S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Đại học tháI nguyên
Trường đại học sư phạm
---------------------------------- Trương thị hải yến


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC
Lời nói đầu…………………………………………………………………...2
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị……………………………………...4
1.1.Tính compact và tính đầy đủ……………………………………………...4
1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số…………………………………5
1.3. Tập sắp thứ tự…………………………………………………………….5
1.4. Không gian điểm bất động……………………………………………….6
1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ……………………9
Chương 2: Một số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian đầy đủ
và ứng dụng của định lí Banach…………………………………………...12
2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach……………………………………………12
2.2. Miền bất biến cơ sở……………………………………………………..15
2.3. Phương pháp liên tục cho ánh xạ co…………………………………….17
2.4. Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co…………………………………….20
2.5. Mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach…………………………………...23
2.6. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert…………………………...28
2.7. Ứng dụng nguyên lí Banach cho phương trình tích phân……………….36
Chương 3: M ột số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự. .39
3.1. Định lí Knaster - Tarski………………………………………………....39
3.2. Tính thứ tự và tính đầy đủ. Định lí Bishop - Phelps…………………….42
3.3. Điểm bất động của ánh xạ co đa trị……………………………………..45
3.4. Ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach…………...47
3.5. Ứng dụng vào nghiên cứu điểm tới hạn………………………………...48
Chương 4: Một số định lí tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi………51
4.1. Nguyên lí ánh xạ KKM ………………….……………………………..51
4.2. Định lí của von Newmann và hệ bất đẳng thức………………………....56

00
Fx x=
? Điểm
0
x
như vậy gọi là
điểm bất động của ánh xạ
F
.
Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng
dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và
trong nhiều nghiên cứu của Vật lí. Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi
tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lí điểm bất
động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach (1922). Các kết quả kinh
điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau.
Mục đích của luận văn này là trình bày một cách chi tiết hơn một số
định lí điểm bất động trong tài liệu

A.Granas, J.Dugundji. Fixed point
Theory. Springer – Verlag. NewYork, 2003. Chúng tôi chỉ hạn chế ở việc giới
thiệu những kết quả dựa trên tính đầy đủ, tính sắp thứ tự của không gian và
tính lồi.
Bố cục của luận văn gồm 4 chương với những nội dung chính sau đây:
Chương 1. Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để theo dõi
luận văn.
Chương 2. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính đầy đủ
của không gian như Nguyên lí ánh xạ co Banach, các mở rộng và ứng dụng
của nó.
Chương 3. Trình bày sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ
tự như Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski - Kantorovitch. Xét mối liên hệ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này ta nhắc lại một số khái niệm và một số định lí quan trọng
được dùng trong luận văn
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
1,2,4,5
.
1.1. Tính compact và tính đầy đủ
Định nghĩa 1.1.1. Cho
X
là một không gian mêtric với mêtric d. Một dãy
{ }
n
x
trong
X
được gọi là dãy Cauchy nếu
,
lim ( , ) 0
nm
nm
dx x
→∞
=
, tức là với mọi

{ }
n
x
trong
A
, tồn tại dãy con
{}
k
n
x
hội tụ đến một
phần tử của
A
. Tập
A
gọi là compact tương đối nếu bao đóng
A
của
A
trong
X
là compact.
Ví dụ: Mọi tập đóng và bị chặn trong
n

là tập compact.
Định nghĩa 1.1.4. Cho
X
và
Y

→∞
=
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 1.1.6 (Định lí điểm bất động Schauder). Cho M là một tập không
rỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach
X
, và giả sử
:TM M→
là
toán tử compact. Khi đó,
T
có một điểm bất động.
1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số
Cho
X
là không gian mêtric. Giả sử
AX∅≠ ⊂
,
:fA→ 
và
0
xA∈
.
Định nghĩa 1.2.1. Hàm
f
bị chặn dưới trên
A

0
( ) ()fx fx
ε
−<
với mọi
0
( ,)x Bx
δ
∈
, tức là
0
0
liminf ( ) ( )
xx
fx fx
→
≥
. Trong đó,
{ }
0
0
liminf ( ) inf : ( ) , ( )
nn
xx
fx u x x fx u
→
= ∃→ →
.
Nếu
f

,
yx°
kéo theo
xy=
(tính phản đối xứng).
iii)
xy°
,
yz°
kéo theo
xz°
(tính bắc cầu).
được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự “
°
”.
Định nghĩa 1.3.2. Tập con
AX⊂
được gọi là tập sắp thứ tự tuyến tính (hay
xích) nếu với
,xy A∈
bất kì thì hoặc
xy°
hoặc
yx°
.
Giả sử
X
là một tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự
°
và

.
Định nghĩa 1.3.4. Phần tử
aX∈
gọi là cận trên của tập
A
nếu
xa°
với mọi
xA∈
.Nếu
aA∈
và
a
là một cận trên của
A
thì
a
gọi là phần tử lớn nhất
của
A
và kí hiệu là
max A
. Phần tử
aX∈
gọi là cận dưới của tập
A
nếu
ax°
với mọi
xA∈

(hay cận dưới đúng
của
A
) nếu nó là phần tử lớn nhất (nếu có) của tập hợp các cận dưới của
A
,
và kí hiệu là
inf A
.
Định nghĩa 1.3.6. Tập hợp
A
được gọi là bị chặn trên nếu nó có một cận
trên. Tập hợp
A
được gọi là bị chặn dưới nếu nó có một cận dưới. Tập hợp
A

được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới.
Bổ đề 1.3.7 (Bổ đề Zorn). Giả sử
X ≠∅
là tập sắp thứ tự bộ phận. Nếu mọi
xích của
X
đều có cận trên thì
X
có phần tử cực đại.
1.4. Không gian điểm bất động
Định nghĩa 1.4.1. Cho
X
là một không gian tôpô (Hausdorff ) và

kỳ trên một tập con của một không gian tuyến tính, việc chỉ ra phương trình
0Du =
(tương ứng
0u Du
λ
=
) có nghiệm tương đương với việc chỉ ra ánh
xạ
u u Du−
(tương ứng
u Du
λ

) có một điểm bất động. Như vậy, những
điều kiện lên một toán tử hay miền xác định ở định nghĩa để đảm bảo tồn tại
một điểm bất động diễn giải như các định lí về tồn tại trong giải tích.
Cho một không gian
X
và ánh xạ liên tục
:fX X→
. Sự tồn tại một
điểm bất động đối với
f
có thể phụ thuộc hoàn toàn vào tính chất của không
gian
X
, hơn là vào tính chất của ánh xạ
f
.
Định nghĩa 1.4.2. Một không gian tôpô (Hausdorff ) X được gọi là không

là không gian điểm bất động hay không, những kết quả thuộc loại đó thường
có rất nhiều hệ quả tôpô quan trọng. Một ví dụ là định lí điểm bất động
Brouwer chỉ ra rằng: Mọi tập compact lồi trong
n

đều là không gian điểm
bất động.
Tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô: nếu
X
là
không gian điểm bất động và
:hX Y→
là đồng phôi thì với bất kì ánh xạ liên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tục
:gY Y→
, ánh xạ
1
:h ghX X
−
→
có một điểm bất động
0
x
nên
00
() ()g hx hx=
và

[ ]
,ab
, vì thế nó là một không gian điểm bất động.
Nếu
X
không là một không gian điểm bất động, vẫn có thể đúng rằng
một số ánh xạ với các tính chất tốt sẽ có điểm bất động. Để hợp thức hoá khái
niệm này, chúng ta mở rộng phát biểu của Định nghĩa 1.4.2:
Định nghĩa 1.4.5. Cho
X
là một không gian tôpô (Hausdorff ) và
M

là một
lớp các ánh xạ liên tục
:fX X→
. Nếu mọi
f ∈M
có điểm bất động thì X
được gọi là không gian điểm bất động tương ứng với
M
.
Chẳng hạn, nguyên lý ánh xạ co Banach khẳng định rằng: Mọi không
gian mêtric đầy đủ đều là không gian điểm bất động đối với các ánh xạ co.
Khái niệm trên là đặc biệt quan trọng khi
M
là lớp các ánh xạ
compact, nghĩa là những ánh xạ liên tục
:fX X→
với bao đóng

(ii) Định lí điểm bất động Schauder có nhiều ứng dụng trong giải tích
đã khẳng định rằng: Mọi tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn là
không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact.
Do ảnh liên tục của một tập compact là một tập compact, có thể sử
dụng các kỹ thuật tương tự để chỉ ra rằng tính chất là không gian điểm bất
động là một bất biến tôpô. Chẳng hạn, một tập mở bất kì
( )
,ab ⊂ 
, cũng như
đồ thị của
1
sin , 0 1x
x



<<
, là một không gian điểm bất động đối với các
ánh xạ compact.
1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ
Nói chung, một không gian con của một không gian điểm bất động
không nhất thiết là một không gian điểm bất động: chẳng hạn
{ }
,,ab ab


⊂

không có tính chất điểm bất động. Tuy nhiên, một số không gian con có thể
thừa kế tính chất điểm bất động.

ñ
ñ
là một hình cầu đóng trong
E
có tâm O và bán kính
ñ
,
thì
:rE K→
ñ
được cho bởi ( )

y khi y
ry
y
khi y
y





≤
=
>
ñ
ññ

:fA A→
khi đó
:i f rX X→
có một điểm bất động, giả sử đó là
0
x
. Từ
00
()i f rx x=

suy ra
0 0 00
() () () ()
A
rx r i f rx id f rx f rx


= = = 
,
do đó
0
()rx
là một điểm bất động của
f
.
Tương tự ta cũng chứng minh được không gian điểm bất động đối với các
ánh xạ compact cũng là không gian điểm bất động với mọi tập co rút của
X
. □
Mặt khác, nếu X có một tập co rút là một không gian điểm bất động thì

λ
∈
sao cho
()x Fx
λ
=
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh. Cho
:rE K→
ñ
là ánh xạ co rút chuẩn tắc. Theo định lí
Schauder, ánh xạ hợp compact
:rFK K→
ññ
có một điểm bất động
()x rF x=
.
Theo công thức (1.1), nếu
()Fx K∈
ñ
thì
()Fx ≤ñ
, ta có
() ()x rFx Fx= =
,
vì thế F có điểm bất động. Nếu
()Fx K∉
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN ĐẦY ĐỦ VÀ ỨNG DỤNG
CỦA ĐỊNH LÍ BANACH
Chương này nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính chất đầy
đủ. Chúng ta trình bày Nguyên lí ánh xạ co Banach, và các mở rộng của nó,
một số định lí điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert
và một số ứng dụng của Định lí Banach
[ ]
( )
4

2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach
Định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất là
nguyên lí ánh xạ co Banach. Dựa trên quá trình lặp, nó có thể được thực hiện
trên máy tính để tìm điểm bất động của một ánh xạ co với mức độ chính xác
tuỳ ý.
Cho
(,)Xd
,
(,)Y ñ
là hai không gian mêtric và ánh xạ
:FX Y→
của
những không gian mêtric. Nếu

>
, với mọi
xX∈
, theo định nghĩa ánh xạ Lipschitz ta có

00
( , ) (, )Fx Fx Md x x≤ñ

nên
0
(, )dxx
M
ε
δ
<=
. Như vậy,
F
liên tục tại
0
x
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz khi
()1LF <
nên
ánh xạ co cũng là ánh xạ liên tục.
Cho
Y

của
Fy
, và tập
{ }
: 0,1,...
n
Fyn=
là quỹ đạo của
y

bởi F.
Định lí 2.1.1 (Nguyên lí ánh xạ co Banach). Cho
(,)Yd
là một không gian
mêtric đầy đủ và
:FY Y→
là ánh xạ co. Khi đó F có duy nhất một điểm bất
động u và
n
Fy u→
với mỗi
yY∈
.
Chứng minh. Cho
1
α
<
là hằng số co của
F
. Trước tiên ta chứng minh

do quy nạp
11
( , ) ( , ) (, )
nn n n n
dFyF y dF yFy dyFy
αα
+−
≤ ≤≤

Như vậy, cho
n
bất kì và
0p >
, ta thu được
1
11 1
(, )(, ) ( , ) (, )
np
n np n n np np i i
in
dFyF y dFyF y dF yF y dFyF y
+−
+ + +− + +
=
≤ ++ =
∑
11 1

0
n
α
→
, điều này chỉ ra rằng
{ }
n
Fy
là dãy Cauchy. Do d là đầy
đủ vì thế
n
Fy u→
với
uY∈
. Vì
F
liên tục, ta có
1
()
nn
F y F F y Fu
+
= →
;
nhưng
{ }
1n
Fy
+
là một dãy con của dãy

α
α
+
≤
−
với mọi
0p >

tìm được
(,)lim (, ) (,)
1
n
n n np
p
dFyu dFyF y dyFy
α
α
+
→∞
= ≤
−
,
sai số của bước lặp thứ
n
khi xuất phát từ
yY∈
được hoàn toàn xác định bởi
hằng số co
α
và khoảng cách ban đầu

00
( , ) (1 )d Fy y r
α
<−
, chọn
r
ε
<
ta có

00
( , ) (1 ) (1 )d Fy y r
αε α
≤− <−
.
Giả sử
{ }
0
: (, )K ydyy
ε
= ≤
là hình cầu đóng. Xét ánh xạ
:FK K→
. Nếu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn yK∈
thì


. Cho một ánh xạ
:FX E→
, ánh xạ
x x Fx−
của
X
vào
E
được gọi là trường gắn với F
và kí hiệu là
()f x x Fx= −
. Trường
:fX E→
xác định bởi ánh xạ co
:FX E→
được gọi là trường co.
Định lí 2.2.1 (Miền bất biến của trường co). Cho E là một không gian
Banach,
UE⊂
mở, và
:FU E→
là ánh xạ co với hằng số co
1
α
<
. Cho
:fU E→
là một trường gắn với F,
()f x x Fx= −
. Khi đó:

0
Gy y Fy= +
. Ta có với
mọi
12
, ( , )y y Bur∈

1 2 0 1 0 2 1 2 12
( )( )Gy Gy y Fy y Fy Fy Fy y y
α
− = + −+ = − ≤ −
với
1
α
<
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nên G cũng là ánh xạ co với hằng số co
1
α
<
và
00
( ) (1 )Guu y Fuu y fu r
α
−= + −= − ≤−
.
Theo Hệ quả 2.1.2, tồn tại một điểm

αα
≥−− − ≥−− −=− −u uu u u
.
Nếu
() () 0fu f−=u
thì từ nhận xét trên ta có
0u −=u
, vì thế
u = u
và
f
là
một đơn ánh. Vì với mọi
() ( )fx fU∈
tồn tại
xU∈
sao cho
()f x x Fx= −

do đó
f
là một toàn ánh. Như vậy,
: ()f U fU→
là một song ánh, mở, liên
tục nên nó là một đồng phôi. □
Hệ quả 2.2.2. Cho E là một không gian Banach và
:FE E→
là ánh xạ co.
Khi đó trường tương ứng
f IF= −

1
α
<
,
nên G là ánh xạ co với hằng số co
1
α
<
. Theo Định lí 2.1.1, tồn tại điểm
0
xE∈
thoả mãn
00
Gx x=
và
00 0
Gx y Fx= +
nên
0 0000 0
()y Gx Fx x Fx f x=−=−=

vì thế
()fE E=
. Như vậy,
f IF= −
là một phép đồng phôi từ
E
lên
E
. □

λ

của các ánh xạ nối
F
với một ánh xạ
G
đơn giản hơn, và cố gắng biến đổi về
bài toán tìm nghiệm của phương trình
()x Gx=
. Về mặt hình học, ta biến đổi
đồ thị của
F
về đồ thị của
G
và rút ra kết luận từ phép biến đổi rằng: nếu đồ
thị của
G
cắt đường chéo
XY YY∆⊂ × ⊂ ×
thì đồ thị của
F
cũng cắt đường
chéo
∆
.
Kết quả chính của chúng ta trong phần này là đưa ra điều kiện sao cho
điều kiện kết luận trên là hợp lý. Cho
(,)Λ ñ
là một không gian tham số với
khoảng cách

0M >
,
01<≤ù
, nếu ta có:

[ ]
1 2 12
( ), ( ) ( , )dHxHx dxx
λλ
α
≤
với mọi
λ
∈Λ
và
12
,xx X∈
, (2.1)

[ ]
(), () (, )dH xH x M
λµ
λµ

≤

ù
ñ
với mọi
xX∈
(iii) Cho tham số
λ
∈Λ
, tập điểm bất động
()Fix H
λ
hoặc là rỗng hoặc
chỉ có một điểm bất động là
x
λ
;
(iv) Đặt
( )
x Hx
λ λλ
=
và
( )
x Hx
µ µµ
=
, theo (2.1) và (2.2) ta có

(,) (), () (), () (), ()dxx dHx Hx dHx Hx dHx Hx
λµ λλµµ λλµλ µλµµ
   
=≤+
   

ñ
. (2.3)
Cho
(,)XY
A
C
là tập tất cả các ánh xạ
F
trong
(,)XYC
sao cho hạn
chế
:
A
FAY→
không có điểm bất động trên biên A của X. Bây giờ ta có thể
trình bày kết quả chính:
Định lí 2.3.2 (Định lí hàm ẩn cơ bản). Cho
Λ
là tập li ên thông và
{ }
:H
λ
λ
∈Λ
là một họ
α
-co trong
(,)XY
A

Λ
vào U là Hölder
liên tục.
Chứng minh.
(i) Xét tập
{ }
: ( ),Q x Hx x U
λ λλ λ
λ
= ∈Λ = ∈
,
ta thấy rằng
Q ⊂Λ
, và
Q
khác rỗng vì theo giả thiết phương trình
()Hx x
λ
=

có một nghiệm với
λ
∈Λ
.
(a)
Q
là tập đóng trong
Λ
: Thật vậy, giả sử
{ }

dx x
λλ
λλ
α
≤
−
ù
ñ
,
điều này chỉ ra rằng dãy
{ }
n
x
λ
là một dãy Cauchy. Ta có d đầy đủ nên
0
n
xx
λ
→
với
0
xX∈
và
H
liên tục, vì thế
0 00
() ()
n nn
x Hx x Hx

một hình cầu mở
{ }
00
( ,) : (, ) Bx r x X dxx r U
λλ
= ∈ <⊆
, và chọn
0
ε
>
sao
cho
(1 )
r
M
εα
≤−
ù
, trong đó hằng số
M
và
ù
lấy ở công thức (2.2). Bây giờ,
nếu
λ
là một điểm bất kì của hình cầu mở
{ }
00
(,) :(,)B
λε λ λλ ε

có một điểm bất động
0
( ,)x Bx r
λλ
∈
với mỗi
λ
∈Λ

thoả mãn
()Hx x
λλ λ
=
, do đó
Q
λ
∈
. Vì vậy
0
( ,)BQ
λε
⊂
và ta kết luận
0
IntQ
λ
∈
.
Ta có
Q

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Giả sử
()x Hx
λ λλ
=
với
λ
∈Λ
, ta chứng minh ánh xạ
:pUΛ→

xác định bởi
x
λ
λ
→
là Hölder liên tục. Theo (2.3), ta có
[ ] [ ]
( ), ( ) ( , ) ( ), ( ) ( , )
1
M
dp p dx x d H x H x
λµ λλ µµ
λ µ λµ
α

= = ≤

. Khi đó ánh xạ co bị chặn
:FU C→
có ít nhất một
trong các tính chất sau:
(i) F có duy nhất một điểm bất động,
(ii) Tồn tại
0
yU∈∂
và
(0,1)
λ
∈
sao cho
00
()y Fy
λ
=
.
Chứng minh. Cho
[ ]
( , ) 0,1xU
λ
∈×
và đặt
() ()H x Fx
λ
λ
=
. Dễ thấy
[ ]

và
[ ]
0,1
λ
∈
,
() () () ()H x H x Fx Fx
λµ
λµ
−=−()Fx
λµ
= −
với
[ ]
, 0,1
λµ
∈
và mọi
xU∈
.
Nếu
{ }
H
λ
không có điểm bất động trên biên
U∂
, ta có

λ
λ
= =
. Nếu
0
λ
=
thì
00
() 0Fx x
λ
= =
, điều này mâu thuẫn với
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn giả thiết
0 U∈
, vì thế
0
λ
≠
. Nếu
1
λ
=
thì
10 0 0
() ()H x Fx x= =
, do đó

Fx x≤
| | ||
,
(ii)
() ()

Fx x Fx≤−
| || |
,
(iii)
22 2
() ()Fx x x Fx≤ +−
| | || | |
,
(iv)
( ), ,Fx x xx≤
, trong đó
,
là một tích vô hướng trong E.
Khi đó F có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử
F
không có điểm bất động,
F
có một điểm
zU∈∂
với
()z Fz
λ
=

sao cho
()z Fz
λ
=
. Theo Định lí 2.4.1,
F
có duy nhất một điểm bất
động.
(ii) Từ giả thiết (ii), ta có
() () () 1 ()Fz Fz Fz Fz
λλ
≤ −=−
| | | | | |

vì thế
11
λ
≤−
, điều này trái với
01
λ
<<
do đó không tồn tại
zU∈∂
và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 01
λ

λ
=
.
Theo Định lí 2.4.1,
F
có duy nhất một điểm bất động.
(iv) Từ giả thiết (iv), ta có
2
(), () (), () (), () (), ()Fz Fz Fz Fz Fz Fz Fz Fz
λλ λλλ
=≤=
,
vì thế
2
λλ
≤
kéo theo
0
λ
≤
hoặc
1
λ
≥
, điều này trái với
01
λ
<<
nên không
tồn tại

F
có
duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Vì
U
đối xứng qua gốc và
0 U∈
nên nếu
xU∈∂
thì
xU− ∈∂
,
và
F
là ánh xạ co bị chặn thoả mãn
() ( )Fx F x=−−
với mọi
xU∈∂
, do đó
() () ()Fx F x x x
α
− − ≤ −−
,
vì thế
()Fx x x
α
≤<
với
01
α

() 0
δε
>
sao cho nếu
(, ) ()d x Fx
δε
<
thì

[ ]
(,) (,)FBx Bx
εε
⊂
. (2.4)
Khi đó, nếu
1
( , )0
nn
dFuF u
+
→
với
uX∈
bất kì thì dãy
{ }
n
Fu
hội tụ đến một
điểm bất động của F.
Chứng minh. Đặt

Với
nN=
, ta có
1
(, ) (, ) ()
NN N N
du u du Fu
δε
+
= <
thì
[ ]
( ,) ( ,)
NN
F Bu Bu
εε
⊂

(theo giả thiết) nên
1
( ,)
NN N
Fu u B u
ε
+
= ∈
, vì thế
1
(, )
NN

<
. Như vậy,
(,) (, ) (,) 2
ks kN Ns
du u du u du u
εε ε
≤ + <+=
với mọi
,sk N≥

vì thế
{ }
n
u
là một dãy Cauchy. Do
d
đầy đủ nên dãy
{ }
n
u
hội tụ đến
zX∈
.
Ta còn phải chứng minh
z
là điểm bất động đối với
F
: Thật vậy, giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn


= <


.
Theo giả thiết, ta có
,,
33
nn
aa
FBu Bu

 
⊂
 

 

.
Do cách chọn
n
u
nên
,
3
n
a
z Bu

∈


, tức là
Fz z=
. □
Để minh hoạ ta phát biểu hai định lí mở rộng nguyên lý Banach.
Định lí 2.5.2. Cho
(,)Xd
là không gian mêtric đầy đủ và cho
:FX X→
là
một ánh xạ thoả mãn

[ ]
( , ) (,)d Fx Fy d x y
ϕ
≤
,
trong đó
:
ϕ
++
→
là hàm không giảm (không nhất thiết phải liên tục) sao
cho
() 0
n
t
ϕ
→
với mỗi t > 0 cố định. Khi đó F có duy nhất một điểm bất
động u và

n
tt t t
ϕϕ ϕ
≤ ≤ ≤≤
với mọi
0n >
,
điều này trái với giả thiết
() 0
n
t
ϕ
→
với mỗi
0t >
cố định. Vậy
()tt
ϕ
<
với
mỗi
0t >
. Với nhận xét này ta bắt đầu chứng minh định lí:
Theo giả thiết và nhận xét trên, ta có