Đề số 1
Bài 1: (2 điểm)
1) Chứng minh rằng nếu P và 2P + 1 là các số nguyên tố lớn hơn
3 thì 4P + 1 là hợp số.
2) Hãy tìm BSCNN của ba số tự nhiên liên tiếp.
Bài 2: (2 điểm)
Hãy thay các chữ số vào các chữ cái x, y trong
04020 yxN =
để N
chia hết cho 13.
Bài 3: (2 điểm)
Vòi nớc I chảy vào đầy bể trong 6 giờ 30 phút. Vòi nớc II
chảy vào đầy bể trong 11 giờ 40 phút. Nếu vòi nớc I chảy vào
trong 3 giờ; vòi nớc II chảy vào trong 5 giờ 25 phút thì lợng nớc
chảy vào bể ở vòi nào nhiều hơn. Khi đó lợng nớc trong bể đợc
bao nhiêu phần trăm của bể.
Bài 4: (2 điểm)
Bạn Huệ nghĩ ra một số có ba chữ số mà khi viết ngợc lại
cũng đợc một số có ba chữ số nhỏ hơn số ban đầu. Nếu lấy hiệu
giữa số lớn và số bé của hai số đó thì đợc 396. Bạn Dung cũng
nghĩ ra một số thoả mãn điều kiện trên.
Hỏi có bao nhiêu số có tính chất trên, hãy tìm các số ấy.
Bài 5: (2 điểm)
Chứng minh rằng: một số có chẵn chữ số chia hết cho 11 thì
hiệu giữa tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn và tổng các chữ
số đứng ở vị trí lẻ, kể từ trái qua phải chia hết cho 11.
(Biết
110
2

n

c) A có bao nhiêu ớc tự nhiên. Bao nhiêu ớc nguyên ?
2) Cho
200232
2 2221 +++++=A
và
2003
2=B
So sánh A và B.
3) Tìm số nguyên tố P để P + 6; P + 8; P + 12; P +14 đều là các
số nguyên tố.
Câu 3: (4 điểm)
Có 3 bình, nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi rót hết lợng
nớc đó vào hai bình còn lại, ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy thì
bình thứ ba chỉ đợc 1/3 dung tích. Nếu bình thứ ba đầy thì bình
thứ hai chỉ đợc 1/2 dung tích. Tính dung tích mỗi bình, biết rằng
tổng dung tích ba bình là 180 lít.
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của
tia CB sao cho CM = 3cm.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
2
a) Tính độ dài BM.
b) Biết BAM = 80
0
, BAC = 60
0
. Tính CAM.
c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.
Câu 5: (2 điểm) Cho
na

1. Cho
3125191371 +++=A
a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?
2. Cho
100.99
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++=A
. So sánh A với 1 ?
3. Tìm số nguyên tố p để p, p + 2 và p + 4 đều là các số nguyên
tố.
Câu 3: (5 điểm)
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
3
1. Một lớp học có cha đến 50 học sinh. Cuối năm xếp loại học
lực gồm 3 loại: Giỏi, Khá, Trung bình, trong đó 1/16 số học sinh
của lớp xếp loại trung bình, 5/6 số học sinh của lớp xếp loại
giỏi, còn lại xếp loại khá. Tính số học sinh khá của lớp.
2. Có thể rút gọn
78
65
+
+

1) Rút gọn
108.6381.4227.21
36.2127.149.7
++
++
=A
2) Cho
*
)3(
3
10.7
3
7.4
3
4.1
3
Nn
nn
S
+
++++=
Chứng minh: S < 1

3) So sánh:
2004.2003
12004.2003
và
2005.2004
12005.2004


5
. Tính số học sinh của lớp ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho góc AOB và tia phân giác Ox của nó. Trên nửa mặt
phẳng có chứa tia OB. Với bờ là đờng thẳng OA ta vẽ tia Oy sao
cho : AOy > AOB
Chứng tỏ rằng :
a) Tia OB nằm giữa 2 tia Ox, Oy
b) xOy = (AOy + BOy ) : 2
Câu 5: (1điểm)
Cho n z chứng minh rằng: 5
n
-1 chia hết cho 4
Đề số 5
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính
629199
920915
27.2.76.2.5
8.3.49.4.5


b) Tìm x biết:








3
2
1
1
5
1
24
6
1
24:
30
1
1
x
Bài 2: (2 điểm)
So sánh:
2003
2
120.117
2

66.63
2
63.60
2
++++=A
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
5
và
2003

.
a) Vẽ các tia Om, On lần lợt là tia phân giác của các góc xOz và
góc zOy. Tính góc MON ?
b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOz bằng
35
0
.
Đề số 6
Câu 1: (6 điểm)
Tính một cách hợp lí giá trị của các biểu thức sau:
2007 12963
+++++=
A
40.8.387.6.412.53.2 +=B
2006
1

3
2004
2
2005
1
2006
2007
2006

4
2006
3
2006

Chứng minh OA là phân giác của góc NOB.
Câu 5: (2 điểm)
Thay các chữ số thích hợp (các chữ khác nhau thay bằng các
chữ số khác nhau)
36bcbaabc =
Đề số 7
Câu 1: (2 điểm) Chọn những kết quả đúng trong các câu sau:
1) Số 32450 có số ớc là:
A. 18 ; B. 24 ; C. 75 ; D. 42
2) Biết ƯCLN(a, b) = 7 và BCNN(a, b) = 210 thì tích a.b là:
A. 1470 ; B. 217 ; C. 2107 ; D. 30
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
7
3) Cho
abc
không chia hết cho 3. Hỏi phải viết số ngày liên tiếp
nhau ít nhất bao nhiêu lần để tạo thành một số chia hết cho 3 ?
A. 2 lần ; B. 3 lần ; C. 4 lần
4) Cho N = 1494 x 1495 x 1496 thì N chia hết cho:
A. 140 ; B. 195 ; C. 180
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho đẳng thức: 152 - 5
3
= 10
2
Đẳng thức trên đúng hay sai ? Nếu sai hãy chuyển vị trí một chữ
số để đợc đẳng thức đúng ?
b) Tìm một số tự nhiên, biết rằng số đó chia cho 26 thì ta sẽ đợc
số d bằng hai lần bình phơng của số thơng.
Câu 3: (2 điểm)

a) 2 x 3 x 4 x 5 x 7 x 8 x 25 x 125
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
8
b)
10032005.2005
30062004.2004

+
c)
)2005.200420042004.20052005(19001570
Câu 2: (3 điểm)
Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:
655)47()42( )12()7()2( =++++++++++ xxxxx
Câu 3: (3 điểm)
Hai bạn Trang và Giang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để
đến lớp liên hoan. Giang đa cho cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng
và đợc trả lại 72000 đồng. Trang nói Cô tính sai rồi. Bạn hãy
cho biết Trang nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
Câu 4: ( 5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N
sao cho AM = MN = NB và P là điểm chia cạnh CD thành
hai phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN. Biết diện tích
tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm
2
. Hãy
tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Câu 5: (3 điểm)
Tìm tất cả các chữ số a và b để số
ba459
chia cho 2; 5 và 9 đều

56
75
=
+
+
ba
ba
và (a, b) = 1
Câu 3: (2 điểm)
Số học sinh của một trờng học xếp hàng, nếu xếp mỗi hàng
20 ngời hoặc 25 ngời hoặc 30 ngời đều thừa 15 ngời. Nếu xếp
mỗi hàng 41 ngời thì vừa đủ. Tính số học sinh của trờng đó biết
rằng số học sinh của trờng đó cha đến 1000.
Câu 4: (3 điểm)
Cho hai góc xOy và xOz, Om là tia phân giác của góc yOz .
Tính góc xOm trong các trờng hợp sau:
a) Góc xOy bằng 100
0
; góc xOz bằng 60
0
.
b) Góc xOy bằng ; góc xOz bằng ( > ).
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng:
11810 += nA
n
chia hết cho 27 (n là số tự
nhiên).
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
10



++++=A
Câu 2: (2 điểm) Cho
nnnA 23
23
++=
a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.
b) Tìm giá trị nguyên dơng của n với n < 10 để A chia hết cho
15.
Câu 3: (2 điểm)
a) Có hay không một số K nguyên dơng sao cho khi chia cho
1993 có các chữ số tận cùng là 0001.
b) Vòi nớc thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 4 giờ 30 phút
và vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 6 giờ 45 phút. Lúc
đầu ngời ta mở vòi thứ nhất cho chảy trong một thời gian bằng
thời gian cần thiết để hai vòi cùng chảy đầy bể, rồi sau đó mở
vòi thứ hai. Hỏi bao nhiêu phút sau khi mở vòi thứ nhất thì bể
đầy nớc.
Câu 4: (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M
1
là trung điểm của đoạn thẳng
AB và M
2
là trung điểm của M
1
B.
a) Chứng tỏ rằng M
1

=++
cba
Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính tổng:
100001.9999910001.99991001.999101.9911.9 ++++=S
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số trong đó có đúng hai
chữ số 3.
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z sao cho:
12031 20041
/


yzx
1 số c 2004
b) Tìm hai số nguyên tố a và b sao cho:
)3(133 = aba
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho 25 số tự nhiên đợc lập nên từ bốn chữ số: 6, 7, 8, 9.
Chứng minh rằng: trong các số này ta tìm đợc hai số bằng nhau.
b) Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có không quá 130 em
tham gia. Sau khi chấm bài thấy số em đạt điểm giỏi chiếm
9
1
,
đạt điểm khá chiếm
3
1
, đạt điểm yếu chiếm

5
:
7
3
5
7
1
6
3
10
+
+







b) Tìm x biết
2005
2003
1
)1(
2

10
1
6
1

0
.
a) So sánh góc xOt và yOz.
b) Cho góc zOt = 20
0
. Tính góc xOy.
Câu 5: (2 điểm)
Cho 14 số tự nhiên có 3 chữ số. Chứng minh rằng trong 14 số đó
tồn tại 2 số mà khi viết liên tiếp nhau thì tạo thành số có 6 chữ
số chia hết cho 13.
Đề số 13
Bài 1: (2 điểm)
a) Cho
10032
3 333 ++++=A
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3
n
b) Cho số 123456789. Hãy đặt một số dấu + và - vào giữa
các chữ số để kết quả của phép tính bằng 100.
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p
2
+ 14 là số nguyên
tố.
b) Cho n N và n > 3. Chứng minh rằng nếu
ba
n
+=102
(0< b
<10) thì a. b chia hết cho 6.

4
41
4
29
4
4
:
2005
3
43
3
19
3
3
2004
2
43
2
19
2
2
+
+
+
+
=A
b) Tính x biết:
1:
3
1

a) Tìm chữ số tận cùng của số A =
20052005
32 +

b) So sánh:
12004
12004
2004
2003
+
+
=A
;
12004
12004
2005
2004
+
+
=B
Bài 2: (2 điểm)
a) Một số A nếu chia cho 64 thì d 38, nếu chia cho 67 thì d 14.
Cả hai lần chia đều có cùng một thơng số. Tìm thơng và số A đó.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
16
b) Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau dạng
ab
sao cho
ba
cũng là số nguyên tố và hiệu

1
1
100

+++++=P
. Chứng tỏ rằng P > 50
Đề số 16
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính:
2005.2004
2

15
1
10
1
6
1
3
1
+++++=M
b) Có tồn tại a, b hay không để 55a + 30 b = 3658.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
17
Bài 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Nếu P và 2P +1 là các số nguyên tố lớn
hơn 3 thì 4P + 1 là số hợp số.
b) Tìm một số tự nhiên chia hết cho 5 và chia hết cho 27 mà chỉ
có 10 ớc.
Bài 3: (2 điểm)

1
2
1
1 +++++=A
và B = 2.
Đề số 17
Bài 1: (2 điểm)
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
18
a) Tính nhanh:
13
11
13
7
13
17
13
2004
13
2004
5
17
5
7
5
11
5
5
.
1002.20051003

khoảng từ 100 đến 150. Tính số học sinh nam, số học sinh nữ
lớp 6.
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AB, N là điểm nằm
giữa M và B.
a) Biết ABC = 85
0
, ACM = 50
0
, BCN = 20
0
. Tính BCM và
MCN.
b) Biết AN = a, BN = b. Tính MN.
Bài 5: (1 điểm)
Tính
22222
10099 321 +++++=S
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
19
Đề số 18
Câu 1: (2 điểm) Tính:
a)
32.24.816.12.48.6.24.3
32.16.816.8.48.4.24.2
+++
+++
b)
61.59
4

20
Đề số 19
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính
5
3
16.65,5
20
1
7
05,0:8
2
1
6
+














=M

nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Oz, Ot sao cho xOz
= 30
0
; yOt = 75
0
a) Tính zOt
b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của zOy.
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
21
c) Tính zOt nếu xOz = , yOt =
)180(
0
+

Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng:
2
1
4010
1

6
1
4
1
2
1
2222
<++++
Đề số 20

37.31
35
:
60
7
6
5
3
2
3
3
2
23
A
b) Tìm chữ số x để
3)3212( x+
Bài 2: (2 điểm) Tổng
18
1
17
1

3
1
2
1
1 +++++
bằng
b
a

Cho a, b, c là các số nguyên dơng tuỳ ý. Tổng sau có thể là số
nguyên dơng không ?
ac
c
cb
b
ba
a
+
+
+
+
+
Đề số 21
Câu 1: (2 điểm) Tính
a)
123 9899100101
123 9899100101
++++
+++++++
=A
b)
423134846267.423133
423133846267.423134
+

=B
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng:
810

100
1

4
1
3
1
2
1
2222
<++++
Đề số 22
Câu 1: (2 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau bằng phơng pháp
hợp lí:
a)
61.59
4

9.7
4
7.5
4
+++
b)
9
11
9
7
9
13

số
cây lớp 6B trồng. Nếu mỗi lớp đều trồng thêm đợc 15 cây nữa
thì số cấy lớp 6B trồng bằng
9
2
1
số cây lớp 6A. Hỏi mỗi lớp
trồng đợc bao nhiêu cây ?
Câu 4: (3 điểm)
Cho đờng thẳng xx và một điểm O thuộc đờng thẳng ấy. Hai
điểm A, B nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ xx và một
điểm C nằm trong nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng bờ xx
và có chứa điểm A. Biết xOB =115
0
; AOB = 75
0
; xOC = 40
0
a) Tính các góc xOA, xOB.
b) Chứng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm các số nguyên x, y sao cho:
4)3.()2(
2
= yx
Đề số 23
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính hợp lí
4
1

275
42
;
110
63
ta đợc kết quả là một số tự nhiên.
Bài 2: (2 điểm)
Tài liệu bồi dỡng HSG Toán
25