Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG
Kí hiệu Tên gọi Diễn giải
P
n
Số các hoán vị của n phần tử Permutation
k
n
A
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
k
n
C
Số các tổ hợp chập k của n phần tử Combinatory
P(A) Xác suất của biến cố A Probability
n
ulim
Giới hạn của dãy số (u
n
) Limit
)(lim
0
xf
xx
→
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới x
0
)(lim xf
x −∞→
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới âm vô cực
)(lim xf

1
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
oOo
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Các giá trị lượng giác của cung (góc) α:
• sinα ln xác định ∀α ∈R và sin(α + k2π) = sinα;
cosα ln xác định ∀α ∈R và cos(α + k2π) = cosα
• - 1 ≤ sinα ≤ 1 (sinα≤ 1).
- 1 ≤ cosα ≤ 1 (cosα ≤ 1).
• tanα xác định khi α ≠
π
π
k
+
2
và tan(α + kπ) = tanα;
cotα xác định khi α ≠ kπ và cot(α + kπ) = cotα.
• Dấu của các giá trị lượng giác của góc α:
2. Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt:
α
0 (0
0
)
6
π
(30
0
)
4

tan 0
3
1
1
3
kxđ
cot kxđ
3
1
3
1
0
3. Công thức lượng giác cơ bản:
• sin
2
α + cos
2
α = 1 •
α
α
2
2
cos
1
tan1
=+
(α ≠
π
π
k

Cung phụ:(
2
π
- α) và α
sin(
2
π
- α) = cosα
cos(
2
π
- α) = sinα
tan(
2
π
- α) = cotα
Cung hơn kém π : (π + α) và
α
sin(π + α) = -sinα
cos(π + α) = -cosα
tan(π + α) = tanα
cot(π + α) = cotα
2
Tài liệu lưu hành nội bộ
Phần tư
Giá trị lượng giác
I
II
III
IV

+
=+
Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos
2
a - sin
2
a
= 2 cos
2
a - 1
= 1 - 2sin
2
a

atan1
2tana
2tan
2
−
=
a
Công thức hạ bậc:

2
2cos1
cos
2
a

1
[cos(a + b) - cos(a - b)]
sinacosb =
2
1
[sin(a + b) + sin(a - b)]
Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosu + cosv = 2cos
2
vu
+
cos
2
vu
−
cosu - cosv = -2sin
2
vu
+
sin
2
vu
−
sinu + sinv = 2sin
2
vu
+
cos
2
vu

4
π
) sina - cosa = -
2
cos(a +
4
π
)
 Ghi chú:
3
Tài liệu lưu hành nội bộ
3
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 114
Tài liệu lưu hành nội bộ
4

• Tập xác định của hàm số y = tanx là: D = R\{
2
π
+ kπ, k ∈ Z}.
b) Hàm số côtang:
• Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y =
x
x
sin
cos
(sinx ≠ 0), kí hiệu là y = cotx.
5
Tài liệu lưu hành nội bộ
5
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
• Tập xác định của hàm số y = cotx là: D = R\{kπ, k ∈ Z}.
 Nhắc lại định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) và y = cot(x).
* Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm số chẵn, từ đó suy ra các hàm số y
= tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ.
II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
 Giải nghĩa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống.
Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của các hàm số: a) y = sinx; b) y = tanx.
• Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
• Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
• Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì π.
III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:
1. Hàm số y = sinx:
• Hàm số y = sinx xác định với mọi x ∈ R và -1 ≤ sinx ≤ 1;
• Là hàm số lẻ;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π;
• Hàm số y = cosx đồng biến trên [-π; 0] và nghịch biến trên [0; π].
• Bảng biến thiên:
x
-π 0 π
y = cosx
1
-1 -1
• Đồ thị hàm số y = cosx:
• Tập giá trị của hàm số y = cosx là T = [-1; 1].
Đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin.
3. Hàm số y = tanx:
• Tập xác định: D = R\{
π
π
k
+
2
, k ∈ Z};
• Là hàm số lẻ;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π;
a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0;
2
π
):
7
Tài liệu lưu hành nội bộ
7
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;

−
:
• Đồ thị hàm số y = tanx trên D:
8
Tài liệu lưu hành nội bộ
8
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
• Tập giá trị của hàm số y = tanx là T = (-∞; +∞).
4. Hàm số y = cotx:
• Tập xác định: D = R\{kπ, k ∈ Z};
• Là hàm số chẵn;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π;
a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π ) :
Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; π).
x
0
2
π
π
y = tanx
+∞
0
-∞
b) Đồ thị hàm số y = cotx trên D:
9
Tài liệu lưu hành nội bộ
9
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
• Tập giá trị của hàm số y = cotx là T = (-∞; +∞).
 Ghi chú:

a) Nhận giá trị bằng 0; b) Nhận giá trị bằng 1;
c) Nhận giá trị dương; d) Nhận giá trị âm.
Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) y =
x
x
sin
cos1
+
; b) y =
x
x
cos1
cos1
−
+
; c) y =
)
3
tan(
π
−
x
; d) y =
)
6
cot(
π
+
x

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

11
Tài liệu lưu hành nội bộ
11
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
§2.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = a:
Xét phương trình sinx = a (a ∈ R) (1)
Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm
Trường hợp a ≤ 1:
sinx = sin 
)(
2
2
Zk
kx
kx
∈



+−=

⇔
)(
]360180[2)(
]360[2)(
000
00
Zk
kkxu
kkxu
∈



+−+−=
++=
βπαπ
βπα
• sinu(x) = a
(-1 ≤ a ≤ 1)

))((sin
)(sin
axu
axu
=
=
⇔
)(
]360arcsin180[2arcsin)(
]360[arcsin2arcsin)(

π
+ k2π, k ∈ Z
sin[f(x)] = -1 ⇔ f(x) = -
2
π
+ k2π, k ∈ Z
sin[f(x)] = 0 ⇔ f(x) = kπ, k ∈ Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) sinx =
2
1
; b) sinx =
5
1
; c) sin2x = 1; d) sin(x + 45
0
) = -
2
2
.
Giải:

+=
+=


cosx = a
cosx = a




+=
+=
)(
2arccos
2arccos
Zk
kax
kax


* Chỳ ý:

]cos)([cos
cos)(cos
0


=
=
xu

]360[arccos2arccos)(
0
0
Zk
kakaxu
kakaxu




++=
++=


Tng quỏt: cos[f(x)] = cos[g(x)]
)(
2)()(
2)()(
Zk
kxgxf
kxgxf




+=
+=


c bit: cos[f(x)] = 1 f(x) = k2, k Z
13
Ti liu lu hnh ni b
13
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

3. Phöông trình tanx = a:
tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z [x =
β
0
+ k180
0
, k
∈

5
π
; b) tan2x = -
3
1
; c) tan(3x + 15
0
) =
3
.
Giải:


cot[u(x)] = a ⇔ u(x) = acrcota + kπ, k ∈ Z [u
(
x) = acrcota + k180
0
, k
∈
Z]
• Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)] ⇔ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z.
• Đặc biệt: cot[u(x)] = 0 ⇔ u(x) =
2
π
+ kπ, k ∈ Z.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) cot4x = cot
7
2
π
; b) cot3x = -2; c) cot(2x - 10
0
) =
3
1
.
Giải:
14
Tài liệu lưu hành nội bộ
14
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
15
Tài liệu lưu hành nội bộ
15
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
a) sin(x + 2) =
3
1
; b) sin3x = 1;
c) sin(
33
2
π
−
x

1
.
Bài 4: Giải phương trình
0
2sin1
2cos2
=
−
x
x
.
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) tan(x - 15
0
) =
3
3
; b) cot(3x - 1) = -
3
;
c) cos2x.tanx = 0; d) sin3xcotx = 0.
Bài 6: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan(
4
π
- x) và y = tan2x bằng nhau?
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) sin3x - cos5x = 0; b) tan3x.tanx = 1.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:
a) sin2x =

; b) y =
xx
x
cos2cos
)2sin(
−
−
c) y =
x
x
tan1
tan
+
; d) y =
12cot3
1
+
x
.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

16
Tài liệu lưu hành nội bộ
16
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11
§3.
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
II- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
Đònh nghóa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình dạng: at
2
+ bt + c = 0
trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Cách giải: Đặt ẩn phụ (điều kiện cho ẩn phụ nếu có), giải phương trình theo ẩn phụ rồi đưa về việc giải
các phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ: Giải phương trình sau:
a) 3cos
2
x - 5cosx + 2 = 0; b) 3tan
2
x - 2
3
tanx + 3 = 0; c) 2sin
2
2
x

+
2
sin
2
x
- 2 = III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx:
1. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx:
asinx + bcosx =
22
ba
+
sin(x + α)
với cosα =
22
ba
a
+
và sinα =
22
ba
b
+
2. Phương trình dạng asinx + bcosx = c:
Xét phương trình asinx + bcosx = c (a
2
+ b
2
≠ 0) (1)
Nếu a = 0, b ≠ 0 (hoặc a ≠ 0, b = 0) thì (1) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì (1) ⇔
22


 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) sin
2
x - sinx = 0; b) 2cos
2
x - 3cosx + 1 = 0; c) 2tan
2
x + 3tanx + 1 = 0.
18
Tài liệu lưu hành nội bộ
18
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) cosx -
3
sinx =

2
x = 2;
c) sin
2
x + sin2x - 2cos
2
x =
2
1
; d) 2cos
2
x - 3
3
sin2x - 4sin
2
x = -4.
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1; b) tanx + tan(x +
4
π
) = 1.
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) 2(sinx + cosx) + 6sinxcosx – 2 = 0; b) 2sin2x - 3
3
(sinx + cosx) + 8 = 0;
c) (1 -
2
)(1 + sinx – cosx) = sin2x; d) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0;
e) 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0; f) sin2x +
2

cos2x;
b) cos3x - sinx =
3
(cosx - sin3x); c)
3
cosx - sinx =
2
(sin3x -
cos3x).
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
2
2
)]
4
cos(
2
cos[ =−
ππ
x
; b)
1)]sin(cos
4
tan[
=+
xx
π
.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI


20
Tài liệu lưu hành nội bộ
20
Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:
Bài 1: a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?
b) Hàm số y = tan(x +
5

.
Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 2cos
2
x - 3cosx + 1 = 0; b) 2sinx + cosx = 1.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) y =
)cos1(2 x
+
+ 1; b) y = 3sin(x -
6
π
) - 2;
c) y = 3 - 4sinx; d) y = 2 -
xcos
.
2. Bài tập nâng cao:
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) y =
)
3
tan(1
cos2
π
−+
−
x
x
; b) y =
x
xx

oOo
 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tập hợp:
• Tập rỗng: ∅ là tập hợp không chứa phần tử nào.
• Tập con:
A
⊂
B 
BxAxx
∈⇒∈∀
:
)
• Số tập con của tập có n phần tử là 2
n
.
• A = B  A  B và B  A
• Tính chất:
a) A
⊂
A với mọi tập hợp A.
b) Nếu A
⊂
B và B
⊂
C thì A
⊂
C.
c) ∅
⊂
A với mọi tập hợp A.

• A
∪
B ={xx
∈
A hoặc x
∈
B}
•



∈
∈
⇔∪∈
Bx
Ax
BAx
Hiệu
• A\ B ={xx
∈
A và x
∉
B}
•



∉
∈
⇔∈

Tài liệu lưu hành nội bộ
số có ba chữ số
chữ số
22
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11
§
1.QUY TẮC ĐẾM
Số phần tử hữu hạn của tập hợp A được kí hiệu n(A) hoặc A.
a) Nếu A = {a, b, c} thì số phần tử của tập hợp A là 3, ta viết n(A) = 3 hoặc
A
= 3.
b) Nếu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và B = {2, 4, 6, 8} thì A\ B = {1, 3, 5, 7}.
- Số phần tử của tập hợp A là n(A) = 9.
- Số phần tử của tập hợp B là n(B) = 4.
- Số phần tử của tập hợp A\B là n(A\B) = 5.
I- Quy tắc cộng:
Quy tắc: Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách
thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện (khơng trùng với bất kì cách nào của hàng động thứ nhất) thì
cơng việc đó có m + n cách thực hiện.
* Chú ý: • Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.
• Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn khơng giao nhau.
Vậy nếu A và B là các tập hữu hạn khơng giao nhau thì n(A
∪
B) = n(A) + n(B).
II- Quy tắc nhân:
Quy tắc: Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành
động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hồn thành
cơng việc.
* Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
Ví dụ 1: Một mạng đường đi giữa các thành phố A, B, C, D như sau:

Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau
và chia hết cho 5?
Giải:

23
Tài liệu lưu hành nội bộ
23
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số và giải tích 11

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?
Giải:

 Có bao nhiêu số điện thoại gồm 9 chữ số.
 Ghi chú:BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập cơ bản:

2. S cỏc hoỏn v: Kớ hiu P
n
l s cỏc hoỏn v ca n phn t. Ta cú:
P
n
= n(n - 1)(n - 2) 2.1 = n!
Vớ d: Cú bao nhiờu s t nhiờn cú 5 ch s khỏc nhau, cỏc ch s c ly t tp A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Gii:
II- CHặNH HễẽP:
Cú bao nhiờu cỏch chn hai bn gi chc v bớ th v phú bớ th chi on trong s 3 bn c c ban chp hnh.
1. nh ngha: Cho tp hp A gm n phn t (n 1). Kt qu ca vic ly k phn t khỏc nhau t n phn
t ca tp hp A v sp xp chỳng theo mt th t no ú c gi l mt chnh hp chp k ca n phn t
ó cho.
2. S cỏc chnh hp: Kớ hiu
k
n
A
l s cỏc chnh hp chp k ca n phn t (1 k n). Ta cú:
k
n
A
= n(n - 1)(n - 2) (n - k + 1)
* Chỳ ý:
a) Vi quy c 0! = 1, ta cú:

Trong mt phng cho 4 im phõn bit A, B, C, D (khụng cú ba im no thng hng). Lit kờ tt c cỏc on thng c
to thnh t cỏc im ú?
1. nh ngha: Gi s tp A cú n phn t (n 1). Mi tp con gm k phn t ca A c gi l mt t
hp chp k ca n phn t ó cho.
* Chỳ ý: Vỡ tp (0 phn t) l tp con ca tp A nờn ta cú iu kin 0 k n.
2. S cỏc t hp: Kớ hiu
k
n
C
l s cỏc t hp chp k ca n phn t. Ta cú:
)!(!
!
knk
n
C
k
n

=
(0 k n) (n, k N)
Vớ d: Mt t gm cú 10 ngi gm 6 nam v 4 n. Cn lp mt on i biu gm 5 ngi. Hi:
25
Ti liu lu hnh ni b
25