1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích hàm nâng cao
Chương 1.
Không gian Banach và các định lý cơ bản
•
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)
2
Chương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản.

1.1. Dạng giải tích và dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

1.2. Định lý Banach – Steinhauss.
Chương 2. Tôpô yếu và các không gian đặc biệt.
2.1. Tôpô yếu và tôpô yếu*.
2.2. Các không gian đặc biệt: phản xạ, khả ly, lồi đều.
Chương 3. Không gian Hilbert.
3.1. Định nghĩa, tính chất cơ bản. Hình chiếu xuống tập lồi đóng.

3.2. Định lý Stampacchia và Lax-Milgram.
ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC
3
Chương 4. Các không gian L
p
.
4.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản.
4.2. Tính phản xạ, khả ly của L
p
. Đối ngẫu của L

0.2 – Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
0.3 – Định lý Banach-Steinhauss.
0.1 – Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
7
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
1 2 1 2 1 2
1. ( , ) ( ) ( ) ( )x x X x x x x
ϕ ϕ ϕ
∀ ∈ + ≤ +
2. ( , 0) ( ) ( )x X x x
α ϕ α αϕ
∀ ∈ ≥ =
Hàm thực trên không gian tuyến tính X được gọi là hàm
dưới tuyến tính (sơ chuẩn), nếu
ϕ
Định nghĩa
Ánh xạ tuyến tính từ không gian tuyến tính X vào tập số
thực R được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
f
8
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Cho S là tập hợp, trong đó giữa một số cặp phần tử a, b của
nó có xác định một quan hệ < sao cho:
1. a < a (phản xạ)
2. a < b và b < c suy ra a < c (bắc cầu)
3. a < b và b < a suy ra a = b (phản xứng)

: X R
ϕ
→
: ( ) ( )x M f x x
ϕ
∀ ∈ ≤
thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính , sao cho
:F X R→
1. ( ) ( ) ( )x M F x f x
∀ ∈ =
2. ( ) ( ) ( )x X F x x
ϕ
∀ ∈ ≤
12
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các bước chứng minh
Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định
trên không gian con của X ta đặt một quan hệ < như sau:
1 2 1 2
( , ) g g G g g∈ < ⇔
1
1 2
2. ( ) ( ) ( )
g
x D g x g x∀ ∈ =
2
2
3. ( ) ( ) ( )
g

Đặt
0
0
;
( , ) ( ) ( )
h F
F
D D Rx
t R x D h x tx F x t
α
= +


∀ ∈ ∈ + = +

trong đó là hằng số cần tìm để .
α
h S∈
Kiểm chứng rằng
0
( , ) ( ) ( )
F
x D t R F x t x tx
α ϕ
∀ ∈ ∀ ∈ + ≤ +
vì nên cần kiểm tra
( ) ( )x x
ϕ λ λϕ
=
0

vì F là hàm tuyến tính nên có thể chọn được
α
( ) ( ) ( ) ( )F x y F x F y x y
ϕ
+ = + ≤ +
0 0
( ) ( ) ( ) ( )F x F y x x y x
ϕ ϕ
⇔ + ≤ + + −
0 0
( ) ( ) ( ) ( )F y y x x x F x
ϕ ϕ
⇔ − − ≤ + −
Vậy h trội hơn F, mâu thuẫn với F là phần tử tối đại ■.
16
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho E và F là hai không gian định chuẩn.
L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F.
( ( , )) || || inf{ : ( ) , }f L E F f k f x kx x F∀ ∈ = ≤ ∀ ∈
0 || || 1 || || 1
|| ( ) ||
2. || || || ( ) || || ( ) ||
sup sup sup
|| ||
≠ ≤ =
= = =
x x x
f x
f f x f x

Tồn tại phiếm hàm tuyến tính , sao cho và
:F E R→
|
M
F f=
( ) | ( ) | ( ) || ||.|| ||x E F x x f x
ϕ
∀ ∈ ≤ =
Suy ra F(x) liên tục và
0 0
|| ( ) || || ||.|| ||
|| || sup || || || ||
sup sup
|| || || ||
x x
F x f x
F f f
x x
≠ ≠
= ≤ = =
Mặt khác
( ) ( ) ( ) || || || ||x M F x f x F f∀ ∈ = ⇒ ≥
Vậy ||F|| = ||f||
19
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ quả 2
Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và
Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E,
sao cho

≠ + = − − ≥
| ( ) | | | || ||g x v x v
λ λ δ λ
⇒ + = ≤ +
⇒ lieân tuïc tsu rey ra .ân g G
21
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
λ
λ
∈ ∈
+
= = ≤
+
| ( ) | | ( ) |
|| || sup sup 1
|| || || ||
x G x G
g x g x v
g
x x v
Ta có
Vì
δ
= >( , ) 0, neând v M
δ
−
∃ ∈ < < − ≤
1
( ,0 1) || ||z M r v z r

1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ quả 3
Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và
Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E,
sao cho
\ : ( , ) inf || || 0
x M
v E M d v M v x
δ
∈
∈ = − = >
1. ( ) ( ) 0x M F x
∀ ∈ =
2. ( ) 1F v =
1
3. || ||
( , )
F
d v M
=
24
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Đặt
, G M v=< >
:g G R→
( )g x v
λ λ