HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT BÀI TOÁN BẰNG CÁCH KHAI THÁC
TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH
MỞ ĐẦU
I. Bối cảnh chọn đề tài
Hoạt động dạy học là hoạt động trung tâm của nhà trường, hoạt động này
chiếm nhiều thời gian nhất và chi phối các hoạt động khác trong nhà trường.
Dạy học là con đường trực tiếp, thuận lợi nhất để giúp học sinh có thể nắm
được lượng kiến thức đồ sộ của loài người. Hoạt động dạy học có nhiều
người tham gia và kết quả dạy học thể hiện sự hợp tác chặt chẽ trong đội ngũ
giáo viên đồng thời cần có sự sáng tạo, hợp tác của học sinh.
Giải một bài toán là hoạt động thường xuyên trong học tập và kiểm tra;
giải tốt một bài toán học sinh rèn được kỹ năng và nắm kiến thức một cách
chắc chắn. Tuy nhiên, đây là một hoạt động mà đa số học sinh gặp nhiều khó
khăn nhất trong học và giải toán, đôi khi không giải được các bài toán mà
trình độ các em có thể giải được.
II. Lý do chọn đề tài
Đối với học sinh trung bình và yếu, việc tìm ra chương trình giải là một
công việc khó khăn do đó tôi luôn tìm cách để các em học sinh luyện tập
cách xây dựng chương trình giải.
Đối với học sinh khá giỏi, tuy giải được bài toán nhưng chưa khai thác
cũng như vận dụng, sáng tạo được các kiến thức đã tiếp thu do đó qua việc
dạy giải toán tôi hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức và kích thích để
các em sáng tạo các bài toán hoặc dạng toán mới để phát triển.
III. Phạm vi nghiên cứu
Qua nhiều năm giảng dạy và tham gia các lớp bồi dưỡng, tôi suy nghĩ,
tìm tòi, thử nghiệm và rút ra được một cách dạy học sinh giải một bài toán.
Với cách dạy này đa số học sinh giải được các bài toán phù hợp với khả
năng và năng lực của mình; làm tốt các bài thi và kiểm tra cũng như có thể
sáng tạo ra các bài toán mới.
Phạm vi của đề tài chỉ nghiên cứu ở việc dạy, hướng dẫn học sinh giải
toán theo các hoạt động nhằm nâng cao năng lực giải toán cũng như vận

dạy học, kiểm tra và đánh giá học sinh trên tinh thần mỗi giáo viên và cán bộ
quản lý phải đăng ký và thực hiện một đổi mới trong phương pháp dạy học
và quản lý. Giáo viên bộ môn đổi mới phương pháp dạy học theo hướng
giúp học sinh chuyển biến phương pháp học, chủ động lĩnh hội kiến thức,
biết tự học, chia sẽ với bạn phương pháp học có hiệu quả. Giáo viên bộ môn
phải nắm thật chắc danh sách học sinh yếu kém bộ môn mình và có giải
pháp khắc phục.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 2
II. Thực trạng ban đầu.
Trước đây để dạy học sinh giải một bài toán tôi thường cho học sinh
chép đề, sau đó cho học sinh suy nghĩ một vài phút, gọi một học sinh nêu
chương trình giải và lên bảng thực hiện chương trình giải sau đó yêu cầu học
sinh kiểm tra lại.
Với cách dạy đó học sinh gặp khó khăn khi xây dựng chương trình
giải và chưa thấy được mối liên hệ của các kiến thức. Học sinh có thể không
giải được bài toán dù khả năng của mình có thể giải được từ đó các em
không tự tin và không thích thú với bộ môn dẫn đến chưa thực sự tích cực
trong học tập.
III. Biện pháp và các bước tiến hành
3.1. Biện pháp và cách thực hiện.
Để giúp học sinh giải tốt hơn các bài toán bước đầu với mỗi dạng toán tôi
thực hiên dạy học sinh giải một bài toán theo các hoạt động như sau:
 Bước 1: Tìm hiểu kĩ nội dung bài toán
1/ GT là gì? KL là gì? Hình vẽ minh họa như thế nào? Sử dụng kí hiệu nào?
2/ Bài toán thuộc dạng nào? (chứng minh hay tìm tòi?) Có thuật giải sẵn
chưa?
3/ Cần sử dụng những kiến thức cơ bản nào?
 Bước 2: Xây dựng chương trình giải:
Sử dụng phương pháp suy ngược lùi (phân tích đi lên) để xây dựng chương
trình giải: Xuất phát từ câu hỏi của bài toán, từ điều phải chứng minh. 1/ Ta

Hàm số đề bài cho có dạng gì? Hàm phân thức bật nhất trên bật
nhất với D =
2 3
1
1 1
−
= −
−
Ta đã có sơ đồ khảo sát hàm số
chưa?
Đã có sơ đồ khảo sát hàm số
Vậy ta cần giải bài toán này như thế
nào?
Giải theo sơ đồ.
Bước 2. Xây dựng chương trình giải.
Yêu cầu học sinh nêu lại sơ đồ khảo sát hàm số.
+ Tìm tập xác định.
+ Tìm đạo hàm y’, tìm nghiệm pt y’ = 0 nếu pt y’ = 0 vô nghiệm nhận xét
y’ > 0 hay y’ < 0 trên tập xác định của nó.
+ Tính các giới hạn khi
x
→ ±∞
và khi x tiến đến tại điểm không xác
định. Tìm các tiệm cận nếu có.
+ Lập bảng biến thiên. Từ đó tìm ra các khoảng đơn điệu và cực trị của
hàm số .
+ Tìm các điểm đặc biệt (điểm cực trị, nghiệm của pt y” = 0, giao điểm
của đồ thị với các trục) (có thể dùng máy tính cầm tay để tìm). Từ đó vẽ đồ
thị. (có thể nhận xét về tính đối xứng của đồ thị và đánh dấu vào các điểm
đặc biệt nêu trên)

như thế nào ? và Theo gt ta có
những gì trong pt?
Pttt có dạng y = f’(x
o
)(x – x
o
) + y
o

Tìm tọa độ tiếp điểm M(x
o
; y
o
) và hệ
số góc của tiếp tuyến f’(x
o
)
Để tìm điểm và f’(x
o
) và M(x
o
; y
o
) ta
làm gì?
Lập pt HĐGĐ của đồ thị (C) và
đường thẳng y = x – 3 và giải pt này
tìm x
o
từ đó tìm được y

f’(x
o
) sai.
 Giáo viên đổi giả thiết như: Viết pttt tại giao điểm của đồ thị với trục
hoành, trục tung, biết hệ số của tiếp tuyến
 Yêu cầu học sinh nêu các giải cho từng dạng.
 Giáo viên tổng quát lại cách viết pttt. Và cho thêm câu hỏi cho học sinh
về nhà giải như sau. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến tại đó:
a/ Cắt hai trục tọa độ tại hai điểm cách đều gốc tọa độ.
b/ Cắt hai đường tiệm cận và tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4
c/ Cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm A, B sao cho đường tròn ngoại
tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
 Bài toán minh họa 2.
Giải các phương trình sau:
1)
( )
2
2 2
log x 3log 2x 1 0+ − =
2)
1 tan x 2 2sin x
4
π
 
+ = +
 ÷
 
Dạy học sinh giải câu1) Giải phương trình:
( )
2

x và kết luận.
 Giáo viên đổi giả thiết thay dấu “=” bằng dấu “>”) yêu cầu học sinh
xây dựng chương trình giải.
 Sai lầm của học sinh yếu- trung bình khi giải bất phương trình đa số lấy
nghiệm một chiều không so với ĐK của x để tìm nghiệm giao.
 Giáo viên ghi bài tập về nhà cho học sinh giải để tránh những sai lẩm
trên.
Dạy học sinh giải câu1) Giải phương trình:
1 tan x 2 2sin x
4
π
 
+ = +
 ÷
 
Bước 1. Phân tích đề
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Giải phương trình lượng giác
Phương trình dạng? Có ĐK?, cần sử
dụng công thức lượng giác nào?
Pt lượng giác, có ĐK, tanx = , công
thức cộng.
Trong pt có nhân tử chung? Và biến
đổi pt về dạng nào
Có nhân tử chung sinx + cosx và
biến đổi về dạng tích.
Bước 2. Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải
Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải.
Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

( )
4
0
xsin x x 1 cos x
I dx
xsin x cosx
π
+ +
=
+
∫

Bước 1. Phân tích đề
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Tính tích phân.
Hàm số dưới dưới dấu tích phân
dạng nào?, cho biết mối liên hệ giữa
tử và mẫu?
Hàm số lượng giác có biến x ở ngoài,
tử có thể biến đổi có biểu thức giống
mẫu.
Phân tích tử và tìm mối liên hệ với
mẫu?.
xsinx + (x+1)cosx = xsinx + cosx +
xcosx và (xsinx + cosx)’ = xcosx
Tích phân I biến đổi như thế nào? Tích phân I biến đổi thành hai tích
phân.
Cách tính từng tích phân? Dùng bảng nguyên hàm và dùng pp
đổi biến.
Qua tích phân I, ta cần phân tích hàm

= =
∫
+
4
0
xcos x
B dx
xsin x cosx
π
=
+
∫
=
2 2
ln
8 2
 
π
+
 ÷
 
+ I = A + B =
2 2
ln
4 8 2
 
π π
+ +
 ÷
 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
3a
SD
2
=
, hình chiếu vuông góc của S
lên mp(ABCD) trùng với trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ A đến mp(SBD).
Dạy học sinh giải ý 1 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Bước 1. Phân tích đề
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Tính thể tích khối chóp
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 9
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Hình chóp có yếu tố đặc biệt nào?
vẽ hình ra sao?
Có đáy là hình vuông, hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng
(ABCD) trùng với trung điểm AB. Vẽ
ABCD là hình bình hành, Gọi H là
trung điểm AB và vẽ SH song song
với mép phải giấy để dễ quan sát.
Yêu cầu học sinh vẽ hình Vẽ hình chóp theo yêu cầu của bài và
ghi giả thiết vào trong hình để biết đề
cho gì .
Công thức tính thể tích khối chóp là
gì?
1
.
3

SH SD HD= −
Đến đây áp dụng công thức tính
được thể tích cần tìm chưa ?
Đã tính được
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 10

a
3a/2
K
H
A
B
C
D
S
E
Bước 2. Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải
 Nêu công thức tính thể tích.
 Tính diện tích đáy ABCD.
 Gọi H là trung điểm AB Nên SH là đường cao.
 ∆AHD vuông tại A ⇒
2 2 2
HD AH AD
= +
.
 Ta có SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ HD ⇒
2 2 2 2 2
SH SD HD SD AH AD
= − = − −
.

Điểm A nằm trên đoạn AB và H là
trung điểm AB.
d(A; (SBD)) = ?d(H; (SBD)) tại
sao?
d(A; (SBD)) = 2d(H; (SBD)) và H là
trung điểm AB.
Nêu cách dựng khoảng cách từ H
đến mặt phẳng (SBD).
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H
lên đường thẳng BD và E là hình
chiếu vuông góc của H lên đường
thẳng SK.
Chứng minh HE ⊥ (SBD)? Ta có BD⊥HK và BD⊥SH ⇒
BD⊥(SHK) ⇒ (SBD)⊥(SHK)
Mà HE⊂(SHK) và HE⊥SK ⇒
HE⊥(SBD)
Nêu cách tính HE? Để tính HE ta phải tính HK dựa vào
hai tam giác vuông SHK và HBK
Có thể tính d(A; (SBD)) theo cách
khác được không?
Tính được và có thể tính hai cách nữa
là dùng thể tích tứ diện SABD hay
chọn hệ tọa độ.
Bước 2. Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải
 Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng BD và E là hình
chiếu vuông góc của H lên đường thẳng SK.
 C/m HE⊥(SBD) theo phân tích trên ⇒ d(H; (SBD)) = HE. .
 ∆HBK vuông tại K và góc
·
o

x 2 y z 3
d :
1 2 3
− +
= =
−
. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). Viết phương trình mặt
phẳng chứa d và vuông góc với (P).

Dạy học sinh giải ý 1 . Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
Bước 1. Phân tích đề.
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
Pt đường thẳng cho dạng nào? Pt chính tắc.
Nêu một cách tìm tọa độ giao
điểm?
Biến đổi pt d về dạng tham số
Gọi M = d ∩ (P) ⇒ M∈d và M∈(P)
Lập pt giải tìm tham số t ⇒ M
Còn cách nào để tìm tọa độ giao
điểm?
Còn như: từ pt d tìm hai pt theo ba ẩn
x, y, z kết hợp pt (P) giải hệ ba ẩn x, y,
z.
Cho biết ứng dụng về một điểm
thuộc đường thẳng.
Khi một điểm thuộc một đường thẳng
thì điểm đó được biểu diễn tọa độ của
một tham số.
Bước 2. Xây dựng chương trình giải.

uur
.
Gọi (Q) là mp cần tìm, Cho biết
cách tìm một VTPT
Q
n
uur
?
Gọi
n
r
là một VTPT của mặt phẳng
cần tìm, theo gt ta có
Q P d
n n ,u
 
=
 
uur uur uur

Mp(Q) qua điểm nào?
(Q) qua điểm M, hay điểm A∈d
Cách viết pt mp(Q)? Dùng pt qua một điểm và có VTPT
hay từ VTPT tìm ra phương trình sau
đó tìm hệ số D dùng gt còn lại.
Bước 2. Xây dựng chương trình giải.
Yêu cầu học sinh xây dựng chương trình giải.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 14
+ (P) ⇒ VTPT
P

mặt phẳng (P).
+ Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm B(1; -5; -1) cắt d và song
song với (P).
+ Viết pt mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và bán kính
bằng 1.
 Bài toán minh họa 6
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ): 1 4 2 16S x y z− + − + + =
và
các điểm
(1;0;0)A
,
(0; ;0)B b
,
(0;0; )C c
(b, c dương)
1). Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
2). Xác định b và c sao cho mặt phẳng (ABC) qua tâm I của mặt cầu (S)
và vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2 7 0x yα − + =
Dạy học sinh giải câu 1.
Bước 1. Phân tích đề.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 15
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Tìm tâm và bán kính của mặt cầu
Dạng của phương trình mặt cầu?
2 2 2 2

Bước 3. Thực hiện chương trình giải.
Yêu cầu học sinh thực hiện chương trình giải.
Bước 4. Nghiên cứu kiểm tra bài giải.
 Yêu cầu học sinh nghiên cứu và kiểm tra lại lời giải, điều chỉnh các sai
sót nếu có
 Yêu cầu học sinh xem xét lại bài giải có phù hợp với yêu cầu của bài
toán không?
 Giáo viên nêu lại các bước mà học sinh hay mắc phải những sai sót
như: chuyển phương trình sai, tìm R sai,…
Dạy học sinh giải câu 2.
Bước 1. Phân tích đề.
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Nêu yêu cầu của bài toán? Tìm b và c
Ta cần tìm bao nhiêu ẩn 2
Để tìm hai ẩn ta cần làm gì? Thiết lập hệ hai phương trình, hai ẩn.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 16
Hoạt động và gợi ý của Giáo viên Hoạt động và trả lời của học sinh
Giả thiết cho điều gì? Mp(ABC) qua I
Từ giả thiết mp(ABC) qua I ta suy
được gì?
Tọa độ của I thỏa pt của mp(ABC)
Dạng pt của mp(ABC) là gì? Do A, B, C nằm trên các trục Ox, Oy,
Oz nên pt dạng
1
1
x y z
b c
+ + =
Vậy ta tìm được pt chứa các ẩn b, c
chưa?

+ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) có chứa b, c.
+ Thay tọa độ điểm I vào pt mp(ABC).
+ Tìm tọa độ véctơ pháp tuyến của mp (ABC) và mp
( )
α
+ Tính tích vô hướng của hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng và cho
tích này bằng 0.
+ Giải hệ phương trình tìm b, c (chú ý b > 0, c > 0).
Phương trình mặt phẳng (ABC):
1 0
1
x y z
bcx cy bz bc
b c
+ + = ⇔ + + − =
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 17
(ABC) qua I
⇔
( ) ( ) ( )
1 4 2 0 2bc c b bc b c+ + − − = ⇔ =
(ABC) vuông góc với
( )
α
(1) ( 2) (0) 0 2 0bc c b bc c⇔ + − + = ⇔ − =
Suy ra
2 2 2
2 0 0 1
b c b c b
bc c bc b c
= = =

 Tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng lên, tỉ lệ học sinh yếu kém giảm so với năm
học trước (lớp 12A
3
năm trước 11A
3
chỉ có 10% học sinh khá giỏi, 25% học
sinh yếu kém)
STT Lớp Số HS Giỏi Khá TB Yếu Kém
01 12A
1
37 51,35% 37,84% 10,81% 0,00% 0,00%
02 12A
3
34 11,76% 26,47% 44,12% 17,65% 0,00%
Tổng cộng 71 32,39% 32,39% 26,76% 8,45% 0,00%
 Học sinh sáng tạo được các bài toán mới.
 Tỉ lệ học sinh thi TN.THPT năm học 2013 – 2014 môn Toán của ba lớp
12A
6
, 12A
7
, 12A
8
vượt mặt bằng tỉnh.
 Tỉ lệ học sinh đỗ vào các trường Đại học – Cao đẳng tăng.
KẾT LUẬN
1. Những bài học kinh nghiệm
 Khi học sinh giải được các bài toán, các em sẽ tích cực và hứng thú học
tập.
 Cần có những hoạt động để khuyến khích các em học sinh tư duy, tìm

[2]. Nguyễn Mộng Hy- Khu Quốc Anh- Nguyễn Hà Thanh (2006). Bài tập Hình
học lớp 11, NXB Giáo dục.
[3]. Đoàn Quỳnh- Văn Như Cương- Phạm Khắc Ban - Tạ Mẫn (2006). Sách giáo
khoa hình học Nâng cao 11, NXB Giáo dục.
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 20
[4]. Trần Văn Hạo(2007). Sách Giáo Khoa Hình học 12, Nhà xuất bản Giáo dục.
[5]. Các diễn đàn toán học: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org ;
bachkim.net.
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
I. Bối cảnh chọn đề tài 1
II. Lý do chọn đề tài 1
III. Phạm vi nghiên cứu 1
NỘI DUNG 2
I. Cơ sở lý luận 2
II. Thực trạng ban đầu 3
III. Biện pháp và các bước tiến hành 3
3.1. Biện pháp và cách thực hiện 3
3.2.Các bài toán minh họa 4
IV. Hiệu quả của SKKN 18
KẾT LUẬN 19
1. Những bài học kinh nghiệm 19
2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm 19
3. Khả năng ứng dụng, triển khai 20
4. Những kiến nghị, đề xuất 20
V. Danh mục tham khảo 20
Giáo Viên: Đỗ Văn Tuấn - THPT Định Quán Trang 21