ĐỀ CƯƠNG
ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Năm học 2015 - 2016
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 7/2015
1
CHUYÊN ĐỀ 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Biên soạn và sưu tầm: Ngô Văn Khánh – GV trường THPT Nguyễn Văn Cừ
1. Chủ đề 1: Bài toán về tiếp tuyến
1.1. Dạng 1Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
! " # ! # ! #x y C y f x∈ =
$%
& &
! #y f x=
'%
&
! #k f x=
!()*+,-.,#
$,-.,+/012)
! #y f x=
3/4
( )
'M x y
*-56
( )
&
.G!#BH;D/*-56,-.,+!9#3/4*2/@ABE2
> H! # > H I H y x y x y x− = − ⇔ − = − ⇔ = −
c)*
: :
: : :
:
x
y x x x x x
x
=
= ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = −
=
J#56,-.,3+!9#3/4!'#;
*.G!#B:;
D/*-56,-.,E2
:! #y x− = − −
..B:AJ;
J#56,-.,3+!9#3/4
! :'#−
;
&! :# :! :# : y − = − − =
D/*-56,-.,E2
! :#y x− = +
2
a)R
! #M C Ox= I
6.
B72A
E2(-56
:
L x x x x− + − = ⇔ =
'.G!#B".51/O?,72!#/S-
56,-.,
! #y x= −
b)R
! #M C Oy= I
6A
B
!# Ly y⇒ = = −
72
&! # &!# y x y= =
".
51/O
?,72!#/S-56,-.,
Ly x= −
;
!9#
#<,-56,-.,C78!9#/4*2/@AB;
?#,-.,CUE3/01!9#3/4V"6/@+/4V;
Giải
a) ,-.,C3/4 +/01!9#*2/@
:x y= ⇒ =
*
&! # : : &! # &!# Hy x x y x y= − ⇒ = =
56,-.,C3/4 +/01!9#E2
&! #! # H! # : H y y x x x y y x y x= − + ⇒ = − + ⇒ = −
<W.-56,-.,C3/4 +/01!9#E2
H y x= −
b)QX)Y,-.,CU!9#3V
Z[-56
( )
( )
: :
: H I
L
x
x x x x x x x x
x
=
− + = − ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇔
& :
:
! #! # !: :#! # :
!: :#! # ! #
y y x x x y y x x x x x
y x x x x d
= − + ⇔ = − − + − +
⇔ = − − − +
562/@/4+!C#72!9#
3
: : : :
: !: :#! # : ! # ! #
! #
! #
x x x x x x x x x x x x x x
x x
x x
x
NO
&&
! # y x =
72`CE2,-.,+!9#*()
*Na;
Giải
*
& &&
L : Ly x x y x= − + ⇒ = −
&&! # L !' #
:
y x x x M= ⇔ − = ⇔ = ⇒
R/*,-.,3 *()*
k
=
& &
! # !# y x y= = −
<W.,-.,C+/01!9#3/4
'
:
M
DaeBPAX.5
x⇔ =
d/@,-/45f78
'
:
M
÷
<W.,-.,C+!9#3/4
'
:
M
÷
*()*Na;
Ví dụ 6: <,-56,-.,78/01!9#
x
y
x
+
=
−
3/4+!9#
78/gh!C#
;
J3,-/4
!'#6.G!#B:d,-.,*-56
: y x= − −
J3,-/4
!'L#6.G!#B:d,-.,*-56
: y x= − +
*E3*,-.,NO.d\?2E2
: y x= − −
72
: y x= − +
;
4
Ví dụ 7: 92)
:
: :
m
y x x= − +
!9
#.Q E2/4@/01!9
#*2/@
?i;6/4,-.,78!9
#3 ))78/ghCA.B
Ví dụ 8:92)
:
:y x x m= − +
!#;
6/4,-.,+/01!#3/4*2/@?iU5MlA"l.E\ES
3/4=72])C(%l=]?i
:
;
Giải
<8
x y m= ⇒ = − ⇒
!'T#
,-.,3 E2C
!: #! # y x x x x m= − − + −
⇒
C.B:AJJ;
CU5MlA3=
: '
: :
A A
m m
x m x A
+ +
= − + + ⇔ = ⇒
nó
JQ
! " #M x y
E2,-/4"X-56
&
! #f x k x x= ⇒ =
"
! #y f x=
J,/n.5o7dạng 1"CpC2EW-/S,-.,+/01
! #y k x x y= − +
Các dạng biểu diễn hệ số góc k:hoctoancapba.com
$#95K,-
:
' ' :' ;;;
>
k k k k= = ± = ± = ±
5
$#,-.,378C+5MlA@*
α
"78
': 'L ' ' ;;;; ;
: :
π π
:
:y x x= −
!9#;<,-56,-.,+/01!9#?,(
)*+,-.,^B:;
Giải:
*
& : y x x= −
Q
! ' #M x y
E2,-/4
⇒
,-.,3 *()*
&
! # : k f x x x= = −
_X,"()*+,-.,^B:d
: : x x x x x− = − ⇔ − + = ⇔ =
<6
!' #x y M= ⇒ = − ⇒ −
;
56,-.,\6E2
:! # : y x y x= − − − ⇔ = − +
Ví dụ 10: <,-56,-.,+/012)
:
: y x x= − +
= − ⇒ − −
− = ⇔ − − = ⇔
= ⇒
56,-.,+!9#3 !':#E2
H! # : H y x y x= + − ⇔ = +
(loại)
56,-.,+!9#3 !:'#E2
H! :# H y x y x= − + ⇔ = −
Ví dụ 11: 92)
:
: y x x= − +
!9#;<,-56,-.,+!9#?,,-
.,/*7*78/gh
H
y x
−
=
;
Giải:
*
& : :y x= −
;D,-.,+!9#?,,-.,/*7*78/g
h
H
L
y x x= +
"?,,-
.,7*78/gh!C#
x y+ − =
;
Giải:
!C#*-56
L
y x= − +
d!C#*()*E2
;
Q
∆
E2,-.,\6*()*^6
; ! ! ##
k k do d− = − ⇔ = ∆ ⊥
;
*
:
& Ly x x= +
d2/@,-/4E2(-56
:
L x x+ =
+
=
+
!9#;<,-56,-.,78!9#?,5i,-
.,U5M23="5M3])l=]7n3l"o/n.l
E2*/@;
Giải
*
&
! :#
y
x
−
=
+
<6,-.,3785M/@@7nd()*+,-.,E2
k = ±
R/*
( )
'M x y
E2,-/4+,-.,78/01!9#*
&
! # y x = ±
6
Ly = −
Er/*,-.,*C3
y x= − −
7
<W.,-.,\6E2
y x= − −
Ví dụ 14: 92).B
x
x
−
−
*/01!9#;
qW--56,-.,+/01!9#),-.,2.U5Mlx"lyE\
ES3/4=72]NOl=BLl];
Giải
QX)Y,-.,C+!9#3
! ' # ! #M x y C∈
UlA3="l.3])
LlOA B=
;
D∆l=]73ld
L
: ! #
x y
x y
= − =
= =
R/**,-.,NOE2
:
! #
L L L
:
! :#
L L L
y x y x
y x y x
= − + + = − +
⇔
= − − + = − +
"7,-56,-.,78!9#?,,-
.,//4=!'#;
Giải:
*
& : :y x= −
Q
( )
:
' : x x x− +
E2,-/4;()*+,-.,E2
&! # : :y x x= −
;
56,-.,78!9#3 E2
∆
( )
:
: !: :#! #y x x x x x− − + = − −
∆
=!'#d*
( )
:
: !: :#! #x x x x− − − + = − − −
:
Giải:
Q
: :
! ' : # " ! ' : # "A a a a B b b b a b− + − + ≠
E2/4-n?(5d!9#;
*
& : :y x= −
d,-.,78!9#3=72]*()*E\ESE2
&! # : : 2 &! # : :y a a v y b b= − = −
;
,-.,3=72]))78^
&! # &! # : : : : ! #! # ! 6 #y a y b a b a b a b a b v a b a b= ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ = − ≠ ⇔ − ≠
: :
L : ! # ! : # ! : # :AB AB a b a a b b
= ⇔ = ⇔ − + − + − − + =
: :
! # ! # :! # : ! # ! #! # :! # :a b a b a b a b a b a ab b a b
⇔ − + − − − = ⇔ − + − + + − − =
! ' # 2 !' L#v−
Ví dụ 17: 6/4="]@/01!9#+2)
x
y
x
−
=
+
),-.,
+!9#3=72]))7872/@C2/3=]B
;
Giải:
2)/S7,E3
:
y
x
= −
+
Q
: :
' " '
A a B b
a b
! # ! #
y a y b
a b
= ⇔ =
+ +
9
a b a b
a b
a b a b
+ = + =
⇔ ⇔ ⇔ = − −
+ = − − = − −
!#!C
a b≠
#
: :
L ! # L
AB AB a b
b a
+ = + = ∨ + = −
⇔ + − + + = ⇔ ⇔
+ = ∨ + = −
+ =
L
L
b a
b a
b a
b a
= ⇒ = −
= − ⇒ =
⇔
= ⇒ = −
= − ⇒ =
9b-/4=72]\6*/@E2
! '# 2 !' # ' !'# 2 ! L':#v v− − −
+ + =
$!9
#U/gh.B39!"#"D"t-n?(
⇔56!#*(A
D
"A
t
≠;
⇔
H L
L
:
H
m
m
m
m
≠
∆ = − >
⇔
D
J#!:A
t
J#BHA
D
A
t
J!A
D
JA
t
#JL
BT
⇔ HJ
×
!T:#JL
BT'!76A
D
JA
t
BT:'A
D
A
t
B_/1Ev<#;
⇔ L
THJB⇔B
' " ! #
a
a M C
a
−
∈
÷
+
;
*
( )
L L
& &! # "
! # ! #
y y a a
x a
= ⇒ = ≠ −
+ +
<W.
L
! # L ! # L !$#
! #
a
y x a x a y a a
a
d I
a
+
⇒ ∆ ≤ =
+
;<W.
( )
'd I ∆
E8a^
( )
'd I ∆
BL
! #
:
a a
a
a a
+ = =
⇔ = + ⇔ ⇔
+ = − = −
;9X51/NO
a ≠
J<8B.72!$#/S-56,-.,E2
&
! #
y
x
= −
+
d,-.,78!9#3 *()*E2
&! #
! #
y x
x
= − <
+
<W.,-.,78!9#3 ))78/ghC.BA
D/*"
! #
! #
x
x
− = − ⇔ + =
+
11
Ví dụ 21: 92)
:
x
y
x
+
=
−
;
#RX))K?,d727y/01!9#+2);
?#9/4
! ' #
o o o
M x y
@/01!9#;,-.,+!9#3
U(W+
!9#3/4=72];9`
E25/4+/3h=];
Giải
a) KE2
b)
! ' #
o o o
M x y
;
⇒
'
A B A B
x x y y
x y
+ +
= =
⇒
E25/4=];
Ví dụ 22: 92)
x
y
x
+
=
−
!9#
#RX))K?,d727y/01!9#+2);
?#9`5i,-.,+/01!9#/EW-78/g(W
@*C(%^/z;
Giải
# KE2
?# QX)Y
− + −
= +
− −
9/4+!C#78(WE2
'
a
A
a
+
÷
−
"
! '#B a −
;
'
IA
a
→
=
÷
−
y
x
−
=
−
;
#RX))K?,d727y/01!C#+2);
#9M E2/4?a^65d!C#;,-.,+!C)3M U/g(W+
!C#3A72 B.QI E2/4+/g(W;6/@/4M)
/g5{3,-IAB *C(%Na;
Giải
12
QX)Y
:
' "
x
M x x
x
−
≠
÷
−
"
= - +
-
-
/@/4="]+!∆#78(WE2
( )
' ' '
x
A B x
x
−
−
÷
−
a.
A B
M
xx x
x x
+ −+
π π π π
−
= − + − = − + ≥
÷
− −
DaeBPAX.5^
! #
:
! #
x
x
x
x
=
+
6,-.,3 *-56
: :
! #
! #
y x x
x x
− + = −
+ +
.
:! # ! # ! # :! # x x x y x− − + − − + =
RXF
! '#I −
8,-.,E2
( )
L L
:! # :! #
+
"7n.
d ≤
;
RXdE8a?i
^
( )
H
! # : :
! #
x x x
x
= + ⇔ + = ⇔ = − ±
+
;
<W.*/4
( )
:' :M − + −
b
( )
:' :M − − +
13
Ví dụ 25: 92)
+ +
⇔
! # x x y x x− + + + + =
*
! " # ! " #d A d d B d=
⇔
L! # L ! # x x x x x x− + + + + = − + + + + +
⇔
x x x= ∨ = ∨ = −
<W.*?-56,-.,
' '
L L
y x y x y x= + = + = +
Chú ý: ]22.*4X?i),-.,/="]d*^X
,-.,))!5f#=]b,-.,/5/4+=]
Ví dụ 26: 92)
! #
x
y C
x
=
+
&! #! # ! # ! #
! # ! # ! #
x x
y y x x x y y x x y x d
x x x x
= − + ⇔ = − + ⇔ = +
+ + + +
Q
! # AA d= ∩
⇒
/@/4=E2(+(
! "#
! # ! #
!" #
! # ! #
! # ! #
x
y x
x
x x
B
x x
y
x x
x
= +
=
⇔ ⇒
+ +
=
+ +
;
! # L
x
x
=
+
L
L ! #
! #
x x x x
x y
x x
x x x x vn
x y
= + − − =
! #
: :
y x d= − +
Bài 3. 92)
:
: H ! #y x x x C= + − +
;5aX,-.,+!9#6
,-.,*()*Na
Bài 4. 92)
L
x
y
x
−
=
+
!9#;%C(%6-h83?o!9#"5Ml.
72,-.,+!9#3/4*2/@AB:;
Bài 5. 92)
L
y x x= − − +
;<,-56,-.,+/01!9#?,,-
.,/*7*78/ghC
y x= −
Bài 6. qW--56,-.,78/01!9#+2)
÷
Bài 9. 92)
:
x
y
x
−
=
−
*/01!9#;
#RX))K?,d727y/01+2)!9#
?#65d!9#}/4 ),-.,3 +!9#U(W+
!9#3="])=]Ua
Bài 10. 92)
x
y
x
+
=
−
;9 j
15
#V,,-.,+/)U/g(W3=72]6,-/4E25
/4+=];
?# ,-.,+/01/378/g(W@*C(
2.1.1. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số:
QUY TẮC I QUY TẮC II
Bước 1:6Z
Bước 2:%
( )
~
f x
;Z/1điểm tới
hạn.
Bước 3:qW-?X?,d;R,EW;
Bước 1:6Z
Bước 2:%
( )
~
f x
;QX-56
( )
~
f x =
72^%(
i
x
!
"";;;i =
#E2
(+*;
Bước 3:%
( )
~~
f x
xy
xy
b/ Điều kiện để hàm số có cực đại tại x
0
:
&! #
&CC ;
y x
y sang qua x
=
+ −
hoặc
<
=
0)(''
0)('
0
0
xy
d/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu):
16
.GB*(-n?(
⇔
a 0
0
≠
∆>
e/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị: .
~
B*:(-n?(;
2.1.3. Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
• 6/^(/42)*K51
• ]pCp/^(+?2/@/4K51+/012)"
F/*/5/^(+);
2.2. Ví dụ và bài tập
Ví dụ 1: 6K51++2)
:
:
y x x x
= − − +
y= − =
2)/3K43AB7251K4y
CT
( )
L
:
y
−
= =
;
Cách 2. (Sử dụng quy tắc 2)
$W-A/1;
*
& ' &
x
y x x y
x
= −
= − − = ⇔
=
17
(?) Ta thấy hàm số này rất khó xét dấu của y’, do đó hãy sử dụng quy tắc 2 để tìm cực trị?
Giải
a)ZDBj
$
& )A )y x= − −
)A
& )A! ) #
)
:
x k
y x
x n
x
π
π
π
± + = − ± ±
⇒
2)/3K43
! #
:
x n n Z
π
π
= ± + ∈
b)ZDBj;
$
& :) )A y x= − +
& :) )A y x= ⇔ − = −
:
) )A
x⇔ − = −
) A )
:
π π
÷
⇔ − = =
= + = − − = − <
J
>
• :
y k
π
π
÷
+ = >
<W.2)/3K/33
x k
π
π
= +
2)/3K43
>
x k
π
π
= +
$Q7d\E2)45k,3+7()YCM.U72.U;
Chú ý€.U*/4E2u\%/32a-@50A[Ca.G72EW-
?XA[Ca.G"F/*).5/4K51;V.U*S/4E2*/{N
′
= + − + + +
⇒
( )
( )
y x x m m
′′
= + − +
42)/3K43x=−6
( )
( )
( ) ( )
( )
L : :
:
y m m m m
m
y m m
m m
′
− = − + − = − − =
⇔ ⇔ ⇔ =
.GB*(-n?(E2A
"A
;
⇔
! # : x m x− + + =
*(-n?(E2
"x x
;
& ! # : : :m m m⇔ ∆ = + − > ⇔ > − + ∨ < − −
!#
_/*
( )
L L !$#x x x x x x− ≤ ⇔ + − ≤
_/1Ev<_*
! #' :;x x m x x+ = + =
( )
!$# L Lm⇔ + − ≤
L
m⇔ ≤ ≤
<W.
Lm≤ ≤
E2
Ví dụ 6:92)
:
! # ! : # Ly x m x m m x= − + + − − + −
!mE2)#*/01E2
!9
m
#;Z/1m/4!9
m
#*/4K/372K4i7-%+5M;
19
Giải
: ! # ! : #y x m x m m
′
= − + + − − +
.
(C
m
) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung
⇔
PT
Giải:
2)*9"9⇔
( ) ( ) ( )
: f x mx m x m
′
= − − + − =
*(-n?(
⇔
( ) ( )
{
:
m
m m m
≠
′
∆ = − − − >
⇔
m− < ≠ < +
!$#
<8/^(!$#6
( )
f x
′
=
− − −
+ = ⇔ = − = = − =
( )
( ) ( ) ( )
:
: L
: L :
m
m m
m m m m
m m m
−
− −
⇒ × = ⇔ − − = −
:
m
m
=
⇔
=
9X512./NO/^(!$#;<W.
x x+ =
uuur
5/4+/3ABE2I!m'm
:
#
^(/4AB/A`/ghyBxE2AB7*78/ghyB
x72I@/ghyBx
:
:
L
m m
m m
− =
⇔
=
QX(-56/S
m = ±
'mB
20
R,S-78/^(*
:
m
OA OB m m
m
= − +
= ⇔ + + = ⇔
= − −
;
Ví dụ 10;92)
( )
L
m
y x m x C= − +
!#;6C42)!#*?/4K51
E2?/u+@7n;
Giải
*
( )
:
& L L L !$#
x
y x m x x x m m
L
y x m x= − +
!#;6aX51/4/012)!#
*?/4K51="]"972C(%=]9?i:!/71C(%#;
Giải
J#*.GBLA
:
TL
A'.GB
⇔
x
x m
=
=
'R*:/4K51
≠
J#/@?/4K51=!'#"]!'T
L
#"9!'T
L
#'
J#9 =]9n/u=;/@5/4x+]9E2x!'T
L
#;
= ⇔
=
2)*:K51
⇔
.G/zCa:E\
⇔
-56.GB*:(-n?(
⇔
‚
R‚"/012)!#*:/4K51E2
! ' # " ! ' # " ! '#A m m B m m C− − −
QxE2n72jE2?^%+/g5{/:/4="]"9;
<6/4="]/A`5Mdxi5d5M;
bx!'.
#;*x9Bj
! #
y
y
y
=
− −
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔
=
− +
=
w)/^(‚"/SB72B
− +
$<8x!'#
x=Bj
L
! # m m m m m⇔ + − − = ⇔ + + =
!$#
56!$#7(^‚
<W.?2NO^B72B
− +
Ví dụ 13. 92)
L
y x mx m= − + −
!#"78
m
E2)K;Z/1
y
/zCa^
x
/(/*
m⇔ >
• R/*?/4K51+/012)E2
( )
( ) ( )
' " ' " ' A m B m m m C m m m− − − + − − + −
•
;
ABC B A C B
S y y x x m m= − − =
V
'
L
" AB AC m m BC m= = + =
( )
L
:
; ;
m
/42)*K51;
?#6
m
/42)*K515d
( )
'+∞
;
#6
m
/4/012)*/4K51i7-%5M;
C#6
m
/4/012)*/4K51i7-%5M2
Bài 2. 92)
( ) ( )
:
:
: :
y mx m x m x= − − + − +
;6
m
/42)/3K/33
x =
;
Bài 3. 6
m
/42)
( )
x
)x
CĐ
"
9
x
E2/@C23*73@7*
/@C23.?i
;
Bài 5. Z/1
m
/42)
( )
:
y mx m x x= − − − +
/3K513
"x x
)
H
x x− =
;
Bài 6. Z/1
m
/42)
( )
)!#*/4K51A 72B)
OA OB+ =
;
Bài 10. 92)
:
:
:
y x x x= − +
!#;
;RX))K?,d727y/01+2)!#;
;Q
="]
E\ESE2/4K/3"K4+/012)!#;6/4 @
5M2) =]*C(%?i;
Bài 11. 92)
: :
:
y x mx m= − +
6/4/012)*/4K/3"
K4/A`/gh.BA;
Bài 12. 92)
:
.BA :A J−
!#"E2)6/4/gh
/4K51+/012)!#3785M/@@*C(%?i
L;
Bài 13. 92)
y x x m x m C= − + − + +
6/42)*K/3"
K4"/0g/4K/372K4f78/@l32@
*C(%?iL;
Bài 16. 92)
:
: :! # y x x m x m m= − + − + − −
!m E2)#6aX
51+)Km/42)/O*K/3"K4'/0g/4K51
+/012)/A`/gh
L ;d x y− − =
Bài 17. 92)
:
:
! # :! #
y x m x m x= − − − − +
!#"mE2);
#RX))K?,d727y/01+2)!#^
m
= −
;
?#6
m
>
/4/012)!#*51K/3"51K4E\ESE2
"
C CT
y y
Bài 19. 6/42)
( ) ( )
:
:
: :
y mx m x m x= − − + − +
/3K513A
"A
N
OA
JA
B;
Bài 20. 6
m
/42)
( )
L
H y mx m x= + − +
*:/4K51;
Bài 21. 6/4/012).BA
L
J!J#A
TT:u*K/3"^*K
( )
m
C
i5d5M/@;
Bài 25. 92)
( )
L L
y x m x m m= − + +
"E2)K;
6m/4/012)
( )
*?/4K51EW-2@*C(%?i
Bài 26. 92)
L
y x mx m= − + − +
!#"mE2);
#RX))K?,d727y/012)!#^
m =
;
?#6m/4w!#*?/4K51i5d@/g5{*?^%?i;
Bài 27. 92)
( )
L
L y x m x m= − − + −
*/01
( )
m
C
#RX))K?,d727y/01
?#6m/4/012)
( )
*?/4K51EW-2@*C(%
?i:;
Bài 30. 92)
L
y x mx m= − + −
*/01
( )
m
C
;651K+)
m
/4/01
( )
m
C
*?/4K51i5d/g5{*?^%?i;
Bài 31. 92)
L
!#
:
y x mx= − +
"78
m
E2);6
m
/4/01+2
Copyright: Tài liệu đại học ©