Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 1

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

NGUYỄN PHÚ KHÁNH
oOo

Phương pháp giải Toán 12CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ

PHỔ THÔNG TRUNG HỌC

ε
cho trước, tồn tại
số tự nhiên N sao cho
n N
∀ >
ta có
n
U L
ε
− <
. Ta viết: lim
n
n
U L
→∞
=
, viết tắt là lim
n
U L
=

Đònh nghóa 2: Cho hàm số f(x) xác đònh trên một khoảng I, có thể loại trừ tại điểm
0
x I
∈
.
Ta nói rằng f(x) có giới hạn là L (hay tiến dần tới L), khi x tiến dần tới x
0
nếu mọi dãy số: (x
n

0
, nếu với mọi
dãy số (x
n
); (
0
n
x x
≠
) sao cho:
0
lim
n
x x
=
thì lim ( )
n
f x
= ∞
ta viết
0
lim ( )
n
x x
f x
→
= ∞
hoặc
( )f x
→ ∞

+
→
= ∞
(hoặc
0
lim ( )
n
x x
f x
−
→
= ∞
)
 Chú ý:

Điều kiện cần và đủ để
0
lim ( )
n
x x
f x L
→
=
và giới hạn
0
lim ( )
n
x x
f x
+

+ + +
+ −

*
2
2
2
2
4
1
1
4
lim
1
4
2 2
lim
2 2
4
1
1
lim
2 2
x
x
x
x
x
x
x

2
2
2
1 5
4 3
4 5 3
lim lim
2
9 2
9
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
→∞ →∞
 
+ + +
 
+ + +
 
=
+ −
 
+ −
 
 


x x
x x
x x x x
x x
x x
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞

+ + + + + +


= =

+ − + −


=


− + + + − + + +

= = −


+ − − + −

2. Các đònh lí cơ bản:

lim
x x
L
→
=

Nhờ đònh lí trên, ta chứng minh được:
0 0
sin
lim lim 1
sin
a a
a a
a a
→ →
= =

Ví dụ 2: Tính
2
2
0
sin 9
lim
3
x
x
x
→

2

→
+ =
hoặc
1
lim 1
a
a
e
a
→∞
 
+ =
 
 

(
)
0
ln 1
lim 1
a
a
a
→
+
=
và
0
1
lim 1

2
lim 1 cos
x
x
x
π
π
−
→
−

•
Ta có:
3 5
1
2 2
x
x x
+
= +
+ −

•
Đặt
5 5
4 6
2
a x
x a
= ⇒ + = +

 
 
−
 
 Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 5

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

•
Đặt
2
t x
π
= −
khi
2
x
π
→
thì t  0 và
( )
2
2
4

 
⇒ − = −
 
 


Theo công thức:
0
lim ( )
t
U t e
→
=
(vì
( )
0
1
lim 1
a
a
a e
→
+ =
)
Mặt khác:
( )
0 0
sin sin 1 1
lim lim .
t t

0
0
. Tính các giới hạn sau:
Nguyn Phỳ Khỏnh Lt Bn tho xut bn sỏch tham kho ụn thi i hc nm 2008 6

Qu tng cho con trai : Trn Hong Vit Nng nhõn ngy sinh nht 27/10

2
3 2
2
5 6
lim
4
x
x x
x x

+
2
0
1 2 1
lim
1 cos
x
3 3
3
0
2 1 1
lim
x
x x x
x

+ + +( )
2
2 3 2
2
0
1
lim
ln 1
x
x
e x
x


+
+

)
2
lim 9 7 2 3
x
x x x
+
+ + +Daùng 4: Daùng voõ ủũnh
0.

hay
.0

.
Tớnh caực giụựi haùn sau
( )
(
)
2
lim 2 5 2 4 3
x
x x x
+

+

+

+
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 7

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

=> y = f(x) liên tục bên trái tại điểm x = 0 và không
liên tục bên phải tại điểm đó
=> y = f(x) liên tục bên phải tại điểm x = 0 và không
liên tục bên trái tại điểm đó
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC:
1. Một số đònh nghóa:
Đònh nghóa 1: Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại điểm x
0
, nếu x
0
là một điểm thuộc tập xác
đònh của hàm số và
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

2 0
( )
1 0
x x
y f x
x x
+ >

= =

− ≤

với
với

2 0
( )
3 0
x
x
y f x
x
x

+ ≠

= =


=

0 0
lim ( ) lim 2 (0)
lim ( ) lim 1 1 (0)
x x
x x
f x x x f
f x x f
+ +
− −
→ →
→ →

= + = ≠


= − = − =

*
2 0
( )
3 0
x
x
y f x
x
x


 
= + = =
 

  

−
 

= + = ≠
 

 
Ví dụ 2:
Cho hàm số
2
1 1
0
( )
0
x
x
y f x
x
A x

− −




Ta có:
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 8

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 (
)
(
)
( )
2 2
2
0 0 0
2
1 1 1 1
1 1
lim ( ) lim lim
1 1
x x x
x x
x
f x
x

→
= ⇔ = =

Vậy nếu A = 0 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 0

Đònh nghóa 2:
- Hàm số y =
f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu có liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
- Hàm số y =
f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu có liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó và:
+ liên tục về bên phải điểm a
+ liên tục về bên trái điểm b

2. Các đònh lí quan trọng về hàm số liên tục:
•
Hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x
0
thì tổng, hiệu, tích, thương (
0
( ) 0
g x
≠
) là
những hàm số liên tục tại x
0

•
Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và có
1 2 1 2
( , ) ( ) ( )

– 5x
2
+ 6x – 1 = 0
b)
x
4
– 2x
3
– 3x
2
– 5 = 0
c)
2
x
+ 3
x
– 6
x
= 0
d)
ln x + x = 0
a) Đặt
f(x) = x
3
– 5x
2
+ 6x – 1 có
(0) 1 0
(0). (1) 0
(1) 1 0

f
= − <

⇒ − <

− = >


=> Hàm số
f(x) liên tục trên R nên nó liên tục trên [-2, 0] => tồn tại ít nhất số thực
[
]
2,0
c ∈ −
sao
cho
f(c) = 0 => c là một nghiệm thực của phương trình đã cho
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 9

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

c) Đặt
f(x) = 2
x
+ 3
x
– 6

f f
f
e
e e
= >


 
⇒ <

 
 
= − + <
 
 

 


=> Hàm số
f(x) liên tục trên
(
)
0,
+∞
nên nó liên tục trên đoạn
1
,1
e
 

. Nếu tồn tại giới hạn
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
→
−
−
hoặc
(
)
0 0
0 0
( )
lim lim
x x
f x x f x
y
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆
thì ta gọi giới hạn đó là đạo hàm của hàm số
y =

khi
0
lim 0
x
y
∆ →
∆ =

2/ Nếu hàm số y =
f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
thì nó liên tục tại điểm đó. Đảo lại: Nếu một hàm
số liên tục tại điểm x
0
có thể không có đạo hàm tại điểm đó

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số y = |x| liên tục tại điểm x = 0 nhưng không có đạo hàm tại
điểm đó
Thật vậy, ta có:
(
)
0 (0) ( )
y f x f f x x
∆ = + ∆ − = ∆ = ∆

0 0
lim lim 0
x x
y x
∆ → ∆ →

∆ ∆ ∆

=>
'(0 ) '(0 )
f f
− +
≠
nên hàm số cho không có đạo hàm tại điểm x = 0
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
0
0
( )
x x x
y f x
ax b x x

≤

= =

+ >


với
với

Tìm a và b để hàm số liên tục và có đạo hàm tại x = x
0


+ +
− −
→ →
→ →


=

= + = + ⇒ + =



= =

(1)
* Để hàm số có đạo hàm tại điểm x = x
0
, ta có
0 0
'( ) '( )
f x f x
+ −
=

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 11

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

−
∆ →

+ ∆ − + ∆ −
= = =

∆ ∆


+ ∆ −

= =

∆


=> a = 2x
0
(2)
Từ (1), (2) ta có:
2
0
0 0
2
0 0
2
2
a x
ax b x
a x b x

 
 
c cv
v v
(c: hằng số)

Đạo hàm các hàm số cơ bản Đạo hàm các hàm số hợp U = U(x)
(a)' = 0 (aU)' = a.U'
(ax)' = a
(x
m
)' = m.x
m-1
;
x R
∀ ∈
(U
m
)' = m.U
m-1
(U')
( )
1
;
2
x x R
x
+
′
= ∀ ∈

tgU U k
U
π
π
′
= ≠ +

( )
2
1
;
sin
cotgx x k
x
π
′
= − ≠

( )
2
'
cot ;
sin
U
gU U k
U
π
′
= − ≠


;( 1)
ln
o a
x a
< ≠
(log
a
U)' =
'
;( 1)
ln
U
o a
U a
< ≠

(ln x)' =
1
;
x R
x
∀ ∈
(ln U)' =
'
U
UVí dụ 3:
a.


c.

Cho
1 cos 5
5
y x
π
 
= + +
 
 
. Tính y’
d.

Cho
ln ln 2003
y x x x
= −
. Tính y’

a.
(
)
(
)
(
)
(
)

y x x x
π π π
′
    
′
= − + + = − +
    
    

d.
( ) ( )
' ln ln ln 2003 1 ln ln 2003 ln 0
2003
ex
y x x x x x
′
= + − = + − = >

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 13

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

3. Đạo hàm cấp n của hàm số y =
f(x)

•



•

Đạo hàm cấp 4:
(
)
(
)
4 4
( )
y f x
=

•

Đạo hàm cấp n:
(
)
(
)
( ); 2
n n
y f x n
= ≥

Ví dụ 4:
Tính đạo hàm cấp n của
x
y xe
=

Giải và biện luận bất phương trình, phương trình, hệ và hệ bất phương trình
•

Giá trò lớn nhất, nhỏ nhất
•

Tính giới hạn bằng quy tắc L’Hopitale (Lôpitan)
Phần này tác giả có hai chuyên đề riêng: (học sinh tìm đọc)
Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm
Chuyên đề: Giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
** Chú ý quy tắc L’Hopitale:
1.

Quy tắc thứ nhất của L’Hopitale: Khử giới hạn dạng
0
0
.
Nếu
lim ( ) lim ( ) 0
x a x a
f x x
ϕ
→ →
= =
thì
( ) '( )
lim lim
( ) '( )
x a x a
f x f x

Các giới hạn dạng
0
0. ; ,1 ,0
∞
∞ ∞ − ∞ sẽ đưa về giới hạn trên
4.

Quy tắc L’Hopitale chỉ là điều kiện đủ để tồn tại giới hạn
( )
lim
( )
x a
f x
x
ϕ
→
, do vậy nó không thể thay
thế toàn bộ phương pháp thông thường
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 14

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

Vấn đề:
DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH ĐẠO HÀM

Cho hàm số
( )

Hàm số
f(x)
có đạo hàm trong khoảng (a, b) nếu và chỉ nếu hàm số có đạo hàm tại mọi
(
)
,
x a b
∈ :
(
)
( )
0
0
( )
'( ) lim ; ,
x
f x x f x
f x x a b
x
∆ →
+ ∆ −
= ∈
∆

0 0
0
0 0 0
0 0
0
: '( ) lim

∆

Đạo hàm bên phải
Hàm số co ùđạo hàm tại
Đạo hàm bên trái

Khi đó:
0
0 0
'( ) '( ) '( )
f x f x f x
+ −
= =

Cơ sở phương pháp giải toán
1. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cách 1:
0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=

lim ( ) lim ( ) ( )
x x x x
f x f x f x
− +
→ →
= =
(1)
* Nếu f có đạo hàm tại x
0
thì
0 0
'( ) '( )
f x f x
− +
= (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều kiện cần tìm

Dùng đònh nghóa để tính đạo hàm các hàm số sau tại x
0

1.
0
( ) sin
3
f x x x
π
= =
tại

2.

y f x x f x
∆ = + ∆ −

Bước 2: Lập tỉ số:
y
x
∆
∆

Bước 3: Tìm
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 15

Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

1.
3 3 3
( ) sin sin 2 cos

π π
π
π π π
π
→ →
 
−
 
   
 
= + = = ⇒ =
   
   
−

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 16

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 2.
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
( ) (2) 2 1 1 2
lim lim lim ' 2

f
x x x x
π π π
π π
π
π
π π π π
→ → →
   
− −
−
   
 
   
= = = ⇒ =
 
 
− − −4.
(
)
(
)
0 0
0 0 0 0
0 0
( ) sin 3cos sin 3cos
lim lim

0 0
0 0
0
0 0
sin sin
2 2
lim .cos . sin 3 lim( 2).sin .
2 2
2 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
→ →
− −
   
   
+ +
   
   
= + + −
   
− −
   

0 0 0 0 0 0 0
cos sin 3sin cos 2sin
x x x x x x x
= + − = −

nếu
nếu
b.
2
1
sin 0
( )
0 0
x x
f x
x
x

≠

=


=

nếu
nếu

c.
( )
1
x
f x
x
=

x x
→ → →
 
− −
= = = = ⇒ =
 
 
−
 

b.

Ta có:
0 0
( ) (0) 1
'(0) lim lim sin 0
0
x x
f x f
f x
x x
→ →
−
 
= = =
 
−
 

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008

1
1
x x x
f x f
x
f
x x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= = = =
∆ + ∆
∆ + ∆

d.

0
1
( ) ; (0) 0
1
1
x
x
x
f x f
x
x
x


−
= = = =
− +

1
0 0 0
( ) (0) 1
'(0 ) lim lim lim 1
0 1
x
x
x x x
f x f
f
x x x
− − −
−
−
+
→ → →
− −
= = = = −
− +

Vì
'(0 ) '(0 )
f f
+ −
≠
Vậy

sin
1
( ) 1
1
0 1
nếu
tại
nếu
π

≠

= =
−


=

x
x
f x x
x
xa.

Ta có:
f
(1) = 0

x x
− − −
−
→ → →
− + − −
−
= = = − =
− −

Vì
'(1 ) '(1 ) 2
f f
+ −
= =
Vậy
f
'(1) = 2
Nguyn Phỳ Khỏnh Lt Bn tho xut bn sỏch tham kho ụn thi i hc nm 2008 18

Qu tng cho con trai : Trn Hong Vit Nng nhõn ngy sinh nht 27/10

b.

Ta coự:
f
(1) = 0
( )

Vaọy
( )
(
)
2
2
2 2
2 2 2
2
2 2
1 0 0 0
sin 1
sin sin sin
lim lim lim lim . '(1)
1
x t t t
t
x t t
f
t t t
x





+

= = = = =




CMR: hàm số liên tục tại x = 1. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1
2.

Cho
2
2
x -1
( )
1
x a với
f x
x bx với x

− + ≥

=

+ < −



Xác đònh a, b để hàm số có đạo hàm tại điểm x = -1
3.

CM hàm số
− +
=
−



Xác đònh số thực
α
để hàm số:
a.

Liên tục tại x = 0
b.

Có đạo hàm tại x = 0
c.

Đạo hàm f ' (x) liên tục tại x = 0

1.
* f (1) = 1;
(
)
( )
( )
1 1 1
4 1
4 2
lim ( ) lim lim 1
1
1 4 2
x x x
x
x

x
y x x f x
x
x
+ ∆ −
∆ = + ∆ − = − = −
+ ∆ −
+ ∆ +

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 20

Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

( )
( )
2
0 0 1
1 1 1 1
lim lim lim
4
1 1
1 1
x x x
y x
x
x x
x


Hàm số có đạo hàm tại x = -1 thì liên tục tại –1
1 1
( 1) lim ( ) lim ( ) 1 1 2
x x
f f x f x a b a b
+ −
→− →−
⇒ − = = ⇔ − = − ⇔ + =

( ) ( ) ( )
2
0 0
1 ( 1) 1 1
'( 1 ) lim lim 2
x x
f x f x a a
f
x x
+ +
+
∆ → ∆ →
− + ∆ − − − − + ∆ + − −
− = = =
∆ ∆

( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
1 ( 1) 1 1 1

f ' (-1) = 2
3.
Ta có:
9
( 3)
10
f
− = −

2
3 3
2
3 3
3 3
2 6 9
lim ( ) lim
9
3 1 10
( 3) lim ( ) lim ( )
10
2 6 9
lim ( ) lim
3 1 10
x x
x x
x x
x x
f x
x
f f x f x

3
x x
∆ = +

( )
( )
0 3 3
0 3 3
( ) ( 3) 10 23 53
0: lim lim lim
3 10 3 1 100
'( 3 ) '( 3 )
( ) ( 3) 10 17 13
0: lim lim lim
3 10 3 1 100
x x x
x x x
y f x f x
x
x x x
f f
y f x f x
x
x x x
+ + +
− − −
→ →− →−
− +
→ →− →−
∆ − − −
22

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

* Với
0
1
0 : lim .sin 0 (0)
x
x f
x
α
α
→
> = =
Vậy f(x) liên tục tại x = 0 khi
0
α
>

2.
(
)
1
1
0 0 0
sin
( ) (0) 1

→
 
− > ⇔ > = ⇒ = >
 
 

3. Với
1
2
1 1 1
0 : '( ) . .sin .cosx ta có f x x x
x x x
α α
α
−
    
≠ = + −
    
    

1 2
1 1
.sin .cosx x
x x
α α
α
− −
   
= −
   


Tìm b, c để
f(x)
có đạo hàm tại x = 1
2. Cho hàm số:
(
)
2
. 0
( )
1 0
bx
x a e với x
y f x
ax bx với x
−

+ <

= =

+ + ≥



Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0
3. Cho hàm số
2
0
( )

1 1
lim ( ) (1) lim ( ) 1 lim 1 2 2
x
x x
f x f f x x bx c b c b c
+ +
→
→ →
= ⇒ = ⇔ − + + = ⇒ + = ⇒ = −

Ta có:
( )
(
)
(
)
2
2
2
1 1 1 1
2 1 1
2 1
( ) (1) 1
lim lim lim lim
1 1 1 1
x x x x
x x c x
x c x c
f x f x bx c
c

x x
f x f f x f
c
x x
+ −
→ →
− −
= ⇔ = −
− −

Vậy
2 4
2 2
b c b
c c
+ = =
 
⇒
 
= − = −
 
=> f(x) có đạo hàm tại x = 1 khi b = 4, c = -2

2. Nếu f(x) có đạo hàm tại x = 0 thì f(x) liên tục tại x = 0 nên
0
lim ( ) (0)
x
f x f
→
=


= + =



Ta lại có:
(
)
0
'( )
2 0
bx bx
e b x a e với x
f x
ax b với x
− −

− + <

=

+ ≥



( )
0 0 0
lim lim '( ) lim 1
bx bx
x x x

2
x x
ab b
y y
b
Mà a
x x
+ −
∆ → ∆ →
− =

∆ ∆
= ⇔ ⇒ =

=
∆ ∆


3. Nếu f(x) có đạo hàm tại x = 0 thì f(x) liên tục tại x = 0, nên
0
lim ( ) (0)
x
f x f
→
=

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 24

= + =


Ta laïi coù:
2
2
1 0
'( )
sin2 sin
. 0
vôùi x
f x
x x x
A vôùi x
x
≤


=

−
>



2
0 0
sin
0 0
0 0


∆ ∆
∆ ∆

⇒ = ⇔ =

∆ ∆
∆

= =

∆ ∆


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 25

Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10

Tính đạo hàm
1.
( )
1
( ) 1 1
f x x
x
 
= + −

1.
( )
1
( ) 1 1
f x x
x
 
= + −
 
 
Dạng
. ' ' '
y u v y u v v u
= ⇒ = +
và
( )
1
2
x
x
′
=

( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
'( ) 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
f x x x x
x
x x x x x x x

v v
−
= ⇒ =

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
3 3
2 3
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
3 1 1 2 1 1
'( )
1 1
x x x x x x
x x x x x
f x
x x x x
′
′
 
+ − + − − + +

4 1
( )
1
x
f x
x
+
=
+
Dạng
2
' '
'
u u v v u
y y
v v
−
= ⇒ =
và
( )
1
2 2
x
x
x
x x
α
α
α
α α

+
′
′
+ + − + +
+ − +
−
= = =
+ +
+ +

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1.
(
)
2
sin 4
y x
= +