lim .
n n
n
x T y Y T y x
∃ =� �
V i m i ớ ọ
*
, , lim , lim , 0.
n n
n n
u Ke rT x u T y u y Tu
< >=< > = < >=�
Suy ra
( ) .x KerT
⊥
Ta k t lu n ế ậ
*
( ) Im .KerT T
⊥
Ng c l i gi s ượ ạ ả ử
T
và áp d ng k t qu ụ ế ả
**
.T T=
(Đpcm)
Bài t p.ậ
Bài 27. Cho
2 2
: [0,1] [0,1]T L L
xác đ nh b iị ở
a.
0
, [0,1] ( ) ( ) .
t
x Tx t Tx t tx s ds=�
a a
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
245
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
b.
0
, [0,1] ( ) ( ) .
t
x Tx t Tx t sx s ds=�
a a
c.
0
( ).T H L
Ta nói r ng T là toánằ
t t liên h p n u v i m i ử ự ợ ế ớ ọ
,x y H
ta có
, , .x Ty Tx y< >=< >
Nói cách khác
T
là toán t t liên h p n u ử ự ợ ế
*
.T T=
Theorem 5.2 Cho H là không gian Hilbert và
( )T H L
là toán t t liênử ự
h p. ợ
Ta có
|| || 1
|| || sup | , | .
x
T Tx x
=
= < >
Ch ng minh:ứ
V i m i ớ ọ
x H
mà
|| || 1.x
Ta có
| , | || |||| |||| || || || .Tx x T x x T< > =
Suy ra
< > =
Suy ra
|| || 1
|| || sup || || .
x
T Tx a
=
=
V y ậ
|| || 1
|| || sup | , | .
x
T a Tx x
=
= = < >
(Đpcm).
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
246
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Bài t pậ
Bài 30. Gi s ả ử
2 2
: [0,1] [0,1]T L L
xác đ nh b i ị ở
( )( ) ( ), [0, 1].Tx t tx t t= ∀
Ch ng minh ứ
T
là toán t t liên hi p và tính ử ự ệ
|| || .T
Ch ng minh r ng ứ ằ
T
là toán t t liên hi p.ử ự ệ
Chapter 4
TOÁN T COMPACT VÀ PH C A TOÁN TỬ Ổ Ủ Ử
§1. Toán t compactử
Cho X, Y là các không gian đ nh chu n, ký hi u ị ẩ ệ
'(0, 1)B
là hình c uầ
đóng đ n v trong không gian đ nh chu n X. Xét toán tuy n tínhơ ị ị ẩ ế
:T X Y
.
( ) {
'(0, 1) | || || 1 }.T B y Tx x= =
1.1 Đ nh nghĩa T đ c g i là toán t compact n u ị ượ ọ ử ế
( )
'(0, 1)T B
là t pậ
compact t ng đ i trong Y. ươ ố
1.2 Các nh n xét: ậ
1. T compact khi và ch khi T bi n m i t p b ch n trong X thành t pỉ ế ỗ ậ ị ặ ậ
compact t ng đ i trong Y.ươ ố
2. T compact thì T liên t c.ụ
3. N u Y h u h n chi u và T liên t c thì T compact.ế ữ ạ ề ụ
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
247
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
4. Toán t đ ng nh t ử ồ ấ
� �
trích ra dãy con
h i t là ộ ụ
0
.
n
k
n
x
T y Y
a
� �
� �
� �
Suy ra
0
.
n
n
k
y ay Y
V y T(M) là t pậ ậ
compact t ng đ i. Chi u ng c l i là hi n nhiên.ươ ố ề ượ ạ ể
2/ Vì
( '(0, 1))T B
là t p compact t ng đ i nên nó b ch n nghĩa là t n t iậ ươ ố ị ặ ồ ạ
Gi s dãy ả ử
( )
n
y
không h i t v ộ ụ ề
0
y
. Khi đó t n t i ồ ạ
0, ( ) ( )
n
k n
y y
ε
>
sao cho
0
|| || .
n
k
y y
ε
−
M i dãy h i t y u đ u b ch n nên ọ ộ ụ ế ề ị ặ
{ : 1}
n
x n
b ch n. Áp d ng tính nh nị ặ ụ ậ
xét 1 thì t p ậ
n
y z
và
0
( )
k k
l l
w
n n
y T x y=
suy ra
0 0
. ( )z y= ><
Đ nh lý 1.3.2. Cho ị
, , ,X Y Z V
là các không gian đ nh chu n, ị ẩ
:T X Y
là
toán t compact, ử
( , ), ( , ).B Y Z C V X� �L L
Khi đó
0 0
,B T T C
là các toán tử
compact.
Đ nh lý 1.3.3. Ký hi u ị ệ
( , )K X Y
là t p các toán t compact t X vào trongậ ử ừ
Y. Khi đó
( , )K X Y
n n
A K X Y A A̾��
trong
( , )X YL
và s d ng ố ươ
ε
tuỳ ý.
V i ớ
0
n
đ l n thì ủ ớ
0
|| || .
2
n
A A
ε
− <
N u ế
x X
mà
|| || 1x
thì
0
|| || .
2
n
A x Ax
ε
, 1i i m
sao cho
0 0
( , ).
2
n i
A x B y
ε
T đâyừ
suy ra
0 0 0
0
|| || || || || || ,
n n i
A x y A x A x A x y
ε
− − + − <
hay
0
( , ),
2
i
A x B y
ε
nghĩa là
1
( '(0, 1)) ( , ).
m
b. Y Banach,
* * *
( , )T Y X L
compact
T
compact.
Ch ng minh: ứ
a. Gi s ả ử
*
*
( ) ' (0, 1).
n Y
y B
Theo gi thi t t p ả ế ậ
( '(0,1))M T B Y=
compact.
Đ t ặ
*
| ( )
n n M
f y C M=
, ta có
* * *
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
, , | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | || |||| || || ||
n n n n n
y y M f y f y y y y y y y y y y∀ − = − − −� � �
nên
( )
n n
|| || 1
, , || || sup | ( ) ( ) | sup | ( ) ( ) |
sup | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | || || 0.
n m n m n m
n m n m n m
k k k k k k
x x
n m
k k k k k k
y M
x
m n N T y T y T y x T y x y Tx y Tx
f Tx f Tx max f y f y f f
= =
=
∀ − = − = −�
− − = −
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
249
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
V y ậ
* *
( )
n
k
T y
là dãy c b n trong ơ ả
**
n n
k k
Tx T x= ]
trong Y nên T là toán t compact.ử
Bài t pậ
Bài 35. Cho
[ , ]a b
X C=
là không gian đ nh chu n v i chu n “max” vàị ẩ ớ ẩ
1 2
, ( )T T X L
xác đ nh b i ị ở
a.
1
( )( ) (0) (1)T x t x tx= +
b.
1
2
0
( )( ) ( ) ,
ts
T x t e x s ds=
v i m i ớ ọ
, [0, 1].x X t� �
Ch ng minh r ng ứ ằ
1 2
,T T
( : 1)
m
e m
là c s c a ơ ở ủ
2
l
.
Ch ng minh r ng T là toán t compact.ứ ằ ử
Bài 38. Cho toán t tuy n tính ử ế
2 2
:T l l
xác đinh b i ở
2
1
( ) ( , , , , )
2
n
n
x
x
x x Tx x
n
= =a
.
Ch ng minh r ng T là toán t compact.ứ ằ ử
Bài 39. Cho
( : 1)
m
e m
là m t c s tr c chu n trong không gian Hilbert Hộ ơ ở ự ẩ
n
Te
=
]
Ch ngứ
minh T là m t toán t Compact.ộ ử
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
250
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
Bài 41. Gi s ả ử
( : 1)
m
e m
là m t c s tr c chu n trong không gian Hilbertộ ơ ở ự ẩ
H và
( )T H L
là m t toán t compact. Ch ng minh r ngộ ử ứ ằ
0.
n
n
Te
Bài 42. Cho X, Y là các không gian đ nh chu n và ị ẩ
( )T X L
là m t toán tộ ử
compact. Ch ng minh r ng không gian con T(X) c a Y là không gian khứ ằ ủ ả
>
=
=
142 43
Cho
( )T X L
. gi s ả ử
λ
C
sao cho t n t i vector ồ ạ
0x
trong X
nghi m đúng ệ
Tx x
λ
=
thì
λ
đ c g i là m t ượ ọ ộ giá tr riêngị c a T và x làủ
vector riêng t ng ng v i tr riêng ươ ứ ớ ị
λ
.
Ta g i ọ
λ
C
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
251
Ths. Tr n Văn S Ch ng III, IV: Lý Thuy t Ph -Toán T Compact, Không Gianầ ự ươ ế ổ ử
Hinbert
4/ S ố
( )T
µ σ
g i là ọ giá tr chính quyị c a T nghĩa là t n t iủ ồ ạ
1
( ) ( ).T I X
µ
−
− L
T p ậ
\ ( )T
σ
C
đ c g i làượ ọ t p h p gi i c a toán t T, kýậ ợ ả ủ ử
hi u ệ
( )T
ρ
còn toán t ử
1
( ) ( )R T T I
µ
µ
−
= −
g i là toán t gi i hayọ ử ả gi i th cả ứ
µ
µ
λ
−
+
=
= − = −
Ch ng minh: Ta ch ng minh t n t i gi i h n h u h n ứ ứ ồ ạ ớ ạ ữ ạ
1
lim || ||
n
n
n
T
. Th tậ
v y l y ậ ấ
k N
tuỳ ý ta có
, 0 ,n kp r r k n= + < ∀ .N
. Ta có
1 1
1
|| || || || || || || ||
|| || || ||
p r
n kp r k
n n n n
r r
V y ậ
1
lim || ||
n
n
n
T
t n t i h u h n.ồ ạ ữ ạ
Theo tiêu chu n Cauchy- Hadamard ta th y chu i ẩ ấ ổ
1
1
0
|| ||
lim|| || | | .
| |
n
n
n
n
n
n
T
T
λ
λ
+
=
λ
+
=
Ngoài ra ta có
1 1
0 0
1 1
1 1
( ) ( ) lim ( )
lim lim .
n n
k
n n
k
n n
n n k
n n k
k k
T T
T I S T I T I
T T T
I I
λ λ λ
λ λ
λ λ λ
+ +
= =
n n k
n n k
k k
T T
S T I T I T I
T T T
I I
λ λ λ
λ λ
λ λ λ
+ +
= =
+ +
+ +
� � � �
− = − − = − −
� � � �
� � � �
� �
= − − = − =
� �
� �
� �
Ta k t lu n ế ậ
T I
λ
−
N u s ế ố
λ
tho mãn đi u ki n ả ề ệ
| | || ||T
λ
>
thì
( )T
λ ρ
và toán t gi i đ c khai tri nử ả ượ ể
đ c d i d ngượ ướ ạ
1
1
0
( ) ( ) .
n
n
n
T
R T T I
µ
µ
λ
−
+
=
= − = −
−
=
+ = −
Gi s X là không gian Banach, ả ử
( ).T X L
Khi đó
( )A
ρ
là t p m trong ậ ở
.C
.
Ch ng minh: Ta có ứ
0
( )A
λ ρ
kéo theo
0
( )T I ISom X
λ
−
và do
( )ISom X
là t pậ
m nên t n t i ở ồ ạ
0r >
sao cho
0
Bài t p:ậ
Bài 43. Xét toán t ử
Bài gi ng h c ph n Gi i Tích Hàmả ọ ầ ả
253
Copyright: Tài liệu đại học ©