ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015
ĐỀ 1
Môn thi: Toán lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 5x
2
- 26x + 24 c) x
2
+ 6x + 5
b)
1
2
3
4
3
8
1
23
−+− xxx
d) x
4
+ 2015x
2
+ 2014x + 2015
Bài 2: (1,5 điểm)
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
(6
x
+ 7)(2
x

+ + + + +
cho đa
thức
2
10 21x x
+ +
.
Bài 3 (1,25 điểm): Cho biểu thức
2 2 2 2 2 2
4xy 1 1
A :
y 2x y x y xy x
 
= +
 ÷
− − + +
 
a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.
c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x
2
+ y
2
+ 2x – 2y = 1, hãy
tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?
Bài 4 : (2 điểm) Giải các phương trình sau:
a) x
3
- 2x
2

APS là các tam giác cân.
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là
hình chữ nhật.
c) Chứng minh P là trực tâm
∆
SQR.
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC.
e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng.
Bài 6 : (0,5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x
2
+ y
2
+ 4xy - 2y - 16x + 2015
b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1. Chứng minh a
3
+ b
3
+ ab
≥
2
1
Hết
1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI NỘI DUNG
THANG
ĐIỂM
Bài 1

1
−






+






−






xxx
=
3
1
2
1



+
2015x +2015 = x
2
(x
2
+ x + 1) – x(x
2
+ x + 1) + 2015(x
2
+ x + 1) = (x
2
+
x + 1)(x
2
– x + 2015)
0,5 điểm
Bài 2
(1,5
điểm)
a) ( 6
x
+ 7)(2
x
– 3) – (4
x
+ 1)
7
3
4
x

y y y
−
= =
+
0,5 điểm
c)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
( ) 2 4 6 8 2015 10 16 10 24 2015P x x x x x x x x x= + + + + + = + + + + +
Đặt
2
10 21 ( 3; 7)t x x t t= + + ≠ − ≠ −
, biểu thức P(x) được viết lại:
( ) ( )
2
( ) 5 3 2015 2 2000P x t t t t= − + + = − +
Do đó khi chia
2
2 2000t t− +
cho t ta có số dư là 2000
0,5 điểm
Bài 3
(1,25
a) Điều kiện: x
≠
±
y; y
≠
0 0,25 điểm

2≤
(do (x – y + 1)
0≥
(với mọi x ; y)
⇒
A
≤
2.
+ A = 2 khi
( )
x y 1 0
2x x y 2
x y;y 0
− + =


+ =


≠ ± ≠


⇔

1
x
2
3
y
2

y
2

−
=



+

=


+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 4
(2
điểm)
a) x
3
- 2x
2
- 5x + 6 = 0
⇔
x
3
- x
2
- x

053 ≥−⇔ x

3
5
≥⇔ x
0,5 điểm
c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
3 2 4 9
1 4 4 6 3 3 6
1 1 1 1 4 1 1
1 4 4 6 3 3 6
3 3 4 1 3 3 1
1 4 1
1 3 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3
4 8 0 4 2 0
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
⇔ + = +

⇔
(x+1)
2
- (y+2)
2
= 7
⇔
(x – y - 1)(x + y + 3) = 7 Vì x, y nguyên dương
Nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0
⇒
x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1
⇒
x = 3;
y = 1
Phương trình có nghiệm dương duy nhất (x , y) = (3 ; 1)
0,5 điểm
3
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015
Bài 5
(2,75
điểm
Vẽ đúng hình, cân đối đẹp.
a) a)
∆
ADQ =
∆
ABR vì chúng là hai tam
giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và
DA = BD (cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR,
nên

0
nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN
có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.
c) Theo giả thiết: QA
⊥
RS, RC
⊥
SQ nên QA và RC là hai đờng cao của
∆
SQR. Vậy P là trực tâm của
∆
SQR.
d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM =
2
1
QR
⇒
MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.
Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông
SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực
của AC
e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách
khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm
trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.
Bài 6
(0,5
điểm
a) A = 13x
2
+ y

2
; y =
3
1
−
)
0,25 điểm
b) Ta có a
3
+ b
3
+ ab
≥
2
1
(1)
⇔
a
3
+b
3
+ab -
2
1
≥
0
⇔
(a+b)(a
2
+ b

0
≥
(vì b
= 1- a)
⇔
2a
2
+2 - 4a + 2a
2
- 1
0
≥
⇔
4(a
2
- a +
4
1
)
0
≥
⇔
≥






−

2
- 8)
2
+ 36
Bài 2: (4,0 điểm) Tìm x, biết:
a/
2
4 12
3
x + = −
; b/
3 1
: 3
4 4
x+ = −
;
c/
3 5 4x − =
; d/
4 3 2 1
2011 2012 2013 2014
x x x x+ + + +
+ = +
Bài 3: (2,0 điểm)
a/ Cho A =
2
3 2
4 4
2 4 8
a a

b/ Cho a + b + c = 2014 và
1 1 1 1
2014a b a c b c
+ + =
+ + +
.
Tính: S =
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90
0
. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ là
đường thẳng AB vẽ AF vuông góc với AB và AF = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ là
đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC và AH = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia
DA lấy điểm I sao cho DI = DA. Chứng minh rằng:
a/ AI = FH ; b/ DA
⊥
FH
Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng EMFN là hình bình
hành.
Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 4 6 10
x
A x x x x= − − − − +

2
+ x + 1) + 2014(x
2
+ x + 1)–(x – 1)(x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
4
+ 2014 – x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
4
– x + 2015)
c/ x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz = (x + y)
3
– 3xy(x + y) + z
3
– 3xyz =
= (x + y + z)
3
– 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z)

3 3
x x x+ = − ⇔ = − ⇔ = −
. Vậy x = -24
b/
3 1 1 15 1 15 1
: 3 : :
4 4 4 4 4 4 15
x x x x
 
+ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −
 ÷
 
. Vậy x =
1
15
−
c/
3 5 4x − =
. Xét 2 trường hợp:
* Nếu x
≥
5/3 ta có: 3x - 5 = 4
⇔
3x = 9
⇔
x = 3 (t/m ĐK trên)
* Nếu x < 5/3 ta có: 3x-5 = - 4
⇔
3x = 1
⇔


Vậy x = - 2015
Bài 3: (2,0 điểm)
a/ Rút gọn A =
1
2a −
Để A nguyên
1
2a
⇔
−
nguyên
⇔
1
M

⇔
a = 1; a = 3
b/ n
5
+ 1
M
n
3
+ 1
⇔
n
2
(n
3

+ Nếu n > 1 thì (n - 1) < n(n - 1) + 1 < n
2
– n + 1
nên không thể xảy ra n - 1
M
n
2
– n + 1
Vậy giá trị của n tìm được là n = 1
Bài 4: (2,0 điểm)
a/ Ta có:
6
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015
( )
1 3 5 5 5 3 9 4 20
2 4 6 10 12 24
5 3 4 5 9 20
1 3 5
2 4 6 10 12 24
a b c a b c
a b c
a b c
− + − − + −
= = = = =
− − − − +
− + −
⇒ = = =
− +
Vì 5a - 3b - 4c = 46 nên:
1 3 5 46 6 52

Phân tích
1 1 1
a b c
+ +
Phần nào có a+b+c thì thay = 1
b/ Ta có:
1 1 1 1
2011a b a c b c
+ + =
+ + +
a + b + c = 2014
⇒
a = 2014- (b + c);
b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b)
Do đó:
( ) ( ) ( )
2014 2014 2014b c a c a b
S
b c a c a b
− + − + − +
= + +
+ + +

2014 2014 2014
1 1 1
1 1 1
2014 3
b c a c a b
b c a c a b
= − + − + −

⇒
BI = CA (2 cạnh tương ứng),
7
A
B C
D
I
H
K
F
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015
·
·
BID CAD=
(2 góc tương ứng). Mặt khác 2 góc này ở vị trí so le trong nên suy ra BI//AC.
- Xét
∆
ABI và
∆
FAH có:
AB=AF (gt),
·
·
ABI FAH=
(cùng bù với
·
BAC
),
BI = AH (cùng = AC)
⇒

·
0
90AFH FAK+ =
·
0
90FKA AK FK AI FH⇒ = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
(vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH)
Bài 7: (2 điểm)
a/
- Hình vẽ:
- Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành
ABCD, ta có O là trung điểm của BD.
- Chứng minh BEDF là hình bình hành
- Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của
EF
- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O.
b/ Xét
∆
ABD có M là trọng tâm, nên
1
3
OM OA=
- Xét
∆
BCD có N là trọng tâm, nên
1
3
ON OC=

- Mà OA = OC nên OM = ON

( )
1
x Min
A⇒ =
đạt được khi
2
7 6x x− +
= -3
⇔
x
2
- 7x + 9 = 0
⇒
x =
7 13
2
+
; x =
7 13
2
−
8
/ /
/ /
/ /
//
O
N
M
F

+ +
 
+ −
 ÷
− − + −
 
1) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định.
2) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của
biến x.
Bài 3 (3,0 điểm)
1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1.
Tính giá trị của biểu thức: A =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
a b b c c a
a b c
+ + +
+ + +
2) (1,5 điểm) Cho
2 2 2 2
x y a b
x y a b
+ = +


+ = +


- x
2
- x + 1 cho x
2
- 1
2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x
2
+ 3x + 4)
2
Bài 6 (5,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD, BC. Đường chéo AC
cắt đường chéo BD tại O và các đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q.
1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm của tam giác ABD.
2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC.
3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E, F.
Chứng minh rằng I, K thuộc đường thẳng AB.
4) Chứng minh: AI + AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB.
HẾT
9
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài Câu Nội dung
Biểu
điểm
1
1
18x
3
-
8

3
- b[a + (a + b)]
3
= a[(a + b)
3
+ 3(a + b)
2
b + 3(a + b)b
2
+ b
3
] - b[a
3
+ 3a
2
(a + b) +
+ 3a(a + b)
2
+ (a + b)
3
= a(a + b)
3
+ 3ab(a + b)
2
+ 3ab
2
(a + b) + ab
3
- a
3

+ 2a
2
b + ab
2
+ 3ab
2
- a
2
b + ab
2
- 3a
2
b - a
2
b - 2ab
2
- b
3
]
= (a + b) (a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
)
= (a + b)(a - b)
3

7 7 49
11
2 2 4
 
+ + −
 ÷
 
=
2
2
7 5
2 2
x
 
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
=
7 5 7 5
2 2
x x
  
+ −
− −
 ÷ ÷
 ÷ ÷

x
x

− ≠

≠

− ≠


⇔ ≠ ⇔ ≠ ±
 
+ ≠
 
≠ −


− ≠

0,5
2
Với
1x ≠ ±
, ta có:
A =
2
3 1 3 4 4
.
( 1)( 1) 2( 1) 2( 1) 5
x x x

1 + a
2
= ab + bc + ca + a
2
= a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) 0,5
Tương tự: 1 + b
2
= (b + a)(b + c) và 1 + c
2
= (c + a)(c + b) 0,5
Do đó: A =
( )
2
2 2
( ) ( )
1
( )( )( )( )( )( )
a b b c c a
a b a c b a b c c a c b
+ + +
=
+ + + + + +
0,5
2
Từ x
2
+ y
2
= a
2

• Nếu b – y = 0
n n n n
y b x a y a b⇒ = ⇒ = + = +
0,25
• Nếu x + a = y + b
x y b a x b
x y a b y a
− = − =
 
⇒ ⇒
 
+ = + =
 
0,25
Do đó: x
n
+ y
n
= b
n
+ a
n
= a
n
+ b
n
Vậy trong mọi trường hợp, ta có: x
n
+ y
n

= 0 (1)
Điều kiện: 1 – x
10 ≤⇔≥ x
(*)
0,25
(1)
⇒
x
2
– 5x + 6 = 0 hoặc
x−1
= 0
⇒
(x – 2)(x – 3) = 0 hoặc 1 – x = 0
⇒
x = 2 hoặc x = 3 hoặc x = 1 0,5
Các giá trị x = 2, x = 3 không thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy x = 1. 0,25
2
7x
2
+ y
2
+ 4xy – 24x – 6y + 21 = 0
⇔
y
2
+ 4xy – 6y + 7x
2
– 24x + 21 = 0

(vì (y + 2x – 3)
2

≥
0 và 3(x – 2)
2

≥
0)
0,5
2
1
x
y
=

⇔

= −

. Vậy x = 2; y = -1
0,5
5 1 Đặt f(x) = x
2015
+ x
1945
+ x
1930
- x
2

3
2
3
2
−+






+
=
4
7
2
3
2
+






+x
0,25
Với mọi x, ta có:
4
7

==






≥⇒ A
0,25
Dấu “=” xảy ra khi
2
3
0
2
3
−=⇔=+ xx
0,5
Vậy minA = 12,25 khi x = -
2
3
0,5
6
1
1
Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là trung
điểm của mỗi đường.
0,5
Ta có: AO, BE là trung tuyến của
∆
ABD

Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2)
Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB.
0,5
0,5
4
∆
KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK
⇒
EF là đường trung bình của
∆
KMI
0,5
12
THI HC SINH GII MễN TON 8 CP HUYN Cể P N NM 2014-2015
1
EF=
2
KI

KI = 2.EF
Suy ra AI + AK = IK = 2.EF (4)
BF // AE v AF = AE

T giỏc ABFE l hỡnh bỡnh hnh

EF = AB (5)
T (4) v (5) suy ra: AI + AK = 2.AB khụng i khi M di ng trờn cnh CD.
0,5
Ghi chỳ: Nu hc sinh lm cỏch khỏc m ỳng thỡ vn cho im ti a
4

+ + = + +
.
Chng minh rng a = b = c.
Cõu 3 (4,0 im).
Gii cỏc phng trỡnh:
a)
2 1 2 5x x +
= 4 (1)
b)
( )
2
2 2
2
7 9
3 3
6 0
2 2 4
x
x x
x x x

+

+ =
ữ ữ
+

Cõu 4 (4,0 im).
a) Cho x, y > 0 tho món x + y = 2. Chng minh rng:
2

a)
12x
3
+ 16x
2
- 5x - 3
= 12x
3
- 6x
2
+ 22x
2
- 11x + 6x - 3
= 6x
2
(2x -1) + 11x(2x - 1) + 3(2x - 1)
= (2x - 1)(6x
2
+ 11x + 3)
= (2x - 1)(6x
2
+ 9x + 2x + 3)
= (2x - 1)[3x(2x + 3) + (2x + 3)]
= (2x - 1)(2x + 3)(3x + 1)
1,5
0,25
0,5
0,25
0,5
b)

= (x - 1)
2
5 21 5 21
2 2
x x
  
+ −
− −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
1,5
0,5
0,25
0,25
0,5
2
a)
Ta có: x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx

⇒
2x
2
+ 2y


≥
0, (y – z)
2

0≥
, (z – x)
2

0≥
Do đó: (1)
0
0
0
x y
y z
z x
− =


⇒ − =


− =

.

x y z
⇒ = =
1,0

c)
Đặt x = a
2
c, y = b
2
a, z = c
2
b. Ta được:
x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx
Áp dụng kết quả câu a) ta được:
(x – y)
2
+ (y – z)
2
+ (z – x)
2
= 0

⇒
x = y = z

⇒
a
2

+ + = + +
b c a c b a
suy ra:
x
2
+ y
2
+ z
2
=
1 1 1 xy + yz + zx
+ + = = xy + yz + zx
x y z xyz
Áp dụng kết quả câu a) ta được:
(x – y)
2
+ (y – z)
2
+ (z – x)
2
= 0

⇒
x = y = z

a b c
= =
b c a
⇒
2,0

3
- 2x
2
+ 7x - 7 chia ht cho x
2
+ 3.
Cõu 3 (4,0 im).
Gii cỏc phng trỡnh:
a)
( )
3 3
3
1 3
3 4 1 0
4 4
x x x

+ + + =
ữ ữ

b)
3 3
2
1 1
x x
x x
x x


+ =

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015
16
Câu Nội dung Điểm
1
Ta có:
x
3
- y
3
- z
3
- 3xyz = (x - y)
3
+ 3xy(x - y) - z
3
- 3xyz
= (x - y - z)
3
+ 3(x - y)z(x - y - z) + 3xy(x - y - z)
= (x - y - z)[(x - y - z)
2
+ 3xz - 3yz + 3xy)]
= (x - y - z)(x
2
+ y
2
+ z
2
-2xy - 2xz + 2yz + 3xz - 3yz + 3xy)
= (x - y - z)(x

+ xy - yz + xz)
Vậy B =
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
x y z x y z xy yz xz
2 x y z xy yz xz
− − + + + − +
+ + + − +
=
2
x y z− −

2,0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
2
a) HS có thể làm một trong các cách sau:
Cách 1: Đặt f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9
Ta có: A = (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 9
= (x
2
+ 8x + 7)(x
2

+ 4x + 3)(x
2
+ 12x + 35) + 9
= x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
+ 12x
3
+ 48x
2
+ 36x + 35x
2
+ 140x
+ 105 + 9
= x
4
+ 16x
3
+ 86x
2
+ 176x + 114
Thực hiện phép chia đa thức x
4
+ 16x
3
+ 86x
2

= (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 9
= [(x
2
+ 8x + 12)- 5][(x
2
+ 8x + 12) + 3] + 9
= (x
2
+ 8x + 12)
2
- 2(x
2
+ 8x + 12) – 15 + 9
= (x
2
+ 8x + 12)
2
- 2(x
2
+ 8x + 12) – 6
2,0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

3
. b) x
4
+ 2015x
2
+ 2014x + 2015.
Bài 2: (2,5 điểm)

Cho biểu thức:
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
 
−
 
= + + − +
 ÷
 ÷
− − + +
 
 
a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết |x| =
1
2
.
c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 3 : (2 điểm) a) Giải phương trình :
18

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là
hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC
2
.
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (2 điểm) a) (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
=
( )
3
3 3 3
x y z x y z
 
 
+ + − − +
 
 
=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2

= x(x
3
- 1) + 2015 (x
2
+x+1) = x(x -1) (x
2
+x+1) )+ 2015 (x
2
+x+1)
= (x
2
+x+1) [x(x -1) + 2015] = (x
2
+x+1) (x
2
–x + 2015) (1 điểm)
17
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015
Bài 2: (2,5 điểm) Biểu thức:
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
 
−
 
= + + − +
 ÷
 ÷

A=
3
2
hoặc A=
5
2
(0,75 điểm)
c) A < 0
⇔
x - 2 >0
⇔
x >2 (0,25 điểm)
d) A
∈
Z
⇔
Z
2x
1
∈
−
−
⇔
x-2
∈
Ư(-1)
⇔
x-2
∈
{ -1; 1}

++
+
++
xxxxxx18
1
7
1
6
1
6
1
5
1
5
1
4
1
=
+
−
+
+
+
−
+
+
+

zy +
=
+
=
+
; (0,25 điểm) Thay
vào ta được A=






+++++=
+
+
+
+
+
)()()(
2
1
222 y
z
z
y
x
z
z
x

BE = DF (0,5 điểm)
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)
b) Chứng minh:
∠
ABC=
∠
ADC
⇒

∠
HBC=
∠
KDC (0,25 điểm)
⇒

∆
CHB ∽
∆
CKD(g-g)
CB.CKCD.CH
CD
CB
CK
CH
=⇒=⇒
(1 điểm)
c)Chứng minh :
∆
AFD ∽
∆

=⇒=
(0,25 điểm)
Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC
2
(0,25 điểm)
O
F
E
K
H
C
A
D
B
GIAÛI MOÄT SOÁ ÑEÀ THI
Đề 1
Bài 1: a) Thực hiện phép chia: (x
3
- 2x - 4) : (x
2
+ 2x + 2)
b) Xác định a sao cho ax
3
- 2x - 4 chia hết cho x - 2
c) Tìm nghiệm của đa thức: x
3
- 2x - 4
Bài 2: a) Tính S =
a b c
(c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a)

ABC∆
vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở
B, ACE vuông cân ở C. CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N
a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang
b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = 4 cm; MC = 5cm
c) Chứng minh AM = AN
Bài 5: Cho M là điểm nằm trong
ABC∆
, từ M kẻ MA’
⊥
BC, MB’
⊥
AC, MC’
⊥
AB
(A’
∈
BC; B’
∈
AC; C’
∈
AB). Chứng minh rằng:
a b c
MA' MB' MC'
h h h
+ +
= 1
(Với h
a
, h

c) Tìm nghiệm của đa thức: x
3
- 2x - 4
Nghiệm của đa thức là các giá trị của x để
x
3
- 2x - 4 = 0
⇔
(x
2
+ 2x + 2)(x - 2) = 0
⇔

2
x 2x 2 0
x 2 0

+ + =

− =

+) x - 2 = 0
⇔
x = 2+) x
2
+ 2x + 2
⇔
(x
2
+ 2x + 1) + 1 = 0

Ta có:
1 1 1 1 3n 5 (3n 2) 1 3 1
.
3 3n 2 3n 5 3 (3n 2)(3n 5) 3 (3n 2)(3n 5) (3n 2)(3n 5)
 
+ − +
 
− = = =
 ÷
 
+ + + + + + + +
 
 
c) Tính :
150 150 150 150

5.8 8.11 11.14 47.50
+ + + +
áp dụng câu b ta tính được
150 150 150 150

5.8 8.11 11.14 47.50
+ + + +
= 9
Bài 3: Giải các phương trình
a)
2 2
2 2 4 2 4 2 4 2 4 2
x 1 x 1 2 x(x 1)(x x 1) x(x 1)(x x 1) 2
x x 1 x x 1 x(x x 1) x(x x 1) x(x x 1) x(x x 1)

3
+ 1) = 2
⇔
x
4
- x - x
4
- x = 2
⇔
- 2x = 2
⇔
x = - 1
b)
7 x 5 x 3 x 7 x 5 x 3 x
3 1 1 1 0
1993 1995 1997 1993 1995 1997
− − − − − −
+ + = − ⇔ + + + + + =
⇔
x = 2000
Bài 4:
Cho
ABC∆
vng tại A. Vẽ ra phía ngồi tam giác đó các tam giác ABD vng cân ở B,
ACE vng cân ở C. CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N
a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang
b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = 4 cm; MC = 5cm
c) Chứng minh AM = AN
Giải
a) Chứng minh

+ +
(1)
⇒
AM(AC + AB) = AC. AB
⇔
3(4 + AB) = 4 AB
⇔
AB = 12 cm
⇒
MB = 9 cm
Từ
MC AM MC.MB 5.9
MD 15
MD MB MA 3
= ⇒ = = =
cm
c) AB // CE (cùng vuông góc với AC) nên
AN AB AN AB
NC CE NC + AN AB + CE
= ⇒ =

⇔

AN AB AB. AC
AN
AC AB + AC AB + AC
= ⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM = AN
Bài 5:

)
Giải
Kẻ đường cao AH, ta có:
MBC
a ABC
S
MA' MA'
h AH S
= =
(1)
Tương tự:
MCA
b ABC
S
MB'
h S
=
(2) và
MBA
c ABC
SMC'
h S
=
(3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế, ta có:

MBC MCA
MBA
a b c ABC ABC ABC
S S

Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c
0
(b c) (c a) (a b)
+ + =
− − −
21
H
C'
B'
A'
M
C
B
A
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015
Câu 3: Cho tam giác ABC; gọi Ax là tia phân giác của
·
BAC
, Ax cắt BC tại E. Trên tia Ex
lấy điểm H sao cho
·
·
BAE ECH=
. Chứng minh rằng:
a) BE. EC = AE. EH
b) AE
2
= AB. AC - BE. EC

0 víi mäi a
⇒
b > 0
⇒
a < 0
b) V× x + y = 1
⇒
A = x
3
+ y
3
+ 3xy = x
3
+ y
3
+ 3xy (x + y) = (x + y)
3
= 1
C©u 2: b) Từ
a b c
+ 0
b - c c - a a - b
+ =

⇒

2 2
a b c b ab + ac - c
=
b - c a - c b - a (a - b)(c - a)

C©u 3:
a) Ta cã
∆
BAE
∆
HCE (g.g)
⇒

BE AE
BE.EC AE.EH
EH EC
= ⇒ =
(1)
b)
∆
BAE
∆
HCE (g.g)
⇒

·
·
ABE = CHE

⇒

·
·
ABE = CHA
⇒

=
OD OA
(2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:
OE OF
=
OD OC

⇒
EG // CD
22
H
E
x
C
B
A
O
F
D
E
C
B
A
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 CẤP HUYỆN CÓ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015
ĐỀ 3
Bài 1: Cho phân thức: P =
2
2 x 4
x x 20

b) AB. AE + AD. AF = AC
2
Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có Â = 60
0
. Một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối
của tia BA và DA lần lượt tại M và N
a) Chứng minh: Tích BM. DN có giá trị không đổi
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD
Bài 5:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
4(x + y) = 11 + xy
Giải
Bài 1:
a) Đkxđ: x
2
+ x - 20
≠
0
⇔
(x - 4)(x + 5)
≠
0
⇔
x
≠
4 và x
≠
- 5
b) P =
2

x 5 6,5 5 11,5 115 23
= = = =
+ +
Với x = 3,5 thì P =
2 2 2 2
x 5 3,5 5 8,5 17
− − − −
= = =
+ +
Bài 2:
a) A = 2002. 2004 = (2003 - 1)(2003 + 1) = 2003
2
- 1 < 2003
2

⇒
A < B
b) Ta có:
A = 3.(2
2
+ 1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1)
= (2

+ 1)
= (2
16
- 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) = (2
32
- 1)(2
32
+ 1) = 2
64
- 1 < 2
64

⇒
A < B
Bài 3:
23
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8 CẤP HUYỆN CĨ ĐÁP ÁN NĂM 2014-2015
Ta có
∆
AGB
∆
AEC
⇒
AE AC
=
AG AB

⇒
CM AD
=
CN DN
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2
MB AD
= MB.DN = BA.AD = a.a = a
BA DN
⇒
b)
∆
MBD và
∆
BDN có
·
·
MBD = BDN
= 120
0

MB MB CM AD BD
= =
BD BA CN DN DN
= =
(Do ABCD là hình thoi có
µ
0
A = 60

®Ị 4
C©u 1: Cho
2
2
x 7x 6
A
x 1
− +
=
−
a) Rót gän A b) T×m x ®Ĩ A = 0 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cđa x ®Ĩ A cã gi¸ trÞ nguyªn
C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 1)
2
= 4(x
2
+ 2x + 1)
C©u 3: Cho a, b, c tho· m·n:
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = (a
3
+ b
3
)(b
3
+ c
3
)(c

C©u 3: Tõ
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
⇒

1 1 1 1
0
a b c a b c
+ + - =
+ +
⇔
a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +
⇔
c(a b c) ab
(a b). 0 (a + b)(b + c)(c + a) = 0
abc(a b c)
+ + +
+ = Û
+ +

Tõ ®ã suy ra : A = (a
3
+ b

+ = + = = =
(v× BM = CM)
⇒

AB AB 1 1 1
1
BC AC AB BC CA
+ = ⇒ = +
C©u 5 :
a) Ta có
·
·
·
µ
·
DMC = DME + CME = B + BDM
, mà
·
µ
DME = B
(gt)
nên
·
·
CME = BDM
, kết hợp với
µ µ
B = C
(
∆

∆
DBM (c.g.c)
⇒

·
·
MDE = BMD
hay DM là tia phân giác của
·
BDE
c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của
·
DEC
kẻ MH
⊥
CE ,MI
⊥
DE, MK
⊥
DB thì MH = MI = MK
⇒

∆
DKM =
∆
DIM
⇒
DK =DI
⇒


2
1
xxx
x
x
x
−−
+
−
+
+
−
−
b) 6x
2
- x - 2 = 0
Câu 2 : Cho x + y + z = 0. Rút gọn :
222
222
)()()( yxxzzy
zyx
−+−+−
++
Câu 3 : Chứng minh rằng khơng tồn tại x thỏa mãn :
a) 2x
4
- 10x
2
+ 17 = 0
b) x

3
α
2
α
α
M
C
B
A
K
H
I
M
E
D
C
B
A