BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
−−−−−−−−−−−
NGUYỄN DUY BÌNH
HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ
ĐỀ “ GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
CỦA ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH CÁC LỚP
CUỐI CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG “
(Thể hiện qua giải tích 11 và 12)
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGHỆ AN – 2014
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
−−−−−−−−−−−
NGUYỄN DUY BÌNH
HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ
ĐỀ “ GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
CỦA ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH CÁC LỚP
CUỐI CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG “
(Thể hiện qua giải tích 11 và 12)
Chuyên ngành : Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn
Toán
Mã số : 60.14.01.11
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học : TS. NGUYỄN VĂN THUẬN
NGHỆ AN – 2014
2
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Nguyễn Văn Thuận, người thầy đã
trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.


6
1.1.2. Đổi mới phương pháp dạy học

7
1.2. Kỹ năng
9
1.2.1. Khái niệm kỹ năng

9
1.2.2. Sự hình thành kỹ năng

10
1.2.2.1. Phân loại kỹ năng trong môn Toán
12
1.2.2.2. Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng
14
1.2.2.3 Rèn luyện kỹ năng liên quan đến năng lực của học sinh
16
1.2.2.4. Những sai lầm trong giải Toán của HS là một căn cứ để
xác định các kỹ năng cần rèn luyện

37
1.3. Chương trình môn toán và chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng
dụng của đạo hàm” trong phân môn Giải tích ở bậc Trung học phổ
thông
39
1.3.1. Chương trình môn toán Giải tích ở THPT

39

49
c. Kỹ năng ứng dụng đạo hàm

50
d. Kỹ năng quy lạ về quen

53
e. Kỹ năng phát hiện và sửa chữa những sai lầm

55
2.2.2.Thể hiện qua chương Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm
57
2.2.2.1. Kỹ năng 1: Tính toán đạo hàm, nắm vững bản chất của đạo
hàm.
57
2.2.2.2. Kỹ năng 2: Nhận dạng, thể hiện và vận dụng các tri thức
phương pháp phù hợp để giải quyết vấn đề đạo hàm và ứng dụng.

62
a. Tri thức phương pháp

62
b. Thuật toán

63
c. Quy trình tìm đạo hàm cấp n của hàm số y=f(x)
64
5

d. Thuật giải trong các bài toán ứng dụng của đạo hàm

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
6
Viết tắt Viết đầy đủ
HS : Học sinh
THPT : Trung học phổ thông
SGK : Sách giáo khoa
H.D : Hướng dẫn
GTLN : Giá trị lớn nhất
GTNN : Giá trị nhỏ nhất
PT : Phương trình
HPT : Hệ phương trình
BPT : Bất phương trình
HBPT : Hệ bất phương trình
GV : Giáo viên
TN : Thực nghiệm
ĐC : Đối chứng
H : Hỏi
MỞ ĐẦU
7
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Điều 24 của Luật Giáo dục đã quy định “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động… , bồi dưỡng phương
pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến
tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
1.2. Chương trình Toán trường trung học phổ thông chỉ rõ “Môn Toán phải
góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng
suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống…, rèn luyện kỹ năng
vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực
tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ
thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác…”

tích vì thiếu những kỹ năng cần thiết.
- Tuy đã có những đề tài nghiên cứu về kỹ năng, nhưng chưa có đề tài
nào nghiên cứu về kỹ năng giải toán Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo
hàm trong chương trình Toán bậc THPT.
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:
“Hình thành kỹ năng giải toán chủ để Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của
đạo hàm cho học sinh các lớp cuối cấp Trung học phổ thông.”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu những vấn đề liên quan tới kỹ năng
giải các bài toán thuộc chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo
hàm” trong phân môn Giải tích của HS các lớp cuối cấp THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hoá các cơ sở lý luận về kỹ năng; cơ chế hình thành kỹ năng
và vai trò quan trọng của kỹ năng.
- Đề xuất các căn cứ để xác định hệ thống những kỹ năng cơ bản và kỹ
năng đặc thù vận dụng trong quá trình giải toán chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và
ứng dụng của đạo hàm”.
9
- Làm sáng tỏ các kỹ năng cơ bản và kỹ năng đặc thù khi giải các bài toán
trong chủ đề Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
- Đề xuất các tư tưởng chủ đạo nhằm hình thành và phát triển kỹ năng
giải toán chủ đề Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm cho HS các lớp
cuối cấp THPT.
- Làm sáng tỏ những khó khăn, sai lầm của HS cuối cấp THPT khi giải
Toán Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
- Thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận
- Điều tra, quan sát.
- Thực nghiệm sư phạm.

hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm” cho học sinh các lớp
cuối cấp Trung học phổ thông
2.1. Những căn cứ để xác định hệ thống các kỹ năng.
2.2 Hệ thống các kỹ năng
2.2.1.Thể hiệnqua chương Giới hạn :
2.2.1.1. Kỹ năng 1: Tính toán giới hạn và nắm vững bản chất của giới hạn.
2.2.1.2. Kỹ năng 2: Nhận dạng, thể hiện và vận dụng các tri thức phương pháp
phù hợp để giải quyết vấn đề giới hạn như :
a. Kỹ năng ghi số hạng vắng.
b. Kỹ năng biến đổi tương đương.
11
c. K nng ng dng o hm.
d. K nng phỏt hin v sa cha nhng sai lm.
2.2.2.Th hin qua chng o hm v ng dng ca o hm :
2.2.2.1. K nng 1: Tớnh toỏn o hm, nm vng bn cht ca o hm.
2.2.2.2. K nng 2: Nhn dng, th hin v vn dng cỏc tri thc phng phỏp
phự hp gii quyt vn o hm v ng dng.
2.2.2.3. K nng 3: K nng phỏt hin v sa cha nhng sai lm trong gii
quyt vn o hm v ng dng.
2.3. Kt lun Chng 2
Chng 3: Thc nghim s phm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.

12
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ VÀ THỰC TIỄN
1.1. Những vấn đề chung về phương pháp dạy học môn Toán và đổi mới
phương pháp dạy học

- Để hoàn thành nhiệm vụ dạy học môn toán người thầy cần chú trọng phối
hợp nhiều phương pháp dạy học, nhiều hình thức truyền thụ kiến thức để đạt
được những mục đích đề ra.
1.1.2. Đổi mới phương pháp dạy học.
Trong nghị quyết số 40/TW/QH10 ngày 9/12/2008 Quốc hội khoá X về
đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đã khẳng định mục tiêu của đổi mới
chương trình giáo dục phổ thông: “Xây dựng nội dung, chương trình phổ
thông giáo dục nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ đáp
ứng yêu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ CNH – HĐH đất nước, phù
hợp với thực tiễn và truyền thống Việt Nam, tiếp cận trình độ giáo dục phổ
thông ở các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới”.
Nghị Quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 Hội nghị lần thứ
tám Ban chấp hành trung ương khóa XI: “ Về đổi mới căn bản, toàn diện giáo
dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều
kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế ”.
Để đáp ứng được điều kiện trên thì việc dạy và học cần chủ trọng nhiều
đến đổi mới phương dạy và phương pháp học, cũng như đổi mới chương trình
sao cho phù hợp cho giai đoạn hiện nay.
Đối với chương trình cần chủ trọng và quan tâm đến đối tượng giáo dục,
tức là phù hợi với trình độ, tâm sinh lý, từng giai đoạn thay đổi của xã hội,
từng vùng, miền…
Trong giai đoạn hiện nay, xã hội xã hội đòi hỏi con người có học vấn
không chỉ chỉ có khả năng lấy từ trí nhớ các tri thức dưới dạng có sẵn đã lĩnh
14
hội được ở trường phổ thông mà còn phải có năng lực chiếm lĩnh, sử dụng các
tri thức mới một cách độc lập, khả năng đánh giá các sự kiện, các tư tưởng,
các hiện tượng một cách thông minh sáng suốt khi gặp trong cuốc sống, trong
lao động, quan hệ với mọi người. Nội dung học vấn trong nhà trường góp
phần quan trọng để phát triển hứng thú và năng lực nhận thức của học sinh,
cung cấp cho học sinh những kỹ năng cần thiết trong việc tự học sau này.

năng là khả năng vận dụng kiến thức đã có (Khái niệm, cách thức, phương
pháp) vào việc giải quyết nhiệm vụ được giao.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ta thấy việc vận dụng kiến thức đã
học vào vào nhiệm vụ cụ thể học sinh thường gặp nhiều khó khăn bởi vì các
em không phát hiện được mối liên hệ giữa cái bản chất tri thức và đối tượng.
Đối với HS trung học phổ thông, kỹ năng giải Toán thường thể hiện ở
khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán. Việc lựa
chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, không chỉ dựa vào việc
nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc
mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trong chương trình
học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài toán
đặt ra.
Ví dụ 1.1:
Cho hàm số
3 2
4 6 1y x x= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số, biết rằng tiếp tuyến này đi qua điểm M(-1; -9).
Nhiều học sinh nhận xét: Vì điểm M thuộc đồ thị hàm số nên đã vận
dụng phương pháp viết phương trình tiếp tuyến bởi công thức: y - y
0
= y’(x
0
) (x
- x
0
). Với x
0
= -1 và y
0

17
y
x
0
Ví dụ 1.2: Tìm giới hạn sau :
3 3 2
2
x 1
5 x x 7
A lim
x 1
→
− − +
=
−
,
Giải : Đặt
( )
3 3 2
2
5 x x 7
F x
x 1
− − +
=
−
Ta có :
2 3 2
2 2
x 1

 
− − +
− + + + +
 
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2
x 1
2 2
2 3 2 3 2
1 x x 1
lim
x 1 5 x 2
x 1 x 7 2. x 7 4
→
 
− −
= −
 
− − +
 
− + + + +
 
( )
2
2

1
5
2
3
2
2
2
−
−+
−
−
−−
x
cx
x
cx
Bước 2: Trong các số
c
đó , ta tìm số c sao cho x
2
- 1 cùng nhân tử với
cxxf −−=
2
1
5)(
và
cxxf −+=
3
2
2

c
c
c
f
f
Đáp số: c = 2 là câu trả lời cho câu hỏi 1 và 2 .
18
Như vậy thầy giáo có thể mô tả cho HS qua phương pháp tìm số hạng
vắng một cách tổng quát :
Giả sử
)(
)(
)(
xg
xf
xF =
Bước 1: Phân tích
)(
)(
)(
)(
)(
21
xg
cxf
xg
cxf
xF
−
+

cxf
cxf
.
Với c tìm được thì:
)(
)(
lim
1
0
xg
cxf
xx
+
→
;
)(
)(
lim
2
0
xg
cxf
xx
−
→
giải quyết dễ dàng .
Lúc này chúng ta lại trang bị cho các em có kỹ năng ghi số hạng vắng
1.2.2.1. Phân loại kỹ năng trong môn Toán
Có nhiều cách phân loại kỹ năng.
Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bản

thức đạo hàm các hàm số cơ bản. hoặc từ những công thức đã có.
Từ (cosx)’ = - sinx, (f(u))’ = f’
u
.u’
x
ta có thể tính đạo hàm của tất cả các
hàm số mà biến đổi về dạng cosu. Tính đạo hàm hàm số y = sinx (Khi học sinh
quên đạo hàm của hàm số y = sinx) bằng cách biến đổi sinx = cos( - x)
c) Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Chẳng hạn khi biết đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng hay đồ thị
hàm số bậc bốn trùng phương có trục đối xứng thì khi vẽ các đồ thị này nếu
không có tính chất trên thì khẳng định ngay là chắc chắn đã tính sai và phải
kiểm tra lại khâu tính toán.
Ví dụ 1.5: Tìm m để hệ phương trình:
( )
2 2
2 2
2
4
x y x y
m x y x y

− + =

+ − =

có ba nghiệm
phân biệt.
Gặp bài toán này các em cần phải huy động mọi kiến thức về giải hệ
phương trình mà các em đã có rồi phân tích, nhận dạng, dự đoán và tiến hành

4 2
2
2
( 1) 2( 3) 2 4 0 (1)
2
1
m x m x m
x
y
x

− + − + − =


+
=

+

.
• Khi m = 1: Hệ PT ⇔
2
2
2
2 1 0
( )
2
1

+ =

1
=


⇔ ⇔ =
−

= >

−

f
m
m
S
m
.
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất x =
1
2
và y = 2
Qua bài toàn hình thành cho học sinh kỹ năng tổ chức hoạt động nhận
thức
d) Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá.
Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, lại xem xét kỹ
năng toán học trên 3 bình diện: Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn
toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng
vận dụng toán học vào đời sống. Đây là bước cuối cùng của nhận thức, của kết
quả của một quá trình học tập một vấn đề nào đó.
1.2.2.2. Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng:

phụ thuộc vào mục đích mà các thao tác nói trên hướng tới và vào nội dung
của bài toán. Bản thân hoạt động tư duy khi giải bất kỳ bài toán nào thể hiện
trong những biến đổi đối tượng của tư duy, tách ra trong đối tượng những khía
cạnh và những thuộc tính ngày càng mới được ghi lại trong các khái niệm và
được biểu thị bằng các từ.
Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối
tượng để tiến hành giải bài toán. Ở mỗi cách diễn đạt mới là kết quả phân tích
và tổng hợp những dữ kiện của giai đoạn trước và được thể hiện trong các
khái niệm. Nhưng các khái niệm là sản phẩm của kinh nghiệm xã hội. Khi
nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những
thuộc tính bản chất của đối tượng. Chính từ các cách diễn đạt mới khai thác
22
được những tri thức về đối tượng đồng thời thúc đẩy tư duy tiến lên.
S.L.Rubinstein đã chứng minh: Trong quá trình tư duy nhờ phân tích, tổng
hợp, đối tượng tham gia vào những mỗi liên hệ ngày càng mới và do đó thể
hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này được ghi lại
trong khái niệm mới. Như vậy, từ đối tượng dường như có thể khai thác được
nội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một mặt khác và
trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới.
1.2.2.3 Rèn luyện kỹ năng liên quan đến năng lực của học sinh
Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của Tâm lý học. Khái niệm này
cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau,
chẳng hạn. Theo Nguyễn Huy Tú: “…Năng lực tự nhiên là loại năng lực được
nảy sinh trên cơ sở những tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động
của giáo dục và đào tạo. Nó cho phép con người giải quyết được những yêu
cầu tối thiểu, quen thuộc đặt ra cho mình trong cuộc sống”.
Từ đó ta thấy rằng, trong cuộc sống nói chung, trong việc giải Toán nói
riêng, sự đáp ứng yêu cầu của các năng lực tự nhiên rất hạn hẹp. Chính vì lẽ đó
đã hình thành ở con người những loại năng lực mới bằng con đường giáo dục
vào đào tạo, gọi là Năng lực được đào tạo hay Năng lực tự tạo.

động trí tuệ của HS khi đứng trước những bài toán cụ thể, có mục tiêu và tính
hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm
tìm ra lời giải của bài toán sau một số bước thực hiện.
Mối quan hệ biện chứng xét từ góc độ năng lực giữa phát hiện phương
pháp giải Toán - giải quyết bài toán được cấu thành một cách hữu cơ, hài hoà
với nhau. Một tiến trình giải Toán được gọi là có kết quả tối ưu khi hình thành,
phát triển được năng lực phát hiện phương pháp giải Toán trên cơ sở sáng tạo.
24
Trong phương pháp luận duy vật biện chứng với việc dạy học, nghiên cứu
Toán học nói chung - giải Toán nói riêng, Nguyễn Cảnh Toàn nói: "Người có
óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát hiện và giải quyết vấn đề đã đặt
ra". Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán đòi hỏi tư duy sáng tạo ở
những mức độ khác nhau. Tư duy sáng tạo sẽ nảy sinh và trở thành thành tố
của năng lực phát hiện phương pháp giải Toán khi HS đứng trước một bài
Toán hàm chứa trong nội dung một tình huống có vấn đề và tìm phương thức
giải quyết. Trong quá trình phát triển năng lực phát hiện phương pháp giải
Toán cần chú ý khai thác tiềm năng sáng tạo và rèn luyện khả năng đó qua
việc tìm kiếm các hướng giải khác nhau của cùng một bài Toán nhất định. Ta
thấy rằng:
Khi giải Toán được xem như một quá trình thì chiến lược, các phương
pháp, quy trình thủ thuật mà HS sử dụng để giải Toán sẽ là những điều quan
trọng. Chúng là những bộ phận cơ bản của quá trình giải Toán, được đặc biệt
chú ý trong chương trình môn Toán.
Khi giải Toán được xem như một kỹ năng cơ bản thì khả năng lựa chọn
các phương pháp giải và các kỹ thuật giải là những vấn đề then chốt mà HS
phải học khi giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.6 : Giải phương trình: 2009
x
+ 2010
x